Le pont des deux rives Terminale S - Académie de Nancy-Metz

Le pont des deux rives
Fiche élève
Terminale S
Auteur : IREM de Lorraine
Après s’être longuement attardé à la brasserie « les deux
rives », M. Heine Ken décide de rentrer chez lui. Pour cela
il doit emprunter un pont sans garde-corps de 15 pas de long
et 4 pas de large. La démarche de Ken est très particulière :
– Soit il avance d’un pas en avant ;
– soit il se déplace en diagonale vers la gauche (déplacement
équivalent à un pas vers la gauche et un pas en avant) ;
– soit il se déplace en diagonale vers la droite (déplacement
équivalent à un pas vers la droite et un pas en avant).
On suppose de plus que ces trois déplacements possibles sont
aléatoires et équiprobables. On suppose également que Ken se
trouve au milieu du pont au début de la traversée.
L’objectif de cette activité est de déterminer une estimation
de la probabilité de l’événement « Ken réussit à traverser le
pont » (c’est à dire de l’événement « Ken se trouve encore sur
le pont après 15 déplacements »).
1. Avec un dé
(a) Simulez 4 tentatives de traversée de Ken sur ce pont en vous servant d’un dé.
Expliquez par écrit la méthode utilisée et marquez les positions successives de
Ken sur les représentations de ce pont données en annexe. Combien de fois Ken
a-t-il traversé la rivière sans encombre ?
(b) Après regroupement des résultats des simulations de tentatives de traversée
faites par les élèves de la classe, calculez la fréquence de traversées réussies.
2. Algorithme et simulation informatique
On munit la figure représentant le pont d’un repère orthonormé (O; I,J) comme l’indique la figure ci-contre et on considère l’algorithme dont on donne le début ci-après, qui simule
une tentative de traversée du pont :
Entrées : /
Sortie : Le texte « Traversée réussie » est renvoyé si
la traversée est réussie, dans le cas contraire
« Plouf » est renvoyé
Traitement :
x←0
y←0
tant que x ≥ −2 et x ≤ 2 et y ≤ 15 faire
x ← la somme de la valeur de x et d’un
entier choisi au hasard parmi −1, 0, 1
y ← y+1
........................
. ........................
1
(a) Exécutez cet algorithme incomplet et écrivez les différentes valeurs prises par
x et y. Complétez cet algorithme pour que son exécution renvoie le résultat
escompté.
(b) Traduisez cet algorithme en langage Python afin qu’il soit exécuté par un ordinateur.
(c) Complétez et/ou modifiez l’algorithme précédent afin que son exécution simule
10000 tentatives de traversée et renvoie la fréquence de traversées réussies.
(d) En prenant la fréquence f de traversées réussies après 10000 simulations comme
valeur approchée de la probabilité cherchée, quelle précision peut-on espérer ?
3. Par le calcul
On travaille dans cette partie avec le repère de la question 2.
Pour n entier naturel compris entre 0 et 15, on note :
An l’événement « Après n déplacements, Ken se trouve sur un point d’abscisse −2 »
Bn l’événement « Après n déplacements, Ken se trouve sur un point d’abscisse −1 »
Cn l’événement « Après n déplacements, Ken se trouve sur un point d’abscisse 0 »
Dn l’événement « Après n déplacements, Ken se trouve sur un point d’abscisse 1 »
En l’événement « Après n déplacements, Ken se trouve sur un point d’abscisse 2 »
On note an , bn , cn , dn et en les probabilités respectives de An , Bn , Cn , Dn et En .
(a) Déterminez a0 , b0 , c0 , d0 , e0 .
(b) Montrez que pour tout entier n compris entre 0 et 15 :

an + bn


an+1 =



3



a
+
bn + cn

n
 b


n+1 =


3


bn + cn + dn
cn+1 =


3



c
+
d

n
n + en


dn+1 =


3




d
+
e
n
n

 en+1 =
3
(c) A l’aide de l’outil informatique, déterminez des valeurs approchées de a15 , b15 ,
c15 , d15 et e15 .
(d) Déduisez-en une valeur approchée de la probabilité que Ken réussisse à traverser le pont.
Annexe
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