Algorithmique et calculatrices

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Algorithmique et calculatrices
I. Rappels sur les instructions de base.
1. Affectation.
Permet de donner une valeur à une variable.
Exemple :
En sortie, a sera égale à 49
2. Affichage.
Permet au logiciel – calculatrice de retourner une valeur.
Exemple 1 :
Début :
Afficher "Bonjour tout le monde"
Fin.
Exemple 2 :
Variable :
Début :
a reçoit 5
a reçoit a+2
a reçoit a²
Afficher a
Fin.
a: réel
Exemple 3:
Variable :
Début :
a reçoit 5
a reçoit a+2
a reçoit a²
Afficher "a"
Fin.
a: réel
3. Saisie
Permet à l'utilisateur d'affecter une valeur de son choix à une variable.
Exemple 1 : Exemple 2 :
Traduction Casio 35+ Traduction TI Traduction Algobox
1 VARIABLES
2 a EST_DU_TYPE NOMBRE
3 DEBUT_ALGORITHME
4 AFFICHER "Entrez la valeur de a"
5 LIRE a
6 a PREND_LA_VALEUR a+5
7 a PREND_LA_VALEUR a*a
8 AFFICHER a
9 FIN_ALGORITHME
1 VARIABLES
2 x EST_DU_TYPE NOMBRE
3 DEBUT_ALGORITHME
4 AFFICHER "Entrez un nombre"
5 LIRE x
6 AFFICHER "Son carré est "
7 x PREND_LA_VALEUR x*x
8 AFFICHER x
9 FIN_ALGORITHME
Variable :
Début :
Saisir a
a reçoit a+2
a reçoit a²
Afficher a
Fin.
a: réel
Variable :
Début :
Saisir a
Afficher "Son carré est " & a²
Fin.
a: réel
Variable :
Début :
a reçoit 5
a reçoit a+2
a reçoit a²
Fin.
a: réel
Variable :
Début :
a ← 5
a ← a+2
a ← a²
Fin.
a: réel
Variable :
a prend la valeur 5
a prend la valeur a+2
a prend la valeur a²
Fin.
a: réel
Début :

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Exercice 1 :
On considère l'algorithme suivant :
1. Quelle valeur est affichée si la valeur
saisie est 3 ? 5 ?
2. Justifier que les valeurs retournées sont
toujours des carrés.
3. Peut-on avoir 0 en affichage ?
Exercice 2 :
1. Utiliser cet algorithme avec en entrée
a=3,b=6, puis avec d'autres valeurs de
votre choix.
2. A quoi servent les trois lignes grisées ?
Exercice 3 :
A quoi servent ces instructions ?
4. Si
Permet de réaliser une action si une condition est vérifiée.
Exemple 3:
Algorithme qui calcule, si possible, la racine carrée d'un nombre :
Traduction Casio 35+ Traduction TI Traduction Algobox
1 VARIABLES
2 a EST_DU_TYPE NOMBRE
3 DEBUT_ALGORITHME
4 AFFICHER "Entrez la valeur de a"
5 LIRE a
6 a PREND_LA_VALEUR a+5
7 a PREND_LA_VALEUR a*a
8 AFFICHER a
9 FIN_ALGORITHME
Exercice 4 :
Écrire un algorithme qui demande un âge,
et qui retourne "Vous êtes majeur" ou
"Vous êtes mineur".
Exercice 5 :
Écrire un algorithme qui demande un
nombre x et qui affiche sous quel état se
trouve l'eau à une température de x degrés
(solide, liquide ou gazeuse).
Exercice 6 :
Écrire un algorithme qui demande d'entrer
3 nombres x, y et z, puis affiche le plus
grand des 3.
Variable :
Début :
Saisir x
Si x>=0 Alors
Sinon
Afficher x & " n'a pas de racine carrée"
Fin Si
Fin.
x: réel
Afficher "Sa racine carrée est " & √x
V a r i a b l e s :
F i n .
a,b : réels
D é b u t :
Saisir a
b reçoit a+4
a reçoit a*b
a reçoit a+4
Afficher a
a reçoit a+b
b reçoit a-b
a reçoit a-b
Variables :
Début :
Saisir a
Saisir b
n reçoit 10*a+b
Afficher n
c reçoit a
a reçoit b
b reçoit c
n reçoit 10*a+b
Afficher n
Fin.
a,b,c,n: réels

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5. Pour
Permet de répéter une action un nombre de fois connu à l'avance.
Exemple 4 :
Algorithme qui affiche les entiers de 1 à 8
Variable :
Début :
Pour i = 1 à 8
Afficher i
Fin Pour
Fin.
i: entier
Exemple 5 :
Algorithme qui calcule la somme S=1+2+3+...+100.
Variables :
Début :
S reçoit 0
Pour i = 1 à 100
S reçoit S+i
Fin Pour
Afficher S
Fin.
S,i: entiers
CASIO : TI : CASIO : TI :
Remarques :
•Le compteur i peut commencer à une autre valeur que 1
•Le pas peut être modifié.
Variable :
Pour i = 5 à 10 par pas de 3
Afficher i
Fin Pour
F i n .
i: entier
Début :
CASIO : TI :
Exercice 7 :
u
est définie par
u0=4
et
un+1=1
2un
si
n⩾0
.
Faire afficher les 10 premières valeurs de
u
Exercice 8 :
u
est définie par
u0=u1=1
et
un+2=un+1+un
si
n⩾0
.
Écrire un algorithme qui demande une valeur
n⩾2
et affiche
un
.
6. Tant Que
Permet de répéter une action autant de fois que nécessaire, le nombre de répétitions n'étant pas connu à l'avance.
Exemple 6 :
Algorithme qui affiche la racine carrée d'un nombre entré ; si le
nombre est négatif, une autre saisie est demandée.
V a r i a b l e :
x reçoit -1
Tant Que x < 0
Afficher "Entrez un nombre positif"
Lire x
Fin Tant Que
F i n .
x: réel
Début :
Afficher "Sa racine carrée est " & √x
Exemple 7 :
Algorithme qui donne le nombre de chiffres d'un nombre entré.
Variables :
Lire N
x reçoit 0
Tant Que N >=1
x reçoit x+1
N reçoit N/10
Fin Tant Que
Afficher "Son nombre de chiffres est "&x
F i n .
N,x: réels
Début :
CASIO : TI :
CASIO : TI :

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Exercice 9 :
A quoi sert cet algorithme ? Le programmer sur calculatrice.
Variables :
Lire N
S reçoit 0
u reçoit le chiffre des unités de N
N reçoit (N-u)/10
S reçoit 10*S+u
Fin Tant Que
Afficher S
F i n .
N,S,u: entiers
Début :
Tant Que N ≠0
Attention :
•Il est possible de faire des "boucles infinies" (→ plantage)
(si on oublie le N ← N/10 dans l'exemple 7)
•Il se peut que l'action ne se fasse jamais
(si on entre N = 0,1)
Exercice 10 :
Faire afficher les résultats d'un dé lancé au hasard, jusqu'à ce
qu'un 6 soit affiché.
Exercice 11 :
Écrire un algorithme qui affiche deux entiers entre 1 et 10,
l'utilisateur devant entrer le produit des deux nombres.
II. Mélanges de structures.
1. Pour / Si
Exercice 12 :
On lance un dé 100 fois ; compter le nombre de 6 obtenus.
Exercice 13 :
On considère la suite de Syracuse définie par
u0∈ℕ
et
un+1=un
2
si
un
est pair,
un+1=3un+1
sinon.
Faire un algorithme qui affiche les dix premiers termes de la
suite pour une valeur de
u0
entrée.
2. Tant Que / Si
Exercice 14 : Jeu du "plus petit / plus grand".
L'ordinateur choisit un entier entre 1 et 20, l'utilisateur doit le
deviner par essais successifs. L'ordinateur indiquant "Trop petit"
ou "Trop grand" à chaque tentative.
Exercice 15 : Suite de Syracuse bis
Faire afficher les terme de cette suite jusqu'à ce qu'on obtienne
un terme égal à 1.
3. Pour / Tant Que
Exercice 16 :
Alice et Bob lancent un dé, le premier obtenant un 6 gagne la
partie. Quelle est la probabilité de victoires d'Alice (si elle
commence qui commence à chaque fois.
Indication : Faire 100 simulations, et faire la moyenne des
résultats obtenus.
Exercice 17 :
Combien de fois lancer un dé pour obtenir deux 6 consécutifs ?
Indication : "Obtenir deux 6 consécutifs" se traduit par "la
somme entre un dé et son prédécesseur vaut 12".

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III. Exemples importants.
1. Équation du second degré
Écrire un algorithme qui demande des valeurs de
a,b,c
, affiche la valeur du discriminant du trinôme
ax2+bx +c
, et en donne ses
racines s'il y en a .
2. Algorithme de dichotomie
f
est une fonction qui s'annule une unique fois entre
a
et
b
. Du signe de
m=a+b
2
on déduit un nouvel encadrement de la racine,
encadrement réduit de moitié.
Exemple : On considère
f
définie sur
ℝ
par
f ( x ) =x3−x−1
.
f
a une unique racine
α
sur
ℝ
, et
α∈
[
0 ;2
]
.
Algorithme de dichotomie qui donnera un encadrement
[
a;b
]
de
α
d'amplitude inférieure à
10−n
,
n
étant demandé en saisie :
Variables :
n: entier
Début :
0 ← a
2 ← b
lire n
Tant Que b-a>10^-n
m ← (a+b)/2
Si m^3-m-1<0 Alors
a ← m
Sinon b ← m
Fin Si
Fin Tant Que
Afficher "alpha se trouve entre " &
a & " et " & b
Fin.
a,b,m: réels
CASIO : TI :
Tableau récapitulatif : (avec un encadrement d'amplitude
0,1
).
Initialisation Étape 1 Étape 2 Étape 3 Étape 4 Affichage
a 0 b-a=1>0,1 0,5 b-a=0,5>0,1 0,5 b-a=0,25>0,1 0,5 b-a=0,125>0,1 0,5625 b-a=0,0625<0,1 a=0,5625
b 2 donc 1 donc 0,75 donc 0,625 donc 0,625 donc fin du b=0,625
m 1 0,75 0,625 0,5625 Tant Que
f(m) 2 0,671875 0,119140625 -0,13452148
f(m)<0 f(m)>0 f(m)>0 f(m)<0
donc a ← m donc b ← m donc b ← m donc a ← m
3. Encadrement d'une racine par pas constants.
Exemple : On considère
f
définie sur
ℝ
par
f ( x ) =x4+2x3−5
.
On montre que
f
a deux racines sur
ℝ
,
α⩾0
et
β<0
.
On souhaite trouver un encadrement de
α
, encadrement d'amplitude
10−n
,
n
étant demandé en saisie.
A faire tant que l'amplitude
(=b – a) est trop grande
Étape n
Étape n+1
Amplitude
réduite de moitié