Première S Devoir en temps libre à rendre le mercredi 20 mars 2013

Première S Devoir en temps libre à rendre le mercredi 20 mars 2013
Travail individuel ou par groupe
 Analyse : n°115 page 91 ( on pourra faire le tracé des deux paraboles à l’aide d’un logiciel)
 Probabilités :
A la mi-temps d’un match de football Angleterre-France, une chaîne de télévision propose le jeu
suivant :
1. Déterminer le nombre de participants nécessaire pour que le jeu soit rentable pour l'organisateur
(on admettra que les 0,35 € par sms reviennent intégralement à l'organisateur du jeu).
2. Le jeu a réuni 280 000 participants (en considérant chaque sms comme un participant) ayant donné
la bonne réponse.
a. Déterminer la loi de probabilité qui associe la valeur des gains obtenus à chaque participant au tirage
au sort.
b. Calculer l'espérance de cette loi.
c. Quel bénéfice moyen l'organisateur réalise-t-il sur les sms ayant la bonne réponse ?
d. Quel bénéfice moyen l'organisateur réalise-t-il sur les sms ayant la mauvaise réponse ?

Corrigé : n°1 : 1. Tracé ( voir à la fin)
2.
11
22
( ) ² 2 3 '( ) 2 2
1
( ) ² 1 '( )
2
f x x x f x x
f x x f x x
La tangente à la courbe représentant f
1 au point de coordonnées (
a , f
1(
a )) a pour équation : y= f ’1( a )
( x–a )+ f
1(
a ) soit
(2 2)( ) ² 2 3 ou encore (2 2) ² 3y a x a a a y a x a         
La tangente à la courbe représentant f
2 au point de coordonnées (
b , f
2(
b )) a pour équation : y= f ’1( b )
( x–b )+ f
1(
b ) soit
11
( ) ² 1 ou encore ² 1
22
y b x b b y bx b        
3. Ces deux droites sont confondues si et seulement si elles ont le même coefficient directeur et la
même ordonnée à l’origine soit
2 2 2 2
système équivalent à
11
² 3 ² 1 ² ² 2 0
22
a b a b
a b a b
4. La première équation donne b= –2–2 a. En remplaçant dans la seconde équation on obtient :
14
² ( 2 2 )² 2 0 3 ² 4 0 (3 4) 0 0ou
23
a a a a a a a a              
Attention ! ( -2-2a)²=(2+2a)²=4+8a+4a²
Donc le système équivaut à
4
22 03
système équivalent à
422
033
ba a
aou
b
a oua b
Conclusion :
les couples (a ;b) solutions sont (0 ;–2) et
42
( ; )
33
Les deux paraboles ont donc bien deux tangentes
communes. La droite d équation y = 2 x +3 est tangente à
P1 en A( 0 ;3) et à P2 en B( –2 ;–1)
La droite d’équation :
27
39
yx  
est tangente à P1 en
A’
4 19
( ; )
39
et à P2 en B’
27
( ; )
39

n°2 :
1. Le montant des « gains » redistribués aux joueurs est : 6×3100+500×52 +2000*12 =68 600 €
Donc il faut au minimum : 68600/0.35 = 196 000 participants pour que le jeu ne coûte rien aux
organisateurs.
2. Il y a 280 000 participants qui donnent la bonne réponse et le tirage est fait au sort parmi eux
donc il y a équiprobabilité pour chacun d’eux de « gagner » un lot
En notant X la variable aléatoire donnant le « gain relatif » d’un participant( sans tenir compte du
coût su SMS)
La loi de probabilité de X est donnée par :
Rien
280000-
(2000+500+6)=277494
Tee shirt
Il y en a 2000
Parfum
Il y en a 500
WE
Il y en a 6
Gain X
0
12
52
3100
Probabilité
277494 0.99105
280000 
2000 1
280000 140
500 1
280000 560
63
280000 140000
b) L’espérance de cette loi est donc
1 1 3 49
( ) 0 0.99105 12 52 3100 0.245
140 560 140000 200
EX          
Donc une espérance de gain moyen de 0.245€ pour un sms envoyé
(sachant que le sms est facturé 0.35€ )
Ou si on considère le « gain réel Xr » de chaque participant ayant donné la bonne réponse , on
déduit le coût d’envoi du SMS 0.35€
On peut utiliser la linéarité de l’espérance : On a donc E(Xr)= E(X) –0.35 = –0.105
Donc une espérance de gain réel moyen de –0.105 c’est à dire une perte de 0.105 €.
c) Le bénéfice moyen de l’organisateur sur les SMS ayant la bonne réponse est donc 0.105 €
d) Sur chaque SMS ayant la mauvaise réponse, l’organisateur gagne 0.35 €.