Thème #5

Chapitre 5
Coniques
Cette pr´ esentation r´ esume le contenu des section 5.1, 5.2 et 5.4 des notes de cours.
On se concentre sur la description des coniques.
Objectif
Nous tenterons de comprendre l’ensemble des points (x, y)∈R2satisfaisant
ax2+bxy +cy2+dx +ey +f= 0,
o` ua, b, c, d, e, et fsont des constantes connues.
On va voir que
i) ces points forment des coniques apr` es une translation et une rotation ;
ii) dans le cas avec b= 0 - une translation suffit ;
iii) dans le cas avec b6= 0 - une translation et une rotation sont n´ ecessaires.
1 D´ efinitions de coniques
D´ efinition d’une ellipse
D´ efinition 1.1. Une ellipse est l’ensemble des points Pdans le plan dont la somme des
distances ` a deux noeuds donn´ ees F1et F2, est ´ egale ` a une constante k. Pareillement,
on a tout les Ptels que
|P F1|+|P F2|=k.
D´ efinition 1.2. On appelle F1et F2,les foyers de l’ellipse. La droite traversant F1
et F2s’appelle l’axe focal. Les sommets de l’ellipse sont les points de l’ellipse qui se
retrouvent sur l’axe focal.
D´ efinition d’une ellipse
1

2CHAPITRE 5. CONIQUES
D´ efinition d’une hyperbole
D´ efinition 1.3. Une hyperbole est l’ensemble des points Pdans le plan dont la diff´ erence
des distances ` a deux noeuds donn´ ees F1et F2, est ´ egale ` a une constante k. Pareille-
ment, on a tout les Ptels que
|P F1|−|P F2|=k.
D´ efinition 1.4. On appelle F1et F2,les foyers de l’hyperbole. La droite traversant F1
et F2s’appelle l’axe focal. Les sommets de l’hyperbole sont les points de l’ellipse qui
se retrouvent sur l’axe focal.
D´ efinition d’une hyperbole

1. D ´ EFINITIONS DE CONIQUES 3
D´ efinition d’une hyperbole
D´ efinition d’une parabole
D´ efinition 1.5. Une parabole est l’ensemble des points Pdans le plan ` a distance ´ egal
d’une droite det d’un point F. Pareillement, on a tout les Ptels que
|P F |=|P d|.
D´ efinition 1.6. On appelle Fle foyer de la parabole. La droite ds’appelle la direc-
trice. La droite perpendiculaire ` adet traversant le foyer Fs’appelle l’axe focal. Le
sommet de la parabole est l’unique point de la parabole qui se trouve sur l’axe focal.
D´ efinition d’une parabole

4CHAPITRE 5. CONIQUES
2 Les coniques translat´ ees
´
Equation sans terme mixte xy
On regarde d’abord l’ensemble des points (x, y)∈R2satisfaisant
ax2+cy2+dx +ey +f= 0,
o` ua, c, d, e, et fsont des constantes connues.
Le truc c’est de compl´ eter le carr´ ee.
On sait que
(ax +b)2=a2x2+ 2abx +b2.
On inverse le processus :
dx2+ex =√d2x2+ 2√de
2√dx+e 2√d2
−e
2√d2
=√dx +e
2√d2
−e
2√d2
.
Exemple
Exemple 2.1.Faites le graphe des points satisfaisant
−x2+ 4y2−4x−8y= 16.
Exemple
Exemple 2.2.Faites le graphe des points satisfaisant
4x2+ 8x+ 3y= 5.
3 Classification des ´ equations du second degr´ e
Cas d´ eg´ en´ er´ es
L’ensemble des points (x, y)∈R2satisfaisant
ax2+bxy +cy2+dx +ey +f= 0,
est toujours une conique. Bien que, des fois le r´ esultat ne ressemble pas ` a une conique.
Exemple
i) un seul point = ellipse d´ eg´ en´ eree ;
ii) une droite = parabole d´ eg´ en´ er´ ee ;
iii) deux droites s´ ecantes = hyperbole d´ eg´ en´ er´ ee ;
iv) deux droites parall` eles = parabole d´ eg´ en´ er´ ee ;
v) aucun point = les trois d´ eg´ en´ er´ es.
Moral : Prenez le temps d’examiner l’´ equation.

3. CLASSIFICATION DES ´ EQUATIONS DU SECOND DEGR ´ E5
Crit` ere g´ en´ eral
Th´ eor` eme 3.1. Les solutions de
ax2+bxy +cy2+dx +ey +f= 0,
correspondent ` a
une ellipse si b2−4ac < 0,
une hyperbole si b2−4ac > 0,
une parabole si b2−4ac = 0,
o` u l’on n’exclue pas les cas d´ eg´ en´ er´ es.
Analyse matricielle
L’´ equation
ax2+bxy +cy2+dx +ey +f= 0,
peut se r´ e´ ecrire sous forme matricielle
[x y]a b/2
b/2c x y+ [d e]x y+f= 0.
Ou tout simplement
~xTA~x +K~x +f= 0,
o` u~x = [x, y]Tet A, K sont les matrices ´ evidentes.
Analyse matricielle
Si la matrice orthogonale Pdiagonalise A, alors
D=PTAP
est diagonale. Par rapport aux nouvelles variables
~x =P ~u ⇐⇒ PT~x =~u,
on obtient
0 =~xTA~x +K~x +f
=P ~uTAP ~u+KP ~u) + f
=~uTPTAP ~u +KP ~u +f
=~uTD~u +K0~u +f.