Thème #5

Chapitre 5
Coniques
Cette présentation résume le contenu des section 5.1, 5.2 et 5.4 des notes de cours.
On se concentre sur la description des coniques.
Objectif
Nous tenterons de comprendre l’ensemble des points (x, y) ∈ R2 satisfaisant
ax2 + bxy + cy 2 + dx + ey + f = 0,
où a, b, c, d, e, et f sont des constantes connues.
On va voir que
i) ces points forment des coniques après une translation et une rotation ;
ii) dans le cas avec b = 0 - une translation suffit ;
iii) dans le cas avec b 6= 0 - une translation et une rotation sont nécessaires.
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Définitions de coniques
Définition d’une ellipse
Définition 1.1. Une ellipse est l’ensemble des points P dans le plan dont la somme des
distances à deux noeuds données F1 et F2 , est égale à une constante k. Pareillement,
on a tout les P tels que
|P F1 | + |P F2 | = k.
Définition 1.2. On appelle F1 et F2 , les foyers de l’ellipse. La droite traversant F1
et F2 s’appelle l’axe focal. Les sommets de l’ellipse sont les points de l’ellipse qui se
retrouvent sur l’axe focal.
Définition d’une ellipse
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CHAPITRE 5. CONIQUES
Définition d’une hyperbole
Définition 1.3. Une hyperbole est l’ensemble des points P dans le plan dont la différence
des distances à deux noeuds données F1 et F2 , est égale à une constante k. Pareillement, on a tout les P tels que
|P F1 | − |P F2 | = k.
Définition 1.4. On appelle F1 et F2 , les foyers de l’hyperbole. La droite traversant F1
et F2 s’appelle l’axe focal. Les sommets de l’hyperbole sont les points de l’ellipse qui
se retrouvent sur l’axe focal.
Définition d’une hyperbole
1. DÉFINITIONS DE CONIQUES
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Définition d’une hyperbole
Définition d’une parabole
Définition 1.5. Une parabole est l’ensemble des points P dans le plan à distance égal
d’une droite d et d’un point F . Pareillement, on a tout les P tels que
|P F | = |P d|.
Définition 1.6. On appelle F le foyer de la parabole. La droite d s’appelle la directrice. La droite perpendiculaire à d et traversant le foyer F s’appelle l’axe focal. Le
sommet de la parabole est l’unique point de la parabole qui se trouve sur l’axe focal.
Définition d’une parabole
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CHAPITRE 5. CONIQUES
Les coniques translatées
Équation sans terme mixte xy
On regarde d’abord l’ensemble des points (x, y) ∈ R2 satisfaisant
ax2 + cy 2 + dx + ey + f = 0,
où a, c, d, e, et f sont des constantes connues.
Le truc c’est de compléter le carrée.
On sait que
(ax + b)2 = a2 x2 + 2abx + b2 .
On inverse le processus :
2 2
√ e
√ 2 2
e
e
√
√
−
dx + ex = d x + 2 d √ x +
2 d
2 d
2 d
2
√
e 2
e
√
= dx + √
−
.
2 d
2 d
2
Exemple
Exemple 2.1. Faites le graphe des points satisfaisant
−x2 + 4y 2 − 4x − 8y = 16.
Exemple
Exemple 2.2. Faites le graphe des points satisfaisant
4x2 + 8x + 3y = 5.
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Classification des équations du second degré
Cas dégénérés
L’ensemble des points (x, y) ∈ R2 satisfaisant
ax2 + bxy + cy 2 + dx + ey + f = 0,
est toujours une conique. Bien que, des fois le résultat ne ressemble pas à une conique.
Exemple
i) un seul point = ellipse dégénéree ;
ii) une droite = parabole dégénérée ;
iii) deux droites sécantes = hyperbole dégénérée ;
iv) deux droites parallèles = parabole dégénérée ;
v) aucun point = les trois dégénérés.
Moral : Prenez le temps d’examiner l’équation.
3. CLASSIFICATION DES ÉQUATIONS DU SECOND DEGRÉ
Critère général
Théorème 3.1. Les solutions de
ax2 + bxy + cy 2 + dx + ey + f = 0,
correspondent à
une ellipse si b2 − 4ac < 0,
une hyperbole si b2 − 4ac > 0,
une parabole si b2 − 4ac = 0,
où l’on n’exclue pas les cas dégénérés.
Analyse matricielle
L’équation
ax2 + bxy + cy 2 + dx + ey + f = 0,
peut se réécrire sous forme matricielle
[x y]
a b/2
b/2 c
x
y
+ [d e]
x
y
Ou tout simplement
~xT A~x + K~x + f = 0,
où ~x = [x, y]T et A, K sont les matrices évidentes.
Analyse matricielle
Si la matrice orthogonale P diagonalise A, alors
D = P T AP
est diagonale. Par rapport aux nouvelles variables
~x = P ~u ⇐⇒ P T ~x = ~u,
on obtient
0 =~xT A~x + K~x + f
T
= P ~u A P ~u + K P ~u) + f
=~uT P T AP ~u + KP ~u + f
=~uT D~u + K 0 ~u + f.
+ f = 0.
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CHAPITRE 5. CONIQUES
Analyse matricielle
La contrainte matricielle est
0 = ~uT D~u + K 0 ~u + f.
Si on écrit ~u = [u v]T et que les deux valeurs propres de A sont λ1 , λ2 , alors
λ1 0
u
u
0 = [u v]
+ [α β]
+f
0 λ2
v
v
et même
λ1 u2 + λ2 v 2 + αu + βv + f = 0,
sans terme mixte !
Méthode générale
Comment dessiner le graphe de
ax2 + bxy + cy 2 + dx + ey + f = 0?
1. Trouvez une rotation P qui diagonalise
a b/2
A=
b/2 c
2. Calculez les termes linéaires
K 0 = KP ⇐⇒
α
β
=
d
e
P
3. Complétez les carrés
λ1 u2 + αu = λ1 (u − ∆u)2 − (∆u)2
λ2 v 2 + βv = λ2 (v − ∆v)2 − (∆v)2
Méthode générale (suite)
4. L’équation s’écrit maintenant
λ1 (u − ∆u)2 + λ2 (v − ∆v)2 = f + (∆u)2 + (∆v)2
5. Le centre dans les coordonnées [x, y]T = P [u, v]T est
∆u
P
∆v
6. On répète 5. pour trouver les foyers, les sommets et l’axe focal. N.B. les vecteurs
propres normalisés donnent les axes u et v.
Exemple
Exemple 3.1. Faites le graphe des points satisfaisant
2xy = 1.
3. CLASSIFICATION DES ÉQUATIONS DU SECOND DEGRÉ
Exemple
Exemple 3.2. Faites le graphe des points satisfaisant
√
√
5x2 + 4xy + 8y 2 − 8 5x − 32 5y + 124 = 0.
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