Exercices et applications

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Exercices et applications
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1.1
La proportion capital/heure dépend du prix relatif
du capital et du travail : plus le travail est cher plus
on utilise du capital
L’o¤re d’emploi (demande de travail) est :
Production
Productivité marginale, coût
La demande de capital :
K=
K L(1
avec 0 <
@f
= (1
@L
)
1
0
C(Y ) = @
Y
K
=
K
L
r 1
w
1
Pour Y donné chacune des fonction de demande est
décroissante par rapport à son prix et croissante par
rapport au prix de l’input substitut.
Calcul des productivités marginales, relations avec
les productivités moyennes :
L
K
Y
)
<1
@f
=
@K
w
r
1
On considère le modèle de production suivant dans lequel
un output Y est produit à l’aide de deux inputs le capital
K et le travail L selon la fonction de production :
Y = f (K; L)
Y
L=
= (1
w
1
w
r
+
r
1
r 1
w
1
A Y = c(w; r)Y
On a une fonction de coût linéaire. On voit alors
que la fonction d’o¤re est :
Y
)
L
La fonction de production est homogène de degré
1, les rendements d’échelle sont constants et l’on a
(Euler) :
si p > c(w; r) l’o¤re est in…nie
si p < c(w; r) l’o¤re est nulle
p = c(w; r) l’o¤re est quelconque
8L; K; f (K; L) = K
@f
@f
+L
@K
@L
On suppose qu’après production,
core utilisable, pour une quantité
où
représente l’usure physique
vecteurs de production réalisables
0
1
L
@
K A
le capital est enégale à (1
)K
dy capital. Les
sont donc :
La fonction d’o¤re est "horizontale" (in…niment élastique)
A l’équilibre on a nécessairement p = c(w; r):
2
2.1
f (K; L)
Soit w le prix du travail, r le prix du capital, et p le
prix du bien produit. Calculer la demande d’input,
la fonction de coût et la fonction d’o¤re.
Consommateur
Equilibre dans une économie d’échange
On considère une économie à la Robinson Crusoë à deux
individus A et B et deux biens dont les quantités sont
notés x et y .
La fonction d’utilité de A est uA (x; y) = x2 y , celle
de B est uB (x; y) = xy 2 :
Les fonctions d’utilité sont de type Cobb-Douglas
C(Y ) = min wL + r K; f (K; L) = Y
On obtient comme condition nécessaire
w
=
r
@f
@L
@f
@K
=
1
K
L
Supposons qu’il y a une quantité totale de bien "x"
égale à 2 et une quantité totale de bien "y" égale
à 1. Comment distribuer entre les deux individus
de manière "e¢ cace"? On cherche une répartition
xA ; xB yA ; yB telle que l’on ne peut pas augmenter
l’utilité de l’un sans diminuer celle de l’autre.
2
Soit une distribution donnée. Pour augmenter
l’utilité de A il faut proposer une modi…cation
dxA ; dyA telle que :
@uA
@uA
dxA +
dyA
@xA
@yA
duB =
pour A : 1/2,1
pour B : 1/2,1
0
Cette modi…cation entraine pour B une modi…cation
dxB = dxA et dyB = dyA , ce qui entraine une
modi…cation d’utilité égale à :
@uB
dxA
@xB
Supposons que la ressource totale soit distribuée initialement entre A et B de la façon suivante :
@uB
dyA
@yB
La distribution n’est pas e¢ cace s’il existe dxA ; dyA
tel que :
Un commissaire priseur annonce les prix : (p1 ; p2 )
quelles sont les demandes ?
max uA (x; y); avec p1 x + p2 y = p1 (1=2) + p2
max uB (x; y); avec p1 x + p2 y = p1 (1=2) + p2
On obtient :
2 p1 (1=2) + p2
3
p1
1 p1 (1=2) + p2
yA =
3
p2
xA =
@uA
dxA +
@xA
@uB
dxA
@xB
@uA
dyA
@yA
@uB
dyA
@yB
0
0
avec au moins une inégalité stricte
1 p1 (1=2) + p2
3
p1
2 p1 (1=2) + p2
yB =
3
p2
xB =
c’est-à-dire :
@uB
@yB
@uB
@xB
dyA
@uA
@yA
@uA
@xA
dxA
dyA
L’équilibre est obtenu si les quantités demandées
sont compatibles avec les quantités disponibles :
Avec au moins une inégalité stricte.
Ce qui n’est possible que si
@uB
@yB
@uB
@xB
Réciproquement si
@uB
@yB
@uB
@xB
6=
=
xA + xB = 1 () 1=2 +
@uA
@yA
@uA
@xA
@uA
@yA
@uA
@xA
p2
p2
1
= 1 ()
=
p1
p1
2
Ce qui donne la répartition :
alors on ne peut pas
trouver de redistribution qui augmente l’utilité de
l’un sans diminuer celle de l’autre.
Ici cela donne :
xA
xB
=4
yA
yB
xA + xB = 2
yA + y B = 1
Ce qui dé…nit une courbe dans l’espace (xA ; yA )
c’est-à dire une relation entre xA et yA :
2
3
2
yA =
3
xA =
1
3
4
yB =
3
xB =
Cette répartition est e¢ cace (elle véri…e la relation
de la question 1)
3
3
3.1
Trois cas sont possibles :
Economie Industrielle
f petit : le pro…t obtenu en jouant qb (qui dissuade
l’entrée) est inférieur au pro…t obtenu en jouant q :
Barrière à l’entrée
Une entreprise est en situation de monopole sur un
marché. Une entreprise concurrente songe à entrer sur
le marché. Le coût …xe d’entrée est égal à f .
Si l’entreprise 1 et l’entreprise 2 fournissent repectivement q1 et q2 alors le prix qui s’établit est p = 1 q =
1 q1 q2 :
Le coût marginal de production est c .
Le timing est le suivant : la …rme 1 joeu en premier
puis 2 décide ou non d’entrer, puis 2 décide son niveau
de production (si elle a décidé d’entrer).
Plaçons nous au début de l’étape 2 (1 a …ni de jouer)
2 observe q1 :
2 a le choix entre rester en dehors du marché : son
pro…t est nul, ou entrer et son pro…t est
2 (q1 )
= maxpx
f = (1
x
q1
x
c)x
f
f grand : le pro…t obtenu en jouant qb (qui dissuade
l’entrée) est supéruer au pro…t obtenu en jouant q :
Ainsi si le coût d’entrée est grand, le monopole a intérêt a inonder le marché au delà de q pour induire
le joueur 2 à ne pas entrer.
4
4.1
Economie Publique
Financement d’un projet public
On considère le projet de construction d’un phare. Le
coût de construction est égal à c(y) = ay 2 où a est un
paramètre positif.
Il y a deux catégories d’usagers :
p
type 1 : consentement à payer : u1 (y) = y : (en
nombre N1 )
p
type 2 : consentement à payer : u2 (y) = 2 y : (en
nombre N2 )
E¢ cacité
Equation de Bowen Lindhal Samuelson :
On obtient :
c q1
2
(1 c q1 )2
2 (q1 ) =
4
q2 =
1
N
p1
2 y
+
N2
p
y
= 2ay () y =
N1
4a
+
N2 2=3
2a
Souscription : ondemande aux usagers de se cotiser
(on suppose pour simpli…er que N1 = N2 = 1) :
f
Chaque usager obtient : ui (
La meilleure réponse est donc :
p
s1 +s2
)
a
si
La meilleure réponse est donnée par :
M R2 (q1 ) = 0 si
1
M R2 (q1 ) =
2
(1
c q1 )
4
f
c q1
sinon
2
Anticipant cette meilleure réponse, la …rme 1 choisit
q1 de manière à maximiser son pro…t.
c q1 )2
>
4
1 c q1
q
1
2
Si q1 est tel que (1
d
(q1 ) =
1 (q1 ) =
duopole)
2
Si q1 est tel que (1 c4 q1 )
m
(q1 ) = (1 c
1 (q1 ) =
dire monopole)
Soit alors qb tel que
p
1 c 2 f
Soit q
max
d
(1 c q)2
4
= arg max
(q1 ) =
(1 c)2
8
d
f ( q1 petit) , alors
(l’indice d veut dire
f ( q1 grand) alors
q1 )q1 (l’indice m veut
= f , c’est-a-dire qb =
(q1 ) =
1 c
2 ;
Soit
=
si est dé…nit par
1
u0
p
2a si + sj i
p
sj
< 1 alors si = 0
a
sinon :
p
si + sj
<1
a
1
si p u0i
2a sj
L’un des deux usagers est passager clandestin