Inversion de données pour l`imagerie spectrale sur

Inversion de données pour l’imagerie spectrale
sur-résolue en astronomie
François O RIEUX 1, Thomas RODET 1, Jean-François G IOVANNELLI 1 et Alain A BERGEL 2
orieux, rodet, giovannellilss.supele.fr / alain.abergelias.u-psud-fr
1Laboratoire des Signaux et Systèmes (CNRS – Supélec – UPS )
Supélec, Plateau de Moulon, 91192 Gif–sur–Yvette Cedex, France
2Institut d’Astrophysique Spatiale (CNRS – UPS )
Université Paris-Sud, Bât. 121, 91405 Orsay, France
O
1
C
F
(i; j )
R
0
0
Ciel
f
Convolution par
l’ouverture O
(; ; )
1.2
Résumé
Nous nous intéressons à l’inversion de données infrarouges issues
du spectromètre IRS du satellite S PITZER [1]. Les obstacles rencontrés sont la complexité de l’instrument et un phénomène de souséchantillonnage. Tout d’abord, un modèle instrument réaliste, continue et explicite est obtenu avec des approximations gaussiennes
pour les réponses, mais surtout avec une décomposition originale
du ciel sur des gaussiennes également. Ensuite, à l’aide de ce modèle et de la redondance des données, nous avons développé une
nouvelle méthode d’estimation d’un ciel sur-résolu. Cette méthode
repose sur l’inversion des données par minimisation d’un critère quadratique réalisée par un algorithme de descente. Les premiers résultats mettent en évidence un gain significatif en résolution (
2).
Troncature
par la fente F
Diffraction par
le réseau R
Troncature par la fente
3
• Troncature de f
• « Supprime » (laisse sa place à )
1.3
r
Sortie modèle
Intégration par
le capteur C
C (i; j )
Inversion
• Problème inverse mal posé
• Pénalisation quadratique des différences [7]
J (x) = jjy
Hxjj2 + jjD xjj2 + jjDxjj2
• Estimateur : ^
x = arg minx J (x)
Diffraction par le réseau
• Angle de sortie dépend de et [3]
• Seul premier mode observé
• Optimisation : descente de gradient
sin 0
0
2
hr (; ; ) = sin (u m) où u =
I
4
Résultats
• Dimensions spatiales :
– Méthode classique (co-addition des données)
100
1 Modèle instrument
80
Reproduction des mesures à partir d’un flux :
60
1. Convolution par l’ouverture
40
2. Troncature par la fente
20
3. Diffraction par le réseau
4. Intégration capteur.
1.1
• Approximation par une gaussienne h~r
• A la sortie du réseau (+ 2 intégrales)
Z Z
r (0; ) =
Convolution par l’ouverture
• Diffraction par l’ouverture [2]
• Convolution 2D (; )
J1(D 2 + 2=)
p
h(; ) = A 2
D 2 + 2=
"
• Dépend de u
m
0
p
#2
1.4
0
j jl=2
0
/ exp
(u
– Notre méthode ( = 0:3, = 0:7)
m)2= 2
r
100
80
f (0; 0; )h~r ( 0; ; )d 0d
60
40
20
Intégration capteur
• Distortion du flux ! décalage
• Données C (i; j ) du capteur (+ 2 intégrales)
0
• Dimension spectrale :
– Méthode classique
• Repliement
I
1.2
1.1
0.7
1
0.6
0.9
0.7
0.4
50
0.8
0.5
1 = 15m
100
0.6 I
I
0
20
40
60
80
100
120
20
40
60
80
100
120
0.5
0.3
2 = 7m
0.4
– Notre méthode
0.3
0.2
0.2
0.1
0.1
0
• Balayage 1=2 fente (sub-pixelique) : redondance des données
100
50
0
0
1; 221=D
• Plus de structure
• Intégration capteur dans le modèle continue
• Résolution potentiellement plus importante que celle des données
0.05
0.04
Références
0.03
I
[1] J. R. Houck et al., « The infrared spectrograph (IRS) on the Spitzer space telescope », ApJS, vol. 154, pp. 18–24, septembre 2004.
0.02
2
0.01
0
• Approximation par une gaussienne
h~(; ) =
1
22=4
• Sur le plan focal (2 intégrales)
ZZ
f (0; 0; ) =
;
exp
Décomposition du ciel
• Décomposition sur des gaussiennes (; ) et Dirac () [4] [5] [6]
XXX
[3] J.-P. Pérez, Optique, fondements et applications, Dunod, 2004.
• Modèle continue
• Réaliste et rapide
• Linéaire :
[6] A. Andreyev, M. Defrise et C. Vanhove, « Pinhole SPECT reconstruction
using blobs and resolution recovery », IEEE Trans. Nuclear Sciences, vol. 53,
pp. 2719–2728, octobre 2006.
(; ; ) =
2 + 2
(; ; )h~(
2=4
0 ; !
k
l
m
x (k; l; m) ( kT) ( lT )Æ ( mT)
• + approximation gaussiennes ) 5 des 6 intégrales explicitées
0)dd
[2] J. W. Goodman, Introduction à l’optique de Fourier et à l’holographie, Masson,
Paris, 1972.
) y = Hx + b
=
[4] R. M. Lewitt et R. H. T. Bates, « Image reconstruction from projections : IV : Projection completion methods (computational examples) », Optik, vol. 50, pp. 269–
278, 1978.
[5] G. Rochefort, F. Champagnat, G. Le Besnerais et J.-F. Giovannelli, « An improved observation model for super-resolution under affine motion », IEEE Trans.
Image Processing, vol. 15, n˚11, pp. 3325–3337, novembre 2006.
[7] J. Idier, Ed., Approche bayésienne pour les problèmes inverses, Traité IC2,
Série traitement du signal et de l’image, Hermès, Paris, 2001.