Table des matières 1 Pourcentages et variations

UNIVERSITÉ PARIS OUEST NANTERRE LA DÉFENSE
U.F.R. SEGMI Année universitaire 2016 – 2017
L1 Économie Cours de B. Desgraupes
Statistiques Descriptives
Séance 06: Taux de croissance et indices élémentaires
Table des matières
1 Pourcentages et variations 1
1.1 Calculs de taux ............................ 1
1.2 Taux global et taux moyen ..................... 2
1.3 Évolution des grandeurs composites ................ 6
2 Notion d’indice 7
3 Propriétés des indices 8
3.1 Circularité ............................... 9
3.2 Réversibilité .............................. 9
4 Indices élémentaires 9
5 Exercices complémentaires 10
1 Pourcentages et variations
L’expression “a%” (lue “apour cent”) désigne, par convention, le rapport a
100.
On l’utilise avec les fréquences, qui sont comprises entre 0 et 1, pour ramener
l’effectif total à la valeur 100, ce qui permet plus facilement de faire des com-
paraisons.
Par exemple, si on a un effectif de 140 parmi 168 observations, ou un effec-
tif de 12345 parmi 14814 observations, il n’est pas facile de dire quelle est la
proportion la plus forte. En l’occurrence, c’est la même ! En effet:
12345
14814 =140 168 =5 6= 0.8333333 = 83,33%
1.1 Calculs de taux
Dans l’exemple précédent, on passe de 140 à 168 (ou de 12345 à 14814) en
multipliant par 6/5=1,2. Il s’agit d’une progression de 20%.
1

De manière générale, si rest un taux de variation, une quantité Qest aug-
mentée de ∆Q=r×Qet devient donc
Q+ ∆Q=Q+r×Q= (1 + r)Q
La quantité Qa finalement été multipliée par (1 + r). Le terme (1 + r)est
appelé le coefficient multiplicateur associé au taux de variation r.
Remarque : le nombre rest positif dans le cas d’une grandeur qui croît et
négatif dans le cas d’une grandeur qui décroît.
Appliquer nfois de suite un taux de variation r, revient à multiplier nfois
par le coefficient multiplicateur m= 1 + r.
Cela revient finalement à multiplier par (1 + r)n.
Si on note Qnla valeur au temps nd’une quantité qui augmente de r%, on
a la formule :
Qn=Q0(1 + r)n
•Exemple
Si une quantité augmente au taux de 1% = 0,01, elle est multipliée par 1,01.
Au bout de 10 périodes, elle a été multipliée par 1,0110 = 1,104622. Son taux
de variation au total est donc de 1,104622 −1=0,104622 ≈10,46%.
En conclusion, les taux de variation ne sont pas additifs: 10 fois 1% ne font
pas 10% mais 10,46% !
1.2 Taux global et taux moyen
Lorsqu’une grandeur varie sur une période de tannées, on peut calculer son
taux de croissance global sur cette période.
Si elle passe de la valeur V0à la valeur Vt, ce taux global est de :
τ=Vt−V0
V0
=Vt
V0−1
Le rapport Vt
V0
apparaît donc comme le coefficient multiplicateur sur la période
globale puisque : Vt
V0
= 1 + τ
Définition 1.1. Le taux d’accroissement annuel moyen est le taux qui donnerait
le même taux global au bout de la même période de tannées.
On le calcule selon la formule :
α=t
rVt
V0−1
2

En effet, les coefficients multiplicateurs sont liés par la relation :
1 + τ= (1 + α)t
⇐⇒ (1 + α) = t
√1 + τ
⇐⇒ α=t
√1 + τ−1
⇐⇒ α=t
rVt
V0−1
Exercice 1
Pendant une année, une valeur boursière a augmenté chaque mois de 0.5%.
Quel est son taux annuel d’accroissement ?
•Corrigé
Si on note ale taux annuel, la valeur boursière a été multipliée par (1 + a)
au bout d’un an.
Si on compte mensuellement, elle a été multipliée chaque mois par (1 +
0,5/100), donc au bout de douze mois elle a été multipliée par (1 + 0,5/100)12.
On a donc l’égalité :
1 + a= (1 + 0,5/100)12 = 1,00512 = 1,061678
Par conséquent :
a= 0,061678 ≈6,17%
Exercice 2
Une grandeur Qaugmente de 15% sur une année: calculer, en pourcentage,
le taux mensuel qui donnerait le même accroissement.
•Corrigé
Si on note mle taux mensuel, la grandeur Qest multipliée par (1 + m)
chaque mois et donc par (1 + m)12 au bout de douze mois.
Au taux annuel de 15%, elle a été multipliée par (1 + 15/100).
On a donc l’égalité :
(1 + m)12 = 1,1 =⇒1 + m= 1,15 1
12 = 1.011715
Par conséquent :
m= 0,011715 ≈1,17%
Exercice 3
La taille d’un arbuste a triplé en deux ans.
3-1 ) Quel est son taux de croissance global ?
3-2 ) Quel est son taux de croissance moyen par trimestre ?
•Corrigé
3

Le taux de croissance global est
τ=V2
V0−1 = 3V0 V0−1=3−1 = 2 = 200%
Il y a huit trimestres sur la période considérée. Si on note tle taux trimestriel
moyen, on aura :
t=8
rV2
V0−1 = 8
r3V0
V0−1 = 8
√3−1=0,1472 = 14,72%
Exercice 4
Une quantité a augmenté de 25% en un an. Quel taux faudrait-il appliquer
l’année suivante pour la ramener à sa valeur initiale ?
•Corrigé
Appelons rle taux inconnu. Si Qest la quantité, elle est soumise succes-
sivement à un coefficient multiplicateur de 1,25 puis de (1 + r).
On doit donc avoir :
Q×1,25 ×(1 + r) = Q
⇐⇒ 1,25 ×(1 + r)=1
⇐⇒ 1 + r=1
1,25
⇐⇒ r=1
1,25 −1=0,8−1 = −0,2
Le taux est négatif : la grandeur doit diminuer de 20% pour compenser
l’augmentation de 25%.
Exercice 5
Un capital a perdu un tiers de sa valeur. De quel pourcentage devrait-il
augmenter pour retrouver sa valeur initiale ?
•Corrigé
Ce capital Ka été multiplié par 1−1
3=2 3. Il est devenu 2 3K.
Si rest le taux cherché, il doit faire en sorte que, en multipliant par (1 + r),
on retrouve K:
2
3K×(1 + r) = K⇐⇒ 1 + r= 3/2=1,5
Par conséquent :
r= 0,5 = 50%
Exercice 6
4

Une somme de 1000 euros a été placée à un taux d’intérêt de 2% pendant 3
ans, puis 3% pendant 5 ans et 4,5% pendant 4 ans.
6-1 ) Calculer sa valeur au bout des 12 années.
6-2 ) Calculer le taux annuel moyen.
•Corrigé
La valeur au bout de 12 ans est :
V12 = 1000 ×(1 + 2/100)3×(1 + 3/100)5×(1 + 4,5/100)4
= 1000 ×(1,02)3×(1,03)5×(1,045)4
= 1000 ×1,061208 ×1,159274 ×1,192519
= 1467,07
Le taux annuel moyen aest :
a=12
rV12
V0−1 = 12
r1467,07
1000 −1 = 12
p1,46707 −1=0,03245446 ≈3,25%
Exercice 7
Les notes de conjoncture de l’INSEE concernant le chiffre d’affaires dans
l’industrie et la construction au premier semestre 2014 indiquent les résultats
suivants :
•en janvier 2014, stable par rapport à décembre (0,0 %)
•en février 2014, progresse par rapport à janvier (+0,9 %)
•en mars 2014, diminue par rapport à février (-0,5 %)
•en avril 2014, quasi stable par rapport à mars (+0,1 %)
•en mai 2014, diminue par rapport à avril (-1,4 %)
•en juin 2014, progresse par rapport à mai (+1,9 %)
7-1 ) Calculer le taux de progression sur le semestre.
7-2 ) Calculer le taux mensuel moyen sur cette période.
•Corrigé
Les coefficients multiplicateurs se multiplient entre eux :
(1 + 0) ×(1 + 0,009) ×(1 −0,005) ×(1 + 0,001)
×(1 −0,014) ×(1 + 0,019)
= 1,009716
Le chiffre d’affaires dans l’industrie et la construction a donc progressé de
0,009716 c’est-à-dire 0,97% de décembre à juin.
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