MATHEMATISCHE ANNALEN BEGRÜNDET 1868 DURCR ALFRED CLEBSCH UN D CARL NEUMANN FORTGEFÜRRT DURCR FELIX KLEIN DAVID HILBERT OTTO BLUMENTHAL ERICH HECKE GEGENWÀRTIG RERAUSGEGEBEN VON HEINRICH BEHNKE MüNSTER (WESTF.) RICHARD COURANT NEW YORK HEINZ HOPF ZÜRICH GOTTFRIED KOTHE HEIDELBERG KURT REIDEMEISTER GlJTTINGEN BARTEL L. VAN DEIt WAEItDEN ZÜRIOH 136. BAND SPR INGER.VERLAG BERLIN · GOTTINGEN· H EIDELBERG 1958 SEBASTIAO E SILVA, J. Math. Annalen, Bd. 136, S. 58-96 (1958) Les fonctions analytiques comme ultra-distributions dans le calcul opérationnel Par J. SEBASTIÀO A Monsieur E HEINRICH BEHNKE, SU,VA à Lisbonne à l'occasion de son 60me anniversaire Introduction Dans notre article «Le calcul opérationnel au point de vue des distributions» (voir Bibliographie, [11] et [12]) nous avons étudié d'abord l'espace - que nous désignons maintenant par Qi~ - des fonctions <p(z) holomorphes à croissance lente sur des demi-plans ~z > k, k = 0,1, ... , ces fonctions étant les images de LAPLACE des distributions nulles à gauche de l'origine et de type exponentiel à droite; ensuite, pour donner un sens à des «fonctions del'opérateurD» telles que exp iD, sen VD, etc. (voir ici nO. 28), nous avons considéré, plus généralement, l'espace - que nous notons maintenant 8 des fonctions holomorphes de type exponentiel sur des demi-plans ~z > k . Or, pour prolonger à 8 la transformation inverse de LAPLACE, ~-1, il faut sortir du cadre des distributions, en ajoutant de nouveaux êtres à l'espace de distributions considéré, A + oo , image de Qi~ par ~-1 - et il nous a semblé naturel d'appeler «ultra-distributions» ces entités, ainsi que les distributions elles-mêmes (pour commodité de langage). Une telle extension de A+ oo pourrait s'obtenir immédiatement, en considérant le complété de A+ oo pour la topologie image, par ~-1, de la topologie induite dans Qi~ par 8 (Qi~ étant dense dans 8). Mais c'était là une solution triviale, qui nous sembla peu maniable et dépourvue d'intérêt. Notre but était de représenter les ultradistributions par des fonctions analytiques, de manière à pouvoir traduire la somme, le produit par polynômes, la dérivation et les translations, par ces opérations appliquées aux fonctions analytiques elles-mêmes de la façon usuelle. D'ailleurs, certains espaces, que l'on pouvait dire aussi de «ultradistributions», av~ient déjà été considérés. D'une part, M. KOTHE, dans [5J, avait introduit les «Randverteilungen» (c.a.d. «ultra-distributions de frontière») des fonctions f(z) holomorphes dans le complémentaire d'une courbe (t analytique, simple et fermée, identifiant ensuite une partie de ces Randverteilungen aux distributions sur (t au sens de SCHWARTZ. Cette conception a été généralisée par M. TILLMANN, dans [14J, au cas de produits (dans en) de lignes analytiques simples, ouvertes ou fermées. D'autre part M. EHRENPREIS, dans le but de prolonger à tout l'espace ~' des distributions, la transformation 5' de FOURIER, définie par M. SCHWARTZ Ultra-distributions dans le calcul opérationnel comme un automorphisme tempérées ou «à croissance image de~' par 5', comme le tions entières à décroissance les verticalesl ) : 59 topologique de l'espace e' (des distributions polynômiale»), a considéré, dans (2], l'espace dual topologique de l'espace D =5'(~) des foncrapide sur l'axe réel et de type exponentiel sur 5' (~') = (5' (~»' = D' . Pour atteindre notre but initial, nous avons dû adopter un point de vue mixte, qui tient à la fois de celui de M. KOTHE et de celui de M. EHRENPREIS, tout en divergeant de l'un et de l'autre: seul l'espace des ultra-distributions que nous appelons ici «tempérées» est identifiable à un sous-espace de D', et il n'est pas contenu (ni ne le contient, à ce que nous pensons) l'espace des Randverteilungen de KOTHE-TILLMANN sur l'axe réel. (Nous nous bornons ici au cas d'une seule variable, mais l'extension au cas de n variables, que nous nous proposons d'exposer dans un prochain travail, n'offre pas de difficultés sérieuses). Au lieu de prolonger 5' à l'espace ~' de toutes les distributions sur R (ce dont nous n'avions pas besoin), nous avons pris pour point de départ un espace compris entre e' et ~' - celui des distributions de «type exponentiel à droite et à gauche» que nous désignons ici par Aoo (voir nO. 8) - et nous avons envisagé une extension, U, dee',de façon à prolonger5' en un isomorphisme topologique de Aoo sur U. Ce sont les éléments de U que nous appelons «ultradistributions tempérées» . Pour réaliser U, on pourrait tout simplement utiliser la construction de M. EHRENPREIS, en considérant U comme le sous-espace de D' qui est l'image de Aoo par 5'. On pourrait aussi employer la méthode de complétion topologique, indiquée plus haut, qui servirait d'ailleurs, également, pour construire 5' (~'). Mais, comme nous l'avons déjà dit, notre but était d'obtenir une représentation concrète des ultra-distributions au moyen de fonctions analytiques, ce qui, outre les avantages indiqués, permettrait d'introduire un critère convenable de localisation (no. 20) et d'étudier commodément les opérateurs linéaires continus définis dans U, au moyen d'une intégration complexe, voisine de la notion usuelle d'intégrale (nos. 13-19). Or la façon la plus directe, et presque immédiate, de parvenir à cette réalisation fonctionnclle de U, est celle que nous avons adopté ici (no. 8): Chaque TE Aoo admet la décomposition T = T +- T-, où T+ (resp. T-) est une distribution de Aoo nulle à gauche (resp. à droite) de l'origine, ces distributions T+ et T- étant déterminées à une même combinaison linéaire près de dérivées de b. Or, si l'on adopte la formule +00 5'T+= f e" u Ti; du, - 00 + i Y et où l'intégrale par rapport à T+ est définie par prolongement continu, la transformation 5', appliquée aux distributions T+ (EA+ oo ), s'identifie à la transformation de LAPLACE suivie du où z est la variable complexe x ') Pour commodité de notation nous désignons toujours par ff les divers prolonge. ments de la transformation de FOURIER et par ~ ceux de la transformation de LAl'LACE. 60 J. SEBASTIAO E SILVA: changement de variable z ->- - i z. Donc 5' T + (resp. 5' T - ) est représentée par une fonction rp+ (resp. rp- ) holomorphe à croissance lente dans un demi plan 5z >k (resp. 5 z < - k). Alors 5' T se «réalise» par le couple (rp+, rp- ) de telles fonctions, i.e. par une fonction rp{z) holomorphe à croissance lente dans l'ouvert 15 zl > k, cette fonction étant déterminée à un polynôme près (image d 'une combinaison linéaire de dérivées de ~). Il est alors naturel de poser 5' T = rp+ - qr (convention analogue à celle des vecteurs comme différences de points); d'ail+ 00 leurs, cette diffërence reprend le sens usuel, lorsque les intégrales f eizu T~ du, 0 o . f eiz t T;; du sont convergentes pour tout z E R, l'intégrale de FOURIER -00 jouant ici un rôle tout à fait analogue à celui de la série de LAURENT pour les Randverteilungen de KOTHE (voir encore th. 10. 1.). Dans cette interprétation fonctionnelle de l'espace U, il est essentiel de préciser quelles sont les fonctions rp qui représentent les distributions tempérées: ce sont les fonctions holomorphes en dehors de l'axe réel, à croissance lente vers cet axe et vers l' 00 (th. 12. 1.). Le passage de la «représentation réelle» à la «représentation complexe» s'effectue par la transformation de STIELTJES généralisée et légèrement modifiée (nO_19), la distribution ~ donnant lieu à la fonction -1 /(2 n i. z) et la «formule intégrale de DIRAC» étant remplacée par la «formule intégrale de CAUCHY». Voilà donc les racines profondes de l'analogie frappante, que nous avions déjà signalée dans [11 J, entre ces deux formules . Dans le nO. 21, on étudie les ultra-distributions (tempérées) à support compact. Considérées comme opérateurs de convolution, elles s'identifient à certains opérateurs différentiels d'ordre fini ou infini (ces derniers n'ayant pas de sens en théorie des distributions). Ensuite, on étudie la transformation de LAPLACE pour les ultra-distributions tempérées de support limité à gauche (th. 23. 1). Leurs images par ~ forment un sous-espace de 8. Pour interpréter ~ -l (8) on est amené naturellement à élargir U: on obtient alors l'espace 'D des ultra-distributions de type exponentiel sur R - contenant à la fois U et Aoo (ce dernier n 'est plus contenu dans l'espace D' de EHRENPREIS). L'image de 8 par ~-1 est donc l'espace 'D t des distributions de type exponentiel sur R et de support limité à gauche (th. 26.1): voilà donc atteint notre but initial. Le calcul opérationnel général établi dans [Il J et [12J pour Ql~ et Qt~ s'étend maintenant à 8 (no. 27). En particulier, l'opérateur ehD , avec h complexe quelconque, est bien la translation Th' qui n'a de sens pour les distributions que si h estréel; et certains développements en série, défendus en théorie des distributions, deviennent maintenant utilisables. Au nO _28 on donne une première esquisse d'application de ces méthodes. Enfin, la transformation de FOURIER se prolonge en un automorphisme vectoriel-topologique de'D : ainsi la belle symétrie créée par M. SCHWARTZ avec son espace €l'est rétablie dans Q3, par une sorte de synthèse FOURIER-LAPLACE 2). S) Tandis que li s'identifie au dual de l'espace des fonctions entières à décroissance rapide sur R, 'iD peut s'interpréter comme le dual de l'espace des fonctions entières 8. décroissance Bous-exponentielle sur R, qui cohtcide avec son image de FOURIER. Ultra-distributions dans le calcul opérationnel 61 Tableau des principales notations employées espace des fonctions holomorphes à croissance lente sur un ensemble fermé F . 1. Espaces (01 ): - espaces de SCHWARTZ métrisables complets; appelés espaces (rm*) dans [10]. 1. Espaces (0 2 ): -duals forts des espaces (01) ; appelés espaces (~m*) dans [10). 3. ~\} (CD): espace des fonctions holomorphes à décroissance presque rapide dans tout ensemble CD k (complémentaire de D k ). No. 1. Qiw (F) : 5. Ql~ (resp. Qi;;;): - espace des fonctions holomorphes à croissance lente sur des demi-plans droits (resp. gauches). 6. A+ (resp. A _(0): - espace des distributions du type exponentiel, nulles à gauche (resp. droite) de l'origine. 6, etc. ~: - transformation de LAPLACE. 8. Q(~+ (resp. Q(~-): - image de Qi~ (resp. Qi;;;) par le changement de variable 00 z-'>- - iz . 8. Qiw=' Qi~ X QI;;;, Qi~= Qi:'; X Qi~- . 8. II: - espace des polynômes en z. 8. U = QiUlI, espace des ultra-distributions tempérées. 8. x: - application canonique de Qi~ dans li (interprétation analogue pour d'autres espaces). 8. Aoo : - espace des distributions du type exponentiel sur R. 8, etc. 'J: - transformation de FOURIER. Il. U,: - espace des ultra-distributions tempérées de frontière. 15. rmu: - espace des opérateurs de multiplication dans U. 17. <ru: - espace des opérateurs de convolution dans li. 21. llc: - espace des ultra-distributions tempérées à support compact. 22. U+: - espace des ultra-distributions tempérées de support limité à gauche. 2:l. 80: - image de LAPLACE de U+. 24. 8: -limite inductive des espaces Tk 80' k = 0, 1,2, ... 25. Œw: - espace des fonctions holomorphes dans des ensembles l\Jzl > k, à croissance lente sur les verticales et du type exponentiel sur les horizontales. 25. m: - espace des fonctions entières du type exponentiel sur les horizontales et à croissance lente sur les verticales. 25. en = ŒJJ7., espace des ultra-distributions du type exponentiel sur R.. 25. en,: - espace des ultra-distributions rp E en de frontière. 26. en+: - espace des ultra-distributions du type exponentiel sur R. et de support limité à gauche, image de 3 par ~-1. Tou8 le8 e8pace8 vectoriels ici considérés 8eront des e8paces vectoriels sur le Corps complexe. 62 J. SEBASTIAO E SILVA: 1. L'espace QI",(F) des fonctions holomorphes à croissance lente sur un ensemble fermé 3) Soit F un vrai sous-ensemble, fermé et non vide, du plan C de la variable complexe . Pour tout k = 1, 2, . .. nous désignerons par Fk l'ensemble des points de C dont la distance à F est ~ I Jk et par Fk sa frontière . Cela étant, nous désignerons par QIk{F) l'espace des fonctions complexes, <p(z), définies et continues sur F /c' holomorphes à l'intérieur de F k et telles que le quotient de <p(z) par (1 + Izi)" soit borné sur F k ; nous considérons QIk(F) muni des notions de somme et de produit par scalaires et d'une topologie, <:tic' au moyen de la norme suivante Il <p Il k = :~R Itp(z) 1 (1 Izl)k + On voit aussitôt que l'application <p(z) -')- (1 + Izi}-k <p(z) est alors un isomorphisme bicontinu de 2l k (F) sur un sous-espace fermé de l'espace (de BANACH) des fonctions continues bornées sur Fk' D'autre part, si, pour tout k, on identifie chaque fonction <p E 2lk (F) à la fonction cp E 2l k +1 (F) qui est la restriction de <p à Fk +l' on voit, à peu près comme dans [Il], p . 109, que: Pour tout k, l'application canonique de 2l k (F) dans QIk +1(P) est totalement continue [c.a.d. transforme toute partie bornée de 2l k (F) en une partie relativement compacte de 2l k +1 (F)]. Il s'ensuit que la limite inductive de la suite d'espaces normés Q(k (F) est un espace (~ <R*), d'après les définitions que nous avons introduites dans [10). Désormais nous appellerons «espaces du type (61)>> les espaces de SCHWARTZ métrisables complets, d'après GROTHENDIECK [3], et «espaces du type (6 2 )>> leurs duals torts, qui coïncident avec nos espaces (~ <R*)4). Nous désignerons par QI",(F) la limite inductive des espaces 2l k (F) et par <:tw la topologie de QI",(F). Puisque chaque élément de 2l(JJ(F) se représente par une fonction <p(z) appartenant à l'un des espaces 2l k (F), nous apellerons encore fonctions les éléments de Q(w (F), qui, en réalité, ne sont que des classes d'équivalence de fonctions. 2. Les espaces QI", (D) Par la suite nous nous limiterons au cas où F est l'intersection ou la réunion de deux demi-plans fermés à frontières parallèles; dans ce cas, nous désigneronsl' ensembleF par D. En particulier, D peut être un demi-plan; alors, pour tout k, Die est un demi-plan contenant D, et sa frontière, Die, est une droite située à la distance IJk de D. II se peut encore que D soit une bande ou une droite; alors Dk est la bande fermée determinée par les deux droites (dont la réunion est D k ) situées à la distance I jk de D. Enfin, D peut être le complémentaire d'une bande ouverte; alors les Dk sont des ensembles de même type ou le plan C. 3) Le lecteur qui connaisse déjà nos travaux [11] et [12] peut se borner ici à une lecture rapide des nOS. 1-7. 4) Les espaces (01) sont les mêmes que nous appelons «espaces (~1*)) dans [10]. 63 Ultra-distributions dans le calcul opérationnel Cela étant, pour tout k = l, 2, ... , nous désignerons par Qlt (D) l'ensemble des éléments de ~lk (D) tels que (1 + Izl) rp (z) soit une fonction de z bornée 00 sur Dk et nous poserons Ql~ (D) = U Qli (D). On démontre comme dans [11), o p. Ill, que: Proposition 2.1. L'ensemble Ql! (D) est dense dans Ql", (D). D'autre part, si l'on considère la frontière de Dk orientée de jw;on à laisser à gauche les points de D, on voit aussitôt que rp (z) = 1 2n i f q:>().) Â_ z d Â, J\ pour tout z E D k +1 et toute rp E Ql! (D). Nous désignerons par \) l'application  -'>- (À c'est-à-dire, nous poserons 1 \)(Â)= À -z ' Z) - l de CD dans Qlw (D), pour tout À E CD, où le signe ~ sert à indiquer que z est une variable muette. On démontre, à peu près comme dans [Il), p.1l2-113, les deux propositions suivantes: Proposition 2.2. La fonction vectorielle \) (Â) est holomorphe dans CD, par rapport à crw ' Proposition 2.3. La fonction À\) (Â) de À est bornée sur CD k , par rapport à cr"" pour k = 1,2, ... Pour démontrer la prop. 2.3 il est commode de se ramener au cas où D ne contient pas l'origine et sa frontière est verticale, au moyen d'un déplacement Z -+ a z+ (3 (avec lai = 1), qui détermine, évidemment, une application linéaire continue rp(z)-+ rp[oc- 1 (z - (3)] de Ql",(D) sur Qlw(ocD + (3). Maintenant, il est aisé de voir que l'on a, pour tout k et toute rp e~{t (D), la formule de représentation rp = 2~ if\) (Â) rp(À) dÀ , par rapport à cr", , A que l'on peut étendre à tout élément rp de QldD), avec k arbitraire, en posant, par définition: 3. Applications linéaires continues de Qlw(D) dans un espace localement convexe Soit encore D un ensemble du type indiqué au nO. 2 et soit E un espace localement convexe, complet pour les suites. Définition 3.1. Nous dirons qu'une fonction f(Â) à valeurs dans E, définie dans CD, est à décroissance presque rapide dans CD, si, pour tout k, il existe k J. 64 SEllASTIÀO E SILVA; éléments al' ... , ak de E et une partie bornée Lk de E, tels que f(l\) ET + , SI Sk L~ ... + 1k + Âk+l pour tout ' " 1\ E CD, 1\ =l= 0 . On voit aussitôt que, si cette condition est vérifiée, les éléments al' ... , a k sont déterminés par la seule donnée de f(À), indépendamment de k, par récurrence: = lim [ f(Â)] l° aI ).--H'" aj+l=}~[Âi+I(f(Â) - f~;)J sur CD Ces éléments al' ... , a k , ... de E seront dits les coefficients asymptotiques de f(Â). Si a k = pour tout k, nous dirons que f(Â) est à décroissance rapide dans CD; cela équivaut à dire, évidemment, que la fonction )Jf(À) de À est bornée sur CD, quel que soit j = 1, 2, ... Compte tenu de la prop. 2.3 et de la formule pour z =l= À =l= 0, on voit que Proposition 3.1. La fonction l)(Â) = (À-Z)--l, définie dans CD et à valeurs dans QIw(D), est une fonction à décroissance presque rapide sur CD k , quel que soit k = 1,2, ... On peut maintenant établir le théorème suivant, en raisonnant comme dans [Il] et [12]: Théorème 3.1. Il existe une correspondance biunivoque F ---. f entre les applications linéaires continues F de QIw(D) dans E et les fonctions f(À) de la variable complexe Â, à valeurs dans E, qui sont holomorphes dans CD et à décroissance presque rapide sur tout CD k . Cette correspondance est définie par les formules pour ÀE CD f(À) = F [Â~z]' F(cp) = 2~i f f(À) cp(À) dÀ, pour cp EQIw (D) , D. où k est tel que cp EQIk (D) et où l'intégrale est définie par rapport à la topologie <!w de Qtw (D), d'après la convention: J Dk f(Â) cp(À) dÀ = lim J f(À)C(À) dÀ, avec CEQIt(D), C-><p Dk en considérant la frontière 1\ orientée de façon à laisser à gauche les points de D. (Pour la démonstration, il sera encore commode de se ramener au cas où D ne contient pas l'origine). La fonction f(Â) =F [l)(Â)] est nommée l'indicatrice de F. En particulier on voit ainsi que: L'espace dual, QI;" (D), de QIw (D) est isomorphe (algébriquement) à l'espace des fonctions complexes !(À), holomorphes et à décroissance presque rapide dans les ensembles CD k ; nous désignerons par .fJw(CD) cet espace. 65 Ultra-distributions dans le calcul opérationnel On peut rendre bicontinu l'isomorphisme entre Q{~ (D) et .f>w (CD) par rapport à la topologie forte de Q{' (D), en munissant .f>w (C D) d'une topologie convenable, définie au moyen des coefficients asymptotiques des fonctions appartenant à cet espace. Alors on peut identifier Q{~ (D) à .f>w (C D). Il faut remarquer que, du th . 3.1., on déduit les propositions suivantes: Corollaire 1. Si f(Â) est holomorphe dans CD et à décroissance presque rapide sur tout CD k , les coefficients asymptotiques de f(Â) sont les mêmes pour tout k. Corollaire 2. Si f (Â) est l'indicatrice d'une application linéaire continue de Q{w (D) dans E, alors f' (Â) est encore l'indicatrice d'une telle application. Corollaire 3. Si f (Â) est l'indicatrice d'une application linéaire continue de ~w (D) dans E, alors pour tout Ao E C et tout k, il existe k éléments Cl' . . . , c" de E et un borné Lk de E, tels que A f, f( ) E .1-.10 + ... + C. (À _ ÀO ;k + L. (À - Ào)k+! ' pour AE CD k . Pour s'en convaincre, il suffit de remarquer que 1) (Â) possède les mêmes propriétés. 4. Décomposition canonique de Q{w (D) dans le cas où D est une droite Supposons maintenant que D est une droite. Alors le complémentaire de D est la réunion de deux demi-plans ouverts, que nous désignerons par Dl et D2. Nous avons vu que le dual de Q{w (D) est constitué par les fonctions f(Â) holomorphes et à décroissance presque rapide sur tout CD k • Si l'on désigne par fI et f2 les restrictions de f à Dl et D2 respectivement, il est évident que fI (resp. f2) est une fonction holomorphe dans Dl (resp. D2) et à décroissance presque rapide sur le complémentaire de tout Dr, (resp. Dl); et que, en outre, ces deux fonctions fI et f2 ont la même suite de coefficients asymptotiques. La réciproque est aussi évidente: tout couple (fI' f2) de fonctions holomorphes dans Dl et D2, respectivement, vérifiant ces conditions, définit une fonction holomorphe à décroissance presque rapide dans le complémentaire de tout Dk' Il s'ensuit que: -l'espace Q{~(D) est isomorphe (algébriquement) au sous-espace de .f>",(Dl) X X .f>w (D2) formé par les couples (fI' f 2) çle fonctions ayant la mime suite de coefficients asymptotiques dans Dl et D2. Il est aisé de voir, d 'ailleurs, que cet isomorphisme est topologique. Et, comme Q{w(D) est réflexif 5), ainsi que Q{w{Dl) et Q{w{D2), il en résulte que QIw (D) est isomorphe au quotient de QIw (Dl) X Q{w (1)2) par le sous-espace de ce produit orthogonal à Q{;"(D). Pour préciser ce résulat, considérons une fonctionnelle linéaire continue (/J, quelconque, sur .f>w (CD) ~ Q!~ (D). Il existe alors un entier k et deux fonctions a) Puisqu'il s'agit d'espaces du type (es) (voir nO. l et [10]). Math. Ann. 136 5 66 J. SEBASTIAO E SILVA: <Pl E~k(Dl),<P2E ~dD2), tels que f f/J(f)= <Pl(Â)12(Â)d + h~ pour toute fonction On aura donc t= f <P2(Â)/l(Â)dÂ, h~ (fI' 12) E ~w(Dl) X f 2~i f/J(f)= [<Pl (1-) ~w(D2). + <pz(À)]f(Â)dÂ, hk ce qui montre que <P = <Pl + <Pz est la fonction indicatrice de f/J. Pour essayer de déterminer <Pl' supposons, pour fixer les idées, que Dl ne contient pas l'origine (dans le cas général, on peut remplacer l'origine par un point quelconque, en tenant compte du corollaire 3 du th. 3.1). Alors, si l'on rappelle que 1 1 l-z z T +y. + ... + = Zk lk+ 1 Zk lk t l(Z-l) , + pour  =!= z, on voit aisément que, pour tout z E Dl: 1 <pd z ) = 2:n:i f Zk cp,(l) lk+l(z-l) dÂ, hl tandis que, pour les mêmes valeurs de z: f _ 1_ 2:n:i ., zkcp.(l) lk +l(Z-l) 1 _ ~ ~ (rl dl\--r7: rI <P2 (0) . o Dk Et, comme <P = <Pl + <P2' on aura donc, pour z E Dl: (4.1) _ <Pl(Z) - 1 2:n:i f ., Zk cp(l) lk+l(Z-l) d k z' (rl + /~'o rT <P2 (0), Dk ce qui permet de déterminer fj!2 (et par suite <Pl)' à partir de <P, à moins d'un polyn6me. Alors, si l'on pose <P+ = <Pl' <P- = - <P2' on conclut: Théorème 4.1. Tout élément <P de ~w(D) est de la forme <P = <P+- <p-, avec <p+E ~w(Dl), <p-E ~w(D2), où <P+ et <P- sont déterminées à un même polyn6me arbitraire près. On verra par la suite l'avantage de mettre <P sous la forme d'une différence, plutôt que sous la forme d'une somme. 5. Les espaces ~~, ~;;; et ~w Pour tout nombre réel ex, nous désignerons par V«la droite verticale 9t z = ex, par V~ [resp. Va] le demi-plan 9tz ~ ex [resp. 9tz ~ ex] et par ~~ [resp. ~a] l'espace de BANACH des fonctions <p(z) holomorphes à l'intérieur de Vt (resp. V;;) et telles que le quotient de <p(z) par (1 + Iz/) I«I se prolonge comme fonction continue bornée à Vt (resp. V;). La limite inductive des espaces normés ~t pour ex> 0 est l'espace des fonctions holomorphes à croi88ance lente 8ur de8 demi-plans droit8, que nous Ultra-distributions dans le calcul opérationnel 67 avons étudié dans [11] sous la notation Qiw et que nous désignerons maintenant par Qi~ . Il est aisé de voir que Qi! est aussi la limite inductive des espaces localement convexes Qiw (V~). D'autre part, nous désignerons par Qi;;; l'espace image de Qi~ par la symétrie z --+ - z et nous noterons Qiw l'espace Qi~ X Qi;;;. On peut encore considérer, plus généralement, les espaces images de Qi~ et Qi;;; par des rotations quelconques_ Il va sans dire que le th. 3.1 et ses conséquences s'étendent, d'une façon naturelle, à ces nouveaux espaces. D'ailleurs, le th. 1 établi dans [11] et [12] n'en est qu'un cas particulier. 6. La transformation unilatérale de LAPLACE D'après ce que nous avons vu dans [11], la formule IX (6.1 ) 1 ~q; = 2ni + coi J- etAq;(Â.)dÂ., ooi· Ct. - pour q; EQi~, IX ER+, définit une application linéaire continue ~ de Qi~ dans l'espace <r; des distributions de support limité à gauche . L'image de Qi~ par ~ est préci..3ément l'espace que nous avons représenté dans [11] par tYw et que nous désignerons maintenant par Â+ oo , constitué par les distributions (/J du type qJ = Df[ektF(t)] , où k = 0,1,2, ... et F est une fonction continue bornée sur R, nulle pour t <: 0; cet espace étant muni de la topologie de la limite inductive de ses sousespaces normés par IlqJllk= sup IF(t)l. Nous savons, en outre, que ~ est une tER application biunivoque de Qi;',; sur Â+ oo et que son inverse est la transformation LAPLACE (encore continue) donnée par +00 (6.2) J e- z tqJt dt . ~ qJ = - 00 Évidemment, la restriction de ~ à chaque espace Qiw(vt) est encore continue et l'image de cet espace par ~ est formée par les distributions qJ du type qJ = D~ (ePtF(t)) avec f3 < IX, k = 0, 1,2, ... et F fonction continue bornée, nulle pour t < O. Observons enfin que la formule (6.1), pour q; E Qiœ- et IX parcourant R-, définit une application linéaire bicontinue ~ de Qi;;; sur l'espace image de Â+ 00 par la symétrie t -+ - t, espace que nous désignerons par A-ex)' L'inverse de cette application est encore la transformation de LAPLACE (relative à ce dernier espace), donnée par (6.2). 7. La transformation bilatérale de LAPLACE Nous désignerons par <rb l'espace des fonctions continues bornées sur R avec sa norme usuelle: 11/11 = sup I/(tH ; tER 68 J. SEBASTIÂO E SILVA: et par Ao l'espace des distributions T de la forme T = Dde- {- F(tl], où k = 1 ,2, ... etF E<r b , muni de la topologie de la limite inductive des espaces images de l'espace normé <rb par ces applications F -+ T. Plus généralement, nous désignerons par A"" pour tout IX E R, l'image de Ao par la transformation T -+ e'" t T. Et nous noterons A~ (resp. A;) le sous-espace de A", constitué par les distributions T EAoc qui sont nulles à gauche (resp. à droite) de l'origine. On voit aussitôt que Proposition 7.1. Tout élément T de Aoc peut se mettre so'us la forme T = T +T-, avec T +E A~, T- E A;, où T + et T - sont déterminées à une même combinaison linéaire arbitraire de dérivées de <5 près. Alors, si l'on pose +00 ~T = J e-zuTudu, on voit aisément, à l'aide de la prop. 7.1 et du th. 4.1, que cette formule définit une application linéaire continue ~ de Aoc sur Q{w (V oc), telle que ~ (D T) = Z(~T) et ~ <5 = l, et que, pour cette raison, nous nommerons encore transformation (bilatérale) de LAPLACE. 8. L'espace des ultra-distributions tempérées L'espace des distributions tempérées, ou à croissance lente, a été défini par M. SCHWARTZ comme le dual fort, ES', de l'espace ES des fonctions indéfiniment dérivables à décroissance rapide . Il peut être défini directement comme l'espace des distributions T de la forme T = D~ (1 + X2)kf(x) , k = 0,1,2, . .. où f E (fb (fonction continue bornée sur R), avec la topologie de la limite inductive des espaces images de l'espace normé <rb par ces applications f -+ T (cf. [9], Notes Finales, VI). Considérons la transformation de FOURIER ff : ES' -+ ES', sous la forme (8.1) ffT=JeiXVT"dy. R Son inverse ff-1: ES' -+ ES' est alors donnée par Il .. ff- 1S = 2n e- '''' 11 S", dx. Si l'on remplace dans (8.1.) la variable réelle x par la variable complexe + i y, la restriction de ff à Ao C ES' s'identifie à la transformation de LAPLACE ~, suivie du changement de variable z -+ - i z. Il en résulte (cf. nO. 7) que chaque élément q; de Q(w (R) admet une représentation (unique) du type z= x +00 q;= J - 00 eih T lI dy, T étant l'image de q;(iz) par n = ~-l. avec TE Ao, Cette intégrale joue, par rapport aux Ultra-distributions dans le calcul opérationnel 69 fonctions f(J E2!w (R), un rôle tout à fait analogue à celui des séries de LAURENT pour les fonctions holomorphes sur le cercle, considérées par M. KOTHE dans sa théorie des «Randverteilungen» [4). Désignons par R+ (resp. R_) le demiplan supérieur 5z ~ 0 (resp. inférieur 5z ~ 0). D'après le th. 4.1, la fonction cp ci-haut considérée peut se mettre sous la forme où cp+, f(J- sont déterminées à un même polynôme arbitraire près. A ces fonctions cp+, cp- correspondent deux distributions T + E At, T- E Aü, telles que T = T+ - T - , avec +00 o f(J+= f eiZYTtdy, f(J- = f eiz !! T;dy, - 00 o c'est-à-dire f(J+ ='iJT+, f(J- ='iJT-. Donc f(J+ et f(J- remplacent, dans le cas présent, les fonctions holomorphes représentées, à l'intérieur et au dehors du cercle, par les deux parties de la série de LAURENT, dans le cas classiqu~. Toutes ces considérations nous suggèrent une extension naturelle de l'espace e'. Nous désignerons par Aoo l'espace des distributions T du type exponentiel, c'est-à-dire, tels que où k = 0,1, .... , t E(Sb' et nous le considérons muni de la topologie de la limite inductive des espaces images de l'espace normé (Sb par ces applications f -+ T. On voit aussitôt que A+ oo et A-oc sont des sous-espaces fermés de Aoo et que tout élément T de Aoc est de la forme T = T+ - T - , avec T+EA+ oo , T - E A-oc, ces termes T+ et T- étant déterminés à une même combinaison linéaire de dérivées de b près. Il est aisé de voir que Aoo est un espace du type (e 2), ainsi que ces sousespaces A +oo , A-oo. Il est encore évident que Proposition 8.1. L'espace e' des distributions tempérées est un sous-espace ver;toriel de Aoo et l'injection canonique e' -+ Aoo est continue. Enfin, il est aisé de voir que la formule intégrale de DIRAC subsiste pour l'espace Aoc (donc aussi pour A+ oo et A-oo), c'est-à-dire, on a T = f b{x - u) Tudu, pour tout TE Aoo, R par rapport à la topologie de cet espace. Et puisque b (x - u) Ee' pour tout u ER, il en résulte que Proposition 8.2. L'espace e'est dense dans Aoc. Cela posé, nous désignerons par 2!~+, 2!~- et Q{~ respectivement, les images de 2!~, 2!;;; et 2!(1l par le changement de variable z -+ - iz. Donc, les éléments de QI:,,' (resp. Q{~-) sont les fonctions f(J (z) chacune étant holomorphe et à croissance lente dans un demi-plan supérieur 5z > rx (resp. inférieur 5z< rx), deuxtellesfonctions étant identifiées si, et seulement si, elles coïncident dans un de ces demiplans; et les éléments de2!~ =2!t+ X 2!~- sont représentés, de façon analogue, par les 70 J. SEBASTIAO E SILVA: fonctions 9/(z), holomorphes et à croissance lente dans des ensembles 18z1 > rJ., complémentaires des bandes horizontales symétriques. Or la transformation 5' se prolonge (univoquement) en une application linéaire continue de A"oo sur Qt~+ (resp. de A-oo sur Qtt-). Cette application, que nous désignerons encore par 5', est évidemment le produit de ~ par la rotation z ~ - iz. Observons maintenant que Aoc est isomorphe au quotient de A +oc X A-oo par l'espace des combinaisons linéaires de dérivées de <5, et que les images de FOURIER de ces combinaisons linéaires sont les polynômes. Soit alors T un élément quelconque de A oc ; si l'on pose T = T +- T - , avec T+ E A +oc , T- E A-co , et 9/+ = 5' T +, 9/- = 5' T - , on a (9/+,9/-) EQt~, mais ces deux fonctions sont déterminées, à partir de T, à un même polynôme près. Rappelons d'ailleurs que le couple (rp+, rp- ) peut être identifié à une fonction unique, définie et holomorphe dans le complémentaire d'une bande horizontale 18 zl ~ IX. Donc, si l'on désigne par Il l'espace des polynômes, on trouve le résultat suivant Théorème 8.1. La transformation 5': e' ~ e' se prolonge univoquement en une application linéaire continue de Aoc sur l'espace quotient de Qt~ par Il. Dans cet énoncé, on considère, évidemment, chaque distribution tempérée S = 5'(T) (avec TEe') identifiée à l'élément de QtL/ii représenté par le couple de fonctions analytiques de z J ei z 'V Tt dy, J e izy Tïi dy, définies resp . pour 8 z > 0, 8 z < O. R R Il est alors naturel d'appeler transformation de FOURIER relative à Aco ce prolongement unique de 5' dont il est question dans le th. 8.1. et de le désigner encore par 5'. D'autre part, nous poserons U = Qt~/Il et nous appellerons uUra-distributions tempérées sur R les éléments de U. Cette dénomination est, en partie, justifiée par le théorème suivant: Théorème 8.2. L'espace e' des distributions tempérées s'identifie à un sous-espace vectoriel dense de U et l'injection canonique e' ~ U est continue. Ce théorème est une conséquence immédiate du th. 8.1 et des propositions 8.1. et 8.2. D'ailleurs il résulte du th. 8.1 que Il est un sous-espace fermé de Qt~ ct que U est un espace (e 2), puisqu'il en est de même de Aoo. Nous désignerons par" l'application canonique de Qt~ sur U. Donc, si 9/ E Qt~, on a " 9/ = 9/ + Il. Exemples. - Dans e' on a tr-l~ = 1/(2 n). Or on a la décomposition 111 2,ï"= 2n H-2;ï(H-I), 71 Ultra-distributions dans le calcul opérationnel où H est la fonction de HEAVISIDE, donc HE A +co et H - 1 E A-co. D'ailleurs, il est aisé de voir que 5= H, comme élément de QI~+ , s'identifie à la fonction - l j(iz), i:1z > 0, tandis que 5=(H -1), comme élément de QIt-, s'identifie à - 1j(iz), i:1z < O. Il en découle que Plus généralement, on voit que tJ(:ê -h) = -2 (8.2) 1 :Il . ~ x h 1 ~, pour tout h ER. - z D'autre part, il est aisé de voir que, si l'on pose log* z = log Izl + 2n i arg z, avec - n < arg z < n, on a 1 H = - -2 . xlog* (-z), (8.3) :Il~ ce que, d'ailleurs, on vérifie directement à l'aide des considérations que l'on développera plus loin (prop. 10.1). 9. Décomposition canonique des éléments de U Observons que les correspondances avec cp! E QI~+ et CP2 EQI~-, définissent des isomorphismes entre ces deux espaces et deux sous-espaces fermés de QI~ = QI~+ X QI~-, qui sont, à leur tour, isomorphes à deux sous-espaces de U, les intersections de ces sous-espaces avecii se réduisant à l'origine. Or il sera commode d'identifier par la suite chaque fonction cp! EQlt+- à l'élément x( cp!, 0) de U et chaque fonction CP2 EQI;;; à l'élément x(O,- CP2) de U, ce qui rend cohérentes les formules qui sont à la base de notre construction: D'ailleurs, nous avons vu que, pour tout élément l/> de U, il existe une distribution T E Aco telle que l/> = 5= T, et cela veut dire que, si l'on pose T = T+- T- avec T+ E A+ co , T- E A-co, et cP+ = 5= T +, cP-= 5= T-, f]> est représenté par le couple (cp+, cp-), c'est-à-dire, l/> = x (cp+, cp-). Alors, puisque nous identifions cP+ à x (cp+, 0) et cp- à x (0, - cp-), on pourra écrire l/> = x(cp+, 0) -x(O, - cp-) = cp+- cp- ce qui est d'accord avec le th. 4.1, lorsque l/> EQlw(R) (dans ce cas particulier, cp+- cp- est bien la différence des deux fonctions au sens usuel). Donc: Théorème 9.1 Tout élément l/> de U est représentable sous la forme l/> = cp+- cp-, avec cp+ EQI~+, cp- EQI~-, où les fonctions cp+ et cp- sont déterminées à Un même polyn6me arbitraire près. 72 J. SEBASTIAO E SILVA: On pourra donc écrire indifféremment et on dira que q;+ et q;- sont deux composantes associées de supérieure et inférieure. ([J, respectivement 10. Approximations frontières des distributions tempérées Soit S une distribution tempérée. Alors, si l'on a T = fr-1S, T = T+ - T-, T+ E A+ oo , T - E A-oo, les distributions T +, T - , et par suite leurs composantes S+ fr T+, S- = fr T- seront aussi des distributions tempérées. Donc: Proposition 10.1. Les compo8antes associées, S + et S - , d'une distribution tempérée, S, sont toujours des distributions tempérées. Considérons, par exemple, le cas très simple de la fonction de HEAVISIDE. Nous avons vu (formule 8.8) que l'on a H = - (2n i)- l;l( log* (- z). Donc, H aura pour composantes associées les deux fonctions suivantes, localement sommables sur R: =: - -21.- 10gIXI H+(x) = : n t j +~ 2' 1 pour x < 0 - "2nTlog Ixl, H-(x) = - 2~ j i log Ixl - 1 pour x > 0 !' pour x > 0 pour x < 0 . - -2:nl,- log Ixl, On a donc bien H = H +- H-. La prop. 10.1 s'étend à plusieurs autres sous-espaces de li. Mais on peut encore l'améliorer, en utilisant la définition et le lemme suivants: Definition 10.1. Soient S += fr T+ et S- = fr T- deux composantes associées d'une distribution tempérée, S. Pour tout ë > 0, nous appellerons approximation frontière (ë) de S + (resp. S--) la fonction de x ainsi définie S:(x) = J ei(x+ei)u T~ du R resp. S;(x) = J ei(X-ei)U T~du R (les approximations frontières jouent ici le rôle des «approximations concentriques» de M. KOTHE dans sa théorie des Randverteilungen). Lemme - Soient f+ et f- deux compo8antes as8ociée8 d'une fonction f, continûment différentiable jU8qu'à un ordre k ;;;; 2 8ur R et telle8 que x t(V) (x) soit 80mmable sur R, pour tout 'JI = l, ... , k. Alors t+ et t- sont de8 fonctions k - 2 foi8 continûment différentiables et on a lim Dv 0-+0 r < (x) limDVr;(x) <-+0 = Dv f+ (X)! = Dvt-(x) uniformément sur R, pour'JI=O, ... ,k-2. Ultra-distributions dans le calcul opérationnel 73 En effet, d'après l'hypotèse, la fonction F = fJ-1(f) admet dérivée continue sur R telle que Xk F' (x) est bornée sur R. Alors les fonctions de z +00 zD" fI (z) = _ iV+ 1 J - zD" f2(z) = - iV+ 1 eizu UV eizu UV F' F' (u) du , o J 00 (u) du o pour v = l, ... , k - 2, sont continues et bornées sur les demi-plans fermés B" z ~ 0 et 8" z ~ 0, respectivement, et telles que fI' f2 forment un couple composantes associées de f. Il en découle que D"f1(z), D f2(Z) se prolongent comme fonctions continues s'annulant au point =(y=l, ... ,k-l). Cela permet d'arriver aussitôt à la thèse. Il est maintenant facile d'établir le résultat suivant: Théorème 10.1. Soit E un des espaces €l', €l,OM' Oc. 6 ). Soient d'autre part 1> un élément quelconque de E et (cp+, cp-) un couple de composantes associées de f/J. Alors les approximations frontières CP: et cp-; de ces composantes convergent resp. vers cp+ et cp-, au sens de la topologie de E, lorsque ê. -+ O. Ce théorème s'étend aussi au cas où E = <rw (R). Il suffit d'utiliser le th. 4.1 et la déf. 10.1 en tenant compte de la topologie de <rw(R). Enfin, une méthode semblable permet d'étendre ce résultat au cas où (/J E LP(1 ~ P < =) et au cas où 1> appartient à l'espace des fonctions localement sommables et tempérées. V 11. Représentation intégrale des éléments de U de Rappelons que, pour toute distribution tempérée T, la transformation est donnée par la formule: fJ FOURIER +00 (11.1 ) fJ T = J ei iu Tu du - 00 où l'intégrale, initialement définie pour le cas où T est, par exemple, une fOIl ction sommable, a été prolongée par continuité à tout TEe'. Mais €l' est dense dans Aoo et nous avons déjà vu que fJ est prolongeable en une application linéaire continue de Aoo sur U (th. 8.1). Nous pouvons donc étendre la formule (1l.1) au cas où T est une distribution du type exponentiel queleonque. Donc: Proposition 11.1. Tout élément 1> de U est représentable sous la forme +00 J 1> -- ei iu T u du 00 où la distribution TE Aoo est univoquement déterminé par 1> et où l'intégrale (par rapport à T) est définie par prolongement continu à AocCette représentation intégrale des éléments de U est analogue à la représen~tion des fonctions analytiques sur le cercle par des séries de LAURENT, qui i) Cf [5J. t. II, p. 89-100. 74 J. SEBASTIAO E SILVA: jouent également un rôle essentiel dans la théorie des Randverteilungen de M. KOTHE. Posons de nouveau = T+ - T - , avec T + E .1+ T -E .1- T 00 , 00 • Nous appellerons ordonnée de convergence de l'intégrale +00 f o eizu T u+ du , f resp. - o ei z u T;; du 00 la borne inférieure, at+ (resp. supérieure, at-) des valeurs de iJ z pour lesquelles cette intégrale, dépendante du nombre complexe z et définie par prolongement continu à .1+ 00 (resp . .1- est convergente. It est aisé de voir que ces deux nombres réels 1:(+ et 1:(- sont univoquement déterminées par T [donc par if> = 3'-1 (T)). Nous distinguerons les cas suivants: 1 r cas. at+ < 0 < 1:(-. Les ultra-distributions vérifiant cette condition sont les fonctions holomorphes à croissance lente sur R, c'est-à-dire, les éléments de Q{w (R). Dans ce cas, l'intégrale de FOURIER converge sur R au sens usuel, même au sens de la topologie de Q{w(R). 2<% cas. 1:(+;:;:;; 0 ;:;:;; 1:(-. Il est aisé de voir que les ultra-distributions vérifiant cette condition sont celles déterminées par les fonctions holomorphes dans CR et à croissance lente dans les complémentaires, Hk' des bandes liJzl < 1Jk, k = 1,2, .. . . Elles forment donc un espace vectoriel algébriquement isomorphe à l'inter· section des espaces k = 1,2, .... (0 ) Nous lui donnerons la topologie de la limite projective de ces espaces du type (e 2 ) . Nous désignerons par Ut l'espace ainsi obtenu et nous dirons que tout élément if> de Ut est l'uUra-di8tribution de frontière de tout couple de composantes associées de if> (considérées comme fonctions analytiques dans les demi-plans ouverts iJz > -0, iJz < 0). La déf. JO.1 et le th. JO.1 s'étendent immédiatement aux éléments de Ut. D'autre part, il est bien aisé de voir que l'intégrale de FOURIER d'un élément if> de Ut converge vers if> au sens de la topologie de Ut. Il est d'ailleurs facile de déterminer l'espace vectoriel topologique ir- 1 (Ut)) €l': il est constitué par les distributions T à croissance sous-exponentielle, c'est-à-dire dont le quotient par e(l+e) Ia:1 est borné pmlr tout e > o. On voit alors que l'injection canonique €l' -+ Ut (de même que l'injection Ut -+ U) est continhe, mais non pas bicontinue. Enfin, il est classique que, si cp E IJ (R), la valeur principale de CAUCHY de l'intégrale de FOURIER qui représente cp est égale à 1/2 [if>(x+) - if> (x-)] en tout point x où les limites latérales if>(x+) et if>(x-) existent. 3' cas. (x.-< 0 ou at+ > O. Alors il s'agit de ultra-distributions tempérées qui n'appartiennent pas à Ut; dans ce cas on ne peut plus parler de «approxi· mations frontières». En sortant du cadre des ultra-distributions (tempérées), on pourrait encore envisager le cas où l'on a au moins 1:(- = - 00 ou at+ = + 00. Alors 75 Ultra-distributions dans le calcul opérationnel on n'aurait plus de représentation directe au moyen de couples de fonctions holomorphes. C'est ce qu'il arrive, en général, pour les éléments de l'espace D' de EHRENPREIS [2]. 12. Caractérisation des distributions tempérées dans U, Soit S une distribution tempérée sur R et soient S+ et S- deux composantes associées de S. Alors on a aussi S+ EE)', S-E E)' (prop. 10.1) et il sera donc possible de choisir un entier k et deux fonctions Il' 12 deux fois continûment dérivables sur R, telles que S+= Dk(1 + x2)k/l' S- = Dk(1 + X2)kI2' 2 avec x ft<vl(x) et x 2/2<Vl(x) bornées sur R (v = 0,1,2). Dans ces conditions, il est aisé de voir (cf. lemme du nO. 10) que, si l'on pose FI = 'iY- lfl> Fz='iY- 1 /2 les fonctions de z, fl(z) = J eiZUF1(u) du, 12(z) = R J ei ZUF 2(u) du R définies dans les demi-plans 6z ;:;;; 0 et 6z ;:;; 0, respectivement, sont continues et telles que z 11 (z), Z f 2 (z) y sont bornées. Alors on aura, au sens usuel f +00 + 00 fl(z) = -2 1 --;-:1tt - f 2 (z) Il(U) - du, z- u rpl(Z) = Dk(1 2:1tt 00 pour 6z > 0, 6z < 0, respectivement. fonctions de z + Z2)kf~k)(z), f = _ 1_ . - 00 ~0!l du z-u Il est d'ailleurs évident que les rp2(Z) = Dk(1 + z2)knkl(z) s'identifient aux composantes S+ et S-, respectivement. Or les intégrales de CAUCHY de Il et 12 donnent pour 6z > 0 et 6z < 0, respectivement: 111(v) ( z)1 < 18Mv zI +l ' 11(")( )1 Mv '2 z < i8 zlV-iT V v = O. 1, ... , k où les Mv sont des constantes. Il en resulte que rpl et rp2 vérifient les conditions 1rpd z )1 < + Izl')k 18 zlk+l ,1 rp2(z)1 < L(l + Izl')k ISzlk+l L(l (L,. constante) ce que nous exprimerons en disant que rpl et rpz sont à croissance lente dans le8 demi-plans ouverts 6z > 0 et 6z < 0, respectivement (vers 00 et vers l'axe réel) . Réciproquement, supposons que les composantes associées, rpl et rp2' d'une ultra-distribution rp E U, vérifient ces conditions. Alors si l'on pose en général, dans un voisinage V de a E C: z Pa rp(z) = J rp().) d)' a pour toute fonction rp holomorphe dans V, et encore F1(z) = p:+ 2 rpl(Z) , F 2(z) = P~121P2(Z) , J. 76 SEBASTIAO E SILVA: on voit aisément, par un raisonnement semblable à celui de M. [4], p. 28-29, que lim F 2 (x + iy) lim Fdx + iy) , KOTHE dans 1/-+0- 11-+0+ existent pour tout x ER et définissent deux fonctions continues à croissance lente sur R. Donc, les dérivées Dk+ 2 de ces fonctions sont des distributions tempérées que l'on identifie aussitôt aux composantes (jJl et (jJ2 de CP. En conclusion: Théorème 12.1. Pour que deux fonctions (jJl(Z), (jJ2(Z), holomorphes respectivement dans les demi-plans ouverts tJ Z > et tJ z < 0, soient des composantes associées d'une distribution tempérée S, il faut et il suffit que ces fonctions soient à croissance lente dans ces demi-plans (vers 00 et vers l'axe réel). Remarque. Il est encore aisé de voir que, dans ces conditions, pour que S soit une distribution réelle, il faut et il suttit que (jJ2(ï) = - (jJl (z), pour tout z tel que tJz > o. ° 13. Applications linéaires continues de II dans un espace localement convexe Puisque II est le quotient de Ql~ par II, une application linéaire continue F de Ql~ dans un espace localement convexe E détermine une application linéaire continue F de II dans E (de façon que F =Fx), si, et seulement si, l'image de tout polynôme par F est l'élément nul de E. D'autre part, si E est complet pour les suites, on voit sans peine (voir nO. 5) que les applications linéaires continues de Ql~ dans E sont en correspondance biunivoque avec les fonctions entières, f(À), à valeurs dans E et à décroissance presque rapide dans les bandes horizontales ItJzl < k, la correspondance étant établie par les formules F(jJ = 2~i f Ll f(À) (jJ(À)dÀ, k où LI k est la frontière d'une telle bande, dépendante de (jJ E ll, orientée de façon à laisser à droite l'axe réel. Il reste à caractériser l'indicatrice de façon que l'image de tout polynôme par F soit l'élément nul de E. A cet effet, observons que, comme F = Fu, on a D'autre part on a, pour tout À E C et tout k = 1,2,3 .. . , U(-X~Z)=U(T~Z-V~l Z~:l) et puisque, sur les bandes horizontales, on a 1 lim Àk ( _ ). - z '<-+00 îV-1) = k "\' - ":").v v= 1 ° au sens de la topologie de Ql~, on en déduit que la fonction 1 (À) à valeurs dans E 77 Ultra-distributions dana le calcul opérationnel doit être à décroissance rapide sur les bandes horizontales (pour que F soit une application linéaire continue de li dans E). En conclusion: Théorème 13. 1. Il existe une correspondance biunivoque F ~ f entre les applications linéaires continues F de li dans E et les fonctions entières f(A) à valeurs dans E qui sont à décroissance rapide sur les bandes horizontales. Cette correspondance est définie par les formules réciproques f(A) = FX(A - Z)-1 pour tout A E C J 1 FW=2:ni (13.1) J 1 f(Â)W(A)dÂ=2:ni d f(Â)q;>(Â)d d k k pour tout W E li, où q;> est telle que W = x q;> et où LI k est la frontière d'une bande horizontale dépendante de q;>, orientée de faç.on à laisser à droite l'axe réel. Il en résulte, en particulier, que: - le dual fort de li est l'espace des fonctions entières à décroissance rapide sur les bandes horizontales (muni d'une topologie que l'on explicite aisément). Et, puisque li est réflexif [étant du type (6 2)], on pourrait définir li comme le dual fort du susdit espace de fonctions entières, qui est, manifestement, un sous-espace de 6, muni d'une topologie plus fine que celle induite par 6. Mais, à côté de la formule d'intégration complexe (13. 1), on peut établir une formule d'intégration réelle, en raisonnant de la façon suivante: Pour toute distribution tempérée S, on a la formule de DIRAC + 00 (13.1) S = J b(x - t) Stdu, - 00 rapportée à la topologie de 6' . Puisque 6' est dense dans U et qu'il s'agit là de l'application identique 6' --+ 6', évidemment continue pour la topologie induite sur 6' par li, il en découle que la formule de DIRAC est prolongeable à li. Nous avons déjà vu [formule (8.2)] que, pour chaque tER, la distribution b (x - t), comme élément de U, est déterminée par la fonction [2:Tt i (t - Z)]-1 de z, définie dans CR. La formule de DIRAC pourra donc s'écrire aussi J +00 (13.2) W= 1' -2 :n~ - Par conséquent toute application que l'on déduit de (13.2): _ 00 F de U dans E aura encore l'expression, + 00. f r(t) CPtdt , F W= (13.3) 1 ' W dt. " -t --z t - 00 où l'intégrale est définie par prolongement continu à U et où la fonction i (t) est définie sur R par . - I(t) =F b(x-t) 1- = 1 2ni F" t-z = 11 2ni F -i=i: = 1 2:ni f(t). 78 J. SEBASTIAO E SILVA: Donc, (13.3) est la formule d'intégration réelle que nous cherchions. Dans cette formule, la deuxième indicatrice, f(t), de F, n'est que la restriction à R de la première indicatrice, f (À), divisée par 2 ;Tt i. En outre, l'ultra-distribution f/J est à envisager ici comme limite de distributions tempérées au sens de la topologie induite par lt dans €l' (forme réelle de f/J), plutôt que comme classe de fonctions analytiques (forme complexe de f/J). Nous allons étudier plusieurs exemples importants des opérateurs linéaires continus définis dans lt. 14. La dérivation L'opérateur de dérivation D défini dans €l' a pour indicatrice la fonction b' (x - t) de t. Or on a j"(A) u x -t = d uS(A) d -a:e x-t = -a:e x 1 t-z =-x 1 (t-Z)2 -z puisque x est une application continue de QI~ dans lt. D'autre part, - (t )-2 est l'indicatrice de l'opérateur de dérivation D défini dans QI~, lequel transforme polynômes en polynômes. Il s'ensuit que: Théorème 14.1. L'opérateur de dérivation défini dans €l' se prolonge (univoquement) en une application linéaire continue D : lt ~ lt définie par D f/J = - J x -( -~ f/J t dt, pour tout f/J EU. t- z)' R Cette application vérifie donc la condition D x rp = x Drp , pour toute rp E QI~ , c'est-à-dire: la dérivation danslt se traduit par la dérivation usuelle dans l'espace fonctionnel analytique QI~. Par exemple, de la formule (8.2), on déduit b(n) (x - h) =~ x_ _1_ _ 21tl (h-z)n+l' pour n -- 1, 2 ... Théorème 14.2. Pour toute uUra-distribution f/J E lt, il existe une autre "'P E lt, telle que f/J = D"'P. En outre, l'égalité D"'PI = D"'P2 entraîne que "'Pl -"'P2 est une fonction constante sur R. Pour la démonstration, remarquons que, si rp+ et rp- sont deux composantes associées de f/J, il existe toujours deux primitives VJ+ et VJ-, au sens usuel, de ces fonctions holomorphes, et toute primitive de (rp+, rp-) est de la forme (VJ+ + 0 1 , VJ-+ O2 ), où 0 1 , O2 sont des constantes arbitraires. Or tout élément de QI!., du type (01 , O2 ) définit, précisément, la fonction 0 1 - O2 , constante sur R. 15. Le produit multiplicatif Soit oc un élément de OM' c'est-à-dire, une fonction indéfiniment dérivable à croissance lente sur R (cf. [5], th. 2, p. 99-100). Alors on définit le produit oc S de oc par une distribution tempérée S quelconque et on voit que S -)- oc S Ultra-distributions dans le calcul opérationnel 79 est une application linéaire continue de ES' dans ES', dont l'indicatrice (réelle) est la fonction de t 1 nt oc(x)b(x-t) = oc(t)b(x-t) = -2 . x cx(t~. t- z Maintenant, on voit sans peine que Proposition 15.1. Pour que l'application S -+ oc S soit prolongeable en une application linéaire continue de lt dans lt, il suffit que oc (x) soit prolongeable à C comme fonction entière à croissance lente sur les bande8 horizontales'). L'image de chaque ultra-distribution (/J E lt, par cette application, sera dite encore le produit (multiplicatif) de oc par (/J et représentée par oc (/J. On aura donc J t-z + 00 oc (/J = -1-. 2nt - =X _ l _. 2nt cx(t) - . (/Jt dt J 00 oc(Â) 'P~Â) d)' À-z (16zl > le) dk où rp est un élément de 2{~ tel que (/J = x fP et LI" la frontière, dûment orientée d'une bande l'i)).1 ~ le dépendante de rp. Nous désignerons par mlu l'espace localement convexe des fonctions entières oc à croissance lente sur les bandes horizontales, considéré comme limite projective des espaces 2{w(Bk) où Bk est la bande 16 zl ~ le. Il est aisé de voir que toutes les propriétés usuelles de la multiplication d'une fon ction par une distribution, et, en particulier, la règle de la dérivation du produit, sont conservées dans cette généralisation. S i oc est à croissance lente dans tout le plan C, alors on aura, évidemment oc (/J = x(oc (/J) , c'est-à-dire oc(x fP) = x (oc rp). Mais les seules fonctions entières à croissance lente dans tout le plan sont les fonctions polynômiales. Donc,seulement dans le cas où rxEII, le produit rx cp se traduit par le produit usuel dans 2{~. En particulier on a 16. Les translations Dans ES' on définit, pour tout h réel, un opérateur de translation Th E L(e'), dont l'indicatrice est b(x-t-h)= 2~i x t+~-z Maintenant on peut, plus généralement, définir pour tout h complexe un opérateur de translation ThE L(lt), qui prolonge l'opérateur précédent dans ') Nous croyons que cette condition est aussi nécessaire. 80 J. SEBASTIAO E SILVA: le cas où h est réel. Son indicatrice complexe sera, évidemment, la fonction de J. 1 1 2ni" Â+h- z et on voit aussitôt que fP =" Th fP Il devient alors naturel d'écrire Th" rh <P = " fP(z - = <P(z - h), pour tout fP E li . h) et, en particulier Th () = () (z - h), comme dans le cas réel. Remarque. Pour qu'une distribution tempérée S reste encore dans 6 ' après une translation imaginaire, il faut, évidemment, que S EQ{w (R). 17. La convolution On sait que toute application linéaire continue de l'espace 6' dans lui· même, permutant avec la dérivation (ou , ce qui revient au même, avec les translations), est de la forme T(S) = J T(x- t) S{t) dt, R où T est une distribution à décroissance rapide (T EOc); et réciproquement. On écrit alors T(S) = T *S et on dit que T * S est la convolution (ou le produit de composition) de T par S. Maintenant, il est aisé de voir que Théorème 17.1. Il existe une correspondance biunivoque e _ e, entre les applications è E L(U) qui permutent avec la dérivation (i.e. avec les trans· lations) et les ultra-distributions = x8, où 8 est une fonction holomorphe à décroissance presque rapidé dans, au moins, le complémentaire d'une bande 15 zl ~ k. Oette correspondance est donnée par la formule d'intégration réelle. e e(<p) = J e(z - t) <Ptdt, R ou par la correspondante formule d'intégration complexe: 8(<P) =" J 8(z - À) fP(À) d). , .j~ où " fP = <P et où LI k est la frontière, dûment orientée, d'une bande horizontale dépendante Ik f/J. Nous écrirons encore e. e et nous dirons que f/J est la convolution de par <P. D'autre part, nous désignerons par (tu l'espace de ces ultra-distributions e, que nous dirons à décroi88ance rapilk. L'espace vectoriel(tl1 est donc isomorphe à un sous-espace de L(U). Nous pouvons rendre cet isomorphisme topologique, 81 Ultra-distributions dans le calcul opérationnel par rapport à la topologie de Lb(U), en donnant à <ru une topologie de limite projective d'espaces (0 2), qu'il est facile d'expliciter, comme celle de ~. Observons encore que, dans ces conditions, le dual de <ru est précisément isomorphe (algébriquement) à l'espace mlu des fonctions entières à croissance lente sur les horizontales. 18. La transformation de La transformation de FOURIER ~: ~S = FOURIER 0' ---+ 0' définie par J eixtS(t) dt R est prolongeable en une application linéaire continue ~ : U---+ A"", d'après la formule généralisée ~ ifJ = J eixtifJtdt = J eiX )' rp(l) dl, R Ll k où rp est un élément de Q{~ tel que ifJ = x rp et où Ll k est la frontière, dûment, orientée, d'une bande 16 li ~ k dépendante de rp. Cela résulte du fait que la fonction de l à valeurs dans A"", eii ). (indicatrice de ~) est entière et à décroissance rapide sur les horizontales. En tenant compte de ce que l'on a dit au nO. 8, on voit aisémment que cette transformation est inversible et que son inverse est donnée par ~-l(T) = f .- 1 2n. e- u t Tt d t, pour TE A",,_ R Cette application ~ -1 coïncide donc avec le produit de la transformation de FOURIER ~ : A",,---+ U, par (2 n)-1 et par la symétrie z ---+ - z. On établit encore, sans difficulté, que ~(D ~(ex ~ (z ifJ) ifJ) = - ix(~ ifJ), ifJ) =~(ex) .~(ifJ), ~(e. = - iD(~ ifJ) ifJ) =~(e)~(ifJ), e pour toute ifJ E U, toute ex E mlu et toute E<ruL'espace image de mlu par ~ est constitué par les distributions T à décroissance sous-exponentielle, c'est-à-dire, telles que le produit ek1zl T est borné pour tout le; la convolution T * S (avec SE Aoo et T à décroissance sousexponentielle) est encore définie par la formule f T(x - t) Stdt . R L'espace image de <ru par ~ est formé par les fonctions indéfiniment dérivables rp du type exponentiel, c'est-à-dire, telles que, pour tout i il existe le vérifiant lim [e-k lzl rp(i)(x)] = O. z~oo 19. La transformation de STIELTJES La nouvelle forme de la formule de DIRAC 1f I l f ifJ = - 2 n.' X -" • t-z 1.\ Math. Ann. 130 ifJtdt = -n. 2. X !p().) ~ d , I\-Z avec x rp = ifJ , .11 6 82 J. SEBASTIÀO E SILVA: met en évidence les liens profonds, que nous avons déjà signalé dans [9], entre la formule de DIRAC et celle de CAUCHY. Dans le cas où 8 est une distribution tempérée, elle permet de passer de la «représentation réelle )) de 8 à sa «représentation complexe»; de ce point de vue, elle définit la transformation de STIELTJES (voir [14], ch. VIII) généralisée aux distributions tempérée8, 80U8 une forme légèrement modifiée, qui rappelle la transformation de HILBERT. Soit en effet 8 E €i'. Alors on peut choisir un entier k et une fonction f continue, de façon que xf(x) soit bornée sur R et que 8 = DIc(l et la formule f 1' 8= -2nt + x2 )lcf 1 -. x --~ 8,dt, t-z R peut maintenant s'écrire (voir nO. 14 et 15) - Dk 8 -x z (1 +Z2)k 2 nt' jJJ!L d t t-z U où la dernière intégrale converge au sens usuel pour tout z 4 R. On obtient donc ainsi deux composantes associées de 8. Observons encore que, dans cette déduction, il suffit de supposer que f est une fonction localement sommable telle que l'intégrale f JJ!L u t -z dt ' pour tout z ER, existe au sens de LEBESGUE. Si en outre j(t) est nulle pour t < 0 et que, dans cette intégrale, on substitue -z à z, on retrouve la forme usuelle de la transformation de STIELTJES. La transformation de STIELTJES, telle que nous la considérons, généralisée à U, coïncide, évidemment, 'avec l'application identique, donc avec fr-1fr8). Cette remarque triviale permet de retrouver plusieurs propriétés classiques de la transformation de STIELTJES, à partir de celles de fr. 20. La localisation Soit 8 une distribution tempérée et supposons que 8 est nulle dans un ouvert A de R. Alors, on voit aussitôt que toute fonction de z de l'ensemble 1 -2nt ' f x -tS(t) ~ dt -z (intégrale prise dans €i') R qui définit 8 comme élément de U, est prolongeable comme fonction holomorphe à croissance lente aux points de A. Cela nous invite à poser les définitions suivantes: 8) Plus précisément, on pourra dire que la transformation de STIELTJES fait passer de la. «forme réelle» de chaque (/) EU (comme limite de distributions tempérées) à sa «forme complexe», 83 Ultra-distributions dans le calcul opérationnel Définition 20.1. Nous dirons qu'une ultradistribution 1> = ~ cp, avec EQ(~, est nulle dans un ouvert A de R, si la fonction g; est prolongeable comme fonction holomorphe, à croissance lente vers l' 00 (si A n'est pas borné), à une bande ou demi-plan vertical ct. < ~z < {J, contenant A (en particulier on peut avoir ct. = - 00 ou ct. = + (0). Définition 20.2. Nous dirons que deux éléments 1>, P de U sont égaux dans un ouvert A de R et nous écrirons qJ 1> = P dans A, si 1> - P est nulle dans A. La réunion de tous les ouverts de R, où une ultra-distribution 1> est nulle, est, évidemment, encore un ouvert où 1> est nulle. Définition 20.3. On appelle support d 'une ultra-distribution 1> le complémentaire de la réunion des ouverts de R où 1> est nulle. Ces notions permettent d'étudier une ultra-distribution 1> localement. Supposons, par exemple, que 1> est égale à une fonction f à variation bornée dans un voisinage ouvert d'un point x de R, où f admet limites latérales, et soient cp+ et cp- deux composantes associées de <P. Alors on a, d'après la théorie classique lim [g;+ (x + ic) - g;- (x - ie)] = -} [f(x +)+ f(x - )] ....... 0 Il est évident que le support d 'une ultra-distribution tempérée ~ cp contient l'intersection de R avec l'ensemble des singularités de g;. Mais, en général, il ne coïncide pas avec cette intersection: il suffit de considérer l'exemple H = - (2 n il-lX log*(- z). 21. Les ultra-distributions à support compact et les opérateurs différentiels d'ordre infini Nous désignerons par U e l'espace vectoriel des ultra-distributions (tempérées) à support compact. Théorème 21.1. L'espace U e• des ultra-distributions à support compact est (algébriquement) isomorphe à l'espace Q{ (00), des germes de fonctions analytiques nulles à l'infini. Démonstration. Soit 1> = x g; une ultra-distribution tempérée à support borné. Il en découle que g; est prolongeable à un ensemble du type Izl > k, comme fonction, (j, holomorphe et telle que qi(Z)jzk soit bornée dans cet ensemble. Alors, la fonction gi(ljz) de z est holomorphe dans l'ouvert 0 < Izl < < I jk et telle que Zk+2 qi(l jz) se prolonge comme fonction ayant dérivée nulle au point O. Cette dernière fonction de z est donc holomorphe dans le disque Izl < Ijk et, par suite, qi (ljz) est de la forme qi (ljz) = -;Po (l/z) + P(l/z), où gio(ljz) est une fonction de z holomorphe dans Izl < l/k et P(z) un polynôme. Mais cela veut dire que qio(z) est holomorphe et nulle au point 00 (adjoint à C) et que 1> = x CPo' où CPo est la restriction de qio au domaine de cp. D'ailleurs, on voit aussitôt que l'application 1>- qio de lle dans Qt(oo) est linéaire. 6* J. 84 SEBASTIAO E SILVA: Réciproquement, il est évident que, pour toute fonction ,poE 2!(00), il existe un élément f/J de U c tel que f/J = x CPo' où CPo est une restriction de fPo appartenant à 2!~, ce qui achève la démonstration. Nous considérons l'espace U c muni de la topologie (strictement plus fine que celle induite par U), qui rend topologique l'isomorphisme Uc~2!(oo), par rapport à la topologie naturelle de 2!(00) (voir [3]). Donc, tout élément f/J de U c est déterminé par une (et une seule) fonction cp E2!(00) et nous poserons encore, pour commodité, f/J = x cp. Soit maintenant E un espace localement convexe quelconque complet pour les suites. Alors (cf. [8], p. 44-45) il existe une correspondance biunivoque F ~'f entre les applications FE L(U c' E) et toutes les fonctions entières f(À) à valeurs dans E, cette correspondance étant donnée par les formules 2~i f f(À) cp(À) dÀ, r où f/J = x cp EUc et où e8t, par exemple, une circonférence contenue dans un domaine d'lwlomorphie de cp et orientée de façon à laisser l' 00 à gauche. Il en résulte une nouvelle expression pour les transformations déjà définies dans U et maintenant restreintes à U c (comme celle de FOURIER, par exemple). Observons encore que toute fonction entière est multipliable par toute ultradistribution à 8upport compact et que U c est une algèbre par rapport à la convolution. Rappelons maintenant que toute fonction cp E2! (00) est représentable sous la forme d'une série de puissances de l/z: F(f/J) = r 00 cp(z)=1: n=O Z::l' V~ borné. avec Alors, puisque l'on a l5(n) (-1)'·+1 n! = - - -.- 7( - - Z"+1 , 2n~ n = 0, l, ... , nous pouvons écrire 00 avec cn=(-1)n+12ni~, n! n=O,l, .. . Par conséquent, le théorème 21.1 peut encore s'énoncer de la façon suivante: Théorème 21.2. ~es ultra-distributions à support compact sont les éléments 00 de U représentables comme séries 1: o Cn l5<n) , de dérivées de 15, dont les coefficients, en, vérifient la condition hm V-id Icnl < + 00 . n Cet énoncé reste évidemment encore vrai si l'on remplace 15 par l'une quelconque de 86S translatées, 6(x ~ h), hE C. Il est encore évident que 85 Ultra-distributions dans le calcul opérationnel 00 La convolution d'une ultra-distribution à support compact, e= E o Cn !5(n), par une ultra-distribution cp quelconque est donnée par la formule e * cp = { Cncp(n) = ( { CnDn) cp . Donc: SCHOLIE. Les uUra-distributions à support compact, considérées comme opérateurs de convolution, s'identifient à certains opérateurs différentiels d'ordre fini ou infini. Ces opérateurs, on le sait, ne pouvaient pas être utilisés dans le cadre des distributions, l'emploie de toute série infinie de puissances de D étant interdit, hors de l'espace des fonctions indéfiniment dérivables. 22. L'espace des ultra-distributions tempérées de support limité à gauche Nous désignerons par Ck(k = 1,2, ... ) l'ensemble des nombres complexes z dont la distance au demi-axe positif, R +, est ~ k, c'est-à-dire, tels que 15z1 ~ k, si ~z ~ 0 , Izl ~ k, si ~z ~ 0 et parQ(~+ la limite inductive des espacesQ(w (C k ), avec sa topologie d'espace (e 2 ). D'autre part, nous désignerons par U+ l'espace des ultra-distributions tempérées dont le support est limité à gauche. II est aisé de voir que Proposition 22.1. L'espace U+ est algébriquement isomorphe au quotient de Q(~ + par l'espace II des polynômes. Nous munirons U+ de la topologie (plus fine que celle induite par U) qui rend topologique cet isomorphisme. Alors U+ sera, lui aussi, un espace (e 2 ). Nous désignerons encore par x l'application canonique Q(~+ -+ U+. Par des procédés semblables à ceux que nous avons emplôyé dans des cas analogues, on démontre que Théorème 22.1. L'espace L (U+, E) des applications linéaires continues de U+ dans un espace localement convexe E, complet pour les suites, est isomorphe à l'espace des fonctions entières f(Â) à valeurs dans E, à décroissance rapide à droite sur les bandes horizontales, c'est-à-dire telles que, pour tout k, Âkf(Â) -+ 0, lorsque ~ -+ + 00 sur ces bandes. L'isomorphisme naturel est donné par les formules FCP= 2~{ff(Â)rp(Â)dA., èk f(Â)=F(Â-Z) - l, pour CP=xrp, q:>EQ(~+, pour ÂECR+, où k dépend de cp et la frontière, Ok' de C k , est orientée de façon à laisser R+ à droite. (L'intégrale est évidemment définie par prolongement continu à U+). Ainsi que pour U, la formule d'intégration complexe peut être remplacée par une formule d'intégration réelle sur R. Mais on démontre que tout élément de U+ est la limite d'une suite de fOndions tempérées, de support contenu dans 86 J. SEBASTIÀO E SILVA: un intervalle [a, + 00[, ce qui permet de ramener toujours l'intégration à un tel intervalle. L'espace des fonctions que l'on peut multiplier par n'importe quel élément de U + est constitué par toutes les fonctions entières T{z) à croissance lente à droite sur les bandes horizontales, c'est-à-dire, à croissance lente pour ~z -+ + 00, avec tJz borné. A son tour, l'espace des opérateurs de convolution sur U + est constitué par les éléments cp = " T de U tels que T est à décroissance rapide à gauche sur un, au moins, des ensembles Ok' En particulier la convolution cp * lJI existe pOli! tout couple CP, lJI d'éléments de U+. Proposition 22.2. L'espace U+ est une algèbre par rapport à la convolution (sans diviseurs de zéro). 23. La transformation de LAPLACE pour les éléments de U+ par La transformation de LAPLACE dans U+ - que nous désignerons encore ~ - sera définie, au moins formellement, par ~ J e- ztCPt dt , cP = pour tout cP E U + . R Il n'est pas difficile d'interpréter cette formule. Si l'on remplace z par la variable réelle x, ~ coïncide avec la transformation de FOURIER, suivie du changement de variable z -+ iz. Il sera donc plus commode de commencer par étudier la restriction de 'J à U + : 'J cP = (23.1 ) J ë xt CPt dt , pour cP E U+ It et de caractériser le sous-espace 'J (U+) de A oc . Maintenant la forme complexe de (23.1) peut s'écrire 'J cP = J eiid T (,1.) d,1. , CJk où T et k sont tels que cP =" T, T{Z) /Zk holomorphe bornée dans 0k-l (k = 2,3, ... ). Alors, si l'on pose 1p(z) = T(Z) jZI<-t-2, on aura 'J cP = (_i)k +2 D! + 2 J eiXÀ 1p{,1.) d,1. Ok où Ok peut être remplacée par la réunion des demi-droites tlz et du segment ~z = - k, ItJzl ~ k. On aura donc Je iZÀ Ük J -k ± k, ~z ~ - k +00 1p{t..)d,1.= J eiZ (u +ik)1p(u + ik)du + -k + 00 + = k eiZ (" - ik)1p(u-ik)du + i Je iZ (lV-k)1p(iv-k)dv -k pour toute valeur de z qui rende convergentes les trois intégrales du deuxième membre. Or, en tenant compte de ce que la fonction Z21p(Z) est bornée sur Ok' on voit aisément que ces intégrales sont simultanément convergentes pour 87 Ultra-distributions dans le calcul opérationnel Sz ~ 0 et qu'elles définissent dans ce demi-plan fermé trois fonctions continues, resp. Xl' X2' Xa, holomorphes dans \jz > O. On voit d'ailleurs que les fonctions de z e(l +i)kZX1(z), e(i-l)kz X2 (z), ek<iz+ l ~zl ) Xa(Z) , sont bornées sur le demi-plan \jz ~ O. Il en découle que la fonction X = Xl+ + X2 + Xa est du type exponentiel dans le demi-plan \j z ~ 0, c'est-à-dire qu'il existe un IX (= k V2) tel que e-ex lzl X(z) est bornée pour \jz ~ 0_ Il est aisé de voir que les dérivées de X vérifient la même condition pour 'iJ z > et que, X étant continue sur \j z ~ 0, ces dérivées sont à croissance lente [par rapport aux fonctions (z - IX)- k] vers la frontière, \j z = D'ailleurs, la distribution D~ +2 X(x) coïncide avec i k \3' cp E .1 Et, puisque (~CP) (z) =:' (\3' CP) (iz), on voit, en conclusion, que Proposition 23.1. Les images de LAPLACE des ultra-distributions de suppùrt limité à gauche sont des fonctions holomorphes de type exponentiel pour -nz > O· et à croissance lente vers l'axe imaginaire. Nous allons établir la réciproque. Désignons par Bo l'espace de ces fonctions et considérons CE Bo. En raisonnant comme dans la dém. du th. 12.1, on voit qu'il existe un entier k tel que la primitive P~ Cest prolongeable au demiplan fermé 0\z ;;;:; comme fonction, 'IjJ, continue et encore du type exponentiel. Alors, si l'on pose X (z) = 'IjJ (- iz), la restriction de 'IjJ à R appartient à .1 00 et, par conséquent, l'image réciproque ° °. 00 ' ° \3'-1(-i k Dk X) = (-;!)k f e-iitx(t)dt R est un élément de ll, que nous désignerons par CP. Il reste à montrer que CPEll+ et que ~ cP = C. A cet effet, observons que 'IjJ étant du type exponentiel, il est possible de choisir un entier m et deux fonctions "lfl (z) et 'ljJ2(Z) holomorphes pour 9Zz > 0, tels que 'IjJ(z) = e(1-i)fflZ 'ljJdz) , lim1pl(z)=O, pour \jz;;;:; 0, z-+oo pour \jz ~ 0. z-+oo Alors on voit que les intégrales (prises sur les demi-axes imaginaires): +ooi f +00\ ezt'IjJ(t)dt= o o f f e<z+m-mi)t'IjJl(t)dt 0 ezt 'IjJ (t) dt - coi 0 = f e(Z +m+mi)t 'ljJ2 (t) dt - roi définissent deux fonctions holomorphes et bornées de z, respectivement pour \jz > m, \jz < - m. Désignons par Cl et C2 , respectivement, les quotients de ces deux fonctions par 2 n i. De même, l'intégrale (prise sur le demi-axe positif): +00 -k J o ezt 1p(t) dt = 2~i +00 J e(Um-mi)t 1pl(t) dt= 0 2~i +00 J e(z+m+mi)t1pS(t)dt 0 88 J. SEBASTIAO E SILVA: représente une fonction holomorphe et bornée de z pour 9\z < - m. Or on voit aisément que cette fonction coïncide avec Cl (z) [resp. C2 (z)], pour 6z > m [resp. 6z < -m] et 9\z < - m; il suffit d'observer que, si rI et Fz sont des arcs de cercle de centre 0, situés respectivement dans le 1er quadrant et dans la 4 e, les intégrales f ezt 1p(t) dt, r, pour 6z > m [resp. 6z < - m] et 9\z < - m, convergent vers 0, lorsque les rayons de rI et r 2tendent vers 1'00. n en résulte que les deux composantes associées de (/J: se prolongent, comme fonctions holomorphes à croissance lente, au demi-plan 9\z < - m et que, par suite, (/J E U+. Pour reconnaître que ~ (/J = l;, il suffit de rappeler que, sur l'axe imagi. naire, (~ (/J) (z) = (5' (/J) (iz) et de tenir compte de la formule d'inversion de ff. Nous avons donc démontré: Théorème 23.1. La transformation de LAPLACE ~, définie dans U+ par ~ (/J =f e- Zt (/JI dt , R ou par ~ (/J f = e- Π<p(À) dÀ , èk où (/J = x <p et k dépend de <p, est un isomorphisme de l'espace vectoriel U+ sur l'Mpace 30 des fonctions holomorphes de type exponentiel dans 9\z > et à croissance lente vers l'axe imaginaire . Nous munirons 80 de la topologie qui rend bicontinu cet isomorphisme et que l'on peut expliciter de la façon suivante: Soit 3o. dk = 1,2, ... ) l'espace des fonctions f(z) continues sur 9\z ~ 0, holomorphes dans 9\z > 0 et telles que e- kzj(z) reste bornée dans 9\z ~ 0, avec la norme suivante ° Ilfllk = sup le- klzl j(z)1 . ~z>o Alors l'espace vectoriel topologique 80 sera la limite inductive des espaces images, Dk 80. k' des 3 o• k' par les opérateurs de dérivation. Il en découle que l'espace image de 80 par la rotation z -+ - iz est identifiable à un sou.s-espace vectoriel de Aoc et que l'injection 30 -+ Aoc est continue. On aura donc, pour toute fonction <p E 30: ~-l <p = 5'-1 <p* , où <p*(E Aoc) est la «distribution de frontière» de la fonction-<p(- iz). En outre, l'expression même de la transformation de LAPLACE montre que l'espace vectoriel engendré par {e- i thER est dense dans 30. Alors, compte tenu de l'expres· sion deff-l on arrive au résultat suivant: 89 Ultra-distributions dans le calcul opérationnel Théorème 23.2. L'inverse de la transformation de donnée par ~-1q:>=2~i jeiJ..q:>(Â)dÂ, LAPLACE ~ : U+ ---+ 30 est pourq:>E80, Ri où l'intégrale par rapport à q:> est définie par prolongement continu à 30 et rapportée à la topologie de U+. 24. L'espace 3 Nous désignerons par 8k(k = 1,2, ... ) l'image de l'espace vectoriel topologique 8 0 par la translation i k : 8k = Tk30, et nous désignerons par 3 la limite inductive des espaces 3k' Donc 3 est l'espace des fonctions holomorphes de type exponentiel sur des demi-plans droits. Dans [11] nous l'avions désigné par Q{w et défini (ce qui revient au même) A A • comme limite inductive des Q{k' où Q{k est l'espace (de BANACH) des fonctions rp(z) holomorphes pour 9\z > k, telles que e- k1zl q:>(z) reste bornée sur 9\z > k, avec la norme Il q:>llk = sup le- k1zl q:>(z)1 . A ~z>k C'est là encore un espace (E'5 2 ) qui contient l'espace des espaces ekz Q{;;;, k = 0, 1,2, ... Qi;;;, limite inductive 25. Les ultra-distributions de type exponentiel sur R Désignons par Œdk = 0,1, ... ) l'espace (de BANACH) des fonctions q:> holomorphes dans l'ensemble 16z1 > k et telles que Z-k e - k l~zlq:>(z) résulte bornée sur cet ensemble, avec la norme 11q:>lIk = sup Iz- k e - k l~zi q:>(z)1 l\:1zl >k ct soit Œ", la limite inductive des Œk' Il s'agit encore ici d'un espace (E'5 2 ). On peut dire que Œw est l'espace des fonctions holomorphes dans des ensembles du type 16 zl > k, à croissance lente sur les bandes verticales et à croissance exponentielle sur les bandes horizontales. Cela posé, soit m le sous-espace vectoriel fermé de Œw engendré par l'ensemble {ehzhER' Puisque l'on a, par rapport à la topologie de Œ"" dn dF ehz = zn eh' , n = l, 2, ... , on voit que m) Il. [On peut même reconnaître que mest formé par les fonctions cntières à croissance lente sur les verticales et de type exponentiel sur les horizontales]. Alors nous poserons: Ç[5 = (f",/m. Or on a Il = m(\ Q{~; par conséquent U C ~ et on voit que l'injection naturelle U ---+ ~ est continue. 90 J. SEBASTIAO E SILVA: Nous dirons que les éléments de Q3 sont les ultra-distributions de type exponentiel sur R, et nous désignerons encore par u l'application canonique de (fw sur Q3. On pourrait maintenant essayer de réproduire pour Q3 une théorie analogue à celle que nous avons développée pour U. Nous y reviendrons au nO. 29; alors on verra quP Q3 s'identifie au dual de l'espace des fonctions entières, à décroissance sous-exponentiel sur R. Nous désignerons par Q3t l'espace des ultra-distributions ifJ E Q3 de frontière, dual de l'espace des fonctions holomorphes à décroissance sous-exponentielle sur R (cf. nO. 10). En particulier, on peut définir «ultra-distribution nulle dans un ouvert de U», en remplaçant, dans la déf. 20.1, «fonction holomorphe à croissance lente (par rapport aux polynômes)>> par «fonction holomorphe à croissance lente par 'rapport aux fonctions zkekl'Rzl». Il en résulte une notion de support pour les éléments de <n o 26. Les ultra· distributions de type exponentiel sur R et de support limité à gauche Nous désignerons par Q3+ le sous-espace vectoriel de Q3 constitué par les ultra-distributions de support limité à gauche. On peut définir directementQJ + de la façon suivante: Soit (fk+ l'espace (de BANACH) des fonctions rp holomorphes à l'intérieur de l'ensemble Ok (défini au nO. 22) et telles que le quotient de rp(z) par Zk ek l'1\zl soit prolongeable à Ok> comme fonction continue bornée, avec la norme Ilrp llk= sup IZ-k e-kl",lzl rp(z)l. . ZECk Cela étant, désignons par (fw+ la limite inductive des espaces (fk+' On voit aisément queQ3 + est algébriquement isomorphe au quotient de (fw + par Q't. Alors, nous munirons Q3+ de la topologie qui rend bicontinu cet isomorphisme . Observons que la formule (26 .1) s!'ifJ= Je-zÀrp(Â.)dÂ., pourifJ=urp, rp E(fk+, 6t où l'intégrale a le sens usuel, définit un prolongement de S!, : U+-+ Bo en une application linéaire continue s!': <n+ ~ B. Pour s'en convaincre il suffit de remarquer que, en posant tp (z) = e- kz rp (z), l'intégrale J e- z ), tp (Â.) d Â., pour 9tz > 0, 6k détermine un élément de Bo (on le voit en raisonnant comme au nO. 23). En outre, on voit d'une façon analogue que -k+ooi j'e-""'tp(Â.)dÂ.= J e-""'tp(Â.)dÂ., Ck -k-ooi pour tout x > 0 où la deuxième intégrale par rapport à tp est définie par prolongement continu à l'espace il;, image de Qi~ par symétrie (cf. 24)9) ; ') Il va. sans dire que 'f w + s'identifie à un sous-espa.ce de il;;; et que l'injection canonique 'f",+ _~;;; est continue. 91 Ultra-distributions dans le calcul opérationnel cette remarque permet de reconnaître que l'on a J e- zÀ(;l(À) dÀ = 0, dans 3, avec (;l E Œw+, èk si , et seulement si, (;l est l'image de LAPLACE d'une distribution T de support compact, c'est-à-dire si (;l appartient à m. D'autre part, il est aisé de voir que la formule k + oo i J ~-l X = 2~i (26.2) k - oo i pour X E 8k' k = 0,1, . . ., définit bien l'inverse de ~ :m +~ 3 et que ~ -1: 3 ~m + est continue. En conclusion: Théorème 26.1. La transformation de LAPLACE définie par la formule (26.1) d'intégration complexe ou par la correspondante formule d'intégration réelle +00 J e- - Z t </J t dt 00 est un isomorphisme bicontinu de Q3+ sur 8. Son inverse est donnée par la formule (26.2). Il est d'ailleurs facile de voir que ce nouveau prolongement de la transformation de LAPLACE possède les propriétés caractéristiques ~ (D </J) = z~ </J, ~ (eh"'</J) = 'rh ~ </J, pour tout hE R . On démontre aussi sans difficulté que ehx x rp = x (eh Z rp), pour toute fonction rp E Œ+ . D'autre part, la convolution s'étend à g}+ suivant la formule usuelle, rapportée à la topologie de ~ + . AlorsQ3+ devient une algèbre par rapport à convolution, isomorphe à l'algèbre 8 par rapport à la multiplication usuelle, c'est-à-dire: ~(</J*lJI)=(~</J) . (~lJI), pour </J, lJIEg}+ Enfin, si l'on observe que tout élément X de 3 admet la représentation J e-zt</Jt dt , X= R où </J = ~-l X, et que, en outre, e- z  est une fonction entière de À à valeurs dans 8, telle que ekÀ . e- z À ~ 0 lorsque <;l{À ~ + 00 sur les bandes horizontales, pour tout k = 1,2, ... , on obtient le résultat suivant: Théorème 26.2. Il existe une correspondance biunivoque F +-> f entre les applications linéaires continues F de 8 dans un e8pace localement convexe E, complet pour les suites, et les fondion8 entières f (À) à valeurs dans E et à décroissance sous-exponentielle pour <;l{ À ~ + 00, avec '3 À borné. Cette correspondance est donnée par les formules +00 F(x) = J f(t) </Jtdt , où </J = ~-1 XE g}+ -00 f(À) =F(e- ÂÎ ), pour tout). E C. 92 J. SEBASTIAO E SILVA: Nous dirons alors que f()') est l'indicatrice laplacienne de F. Evidemment, la formule d'integration réelle, dans cet énoncé, peut être remplacée par la formule d'intégration complexe. D'autre part, si l'on pose pour toute FEL (3, E) , F sera une application linéaire continue de Ç[S+ dans E et réciproquement. Donc, le th. 26.2 donne aussi l'expression générale des applications F EL(Ç[S+, E). Nous dirons alors que f()') est l'indicatrice canonique de F. En particulier: Corollaire. Le dual de Ç[S + est (algébriquement) isomorphe à l'espace des fonc. tions numériques entières à décroissance sous-exponentielle sur les bandes horizontales à droite. On peut rendre bicontinu cet isomorphisme, en définissant, explicitement, la topologie convenable dans le sus-dit espace de fonctions entières. Alors étant donné que Ç[S+ est réflexif, on peut définir Ç[S+ comme le dual tort de cet espace de fonctions entières. 27. Le calcul opérationnel basé sur 3 En employant le th. 26.2, on peut maintenant définir un calcul opérationnel modelé sur 3, comme nous l'avons fait pour 2i~ (cf. [11] et [12]). Soit A une algèbre commutative complexe, munie d'un élément unité, e, et d'une topologie d'espace localement convexe, par rapport à laquelle le produit soit hypocontinu pour les parties compactes. Supposons en outre que l'espace A soit complet pour les suites. Alors on établit, comme dans [12], le théorème suivant: Théorème 27.1. Il existe une correspondance biunivoque F ..... a entre les homomorphismes continus F de l'algèbre 3 dans A, tels que F (1) = e, et les éléments a de A vérifiant les conditions suivantes: EL L'équation v'().) = - av().) admet, pour). complexe quelconque, une solution v(À) [que l'on désignera par e-.<a ou par exp (- À a)] telle que v(O) = e et que: E 2. Les valeurs de v().) sont des éléments réguliers de A, commutant avec a; E 3. v(À) est à décroissance sous-exponentielle pour g{À -+ + 00 avec '0). borné. Cette correspondance est définie par les formules a= F î, F rp = J exp (- À a) "o/(À) dÀ, <\ où rp E3 et ~(x"o/) = rp, avec "0/ E (fk+ . Nous poserons alors, par définition rp(a)=Frp. En particulier, a peut être l'opérateur de dérivation D E L(Ç[S+). Alors il est aisé de voir que Ultra-distributions dans le calcul opérationnel 93 pour toute ultra-distribution cp E Q3+, et qJ(D) '!fl = ~-l(qJ) * '!fl, quelles que soient qJ E3 et '!fl E Q)+. D'ailleurs, il s'agit là de l'isomorphisme, déjà signalé, entre l'algèbre multiplicative 3 et l'algèbre de convolution Q)+, puisque DCP = b' * cp et que b * cp = CP. 28. Le calcul opérationnel basé sur l'espace des fonctions entières du type exponentiel. Exemples Soit 3* l'espace des fonctions entières du type exponentiel muni de sa topologie usuelle d'espace (10 2 ), On a évidemment 3* C 30 et l'injection 3* -+ 30 est continue. Il est aisé de voir que la restriction de ~ - l à 3* est un isomorphisme topologique de l'algèbre multiplicative 3* sur l'algèbre de convolution U c' des ultra-distributions de support compact (nO. 21). D'ailleurs, cette restriction de ~-1 coïncide, à une rotation et un facteur constant près, avec la transformation de FOURIER l3' : 3* -+ U C • Il n'est pas difficile d'obtenir un résultat tout à fait analogue au th. 27.1, en remplaçant 3 par 3*, Œk+ par Q{k(oo), C k par un cercle convenable, et en supprimant la condition E 3, la fonction v(À) = exp. (- À a) devant être simplement une fonction entière. En particulier, A pourra être l'espace des applications linéaires continues de en dans lui-même, avec une topologie convenable, et a l'opérateur D de dérivation. On aura encore e-).D = pour tout À E C et T" qJ(D) '!fl = * "P ~-l(qJ) pour toute qJ E3* et toute '!fl E Q). Nous n'avons pas l'intention d'étudier ici les applications de ces calculs opérationnels. Mais il sera instructif de considérer ici quelques exemples tr~s simples. Soit d'abord l'équation ~-i~-O Gy GX , avec la condition initiale u(x, 0) == CP(x). Si l'on interprète u(x, y) comme fonction u (y) de y à valeurs dans Q) et cp comme élément de Q), cette équation prend la forme du 'D u dij='" ce qui, avec u (0) = a: , CP, conduit à la solution (unique): u(y) = eillD cp == Lit/CP. Il est encore aisé d'établir le résultat suivant: Étant donné e > 0, pour que, pour Iyl < e, 'l'-ill cP soit égale à une distribution (du type exponentiel) daM Un ouvert A de R, il faut et il suffit que cP s'identifie daM A à une fonction f(z) analytique pour ~z E A, 16z1 < ej on aura alors, pour Iyl < e 'l'II/CP == I(x (cf. nO. 16, Remarque). +i y), daM A 94 J. SEBASTIÀO E SILVA: Analoguement, on obtient l'intégrale générale de l'équation de LAPLACE à'u àx' + à'u ày' = 0, sous la forme ~t = Till rp + T-ill P, avec rp, P E 'n; et on retrouve les fonctions harmoniques complexes ,si l'on impose à u(x, y) de se réduire, dans un ouvert de R, à une distribution en x, pour certaines valeurs de y. On peut résoudre le probleme de CAUCHY pour cette équation, avec u(x, 0) = rpoE 'n, ull(x,O) = rpl E 'n, en posant u(y) = u(x, y) . Alors on obtient la solution (unique): u(y) == cos(yD) ~~ l rpo + nsen (y D) rpl [(Till + Till) rpo + ! (Ti1l - Lill) (Prpl)] , où P rpl désigne une primitive de rpl' On a, en effet: ~-1 z cos Y z = o(x+iy)+o(x-iy) ~ - 1 senyz _ H(x+iy)-JI(x-iy) 2 'z Z 2i On peut aussi résoudre le problème de DIRICHLET dans un demi-plan, avec la donnée rp E'nI sur la frontière. La solution (harmonique) est déterminée à une fonction y près, de la forme y (x, y) == e (x + i y) - e (x - i y), avec () E m; elle est unique, si, par exemple, on impose à rp d'être une distri· bution bornée, et à u(x, y) d'être bornée dans le demi-plan considéré (cf. nOs 10, Il, 12). 29. La transformation de FOURIER dans 'n Les résultats du nO. 26 nous permettent de prolonger la transformation de FOURIER à l'espace 'n des ultra-distributions de type exponentiel sur R. Soit ~~ (resp. ~;;;), pour k = 0, 1,2, ... , l'espace des fonctions cp E Œw nulles pour Sz < 0 (resp. S z > 0). Alors ~w ~ ~~ x~;;; et tout élément <P de ~ = ~"IR. peut s'écrire sous la forme rp = cp+- cp- , où cp+E ~~ et cp- E Œ;;; ces fonctions cp+ et cp- étant déterminées à une fonction E près. Designons encore par 'n o+ l'espace des ultra-distributions rp =" cp, avec cp E ~w+, telles que cp se prolonge au demi-plan ~z < 0 comme fonction holomorphe à crois· sance lente vers l'axe imaginaire; et par ~o- l'image de ~o+ par symétrie. Evidemment, les éléments de'no+ sont certaines ultra-distributions de support contenu dans [0, + 00[ . Cela posé, un raissonnement semblable à celui du nO. 23 nous conduit au résultat suivant: Proposition 29.1. Par le changement de variable z--,>-iz, l'espace ~~ s'identifie au 8ous-espace (fermé) de 8, dont l'image par ~-l est 'n o+' Essayons donc de définir l'image de FOURIER, 5' rp, d'une ultra-distribution rp = cp+ - cp- E'n par la formule du nO. 24: em 5' (/J = f eiz ). cp (À.) dÀ. (29.1) , LfJ: où l'on suppose (/J =" cp, cp E ~k et Ak la frontière de l'ensemble ISzl < k, 95 Ultra-distributions dans le calcul opérationnel orientée de façon à laisser à droite l'axe réel. Alors on aura évidemment (tr cp+) (- z) = 2 n ~ -1 cp+(iz) , d'où tr cp+ Esn&- , et on voit de même que tr cp-E ':Il o+' On aura donc tr <1) = tr cp+ - tr cp-E sn et il est maintenant aisé de voir que tr définit ainsi une application (linéaire) continue de sn dans sn. On peut, de la même façon, prolonger tr- 1 en une application continue ® : ':Il-?- sn, et il n'est pas difficile de reconnaître que pour toute <1) Esn, ce qui permet d'écrire encore, au sens usuel: ®=tr-1 . Donc Théorème 29.1. La formule (29.1) définit un isomorphisme, tr, de l'espace vectoriel topologique sn dans lui-même, et on a 1 tr- 1 <1) =2 17, J eiz ;' cp(À)dÀ, Llj pour (/J =" cp, cp E G:j , j = 1,2, ... Il est encore facile de reconnaître les propriétés usuelles de la transformation de FOURIER pour ce prolongement. Observons d'autre part que l'image de FOURIER de la restriction d'une fonction (9 E m à un des demi-plans Sz > 0, S < 0 (remplacée par la fonction nulle dans l'autre demi-plan) est une ultra-distribution de support compact (no. 21) que l'on peut identifier à une «distribution sur l'axe imaginaire, à support compact». Alors, puisque (/J = ty-1 tr <1), les raisonnements précédents montrent que Théorème 29.2. Toute ultra-distribution <1) ECJ.3 peut s'écrire sous la forme cp = (/J+ - <1)-, avec (/J+ ECJ.3 o+ et (/J- Esn o-, les ultra-distributions (/J+ et (/J- étant déterminées à une même «distribution sur l'axe imaginaire, à support compact» près. Enfin, ce théorème permet de faire, commodément, la recherche des applications linéaires continues de CJ.3 dans un espace localement convexe. En particulier, on démontre aisément que CJ.3 est le dual de l'espace des fonctions entières à décroissance sous-exponentielle sur les bandes horizontales, muni d'une topologie convenable. Donc, pour obtenir un espace qui contienne à la fois sn et l'espace D' de EHRENPREIS (voir [2] et l'introduction), il suffirait de considérer le dual de l'espace des fonctions entières de type exponentiel sur les verticales et à décroissance sous-exponentielle sur les horizontales (muni d'une topologie convenable). Bibliographie [1] DOETSCH, G.: Handbuch der Laplace-Transformation. 1. Band. Basel 1950. r2) ElIRENPREIS, L.: Analytic functions and the Fourier transform of distributioIl.'l. 1. [3] GROTHENDIECK, A.: Sur les espaces (F) et (DF), Summa Brasiliensis Math. 3, 57-122 96 J. SEBASTrAO E SILVA: Ultra-distributions dans le calcul opérationnel (1954). - [4] KOTHE, G.: Dualitat in der Funktionentheorie. J. reine angew. Math. 191, 29-49 (1953). - [5] KOTHE, G.: Die Randverteilungen analytischer Funktionen. Math. Z. 1)7 (1952). - [6] SCHWARTZ, L.: La théorie des distributions. I, II, Actuel. Scient. Ind. Paris 1950, 1951, 1957. - [7] SCHWARTZ, L.: Transformation de Laplace des distributions. Séminaire Math. de Lund, tome supplémentaire (1952), p.196-206. - [8] SEBASTIAO E SILVA, J.: As funçoes analiticas e a anaIise funcional. Thèse, 1948 (Portugaliae Math. 1950). - [9] SEBASTlAO E SILVA, J.: Sur une construétion axiomatique de la théorie des distributions. Rev. Fac. Ciências Lisboa, 2a. série, A, 4, 79-186 (1954{55).[10] SEBASTIAO E SILVA, J.: Su certe classi di spazi localmente convessi importanti per le applicazioni. Rend. Math. Univ. Roma, serie T, 14, 388-410 (1955). - [Il] SEBASTriO E SILVA, J.: Le calcul opérationnel au point de vue des distributions. Portugaliae Math. 14, 105-132 (1955). - [12] SEBASTIAO E SILVA, J.: Sur l'espace des fonctions holomorphes à croissance lente à droite. Portugaliae Math. 17, 1-17 (1958). - [13]Séminaire SCHWARTZ, 1953-54, Sécrétariat Mathématique, Faculté des Sciences de Paris. - [14] TILLMANN, H. G.: Randverteilungen analytischer Funktionen und Distributionen. Math. Z. 1)9, 61-83 (1953). - [15] TITCHMARSH, E. C.: Theory of Fourier IntegraIs. Oxford 1937. - [16] WIDDER, D. V.: The Laplace Transform. Princeton 1946. (Eingegangen am 1. April 1958)