1.1. ELÉMENTS DE THÉORIE DES ENSEMBLES 7
–β(E) est une tribu de E.
–{∅,E} est une tribu. C’est la plus petite, elle est contenue dans toutes les autres.
– Soit A une partie de E (A∈β(E)). Alors {∅,E,A,Ac}estunetribu,c’estlapluspetite
tribu contenant A, c’est la tribu engendrée par A.
– Soit G un sous-ensemble (qui n’est forcément une tribu) de β(E), on appelle tribu engendrée par G
l’intersection de toutes les tribus (sur E) contenant G ; c’est la plus petite tribu qui
contienne G.
Cas particuliers
L’ensemble des sous-ensembles de RLebesgue-mesurables, forme une tribu sur R.
Soient E=R, G la famille de tous les ouverts. G n’est pas une tribu sur R. La tribu
engendrée par G est appelée tribu borélienne sur R, et notée B(R). Les éléments de B(R)
sont appelés boréliens de R.
Tous les sous-ensembles usuels (intervalles ouverts, fermés, semi-ouverts, ..., singleton,
ensemble infini dénombrable de singletons ainsi que toutes les réunions et intersections dé-
nombrables de fermés et d’ouverts) sont des boréliens.
tribu des Boréliens
tribu des
sous-ensembles
Lebesgue-mesurables
β(R)
1.1.3 Mesure positive sur une tribu
Soit (E,F) un espace mesurable.
Définition
On appelle mesure positive sur (E,F) une fonction mdéfinie sur F, à valeurs dans
[0,+∞[, vérifiant :
1. m(∅)=0
2. Pour toute famille finie ou infinie dénombrable (Ai)i∈Id’éléments de la tribu Fdeux à
deux disjoints, on a :
m
i∈I
Ai=
i∈I
m(Ai)
Soit A∈Falors le nombre m(A) (fini ou non) est appelé mesure de A et le triplet (E,F,m)
est appelé espace mesuré.