Les fonctions analytiques comme ultra

SEBASTIAO E SILVA, J.
Math. Annalen, Bd. 136, S. 58-96 (1958)
Les fonctions analytiques comme ultra-distributions
dans le calcul opérationnel
Par
J. SEBASTIÀO E SU,VA à Lisbonne
A Monsieur HEINRICH BEHNKE, à l'occasion de son 60me anniversaire
Introduction
Dans notre article «Le calcul opérationnel au point de vue des distri-
butions» (voir Bibliographie, [11]
et [12]) nous avons étudié d'abord l'espace
-que nous désignons maintenant par Qi~ -des fonctions <p(z) holomorphes
à croissance
lente sur des demi-plans ~z > k, k = 0,1, ... , ces fonctions
étant les images de LAPLACE des distributions nulles à gauche de l'origine et
de type exponentiel à droite; ensuite, pour donner un sens à des «fonctions
del'opérateurD» telles que exp iD, sen VD, etc. (voir ici nO. 28), nous avons
considéré, plus généralement, l'espace -que nous notons maintenant 8 -
des fonctions holomorphes de type exponentiel sur des demi-plans ~z > k.
Or, pour prolonger à 8 la transformation inverse de LAPLACE, ~-1, il faut
sortir du cadre des distributions, en ajoutant de nouveaux êtres à l'espace
de
distributions considéré, A+oo , image de Qi~ par ~-1 - et il nous a semblé
naturel d'appeler «ultra-distributions» ces entités, ainsi que les distributions
elles-mêmes (pour commodité de langage). Une telle extension de A+oo
pourrait s'obtenir immédiatement, en considérant le complété de A+oo pour la
topologie image, par ~-1, de la topologie induite dans Qi~ par 8 (Qi~ étant
dense dans 8). Mais c'était là une solution triviale, qui nous sembla peu
maniable et dépourvue d'intérêt. Notre but était de représenter les ultra-
distributions par des fonctions analytiques, de manière à pouvoir traduire
la somme, le produit par polynômes, la dérivation et les translations, par
ces opérations appliquées aux fonctions analytiques elles-mêmes de la façon
usuelle. D'ailleurs, certains espaces, que
l'on pouvait dire aussi de «ultra-
distributions», av~ient déjà été considérés.
D'une part, M. KOTHE, dans [5J, avait introduit les «Randverteilungen»
(c.a.d. «ultra-distributions de frontière») des fonctions f(z) holomorphes
dans le complémentaire d'une courbe (t analytique, simple et fermée, identi-
fiant ensuite une partie de ces Randverteilungen aux distributions sur (t au
sens de SCHWARTZ. Cette conception a été généralisée par M. TILLMANN,
dans [14J, au cas de produits (dans en) de lignes analytiques simples, ouvertes
ou fermées.
D'autre part M. EHRENPREIS, dans le but de prolonger à tout l'espace ~'
des distributions, la transformation 5' de FOURIER, définie par M. SCHWARTZ

Ultra-distributions dans le calcul opérationnel 59
comme un automorphisme topologique de l'espace e' (des distributions
tempérées ou «à croissance polynômiale»), a considéré, dans (2], l'espace
image
de~' par 5', comme le dual topologique de l'espace D =5'(~) des fonc-
tions entières à décroissance rapide sur l'axe réel et de type exponentiel sur
les verticalesl) :
5' (~') = (5' (~»' = D' .
Pour atteindre notre but initial, nous avons dû adopter un point de vue
mixte, qui tient à la fois de celui de M. KOTHE et de celui de M. EHRENPREIS,
tout en divergeant de l'un et de l'autre: seul l'espace des ultra-distributions
qu e nous appelons ici «tempérées» est identifiable à un sous-espace de D',
et il n'est pas contenu (ni ne le contient, à ce que nous pensons) l'espace
des
Randverteilungen de KOTHE-TILLMANN sur l'axe réel. (Nous nous bor-
nons ici au cas d'une seule variable, mais l'extension au cas de n variables,
que nous
nous proposons d'exposer dans un prochain travail, n'offre pas de
difficultés sérieuses).
Au lieu
de prolonger 5' à l'espace ~' de toutes les distributions sur R (ce
dont nous
n'avions pas besoin), nous avons pris pour point de départ un
espace compris entre e' et ~' -celui des distributions de «type exponentiel
à droite et à gauche» que nous désignons ici par Aoo (voir nO. 8) - et nous
avons envisagé une extension, U, dee',de façon à prolonger5' en un isomorphisme
topologique de
Aoo sur U. Ce sont les éléments de U que nous appelons «ultra-
distributions tempérées» .
Pour réaliser U, on pourrait tout simplement utiliser la construction de
M. EHRENPREIS, en considérant U comme le sous-espace de D' qui est
l'image de Aoo par 5'. On pourrait aussi employer la méthode de complétion
topologique, indiquée plus
haut, qui servirait d'ailleurs, également, pour
construire 5' (~'). Mais, comme nous l'avons déjà dit, notre but était d'obtenir
une représentation concrète des ultra - distributions au moyen de fonctions
analytiques,
ce qui, outre les avantages indiqués, permettrait d'introduire
un critère convenable de localisation (no. 20) et d'étudier commodément les
op érateurs linéaires continus définis dans U, au moyen d'une intégration
complexe, voisine de la notion usuelle d'intégrale (nos. 13-19). Or la façon
la plus directe,
et presque immédiate, de parvenir à cette réalisation fonction-
nc lle de U, est celle que nous avons adopté ici (no. 8):
Chaque TE Aoo admet la décomposition T = T+- T-, où T+ (resp. T-)
es t une distribution de Aoo nulle à gauche (resp. à droite) de l'origine, ces
distributions
T+ et T- étant déterminées à une même combinaison linéaire
près de dérivées
de b. Or, si l'on adopte la formule
+00
5'T+= f e"
u Ti;
du,
- 00
où z est la variable complexe x + i Y et où l'intégrale par rapport à T+ est
définie par prolongement continu, la transformation 5', appliquée aux distri-
butions T+ (EA+oo ), s'identifie à la transformation de LAPLACE suivie du
') Pour commodité de notation nous désignons toujours par ff les divers prolonge.
ments de
la transformation de FOURIER et par ~ ceux de la transformation de LAl'LACE .

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J. SEBASTIAO E SILVA:
changement de variable z ->- -i z. Donc 5' T+ (resp. 5' T- ) est représentée
par une fonction rp + (resp. rp - ) holomorphe à croissance lente dans un demi
plan 5z >k (resp. 5 z < -k). Alors 5' T se «réalise» par le couple (rp +, rp - ) de telles
fonctions, i.e.
par une fonction rp{z) holomorphe à croissance lente dans l'ouvert
15 zl > k, cette fonction étant déterminée à un polynôme près (image d'une
combinaison linéaire de dérivées de
~). Il est alors naturel de poser 5' T = rp + - qr
(convention analogue à celle des vecteurs comme différences de points); d'ail-
+ 00
leurs, cette diffërence reprend le sens usuel, lorsque les intégrales f e
izu
T~ du ,
o 0
. f e
iz
t T;; du sont convergentes pour tout z E R, l'intégrale de FOURIER
-00
jouant ici un rôle tout à fait analogue à celui de la série de LAURENT pour les
Randverteilungen de KOTHE (voir encore th. 10. 1.).
Dans cette interprétation fonctionnelle de l'espace U, il est essentiel de
préciser quelles sont les fonctions rp qui représentent les distributions tem-
pérées: ce sont les fonctions holomorphes en dehors de l'axe réel, à croissance
lente vers cet axe et vers l' 00 (th. 12. 1.). Le passage de la «représentation
réelle» à
la «représentation complexe» s'effectue par la transformation de
STIELTJES généralisée et légèrement modifiée (nO _ 19), la distribution ~ donnant
lieu à la fonction -1 / (2 n i. z) et la «formule intégrale de DIRAC» étant rem-
placée par la «formule intégrale de CAUCHY». Voilà donc les racines profondes
de l'analogie
frappante, que nous avions déjà signalée dans [11 J, entre ce s
deux formules.
Dans le nO. 21, on étudie les ultra-distributions (tempérées) à support
compact. Considérées comme
opérateurs de convolution, elles s'identifient à
certains
opérateurs différentiels d'ordre fini ou infini (ces derniers n'ayant
pas de sens en théorie des distributions).
Ensuite, on étudie la transformation de LAPLACE pour les ultra-distri-
butions tempérées de support limité à gauche (th . 23. 1). Leurs images par ~
forment un sous-espace de 8. Pour interpréter ~ - l (8) on est amené naturelle-
ment à élargir U: on obtient alors l'espace 'D des ultra-distributions de type
exponentiel
sur R - contenant à la fois U et A oo (ce dernier n' est plus contenu
dans l'espace D' de EHRENPREIS). L'image de 8 par ~-1 est donc l'espace 'D t
des distributions de type exponentiel sur R et de support limité à gauche
(th. 26.1): voilà donc atteint notre but initial. Le calcul opérationnel général
établi dans [Il J et [12J pour Ql~ et Qt~ s'étend maintenant à 8 (no. 27). En
particulier, l'opérateur e
hD
, avec h complexe quelconque, est bien la translation
Th' qui n'a de sens pour les distributions que si h estréel; et certains développe-
ments en série, défendus en théorie des distributions, deviennent maintenant
utilisables. Au nO _ 28 on donne une première esquisse d'application de ces méthodes.
Enfin, la transformation de FOURIER se prolonge en un automorphisme
vectoriel-topologique de'D : ainsi
la belle symétrie créée par M. SCHWARTZ avec son
espace €l'est rétablie dans Q3, par une sorte de synthèse FOURIER-LAPLACE
2).
S) Tandis que li s'identifie au dual de l'espace des fonctions entières à décroissance
rapide
sur R, 'iD peut s'interpréter comme le dual de l'espace des fonctions entières 8.
décroissance Bous-exponentielle sur R, qui cohtcide avec son image de FOURIER.

Ultra-distributions dans le calcul opérationnel
61
No.
Tableau des principales notations employées
1. Qiw (F) : espace des fonctions holomorphes à croissance lente sur un
ensemble fermé F .
1. Espaces (0
1
): -espaces de SCHWARTZ métrisables complets; appelés
espaces
(rm*) dans [10].
1. Espaces (0
2
): -duals forts des espaces (01) ; appelés espaces (~m*) dans [10).
3. ~\} (CD): espace des fonctions holomorphes à décroissance presque rapide
dans tout ensemble CD
k (complémentaire de Dk
).
5. Ql~ (resp. Qi;;;): -espace des fonctions holomorphes à croissance lente sur
des demi-plans droits (resp. gauches).
6. A+ 00 (resp. A_ (0): -espace des distributions du type exponentiel, nulles
à gauche (resp. droite) de l'origine.
6, etc. ~: - transformation de LAPLACE.
8. Q(~+ (resp. Q(~-): -image de Qi~ (resp. Qi;;;) par le changement de variable
z-'>- - iz .
8. Qiw=' Qi~ X QI;;;, Qi~= Qi:'; X Qi~ - .
8. II: -espace des polynômes en z.
8. U = QiUlI, espace des ultra-distributions tempérées.
8. x: -application canonique de Qi~ dans li (interprétation analogue pour
d'autres espaces).
8. A oo : - espace des distributions du type exponentiel sur R.
8, etc. 'J: - transformation de FOURIER.
Il. U,: -espace des ultra-distributions tempérées de frontière.
15. rmu: -espace des opérateurs de multiplication dans U.
17. <ru: -espace des opérateurs de convolution dans li.
21. llc: -espace des ultra-distributions tempérées à support compact.
22. U+: -espace des ultra-distributions tempérées de support limité à gauche.
2:l. 80: -image de LAPLACE de U+.
24. 8: -limite inductive des espaces Tk 80' k = 0, 1,2, ...
25. Œw: -espace des fonctions holomorphes dans des ensembles l\Jzl > k,
à croissance lente sur les verticales et du type exponentiel sur les horizon-
tales.
25. m: -espace des fonctions entières du type exponentiel sur les horizontales
et à croissance lente sur les verticales.
25. en = ŒJJ7., espace des ultra-distributions du type exponentiel sur R..
25. en,: -espace des ultra-distributions rp E en de frontière.
26. en+: -espace des ultra-distributions du type exponentiel sur R. et de
support limité à gauche, image de 3 par ~-1.
Tou8 le8 e8pace8 vectoriels ici considérés 8eront des e8paces vectoriels sur le
Corps complexe.