Introduction aux Méthodes de Monte-Carlo

Introduction aux Méthodes de
Monte-Carlo
LAURE ELIE BERNARD LAPEYRE
Septembre 2001

Table des matières
1 Introduction aux méthodes de monte-Carlo 5
1.1 Simulation de lois uniformes ........................... 7
1.2 Simulation de lois non uniformes ......................... 7
1.3 Lois particulières ................................. 8
1.4 Lois vectorielles .................................. 9
1.5 Méthode de composition ou de mélange ..................... 10
1.6 Méthode de rejet : ................................. 10
1.7 Exercices ..................................... 12
2 Techniques de réduction de variance 15
2.1 Échantillonnage préférentiel ou fonction d’importance ............. 15
2.2 Variables de contrôle ............................... 16
2.3 Variables antithétiques .............................. 17
2.4 Méthode de stratification ............................. 17
2.5 Valeur moyenne ou conditionnement ....................... 19
2.6 Suites à discrépance faible ............................ 20
2.7 Commentaires bibliographiques ......................... 22
2.8 Exercices ..................................... 23
3 Méthodes de Monte-Carlo et Chaînes de Markov 29
3.1 Chaîne de Markov et ergodicité .......................... 30
3.2 Algorithme de Hastings-Metropolis ....................... 34
3.3 Exercices ..................................... 37
4 Travaux dirigés 39
4.1 Travail dirigé 1 : Simulation en Scilab ...................... 39
4.2 Travail dirigé 2 : Méthodes de réduction de variance ............... 44
4.3 Travail dirigé 3 : Méthodes de Monte-Carlo par chaîne de Markov ....... 48
4.4 Un exemple simple d’utilisation de scilab .................... 51
4.5 Produits de transformations aléatoires ...................... 54
3

Chapitre 1
Introduction aux méthodes de
monte-Carlo
De manière générale, la simulation permet d’étudier et expérimenter un système donné dont
on connaît les interactions complexes, de mesurer les effets de certains changements dans les
intéractions sur le comportement du système, d’expérimenter de nouvelle situations.
Lorsque dans la simulation intervient un élément aléatoire, on parle de simulation aléatoire.
Les exemples d’application sont très variés, citons par exemple :
–la simulation de files d’attente, de réseaux,
–la simulation de portefeuilles d’actifs en finance,
–la comparaison d’estimateurs en statistique,
–la recherche d’état stationnaire en physique, en économie.
Remarquons de plus que si l’on cherche une représentation fidèle des phénomènes observés,
on est rapidement confronté à des difficultés dues aux calculs non explicites. Les techniques de
simulation vont nous permettre d’approcher numériquement ces calculs. Nous allons dévelop-
per ici les méthodes de Monte-Carlo qui ont pour essence l’utilisation d’expériences répétées
pour évaluer une quantité, résoudre un système déterministe. Ces méthodes peuvent servir pour :
–le calcul d’intégrale,
–la résolution d’équations aux dérivées partielles,
–la résolution de système linéaire,
–la résolution de problèmes d’optimisation (algorithme du recuit simulé).
Considérons par exemple le problème de l’intégration numérique. Il s’agit d’approcher
I=Zg(x)dx.
Diverses méthodes classiques de type déterministe existent : rectangles,trapèzes, Simpson et I
est approximé par une somme de la forme
Xw g(x)avec Xw=1et (x)≤ ≤ bien choisis dans [0, 1].
La méthode de Monte-Carlo consiste à écrire cette intégrale sous la forme
I=E[g(U)]
où Uest une variable aléatoire suivant une loi uniforme sur [0, 1]et à utiliser la loi des grands
nombres : si (U)∈Nest une suite de variables aléatoires indépendantes et de loi uniforme sur
5