Première S Devoir en temps libre à rendre le mercredi 20 mars 2013

Première S
Devoir en temps libre à rendre le mercredi 20 mars 2013
Travail individuel ou par groupe
 Analyse : n°115 page 91 ( on pourra faire le tracé des deux paraboles à l’aide d’un logiciel)
 Probabilités :
A la mi-temps d’un match de football Angleterre-France, une chaîne de télévision propose le jeu
suivant :
1. Déterminer le nombre de participants nécessaire pour que le jeu soit rentable pour l'organisateur
(on admettra que les 0,35 € par sms reviennent intégralement à l'organisateur du jeu).
2. Le jeu a réuni 280 000 participants (en considérant chaque sms comme un participant) ayant donné
la bonne réponse.
a. Déterminer la loi de probabilité qui associe la valeur des gains obtenus à chaque participant au tirage
au sort.
b. Calculer l'espérance de cette loi.
c. Quel bénéfice moyen l'organisateur réalise-t-il sur les sms ayant la bonne réponse ?
d. Quel bénéfice moyen l'organisateur réalise-t-il sur les sms ayant la mauvaise réponse ?
Corrigé : n°1 : 1. Tracé ( voir à la fin)
2.
f1 ( x)  x ²  2 x  3
f1 '( x)  2 x  2
1
f 2 ( x)   x ²  1
2
f 2 '( x)   x
La tangente à la courbe représentant f1 au point de coordonnées (a , f1(a)) a pour équation : y= f ’1(a)
(x–a)+f1(a) soit
y  (2a  2)( x  a)  a²  2a  3 ou encore y  (2a  2) x  a²  3
La tangente à la courbe représentant f2 au point de coordonnées (b , f2(b)) a pour équation : y= f ’1(b)
(x–b)+f1(b) soit
1
1
y  b( x  b)  b²  1 ou encore y  bx  b²  1
2
2
3. Ces deux droites sont confondues si et seulement si elles ont le même coefficient directeur et la
même ordonnée à l’origine soit
2a  2  b

système équivalent à

1
a ²  3  b²  1


2
2a  b  2


1
a ²  b²  2  0


2
4. La première équation donne b= –2–2a.
En remplaçant dans la seconde équation on obtient :
1
4
a ²  (2  2a)²  2  0  3a²  4a  0  a(3a  4)  0  a  0ou a  
2
3
Attention ! ( -2-2a)²=(2+2a)²=4+8a+4a²
b  2  2a

Donc le système équivaut à 
4 système équivalent à
a  0 ou a  

3

4

a

a

0


3
ou 

b  2 b  2

3

Conclusion :
4 2
3 3
les couples (a ;b) solutions sont (0 ;–2) et ( ; )
Les deux paraboles ont donc bien deux tangentes
communes. La droite d équation y = 2x+3 est tangente à
P1 en A( 0 ;3) et à P2 en B( –2 ;–1)
2
7
x  est tangente à P1 en
3
9
4 19
2 7
A’ ( ; ) et à P2 en B’ ( ; )
3 9
3 9
La droite d’équation : y  
n°2 :
1. Le montant des « gains » redistribués aux joueurs est : 6×3100+500×52 +2000*12 =68 600 €
Donc il faut au minimum : 68600/0.35 = 196 000 participants pour que le jeu ne coûte rien aux
organisateurs.
2. Il y a 280 000 participants qui donnent la bonne réponse et le tirage est fait au sort parmi eux
donc il y a équiprobabilité pour chacun d’eux de « gagner » un lot
En notant X la variable aléatoire donnant le « gain relatif » d’un participant( sans tenir compte du
coût su SMS)
La loi de probabilité de X est donnée par :
Rien
Tee shirt
Parfum
WE
280000(2000+500+6)=277494
Il y en a 2000
Il y en a 500
Il y en a 6
0
12
52
3100
277494
 0.99105
280000
2000
1

280000 140
500
1

280000 560
6
3

280000 140000
Gain X
Probabilité
b) L’espérance de cette loi est donc
E ( X )  0  0.99105  12 
1
1
3
49
 52 
 3100 

 0.245
140
560
140000 200
Donc une espérance de gain moyen de 0.245€ pour un sms envoyé
(sachant que le sms est facturé 0.35€ )
Ou si on considère le « gain réel Xr » de chaque participant ayant donné la bonne réponse , on
déduit le coût d’envoi du SMS 0.35€
On peut utiliser la linéarité de l’espérance : On a donc E(Xr)= E(X) –0.35 = –0.105
Donc une espérance de gain réel moyen de –0.105 c’est à dire une perte de 0.105 €.
c) Le bénéfice moyen de l’organisateur sur les SMS ayant la bonne réponse est donc 0.105 €
d) Sur chaque SMS ayant la mauvaise réponse, l’organisateur gagne 0.35 €.