Fascicule principal de logique

Logique des propositions
Fascicule principal
Lucien Vinciguerra
FEUILLE D'EXERCICES 1
Raisonnement en langue naturelle
Exercice 1. Arguments valides ou non-valides (avec mes remerciements à Pascal Ludwig)
Dites si les arguments suivants sont déductivement valides ou non. Justifiez votre réponse.
S’ils ne le sont pas, donnez un contre-exemple.
1. Tout homme est mortel. Aucun mortel n’est parfait. Donc, aucun homme n’est parfait
2. La plupart des villes sont des endroits pollués. Tous les endroits pollués sont
dangereux. Donc, la plupart des villes sont dangereuses.
3. Antoine croit que la planète Mars est rouge. La planète Mars est la quatrième planète du système
solaire. Donc, Antoine croit que la quatrième planète du système solaire est rouge.
4. Si le gouvernement fait une bonne politique, les salaires augmentent, ou
l’endettement de l’Etat diminue. Mais l’endettement de l’Etat ne diminue pas, et les salaires
n’augmentent pas non plus. Donc, le gouvernement ne fait pas une bonne politique.
5. Tous les patrons fument le cigare. La plupart des fumeurs de cigares sont des
hommes. Donc la plupart des patrons sont des hommes.
6. Si Pierre ou Antoine ne se souviennent plus de l’endroit où ils ont garé la voiture, ils ne rentreront
pas avant le matin. Pierre ne se souvient plus de l’endroit où ils ont garé la voiture. Donc, ils ne
rentreront pas avant le matin.
7. Les chauves-souris ont des ailes. Seuls les oiseaux ont des ailes. Donc les chauves- souris sont des
oiseaux.
8. Toutes les étoiles sont des astres qui émettent de la lumière. Le soleil est un astre qui émet de la
lumière. Donc, le soleil est une étoile.
Exercice 2. Discutez la validité des arguments suivants.
1. Tous les députés sont riches. La plupart des gens riches ont une résidence secondaire. Donc la
plupart des députés ont une résidence secondaire.
2. La plupart des cygnes sont des oiseaux blancs. La plupart des oiseaux blancs sont sauvages. Donc,
la plupart des cygnes sont sauvages.
3. Si le parti dit qu’il faut interdire les manifestations, alors il faut interdire les manifestations. Le parti
dit qu’il faut interdire les manifestations. Donc, il faut interdire les manifestations.
4. La réglementation actuelle ne permet pas à la police de faire face à une menace terroriste. Si celle-ci
augmente, il faut donner plus de pouvoirs à la police. Mais selon le gouvernement, la menace terroriste
augmente. Donc, il faut accroître les pouvoirs de la police.
5. Il ne faut pas faire le mal. Le mal qu’on fait aux criminels est un mal. Donc, il ne faut pas faire de
mal aux criminels.
6. Les alchimistes croyaient qu’on peut changer le plomb en or. Mais les alchimistes n’étaient que des
farfelus cupides. Et ils ne s’appuyaient sur aucune base scientifique. Donc, on ne peut pas changer le
plomb en or.
7. - Présupposons que cette pierre ait été mise dans un grand feu, dont on l'ait retirée depuis quelque
temps; donc cette pierre doit être encore chaude: or elle est chaude; par conséquent, elle a été mise
au feu (Pascal, lettre du 29 octobre 1647 au père Noël).
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À retenir :
•Un argument (ou raisonnement) est une suite de phrases dont les premières sont appelées
prémisses et la dernière (souvent précédée par « donc ») est la conclusion.
•Un argument est valide lorsque la vérité des prémisses entraîne nécessairement la vérité de la
conclusion, c'est-à-dire lorsque la conclusion est vraie dans tous les cas (réels ou possibles) où
les prémisses sont vraies.
•Un argument est non valide lorsque la situation précédente n’est pas vérifiée, c’est à dire
lorsqu’il existe un cas possible où les prémisses sont vraies et la conclusion fausse.
•La validité d’un argument est indépendante de la vérité ou de la fausseté effective des prémisses.
Ce que dit le fait qu’un argument est valide, c’est que SI les prémisses sont vraies, alors la
conclusion doit l’être.
•La logique est la théorie de la manière dont la vérité se propage de phrases en phrases,
c’est-à-dire de ce que veut dire le fait que la vérité de certaines phrases « entraîne
nécessairement » la vérité d’autres phrases.
Exercice 3:
Compléter les syllogismes suivants
1- aucun B n'est A
tout C est B
?
2- aucun B n'est A
quelque C est B
?
3- tout B est A
quelque C est B
?
4- tout B est A
quelque C n'est pas A
?
5- tout B est A
quelque C n'est pas B
?
6- aucun B n'est A
tout C est A
?
7- quelque A est B
tout A est C
8- aucun B n'est A
?
quelque C n'est pas A
Exercice 4 (facultatif): déduire des 8 propositions suivantes a) à i) les cinq propositions 1 à 5, en mettant
en évidence la forme du syllogisme utilisé:
a- quelques femmes sont blondes
b- tout amateur de chocolat est mineur
c- quelques mineurs portent des lunettes
d- les amateurs de cassoulet portent des lunettes
f- aucune femme ne porte de lunettes
g- aucune personne blonde n'aime le coq au vin
h- tout amateur de chocolat est blond
i- aucun mineur n'est de sexe féminin
1- aucune femme n'aime le cassoulet
2- quelques femmes n'aiment pas le coq au vin
3- quelques mineurs n'aiment pas le cassoulet
4- aucune femme n'aime le chocolat
5- personne n'aime le coq au vin et le chocolat
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Qu'est-ce qu'un syllogisme ?
1 - Un jugement a :
- un noyau de la forme : A est B. Par exemple homme est mortel.
A et B sont deux notions : A est le sujet, B est l'attribut (ou le prédicat), « est » est la
copule.
- une qualité : affirmatif ou négatif
- une quantité : universel ou particulier
universel affirmatif : tout particulier affirmatif : certains (ou quelque)
universel négatif : aucun particulier négatif : certains ... ne ... pas
exemple de jugement affirmatif particulier : quelque homme est mortel (ou certains hommes sont
mortels).
exemple de jugement affirmatif universel : tout homme est mortel.
exemple de jugement négatif particulier : quelque homme n'est pas mortel.
exemple de jugement négatif universel : aucun homme n'est mortel.
Un syllogisme est une suite de trois jugements, deux prémisses et une conclusion, comportant en tout
trois notions reliées deux à deux dans chacun des jugements de manières différentes. Comme tout
argument, un syllogisme peut être valide ou non valide.
Notion de vérifonctionnalité dans le langage des propositions:
La logique des propositions a pour principe de décomposer toute proposition complexe en propositions
élémentaires reliées par des signes particuliers, les connecteurs. Les propositions élémentaires peuvent
être soit vraies, soient fausses.
Cette logique s'appuie sur le principe de vérifonctionnalité : la vérité ou la fausseté d'une proposition
complexe ne doit dépendre que de la vérité et de la fausseté des propositions élémentaires qui la
composent.
Il y a des connecteurs qui sont tels que le principe de vérifonctionnalité n'est pas vérifié lorsqu'ils
interviennent dans une proposition complexe. Un connecteur est dit vérifonctionnel lorsqu'il vérifie le
principe de vérifonctionnalité.
Exemple :
1- La connaissance de la vérité de p et de q ne me permet pas à elle seule de connaître la vérité ou la
fausseté de « p parce que q ». Le connecteur « parce que » n'est pas vérifonctionnel.
2- La connaissance de la vérité de p et de q me permet à elle seule de connaître la vérité ou la fausseté
de « p et q », ainsi que de « p ou q ». Donc les connecteurs « et » et « ou » sont vérifonctionnels.
Exercice 5 : Transcrivez en calcul des propositions les énoncés suivants, en indiquant les
propositions élémentaires par des lettres:
1. - S'il pleut, je prends un parapluie ou je reste à la maison
2. - Pierre et Marie sont étudiants
3. - Pierre et Marie sont mariés
4. - Si Darius attaque par l'Est nous le prendrons à revers et nous appellerons du renfort.
5. - Si Darius attaque par l'Est nous le prendrons à revers et je suis un bon stratège.
6. - Il ne fait pas beau et je ne vais pas me promener ou je reste sous les arcades.
7. - Il ne fait pas beau et je reste à la maison ou j'irai bronzer sur la plage.
8. - Je partirai, à moins qu'il ne vienne
9. - un concept est vide de contenu, sauf si un objet donné lui correspond dans l'intuition
10. - le monde existe, à moins que je rêve ou qu'un malin génie me trompe.
11. - les idées claires sont vraies seulement si Dieu n'est pas trompeur
12. - Descartes dit que les idées claires sont vraies
13. - Descartes dit que si Dieu n'est pas trompeur les idées claires sont vraies.
14. - on ne devient pas un musicien accompli sans apprendre à lire les notes et jouer d'un
instrument.
15. - pour que cette enveloppe ait été ouverte, il est nécessaire que Jean en ait été
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informé, à moins que Pierre ait oublié de la coller
16. - si mon raisonnement est valide, je ne raterai pas mon exercice. Or, ou bien je rate
mon exercice, ou bien la logique est facile. Et précisément la logique n'est pas facile. Donc
mon raisonnement n'est pas valide.
Traduction d'un argument en langage des propositions :
On traduit séparément chaque prémisse et la conclusion, sans chercher à traduire l'ensemble de
l'argument en une seule phrase. En revanche, on traduit par des lettres identiques les propositions
élémentaires identiques dans des lignes différentes de l'argument.
Feuille 1, exercice1, n°4 :
p : Le gouvernement fait une bonne politique ;
q : Les salaires augmentent ;
r : L'endettement de l'État diminue.
Traduction de l'argument :
p→(q∨r)
¬r∧¬q
donc
¬p
Exercice 7 : Quel est le connecteur principal des formules suivantes ? Faites leur arbre syntaxique :
(¬( p→q)→( p∨r))
¬(( p∧q)→r)
¬(¬(¬q→r)∨¬(r→p))
Exercice 8 : indiquez quelles expressions ci-dessous sont des formules (au sens strict): faites l'arbre de
chaque formule quand cela a un sens. Certaines sont-elles des formules au sens large. Rétablissez alors
les parenthèses manquantes
1- r
2-
(( p∧q))
3-
¬¬¬ p
4-
(p→(( p→p)→ p))→( p∨p)
5-
¬( p∧(q∧(r∧(s∧t))))
6-
(p→q) → r
7-
(¬(¬(¬ p)∨q)∨¬ p∨q)
8-
(¬(¬( p∨q))→(r→s))
Exercice 9 : Les expressions ci-dessous sont-elles des formules ? Si oui, démontrez-le, sinon, expliquez
pourquoi
.
1-
(¬p∨(q→¬p))
2-
((( p∨q)→¬p)∧q)
3-
¬(¬(¬(r∨p)∧q)∧r)
4-
¬(¬( p∨¬(q→s)))
5-
((¬( p v r )∨(q∧(r∨p)))∨q)
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Construction formelle du langage pour le calcul des propositions
petit bréviaire
SYNTAXE
Langage-objet: c'est le langage formel dont on étudie les propriétés. Ce langage est décrit dans un
« métalangage », qui est ici notre langage quotidien.
Alphabet ou symboles primitifs: ensemble des symboles élémentaires avec lesquels sont construits tous
les objets (formules) du langage-objet. Ce sont: les connecteurs:
¬,∨,∧,→,
; les parenthèses
ouvrantes et fermantes ; les atomes : p, q, r, s, t, etc., en nombre indéfini.
Expression: c'est une suite quelconque de symboles primitifs: pq )( rq par exemple.
Formule: une formule est une expression qui vérifie les propriétés suivantes:
(i) un atome est une formule
(ii) si A est une formule, alors
¬A
est une formule.
(iii) si A et B sont des formules, alors
(A∨B),(A∧B)et (A→B)
sont des
formules.
(iv) Toute formule l'est en vertu des règles précédentes.
Une telle définition est dite récursive : le terme à définir apparaît dans la définition sans que la
définition soit pour autant circulaire, grâce à (i).
Arbre d'une formule: c'est un arbre qui donne la structure de la formule à partir du connecteur principal
et des sous-formules: ex:
(¬ p→ (r∨¬( p∧q)))
La profondeur d'une formule est le nombre d'étages de l'arbre. Ici 5.
SÉMANTIQUE
Rappel en guise d'introduction : qu'est-ce qu'une fonction ?
Une fonction est un procédé qui fait correspondre à chaque élément d'un ensemble (dit ensemble de
départ) un élément d'un autre ensemble (d'arrivée). On note f :
A→B
x→f(x)
Ce procédé peut être donné
–par une expression algébrique : par exemple
f:x→x2
;
–par un graphique avec les valeurs de l'ensemble de départ en abscisse et celles de l'ensemble
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