MP1&2 2016 - 2017 DS n°6 (CCP - e3a) : Électromagnétisme DEVOIR SURVEILLÉ n°6 (CCP - e3a) Samedi 21 janvier 2017 - Durée : 4 heures 1 Étude d’une onde électromagnétique On considère une onde électromagnétique se propageant dans le vide. Dans une base carté− − − sienne (→ u x, → u y, → u z ), le champ électrique prend la forme Ex Ey → − E = Ez = 0 " !# √ E0 3y − z = cos ω −t 2 2v " !# √ √ E0 3 3y − z = cos ω −t 2 2v 1. Montrer que Ez vérifie l’équation de propagation de d’Alembert dans le vide à une condition sur v que l’on précisera. 2. Quelle est la polarisation de cette onde ? Déterminer le vecteur unitaire − u→ P associé à la direction de polarisation. 3. Quel est le vecteur d’onde de cette onde ? Dans quelle direction cette onde se propage-t− elle. On donnera le vecteur unitaire → u de la direction de propagation ? 4. Déterminer l’expression du champ magnétique associé. 5. L’onde est-elle transverse ? 2 Câble coaxial Donnée : rotationnel en cylindriques : −→ ~ rot A = ∂Aθ 1 ∂Az − r ∂θ ∂z ~ur + ∂Ar ∂Az − ∂z ∂r 1 ~uθ + r ∂ ∂Ar (rAθ ) − ∂r ∂θ ~uz Un câble coaxial est formé de deux conducteurs supposés parfaits, de même longueur ` , l’un entourant l’autre. L’un est un conducteur massif de rayon R1 , appelé l’âme du conducteur. L’autre est un conducteur cylindrique creux de rayon intérieur R2 et de rayon extérieur R3 , appelé la gaine du conducteur. On négligera les effets de bord. L’espace inter-conducteur sera assimilé à du vide. On donne : R1 = 0,25 mm, R2 = 1,25 mm et ` = 100 m. Une onde électromagnétique se propage à l’intérieur du câble dans la région R1 < r < R2 , assimilable à du vide. Elle est définie par son champ électrique complexe : α → − − E (r, z, t) = ej(ωt−kz) → ur r où α est une constante positive. 1 MP1&2 2016 - 2017 DS n°6 (CCP - e3a) : Électromagnétisme 1. L’onde est-elle plane ? est-elle progressive ? Si oui, préciser sa direction de propagation. 2. On note E0 l’amplitude maximale du champ électrique dans le câble coaxial. Préciser → − l’unité de E0 et exprimer E (r, z, t) en fonction de E0 , r, z, k, ω, t et R1 . Physique 2012 3. À partir des équations de Maxwell, retrouver l’équation de propagation vérifiée par le champ électrique. En déduire la relation de dispersion liant k et ω. Le milieu est-il dispersif ? → − 4. Déterminer l’expression du champ magnétique complexe B (r, z, t) associé à cette onde, à une composante permanente près. Justifier pourquoi on peut considérer cette composante comme nulle. Justifier pourquoi on qualifie la structure de cette onde de localement plane. − 5. Déterminer l’expression du vecteur de Poynting → π associé à cette onde électromagnétique. 6. Déterminer l’expression de la puissance moyenne transportée P par le câble. Application numérique : en déduire l’amplitude E0 du champ électrique sachant que la puissance moyenne transportée est de 10W . MP 3 Propagation d’ondes 4électromagnétiques heures Calculatrices autorisées Lancé le le 20 20 juin juin 2008 2008 de de Vandenberg Vandenberg (Californie), (Californie), le le satellite satellite océanographique océanographique Jason Jason 22 permet, permet, entre entre autre, autre, de de Lancé mesurer la hauteur des océans. mesurer la hauteur des océans. Dans une une première première partie, partie, le le problème problème étudie étudie la la trajectoire trajectoire de de ce ce satellite satellite au-dessus au-dessus de de l’ionosphère, l’ionosphère, d’abord d’abord Dans en considérant considérant la la Terre Terre comme comme sphérique, sphérique, puis puis en en prenant prenant en en compte compte sa sa non-sphéricité. non-sphéricité. La La seconde seconde partie partie du du en problème aborde aborde la la diffusion diffusion des des ondes ondes radar radar sur sur l’océan l’océan et et la la troisième troisième partie partie étudie étudie l’influence l’influence de de l’ionosphère l’ionosphère problème sur la la propagation propagation de de telles telles ondes. ondes. sur Les trois trois parties parties sont sont indépendantes. indépendantes. Les Seule la troisième partie sera abordée dans ce problème. Notations Notations ++ ,, Dans tout tout le le problème, problème, ff(M, (M, t) t) désigne désigne la la valeur valeur moyenne moyenne dans dans le le temps temps de de la la grandeur grandeur ff(M, (M, t). t). Dans La pulsation Ê sera toujours réelle, positive, non nulle. La pulsation Ê sera toujours réelle, positive, non nulle. !! "" À toute toute grandeur grandeur réelle réelle (M, t) t) = A(M ) cos Êt ≠ Ï(M ) , on pourra associer la grandeur complexe À ff(M, !! "" = A(M ) cos Êt ≠ Ï(M ) , on pourra associer la grandeur complexe (M, t) t) = = A(M A(M)) exp exp ii Êt Êt ≠ ≠ Ï(M Ï(M)) .. ff(M, Le nombre nombre imaginaire imaginaire ii est est tel tel que que ii22 = = ≠1. ≠1. Le La polarisation d’une onde électromagnétique fera référence référence au au champ champ électrique. électrique. La polarisation d’une onde électromagnétique fera Données utiles utiles Données Masse d’un d’un proton proton Masse Masse d’un d’un électron électron Masse ≠27 = 1,67 1,67 ◊ ◊ 10 10≠27 kg mpp = kg m ≠31 ≠31 mee = = 9,11 9,11 ◊ ◊ 10 10 kg m kg Perméabilité magnétique magnétique du du vide vide Perméabilité Célérité de de la la lumière lumière dans dans le le vide vide Célérité ≠7 ≠1 = 4fi10 4fi10≠7 H ·· m m≠1 µµ00 = H ≠1 = 3,00 3,00 ◊ ◊ 10 1088 m m ·· ss≠1 cc = Charge élémentaire élémentaire Charge Permittivité diélectrique du du vide vide Permittivité diélectrique Constante de de gravitation gravitation Constante Masse de la Terre Masse de la Terre ≠19 = 1,60 1,60 ◊ ◊ 10 10≠19 C ee = C ≠12 ≠1 ≠12 Á = 8,85 ◊ 10 F ·· m m≠1 Á00 = 8,85 ◊ 10 F Rayon de de la la Terre Terre Rayon Vitesse angulaire angulaire de de rotation rotation de de la la Terre Terre sur sur Vitesse elle-même dans dans le le référentiel référentiel géocentrique géocentrique elle-même Formulaire Formulaire ≠11 ≠2 G= = 6,67 6,67 ◊ ◊ 10 10≠11 N ·· m m22 ·· kg kg≠2 G N 24 MTT = = 5,97 5,97 ◊ ◊ 10 1024 kg M kg RTT = = 6378 6378 km km R ≠5 ≠1 ÊTT = = 7,29 7,29 ◊ ◊ 10 10≠5 rad ·· ss≠1 Ê rad 22 ≠≠ ≠æ æ 11 ≠ æ 11≠ ≠ æ ˛ 22 ≠ ≠ æ æ ˛ )) = ˛˛ )) ≠ ˛˛ rot rot( A = grad grad div( div(A A ≠ A A rot rot( A Gradient d’un d’un champ champ scalaire scalaire VV en en coordonnées coordonnées sphériques sphériques (r, ◊, ◊, Ï) Ï) Gradient (r, 2 ≠≠ ≠æ æ ˆV ˆV ˆV ≠ ˆV 11 ˆV 11 ˆV grad VV = = + + grad ˛u˛urr + ˛u˛u◊◊ + ˛u˛uÏ ˆr r ˆ◊ r sin ◊ ˆÏ Ï ˆr r ˆ◊ r sin ◊ ˆÏ c = 3,00 ◊ 108 m · s≠1 Célérité de la lumière dans le vide G = 6,67 ◊ 10≠11 N · m2 · kg≠2 Constante de gravitation MT = 5,97 ◊ 1024 kg Masse de la Terre Rayon de la Terre RT = 6378 km Vitesse de rotation de la Terre sur MP1&2angulaire 2016 - 2017 elle-même dans le référentiel géocentrique Formulaire ≠5 ≠1 ÊT = 7,29 ◊ 10(CCP rad -· se3a) DS n°6 : Électromagnétisme 2 ≠æ 1≠æ ˛ 2 ≠≠æ 1 ˛) ≠ rot rot(A ) = grad div(A ˛ A Gradient d’un champ scalaire V en coordonnées sphériques (r, ◊, Ï) ≠≠æ ˆV 1 ˆV 1 ˆV grad V = ˛ur + ˛u◊ + ˛uÏ ˆr r ˆ◊ r sin ◊ ˆÏ Les résultats numériques seront donnés avec un nombre de chiffres significatifs compatible avec celui utilisé pour les données de l’énoncé. III Propagation d’ondes électromagnétiques III.A – Ondes électromagnétiques dans le vide III.A.1) Rappeler les équations de Maxwell en présence de charges et de courants. Quelles sont les traductions globales, dites aussi formes intégrales, de ces lois locales ? ˛ III.A.2) Établir l’équation de propagation du champ E(M, t) dans le vide (en l’absence de charges et de courants). III.A.3) On considère une onde dont le champ électrique en notation complexe s’écrit : ˛ E(M, t) = E0 exp i(Êt ≠ kx) ˛ey où E œ Rú et k œ Rú+ . Page 1/6 Caractériser cette onde (donner 5 qualificatifs). III.A.4) À quelle condition sur k et Ê cette onde est-elle une solution de l’équation de propagation ? Comment appelle-t-on cette relation ? Le vide est-il un milieu dispersif (à justifier) ? ˛ III.A.5) Déterminer l’expression réelle du champ magnétique B(M, t). 0 + 3 avril 2012 10:50 III.A.6) Déterminer l’expression du vecteur de Poynting ˛ (M, t). Quelle est la signification physique du flux de ˛ à travers une surface S ouverte, arbitrairement orientée ? III.B – Ondes électromagnétiques dans un milieu conducteur III.B.1) En absence de densité volumique de charges, mais en présence de densité volumique de courants ˛ ˛ä (M, t), établir l’équation de propagation du champ E(M, t) en fonction de ˛ä (M, t). ˛ III.B.2) On considère une onde du type E(M, t) = E0 exp i(Êt ≠ kx) ˛ey où E0 œ Rú+ et k œ C. On pose, en ˛ notation complexe, la relation d’Ohm : ˛ä (M, t) = “ E(M, t) où “ est la conductivité électrique complexe du milieu, on suppose qu’elle ne dépend ni de l’espace ni du temps. ˛ Réécrire l’équation de propagation du champ E(M, t) en fonction de “. À quelle condition sur k et Ê cette onde est-elle une solution de l’équation de propagation ? On ne cherchera pas à résoudre cette équation. III.B.3) On pose k = k1 + i k2 , avec k1 et k2 réels. ˛ a) Écrire en notation réelle l’expression du champ électrique E(M, t). b) Par analogie avec le vide, dire ce que représente k1 , la partie réelle de k. Donner une interprétation du signe de k1 . Quel phénomène physique traduit k2 , la partie imaginaire de k ? Que dire si le produit k1 k2 est positif ? Que dire si le produit k1 k2 est négatif ? c) Définir par une phrase la vitesse de phase vÏ et donner l’expression de la vitesse de phase de cette onde en fonction des grandeurs précédemment définies. ˛ ˛ III.B.4) Démontrer une relation simple entre les vecteurs E(M, t), ˛k (vecteur d’onde complexe) et B(M, t). ~k (vecteur d’onde ~ III.B.4) Démontrer une relation simple entre les vecteurs E(M, t), complexe) ˛ Déterminer les expressions de la représentation complexe du champ magnétique B(M, t) et du champ réel ~ et t). Déterminer les E(M, expressions représentation du champ magnétique ˛ B(M, ˛ ˛ de la B(M, t). Que dire des champs t) et B(M, t) si k2 est non nul complexe ? ~ ~ B(M, t) et montrer que l’expression du champ réel B(M, t) s’écrit : III.B.5) Déterminer l’expression du vecteur de Poynting ˛ (M, t) puis l’expression de sa valeur moyenne + , ˛ (M, t) . Commenter. k k ~ B(M, t) = 1 E ek2 x cos(ωt − k x) ~e − 2 E ek2 x sin(ωt − k x) ~e 1 z 0 1 z ˛ 0(M, t) = E0i exp i(Êt III.B.6) Une onde incidente, ≠ k A x) ωE ω ˛ey où E0i œ Rú+ et kA = kA1 + i kA2 avec kA1 et i kA2 deux réels, se propageant dans le milieu (A) arrive en incidence normale sur une interface située en x = 0 et séparant le milieu (A) du milieu (B). 3 l’une réfléchie, E ˛ (M, t) = E exp i(Êt + k x) ˛ey , se Cette onde incidente donne naissance à deux ondes, r 0r A ˛ (M, t) = E exp i(Êt ≠ k x) ˛ey où k = kB1 + i kB2 avec propageant dans le milieu (A) et l’autre transmise, E t 0t B B ˛E(M, ˛ a) en l’expression champ a) Écrire Écrirecomplexe, ennotation notation réelle l’expression champ électrique t). ˛ notation laréelle relation d’Ohm : du ˛du ä (M, t) =électrique “ E(M, t)E(M, où “ t). est la conductivité électrique complexe du b) avec lelevide, ce , la partie réelle de b) Par Paranalogie analogie avec vide, dire ceque que représente , la partie réelle dek. k.Donner Donnerune uneinterprétation interprétationdu dusigne signe milieu, on suppose qu’elle nedire dépend ni représente de l’espacekk ni du temps. 11 de k . Quel phénomène physique traduit k , la partie imaginaire de k ? de k . Quel phénomène physique traduit k , la partie imaginaire de k ? ˛ 11 22 Réécrire l’équation de propagation du champ E(M, t) en fonction de “. Que dire si le produit k k est positif ? Que dire leleproduit Que dire si le produit k k est positif ? Que dire produitkkde estnégatif négatif 1 2 11kk2l’équation 1 2 2 est À quelle condition sur k et Ê cette onde est-ellesisi une solution de?? propagation ? On ne cherchera c) Définir par une phrase la vitesse de phase v et donner l’expression de la vitesse c) Définir par une phrase la vitesse de phase v et donner l’expression de la vitesse de de phase phase de de cette cette onde onde en en ÏÏ pas à résoudre cette équation. fonction des grandeurs précédemment définies. fonction des grandeurs précédemment définies. MP1&2 On 2016 - 2017 DS n°6 (CCP - e3a) : Électromagnétisme III.B.3) pose k = k1 + i k2 , avec k1 et k2 réels. ˛B(M, ˛E(M, ˛ ˛ III.B.4) t). III.B.4) Démontrer Démontrer une une relation relation simple simple entre entre les les vecteurs vecteurs E(M, t), ˛k˛k (vecteur (vecteur d’onde d’onde complexe) complexe) et et B(M, t). ˛ t), a) Écrire en notation réelle l’expression du champ électrique E(M, t). ˛ ˛ Déterminer les expressions de la représentation complexe du champ magnétique B(M, t) et du champ réel Déterminer les expressions de la représentation complexe du champ magnétique B(M, t) et du champ réel analogie avec le vide, que k1 , la partie réelle de k. Donner une interprétation du signe ˛b) ˛E(M, ˛B(M, ˛ Par ˛t) ce ˛ ~ dire ~etetreprésente B(M, t). Que dire des E(M, B(M, t)t)ksi2sikest non nul B(M, t). Que dire deschamps champs k22 est est non nul dire des champs E(M, ett)t) B(M, non nul ?de??k ? deQue k1 . Quel phénomène physique traduit k2 ,t)lasipartie imaginaire ˛ ˛ III.B.5) du III.B.5) l’expression du vecteur vecteur de de Poynting Poynting (M, (M,t)t) puis puis l’expression l’expression de de sa sa valeur valeur moyenne moyenne dire,,Déterminer siDéterminer le produit l’expression k +Que + 1 k2 est positif ? Que dire si le produit k1 k2 est négatif ? ˛˛(M, t) . Commenter. (M, t) . Commenter. c) Définir par une phrase la vitesse de phase vÏ et donner l’expression de la vitesse de phase de cette onde en ˛E ˛i (M, III.B.6) Une onde E ==EE0i0iexp III.B.6)des Unegrandeurs onde incidente, incidente, t)définies. expi(Êt i(Êt≠≠kkAAx) x)˛e˛eyy où où EE0i0i œœRRú+ú+ et et kkAA ==kkA1 +iikkA2 avec kkA1 et fonction précédemment A1+ A2 avec A1 et i (M,t) ˛ kIII.B.4) deux réels, se propageant dans le milieu (A) arrive en incidence normale sur une interface située en x = 00 kA2 deux réels, se propageant dans le milieu (A) arrive en incidence normale sur une interface située en x = ˛ ˛ A2 Démontrer une relation simple entre les vecteurs E(M, t), k (vecteur d’onde complexe) et B(M, t). et séparant le milieu (A) du milieu (B). et séparant le milieu (A) du milieu (B). ˛ Déterminer les expressions de la représentation complexe du champ magnétique B(M, t) et du champ réel ˛E ˛ ˛ ˛ ˛ Cette onde incidente donne naissance à deux ondes, l’une réfléchie, E (M, t) = E exp i(Êt Cette onde incidente donne naissance à deux ondes, l’une réfléchie, (M, t) = E exp i(Êt++kkAAx) x)˛e˛eyy, , se se rr 0r B(M, t). Que dire des champs E(M, t) et B(M, t) si k2 est non nul ? 0r ˛E ˛t (M, propageant dans le milieu (A) et l’autre transmise, E t) = E exp i(Êt ≠ k x) ˛ e où k = k + i k avec propageant dans le milieu (A) et l’autre transmise, (M, t) = E exp i(Êt ≠ k x) ˛ e où k = k + i k avec yy B1 B2 B1 B2 ˛ (M, 0t BB t 0t t) puis l’expression III.B.5) Déterminer l’expression du vecteur de Poynting deBBsa valeur moyenne , deux et k+kB1 etkkB2 deuxréels, réels,se sepropageant propageantdans danslelemilieu milieu(B). (B). B2 ˛B1(M, t) . Commenter. On On définit définit les les coefficients coefficients de de réflexion réflexion et et de de transmission transmission énergétiques énergétiques au au niveau niveau de de l’interface l’interface située située en en xx==00 ˛ (M, t) = E0i exp i(Êt ≠ k x) ˛ey où E0i œ Rú et k = kA1 + i kA2 avec kA1 et III.B.6) Une onde incidente, E + i A A par par ..ff arrive en incidence kA2 deux réels, se propageant danse. le milieu (A) e. ff une interface située en x = 0 e. e.normale..sur ..˛˛ .. ..˛˛ .. (O,t)t).. (O,t)t).. .. rr(O, .. tt(O, et séparant le milieu (A) du milieu (B). ..ff ..ff e. e. ˛ RR== e. et TT == e. et .. .. ..˛˛ à deux ..˛˛ E r (M, Cette onde incidente donne naissance (O,t)t).. ondes, l’une réfléchie, (O,t)t)..t) = E 0r exp i(Êt + k A x) ˛ey , se .. ii(O, .. ii(O, ˛ (M, t) = E exp i(Êt ≠ k x) ˛ey où k = kB1 + i kB2 avec propageant dans le milieu (A) et l’autre transmise, E t 0t B B et k deux réels, se propageant dans le milieu (B). k B1 B2 ˛ ˛ ˛ ˛ ˛ ˛ où où ii(O, (O,t), t), rr(O, (O,t)t)et et tt(O, (O,t)t)représentent représententrespectivement respectivementles lesvecteurs vecteursde dePoynting, Poynting,au auvoisinage voisinaged’un d’unpoint pointOO On définit lesdes coefficients de réflexion et deet transmission aumodule niveaudu devecteur l’interface ˛AÎ ˛A). ˛ désigne ˛ située en x = 0 de ondes réfléchie transmise AÎ A). del’interface, l’interface, des ondesincidente, incidente, réfléchie et transmise(Î (Îénergétiques désignelele module du vecteur par ˛E ˛r (M, a) a) Justifier Justifierl’écriture l’écrituredu duchamp champE t). .f .f e. t). e. r (M, .suivantes, . . ˛ relations . Pour répondre aux questions pourra s’aider des (O, t). on des . t (O, t). de passage du champ ren b) fonction b) Donner Donnerles lesexpressions expressionsde deRR et etde de.TT˛ en fonction desdonnées donnéesprécédentes. précédentes. .f e. e. ou les . f électromagnétique en x = R0,=rappelées ci-dessous densités superficielles de et dansTle=cas . . .˛ .˛ → − (O, t) (O, t) . . . . i i charge σ et de courant jS sont nulles : 33avril Page avril2012 201210:50 10:50 Page5/6 5/6 → − → − → − → − − où ˛ i (O, t), ˛ r (O, E t) (x et ˛=t (O, 0+ ,t)t)représentent = E (x = 0respectivement , t) et B (xles=vecteurs 0+ , t) =deBPoynting, (x = 0− ,au t) voisinage d’un point O ˛ ˛ de l’interface, des ondes incidente, réfléchie et transmise (ÎAÎ désigne le module du vecteur A). ˛ (M, t). a) Justifier l’écriture du champ E r b) Donner les expressions de R et de T en fonction des données précédentes. c) Que vaut la somme R + T ? Quelle est la signification de cette égalité ? Page 5/6 d) Que dire des coefficients R et T si kB1 = 0 ? Quelle en est la signification ? Ne pouviez-vous pas prévoir ce résultat dès les questions III.B.4 ou III.B.5 ? e) Connaissez-vous un exemple similaire en électrocinétique ? 3 avril 2012 10:50 III.C – Propagation des ondes électromagnétiques dans l’ionosphère L’ionosphère, couche de l’atmosphère située à plus de 60 km d’altitude, peut être considérée comme un plasma : c’est un milieu ionisé, caractérisé par une densité volumique d’électrons libres de charge ≠e, de masse me , égale à n1 = 1,00 ◊ 1011 m≠3 et une densité volumique de cations de charge +e, de masse mC , égale aussi à n1 , l’ensemble est donc globalement neutre. La valeur de n1 est supposée constante. ˛ On se propose d’étudier dans ce milieu la propagation d’ondes du type E(M, t) = E0 exp i(Êt ≠ kx) ˛ey où ú E0 œ R+ et k œ C. On pose à nouveau k = k1 + i k2 , avec k1 et k2 réels ; si k1 ”= 0, alors on choisira k1 > 0. Dans toute la suite, vous pourrez utiliser les résultats démontrés dans la partie III.B. Dans le plasma, les électrons et les ions sont soumis à la force de Lorentz due aux champs électrique et magnétique de l’onde. On négligera l’effet de la pesanteur et les interactions entre particules chargées, et on supposera que les particules sont non relativistes (i.e. leurs vitesses sont très petites devant c). III.C.1) En admettant que le rapport Ê/|k| est de l’ordre de c, montrer que les effets de la partie magnétique de la force de Lorentz sont négligeables devant les effets de la partie électrique de la force de Lorentz. III.C.2) En régime établi, et en supposant que l’amplitude des déplacements des charges reste petite devant la longueur d’onde, déterminer l’expression du vecteur vitesse ˛v e (dans le référentiel galiléen d’étude) d’un électron, ˛ positionné en M à l’instant t, en fonction de me , e, Ê et E(M, t). Donner l’expression du vecteur vitesse ˛v i d’un cation. En déduire l’expression de la conductivité complexe du plasma “. À la vue des valeurs numériques, n1 e2 . montrer que “ = ≠i me Ê III.C.3) Calculer la puissance volumique moyenne fournie par le champ électromagnétique aux électrons libres. Commenter. III.C.4) Établir l’expression de k 2 dans le plasma. Mettre en évidence une pulsation caractéristique dite pulsa4 valeur numérique pour l’ionosphère. Calculer la longueur tion plasma Êp ; donner son expression et calculer sa d’onde dans le vide ⁄p associée. À quel domaine du spectre électromagnétique appartient cette longueur d’onde ? III.C.1) En admettant que le rapport Ê/|k| est de l’ordre de c, montrer que les effets de la partie magnétique de la force de Lorentz sont négligeables devant les effets de la partie électrique de la force de Lorentz. III.C.2) En régime établi, et en supposant que l’amplitude des déplacements des charges reste petite devant la longueur d’onde, déterminer l’expression du vecteur vitesse ˛v e (dans le référentiel galiléen d’étude) d’un électron, ˛ positionné en M à l’instant t, en fonction de me , e, Ê et E(M, t). Donner l’expression du vecteur vitesse ˛v i d’un En -déduire du (CCP plasma- “. À la: vue des valeurs numériques, MPcation. 2017 l’expression de la conductivité complexe DS n°6 e3a) Électromagnétisme 1&2 2016 n1 e2 . montrer que “ = ≠i me Ê III.C.3) Calculer la puissance volumique moyenne fournie par le champ électromagnétique aux électrons libres. Commenter. III.C.4) Établir l’expression de k 2 dans le plasma. Mettre en évidence une pulsation caractéristique dite pulsation plasma Êp ; donner son expression et calculer sa valeur numérique pour l’ionosphère. Calculer la longueur d’onde dans le vide ⁄p associée. À quel domaine du spectre électromagnétique appartient cette longueur d’onde ? III.C.5) On se place dans le cas Ê < Êp . a) Donner l’expression de k en fonction de Êp , Ê et c (on prendra k2 négatif). ˛ ˛ b) Donner les expressions des champs réels E(M, t) et B(M, t). Caractériser l’onde obtenue. + , c) Donner l’expression de ˛ (M, t) dans le plasma. III.C.6) On se place dans le cas Ê > Êp . a) Donner l’expression de k en fonction de Êp , Ê et c. Commenter. ˛ ˛ b) Donner les expressions de E(M, t) et B(M, t). Caractériser l’onde obtenue (donner 5 qualificatifs). + , c) Donner l’expression de ˛ (M, t) . d) Déterminer l’expression de la vitesse de phase vÏ (Ê) de cette onde en fonction de Êp , Ê et c. Le milieu est-il dispersif (justifier la réponse) ? e) Calculer la vitesse de groupe vg (Ê) en fonction de Êp , Ê et c. Donner la signification physique de cette vitesse. f) Comparer vÏ (Ê) et vg (Ê) à c. Que penser du fait que vÏ (Ê) puisse être supérieure à c ? III.C.7) Le choix de la fréquence des ondes radars émises par Jason 2 (f = 13,6 GHz) vous semble-t-il correct ? • • • FIN • • • 3 avril 2012 10:50 Page 6/6 5