énoncé

spé ψ 2003−2004 page 1/5 devoir n°5
Spé ψ 2003-2004 Devoir n°5
CONVERSION DE PUISSANCE
Partie I
ETUDE D’UN CAPTEUR DE POSITION ANGULAIRE
A / ÉTUDE D'UN CIRCUIT MAGNÉTIQUE
Considérons le dispositif schématisé sur la figure, composé de deux bobines (Rt) et (St),
couplées par un circuit magnétique. Les bobines
comportent respectivement nR et n
S
spires, de
section identique S. Le circuit magnétique se
compose d'un cylindre central en fer, d'une cou-
ronne extérieure en fer et d'un entrefer annu-
laire comportant de l'air. D'un point de vue ma-
gnétique, l'air est assimilable au vide. On ap-
pelle Hfer et Hair les excitations magnétiques
dans le fer et dans l'air, Bfer et Bair les champs
magnétiques dans le fer et dans l'air. On rai-
sonnera toujours sur la ligne de champ
moyenne qui a une longueur lfer dans le fer et
lair dans l'air.
Dans les questions 1 à 5, on suppose que la bobine (Rt) est parcourue par un courant d'in-
tensité iR et que la bobine (St) n'est parcourue par aucun courant.
I-A1. Par application du théorème d'Ampère sur un contour à préciser, déterminer la relation
existant entre Hfer, Hair, lfer, lair, nR et iR.
I-A2. En écrivant la conservation du flux sur un petit cylin-
dre de base Σ et de longueur L (comme le montre la figure ci-
contre), donner une relation simple entre Bfer et Bair.
I-A3. Le fer est assimilé à un matériau de perméabilité rela-
tive µr.
a) Déterminer l'expression de Bfer en fonction de lfer,
lair, nR, ir, µr et µ0.
b) Simplifier cette expression dans le cas du fer sup-
posé parfait, de perméabilité relative µr infinie.
c) Quel intérêt a-t-on, pour un champ magnétique donné, à réduire autant que possi-
ble la longueur lair de l'entrefer ?
L'inductance propre d'une bobine est le coefficient de proportionnalité entre le flux propre
de cette bobine (c'est à dire le flux du champ créé par le courant circulant dans cette bobine, à tra-
vers elle-même) et le courant circulant dans cette bobine, ce qui s'écrit, pour la bobine (Rt) :
Φpropre = LR iR.
I-A4. Déterminer l'expression de l'inductance propre LR de la bobine (Rt) en fonction de lfer,
lair, nR, S, µr et µ0.
La mutuelle inductance MRS entre les bobines (Rt) et (St) peut se définir comme le coefficient
de proportionnalité entre le flux ΦRS, à travers la bobine (St), du champ magnétique créé par le

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courant circulant dans la bobine (Rt), et le courant iR circulant dans la bobine (Rt). MRS est donc
telle que : ΦRS = MRS iR .
I-A5. Établir l'expression de la mutuelle inductance MRS en fonction de lfer, lair, nR, nS, S, µr
et µ0.Pour les questions 6, on suppose que la bobine (St) est parcourue par un courant d'intensité
iS et que la bobine (Rt) n'est parcourue par aucun courant.
I-A6-a. Par une étude analogue à celle précédemment menée, établir l'expression de l'in-
ductance propre LS de la bobine (St) en fonction de lfer, lair, nS, S, µr et µ0.
b) Déterminer de même l'expression de la mutuelle inductance MSR entre les bobines
(St) et (Rt). MSR est définie comme le coefficient de proportionnalité entre le flux ΦSR, à travers la
bobine (Rt), du champ magnétique créé par le courant iS circulant dans la bobine (St), et le courant
circulant dans la bobine (St), ce qui se traduit par : ΦSR = MSR iS .
I-A7-a. Comparer MSR et MRS .
b) Déterminer une relation entre la mutuelle inductance (désormais notée M) et les
inductances propres LS et LR .
I-A8. Calculer les valeurs de LR, LS et M avec les données numériques suivantes :
lfer = 15 cm, lair = 2 mm, µ0 = 4π×10-7 SI, µr = 105, S = 2,5 cm2, nR = 50 et nS = 80.
Le raisonnement ne porte plus sur la
ligne de champ moyenne, mais sur l'ensem-
ble des lignes de champ, de sorte qu'il existe
des lignes de champ appelées lignes de
champ de fuite, comme le montre la figure
ci-contre.
I-A9. Qu'en déduisez-vous quant à
la relation entre M, LS et LR ?
B / ÉTUDE D'UN RÉSOLVEUR
Un résolveur est un capteur de position qui permet
de déterminer la position angulaire θ d'un arbre en rotation.
Il s'apparente à un transformateur tournant dont la partie
mobile, appelée rotor, est constituée d'une bobine (Rt) et
dont la partie statique, appelée stator, est constituée de deux
bobines (St1) et (St2) identiques, disposées selon deux di-
rections orthogonales. Ces bobines sont couplées par un
circuit magnétique). La partie centrale, attachée à l'arbre de
rotation tourne à la même vitesse angulaire Ω que lui. La
partie extérieure, liée au référentiel du laboratoire est fixe.
Le résolveur peut être schématisé par la figure ci-dessous.
La mutuelle inductance entre les bobines (Rt) et (St1)
lorsque θ = 0 est notée M ; c'est aussi la mutuelle inductance
entre les bobines (Rt) et (St2) lorsque θ = π/2, c'est à dire
lorsque le rotor a tourné d'un quart de tour. Un système de
bagues et de balais permet d'alimenter la bobine tournante
(Rt). Les deux bobines fixes (St1) et (St2) sont reliées à des
récepteurs d'impédances infinies.
La bobine (Rt) est alimentée par un courant continu
d'intensité IR0 et le rotor tourne à la vitesse angulaire Ω =
d
dt
θ
,
supposée constante et positive. Les bobines (St1) et (St2) ne

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sont parcourues par aucun courant.
I-B1-a. Déterminer les flux d'induction ΦS1 et ΦS2 dans les bobines (St1) et (St2) en fonc-
tion de M, θ et IR0 . On respectera la convention d'orientation des surfaces des bobines, définie par
les vecteurs
r
n
1 et
r
n
2 (voir la figure ci-dessus).
b) En déduire l'expression des tensions induites VS1(t) et VS2(t) aux bornes des bobi-
nes (St1) et (St2). Dessiner l'allure de ces deux tensions, en supposant qu'à l'instant t = 0, θ = 0.
c) Expliquez pourquoi le résolveur comporte deux bobines (St1) et (St2), pour mesu-
rer des positions angulaires comprises entre 0 et 2π.
La bobine (Rt) est désormais alimentée par un courant sinusoïdal iR(t) = IRm cos(ωt). Les
bobines (St1) et (St2) ne sont parcourues par aucun courant. Le rotor tourne à une vitesse angu-
laire Ω =
d
dt
θ
quelconque (éventuellement nulle si la machine est à l'arrêt).
I-B2-a. En respectant toujours la convention d'orientation définie sur la figure 5, déterminer
l'expression des flux d'induction ΦS1 et ΦS2 dans les bobines (St1) et (St2) en fonction de M, θ, Ω,
IRm et t.b) En déduire l'expression des tensions induites VS1(t) et VS2(t) aux bornes des bobi-
nes (St1) et (St2). Simplifier ces expressions dans le cas où Ω << ω.
c) Le rotor tourne à une vitesse angulaire Ω constante et non nulle. Dessiner l'allure
des tensions VS1(t) et VS2(t), en considérant qu'à l'instant t = 0, θ = 0.
d) Pourquoi est-il préférable d'alimenter la bobine (Rt) par du courant sinusoïdal
haute fréquence plutôt que par du courant continu ?
Partie II
ETUDE D’UNE MACHINE A COURANT CONTINU
L’arbre en rotation du résolveur est celui d’une machine à courant continu dont les caracté-
ristiques sont les suivantes :
Ÿ inducteur à aimants permanents ;
Ÿ induit : résistance R = 4,0 Ω ;
Ÿ constante de f.é.m. et de couple Φ0 = 0,30 V.s.rad–1 ;
Ÿ intensité nominale : In = 4,0 A.
Les frottements ainsi que les pertes dans le fer seront négligés. On notera en outre :
Ÿ C le moment du couple électromagnétique,
Ÿ Ω la vitesse angulaire de rotation,
Ÿ n la fréquence de rotation en tr.s–1,
Ÿ e la f.é.m. : e = –Φ0Ω,
Ÿ u la tension aux bornes de la machine.
II.1. Établir l'expression du moment du couple électromagnétique.
II.2 Pour le courant nominal d'intensité In, calculer les valeurs numériques de la tension
d’alimentation U et du moment du couple électromagnétique pour les fréquences de rotation sui-
vantes : n = 0 et n = 50 tr.s–1.
II.3. On applique sur l'arbre de la machine un couple résistant de moment CR = 0,80 N.m..
a) Déterminer la relation exprimant Ω en fonction de U, R, Φ0 et CR en régime per-
manent. b) A partir de quelle valeur de l'intensité I le moteur peut-il démarrer ? Quelle est la
tension U correspondante ?
M
i
u

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II.4. Quelle tension U maximale doit-on s'imposer au démarrage pour que l'intensité ID de
démarrage demeure inférieure à 1,25 In ?
Partie III
ETUDE D’UN CONVERTISSEUR
La machine est alimentée par le convertisseur dont le schéma est représenté ci-dessous. Les
ordres d'ouvertures et de fermetures des interrup-
teurs (H1, H2, H3 et H4) sont élaborés à partir d'une
tension de contrôle VC. H1, H2, H3 et H4 sont des
interrupteurs unidirectionnels en courant commandés
à l'ouverture et la fermeture ; à l'état fermé, ils ne
présentent pas de chute de tension à leurs bornes.
III.1. T est la période de fonctionnement; α
est un coefficient compris entre 0 et 1.
Pour 0 < t < α H
1
, et H3 sont com-
mandés à l'état fermé ; H2, et H4 sont commandés à l'état ouvert.
Pour αT < t < T α H1, et H3 sont commandés à l'état ouvert ;
H2, et H4 sont commandés à l'état fermé.
Dans ces conditions, représenter la tension u(t) en fonction du temps et calculer la valeur
moyenne UMOY de u(t). Comment varie le signe de UMOY en fonction de α ?
III.2.Le schéma suivant présente 4 cas de fonctionnement possible. Pour chacun de ces cas,
i(t) évolue entre une valeur minimale IMIN et une valeur maximale IMAX. La conduction est ininter-
rompue.
a) En utilisant le modèle de machine à courant continu étudié à la partie II, établir un
bilan de puissance moyenne en précisant les grandeurs intervenant dans ce bilan en plus de la puis-
sance dissipée par effet Joule, notée PJ,MOY. Que peut-on dire de PJ,MOY si l’on suppose que le ren-
dement de la machine est proche de 1 ?
b) Quel est le régime de fonctionnement de la machine à courant continu (moteur ou
génératrice) et le sens de la vitesse de rotation dans chacun des cas proposés ?
M
i
u
U
A
H
1
H
2
H
3
H
4
D
1
D
2
D
4
D
3
t
TT/2
UA
–U
A
I
MAX
I
MIN
α
T
t
TT/2
α
T
cas n°2
i(t)
u(t)
t
TT/2
UA
–U
A
t
TT/2
I
MAX
I
MIN
α
T
α
T
cas n°1
u(t)
i(t)
α
T
α
T
t
TT/2
U
A
–U
A
I
MAX
I
MIN
t
TT/2
cas n°3
i(t)
u(t)
α
T
α
T
t
TT/2
U
A
–U
A
t
TT/2
I
MAX
I
MIN
cas n°4
u(t)
i(t)

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c) Établir l’expression de i(t) en régime permanent dans le cas n°1, en supposant la
f.e.m. e du moteur constante. En déduire les expressions de IMIN et IMAX dans ce cas et en déduire
l’expression de l’ondulation ∆I = IMAX – IMIN.
d) On place une bobine d’autoinductance L en série avec la machine. Reprendre
l’étude la question précédente en supposant que l’intensité ne s’annule jamais. Que devient
l’expression de ∆I si
RT
L
<<1. Quel est le rôle de la bobine ?
Partie IV
ASSERVISSEMENT DE POSITION
La machine, commandée par le convertisseur, est asservie en position suivant le schéma :
Le potentiomètre de consigne délivre une tension VREF = aθREF ;
L’amplificateur délivre la tension VC = Aε (où ε = VREF – VCAPTEUR est la tension d’erreur
délivrée par le comparateur) ;
Le convertisseur, étudié dans la partie précédente, délivre une tension constante
UMOY = H.VC avec H = 4;
Le moteur M est celui étudié dans la partie II.
On admet que l’ensemble résolveur-détection de phase permet d’obtenir une tension :
VCAPTEUR = bθ.
Dans cette étude, la charge mécanique impose sur l'arbre uniquement un couple résistant de
frottement fluide de moment CR = fΩ, avec f = 2,0×10-2 N.m.s.
Le moment d'inerte total ramené sur l'arbre de la machine est J = 3,2×10–3 kg.m2.
IV.1. On adoptera le modèle ci-contre pour l'ensem-
ble convertisseur-machine :
a) Établir l'équation différentielle vérifiée
par la vitesse angulaire Ω(t) en fonction de f, Φ0, R, H et
VC.b) En déduire que l’équation différentielle
vérifiée par θ(t) peut s’écrire τθ θ
EM C
d
dt
d
dt
GV
2
2+ = .
IV.2. On note θ(p) et VC(p) les transformées de Laplace de θ(t) et VC(t).
a) En considérant les conditions initiales nulles θ(0) = 0 et VC(0) = 0, exprimer la
fonction de transfert T(p) du système convertisseur-arbre de la machine:T p
p
V p
( )
(
)
( )
=
θ
C
.
b) Exprimer la fonction de transfert TS(p) du système global:T p
p
p
SREF
( )
(
)
( )
=
θ
θ en pré-
cisant la nature de l’opération réalisée par le système bouclé.
θ
REF
U
MOY
MCHARGE
+
–
A
CONVER
TISSEUR
RESOLVEUR
DETECTION DE PHASE
AMPLIFICATEUR
POTENTIOMETRE DE CONSIGNE
θ
CONVERTISSEUR
H.V
C
R
Φ
0
Ω
Ω
I