Traitement du Signal

Traitement du Signal
James L. Crowley
Deuxième Année ENSIMAG
Séance 3 :
quatrième Bimestre 1999/00
7 mars 2000
Superposition, Convolution, et La Fonction de Transfert
Formule du Jour : Le Convolution Numérique....................2
Superposition :.............................................................................3
Principe de Superposition :.......................................................3
Forme Continu :......................................................................3
Forme Discrèt :.......................................................................3
La réponse à une impulsion. .....................................................4
Le Convolution............................................................................6
Convolution Analaloqie............................................................6
Convolution Numérique...........................................................6
Intercorrélation (Anglais : “CrossCorrelation”).........................7
La Fonction de Transfert...........................................................8
Fonction de Transfert d'un Système Discrèt : La TFTD..............8
Fonction de Transfert d'un Système Continu ..............................10
Dérivation de la Fonction de Transfert. .....................................10
Superposition, Convolution et la Fonction de Transfert
Séance 3
Formule du Jour : Le Convolution Numérique.
Soit x(n) de durée n ∈ [0, Nx-1] et h(n) de durée n ∈ [0, N h-1].
x(n) 0 ≤ n ≤ N x-1,
h(n) 0 ≤ n ≤ N h-1
x(n) et h(n) sont nuls hors de leur intervalle de définition.
La convolution apériodique (ou linéaire) de x(n) avec h(n) est une produit scalaire
entre x(n) et h(n) pour chaque position entre 0 et Nx+Nh-2.
x(n) * h(n) = <h, x(–n)> =
N x+Nh-2
∑ h(m) . x(n–m) =
m=0
N x+Nh-2
∑ h(n–m) . x(m)
m=0
La taille de la résultat est de Nx + N h –1 échantillons.
3-2
Superposition, Convolution et la Fonction de Transfert
Séance 3
Superposition :
Principe de Superposition :
La réponse d’un système linéaire est une composition (une superposition)
des réponses des entrés. Le réponse de chaque entré est indépendant aux autres.
Le principe de superposition est fondamentale à l'analyse des systèmes.
Forme Continu :
Soit les signals x(t), y(t). Un système physique, f[], obéis "superposition" si
f[Ax(t) + Ay(t)] = A f[x(t)] + B f[y(t)]
Exemple : Les systèmes physique de transmission par onde electro-magnetique
f(x(t))
x(t)
Transmission
f(x(t))
x(t)
Forme Discrèt :
Soit les signals x(n), y(n). Un système f[] est obéi superposition si
f[x(n) + y(n)] = f[x(n)] + f[y(n)].
3-3
Superposition, Convolution et la Fonction de Transfert
Séance 3
La réponse à une impulsion.
Des signaux sont typiquement “disperser” par leur transition au travers un système
physique linéaire. Ceci est dû au diversités de chemins possible, et au phénomène de
resonance.
Exemple, imaginez les chemins emprunter par un photon en transit d’une fibre
optique de longueur L.
A cause des reflexions internes l'impulse sera disperser.
δ(t)
g(t)
Transmission
t
t
Un système linéaire est modèlisé par sa réponse à une impulse, δ(t).
δ(t)
Reponse Impulsionnelle :
* f(t)
f(t)
f(t) = f[δ(t)].
Un signal x(t) peut être considéré comme une suite d'impulse δ(t–k∆T) pour
∆T -> 0.
∞
∞
x(t) = ∫ x(τ) δ(t–τ) dτ =
Lim {x(k∆T) δ(t–k∆T)}
–∞
k=–∞ ∆T→0
La sortie d'un système est un superposition des reponses de ces impulses.
∑
∞
y(t) = f[x(t)] = f[
∑
Lim {x(k∆T) δ(t–k∆T)}]
k=–∞ ∆T→0
3-4
Superposition, Convolution et la Fonction de Transfert
Séance 3
∞
y(t) = f[x(t)] =
∑
Lim { f[x(k∆T) δ(t–k∆T)]}
∆T→0
k=–∞
mais chaque x(k∆T) est une constant pour k, donc x(k∆T) = f[x(k∆T)]
∞
y(t) = f[x(t)] =
par définition :
∑
Lim { x(k∆T) f[δ(t–k∆T)] }
∆T→0
k=–∞
f[δ(t–k∆T)] = f(t–k∆T)
∞
f[x(t)]
=
f[x(t)]
=
∑
Lim { x(k∆T) f(t–k∆T) }
∆T→0
k=–∞
∞
∫ x(τ) f(t–τ) dτ
–∞
La sortie du f[x(t)] est le "convolution" de f(t) avec x(t).
3-5
Superposition, Convolution et la Fonction de Transfert
Séance 3
Le Convolution
Convolution Analaloqie
L’équation générale du convolution est une application du principe
superposition. Il s'agit de somme de reponse impulsionnelle pour les reponse
∞
∞
y(t) = x(t) * f(t) = ∫ x(t–τ) f(τ) dτ = ∫ x ( τ) f(t–τ)dτ
–∞
–∞
de
La convolution est l’opération de traitement de signale la plus fondamentale. Elle
indique que la valeur du signal de sortie à l’instant t est obtenue par la sommation
(intégrale) pondérée des valeurs passées du signale d'excitation x(t). La fonction de
pondération est précisément la réponse impulsionnelle f(t).
Convolution Numérique
Soit deux séquence échantillonnée numérique de durée finie, N et M.
Soit x(n) de durée n ∈ [0, Nx-1] et h(n) de durée n ∈ [0, N h-1].
x(n) 0 ≤ n ≤ N x-1,
h(n) 0 ≤ n ≤ N h-1
Les séquences apériodique sont nuls hors de leur intervalle de définition.
La convolution apériodique de x(n) avec h(n) est une produit scalaire entre x(n) et
h(-n) pour chaque position entre 0 et Nx+Nh-2.
y(n) = x(n) * h(n) =
N x+Nh-2
∑ x(m) . h(n–m) =
m=0
N x+Nh-2
∑ x(n–m) . h(m)
m=0
La taille de la résultat est de Nx + N h –1 échantillons.
3-6
Superposition, Convolution et la Fonction de Transfert
Séance 3
Demonstration. Le premier valeur non nul est cré pour
n=0:
n = Nx + Nh – 1 :
x(m) non-nul pour 0 ≤ m ≤ N x-1,
h(n-m) non-nul pour h(n) -Nh+1≤ m ≤ 0
x(n) non-nul pour 0 ≤ n ≤ N x-1,
h(n-m) non-nul pour h(n) Nx – 1 ≤ m ≤ N x + N h – 1
ie. ( n-Nh-1 < m < n)
Intercorrélation (Anglais : “CrossCorrelation”)
Soit deux signaux réel x(t) et y(t).
L’Intercorrélation, ϕ(τ), est une produit scalaire avec une décalage τ, pour
tous les valeurs de τ possible :
ϕ(τ) = x(t) ⊗ y(t) = <x(t), y(t–τ)> = <x(t+τ), y(t)>
∞
∞
= ∫ x(t) y(t–τ) dt = ∫ x(t+τ) y(t) dt
–∞
–∞
Nota : Le Convolution est une intercorrelation dans lesquel un des signaux et
renversée dans le temps. (t+τ) -> ( –t +τ) = (τ–t)
∞
x(t) * y(t) = <x(t), y(τ–t) > =
∫
–∞
x ( τ–t) y(t) dt =
∞
∫
x(t) y(τ–t)dt
–∞
3-7
Superposition, Convolution et la Fonction de Transfert
Séance 3
La Fonction de Transfert
Fonction de Transfert d'un Système Discrèt : La TFTD
La Transformée de Fourier de Temps Discrète (TFTD) ou "DTFT"en Anglais.
est défini par :
∞
X(ω) =
∑ x(m) e–jωm
m=–∞
Dérivation :
Pour tout fonction linéaire (convolution, corrélation)
les fonctions caractéristiques sont les exponentiels complexes:
e±jωt
= Cos(ω t) ± j Sin(ω t)
C.-à-d. Une fonction linéaire h(n) modifiera chaque exponentielle, ω o
par une attentuation (ou amplification), et d’une rétard en temps (phase).
L'attenuation et le retard sont exprimé par une fonction complexe H().
Rappel que les exponentielles sont forment une base orthogonale :
< ejω 0t, ejω 1t> =
∞
∫
–∞
ejω 0t ejω 1t dτ
=
δ(ω ο – ω 1)
Les exponentiels complexes sont les fonctions caractéristiques
pour les fonctions linéaires tel que convolution et corrélation.
C.-à-D, le convolution par h(t) avec une exponentielle donne le même exponentielle
mais décalée en temp et multiplié en amplitude par H(ejω ) .
H(ejω )
ejωt
=
h(n) * ejωt
3-8
Superposition, Convolution et la Fonction de Transfert
H(ejω ) ejωn
Séance 3
∞
∑ h(m) ejω(n–m)
=
m=–∞
H(ejω ) ejωn
∞
∑ h(m)
=
ejωn e–jωm
m=–∞
H(ejω ) ejωn
∞
∑ h(m) e–jωm
= ejωn
m=–∞
H(ejω ) = H(ω) =
∞
∑ h(m) e–jωm
m=–∞
Interêt : Convolution en temps est équivalent d'un produit en domaine Fréquence.
y(n) = x(n) * h(n)
⇔
Y(ω) = X(ω) H(ω)
H(ω) décrit l'effet sur chaque fréquence d'une filtre h(n).
Exemple :
Soit le séquence h(n) = 1 2 1 pour n = –1, 0, 1
H(ω) = 1 e–jω(–1) + 2 e0 + 1 e–jω(1) = 2 + ejω + e–jω = 2 + 2 cos(ω).
4
ω
-π
0
π
La TFDF est définie pour TOUS les valeurs de ω.
Mais il est périodique, avec un période de 2π.
On utilise l'interval –π < ω ≤ π
3-9
Superposition, Convolution et la Fonction de Transfert
Séance 3
Fonction de Transfert d'un Système Continu
Un système linéaire est modélisé par sa réponse impulsionnelle :
δ(t)
f(t) = f[δ(t)]
* f(t)
f(t)
La fonction de transfert est la transformée de Fourier du réponse impulsionnelle.
Interêt : Convolution en temps est équivalent d'un produit en domaine Fourier.
y(t) = x(t) * g(t)
⇔
Y(ω) = X(ω) G(ω)
Dérivation de la Fonction de Transfert.
Les signaux ejωt sont les fonctions caractéristique d'un systemè linéaire.
Le fonction de transfert d'un système h(t) est une fonction complexe H(ejω )
qui donne le changement d'amplitude et phase unique à chaque ejω 0t.
Donc, pour un entré ejω 0t :
h(t) * ejωt
∞
= H(ejω ) ejωt =
h(τ) ejω(t–τ) d τ
–∞
∞
=
h(τ) ejωt e–jωτ dτ)
–∞
∞
jω
jωt
jωt
H(e ) e
=e
h(τ) e–jωτ dτ
–∞
∫
∫
∫
H( ejω ) = H(ω) =
∞
h(τ)
–∞
∫
e–jωτ dτ
3-10
Superposition, Convolution et la Fonction de Transfert
Séance 3
Séance 3 : Excercices
1) : x(t) = δ(t–t 0) + δ(t–t1) et
∞
y(t) =
∫
–∞
x ( τ) g(t–τ) dτ =
g(t) = e–at
∞
∫ [ δ(τ–t0) +δ(τ–t1)] e–a(t–τ) dτ
–∞
∞
∫ [ δ(τ–t0) + δ(τ–t1)] eaτ dt
–∞
∞
∞
aτ
= e–at
δ(τ–t
)
e
dt
+
∫
∫ δ(τ–t1) e aτ dt
0
–∞
–∞
= e–at
{
}
= e –a(t–to) + e–a(t–t1)
∋
∋
2) : soit x(t) =
g(t) = e–at
(t – t0) – (t –t1) et
∞
y(t) = ∫ x ( τ) g(t–τ) dτ =
[ (τ–t0)– (τ–t1)] e–a(t–τ) dτ
–∞
–∞
∞
= e–at
[ (τ–t0)– (τ–t1)] eaτ dt =
–∞
t1
1
= e –at
e aτ dt
e–at a eato – e at1
t0
∋
{∫
∋
∫
∋
∫
∋
∞
}=
{
}
3) La fonction triangulaire normalisée (intégrale unité) est définie de la manière
suivante :
| to | ≤ 1
 1 – | t o |
tri(t)

 0
| to | > 1
Vérifier analytiquement et graphiquement la rélation tri(t) = rect(t) * rect (t)
Réponse :
rect(t) * rect (t) =
∞
∫
rect(τ) rect(t–τ) dτ
–∞
3-11
Superposition, Convolution et la Fonction de Transfert
Séance 3
∞
1
1
1
1
= ⌠
 [ (τ+2)– (τ–2)] [ (t–τ–2)– (t–τ+2)] dτ
⌡
–∞
∞
1
1
1
1
1
1
1
1
= ⌠
 [ (τ+2) (t–τ–2)– (τ+2) (t–τ+2)– (τ–2) (t–τ–2)+ (τ–2) (t–τ+2)]dτ
⌡
–∞
1
1
= ra(t–2) – 2 ra(t) + ra(t+2) = tri(t)
∋
∋
3-12
∋
∋
∋
∋
∋
∋
∋
∋
∋
∋
Superposition, Convolution et la Fonction de Transfert
Séance 3
4) Calculer et esquisser graphiquement pour les cas t0 < t1 et t0 > t1, le
produit de convolution z(t) = x (t) * y(t) pour le cas suivant :
πt
t
x(t) = cos( T ) rect( T )
y(t) = A δΤ (t)
Nota : ( δΤ (t) =
∞
∑
δ(t – kT))
k=–∞
Réponse :
πt
t
πt
z(t) = A repT{ cos( T ) rect(T ) } = A | cos( T ) |
3-13