Fascicule principal de logique

Logique des propositions
Fascicule principal
Lucien Vinciguerra
FEUILLE D'EXERCICES 1
Raisonnement en langue naturelle
Exercice 1. Arguments valides ou non-valides (avec mes remerciements à Pascal Ludwig)
Dites si les arguments suivants sont déductivement valides ou non. Justifiez votre réponse.
S’ils ne le sont pas, donnez un contre-exemple.
1. Tout homme est mortel. Aucun mortel n’est parfait. Donc, aucun homme n’est parfait
2. La plupart des villes sont des endroits pollués. Tous les endroits pollués sont
dangereux. Donc, la plupart des villes sont dangereuses.
3. Antoine croit que la planète Mars est rouge. La planète Mars est la quatrième planète du système
solaire. Donc, Antoine croit que la quatrième planète du système solaire est rouge.
4. Si le gouvernement fait une bonne politique, les salaires augmentent, ou
l’endettement de l’Etat diminue. Mais l’endettement de l’Etat ne diminue pas, et les salaires
n’augmentent pas non plus. Donc, le gouvernement ne fait pas une bonne politique.
5. Tous les patrons fument le cigare. La plupart des fumeurs de cigares sont des
hommes. Donc la plupart des patrons sont des hommes.
6. Si Pierre ou Antoine ne se souviennent plus de l’endroit où ils ont garé la voiture, ils ne rentreront
pas avant le matin. Pierre ne se souvient plus de l’endroit où ils ont garé la voiture. Donc, ils ne
rentreront pas avant le matin.
7. Les chauves-souris ont des ailes. Seuls les oiseaux ont des ailes. Donc les chauves- souris sont des
oiseaux.
8. Toutes les étoiles sont des astres qui émettent de la lumière. Le soleil est un astre qui émet de la
lumière. Donc, le soleil est une étoile.
Exercice 2. Discutez la validité des arguments suivants.
1. Tous les députés sont riches. La plupart des gens riches ont une résidence secondaire. Donc la
plupart des députés ont une résidence secondaire.
2. La plupart des cygnes sont des oiseaux blancs. La plupart des oiseaux blancs sont sauvages. Donc,
la plupart des cygnes sont sauvages.
3. Si le parti dit qu’il faut interdire les manifestations, alors il faut interdire les manifestations. Le parti
dit qu’il faut interdire les manifestations. Donc, il faut interdire les manifestations.
4. La réglementation actuelle ne permet pas à la police de faire face à une menace terroriste. Si celle-ci
augmente, il faut donner plus de pouvoirs à la police. Mais selon le gouvernement, la menace terroriste
augmente. Donc, il faut accroître les pouvoirs de la police.
5. Il ne faut pas faire le mal. Le mal qu’on fait aux criminels est un mal. Donc, il ne faut pas faire de
mal aux criminels.
6. Les alchimistes croyaient qu’on peut changer le plomb en or. Mais les alchimistes n’étaient que des
farfelus cupides. Et ils ne s’appuyaient sur aucune base scientifique. Donc, on ne peut pas changer le
plomb en or.
7. - Présupposons que cette pierre ait été mise dans un grand feu, dont on l'ait retirée depuis quelque
temps; donc cette pierre doit être encore chaude: or elle est chaude; par conséquent, elle a été mise
au feu (Pascal, lettre du 29 octobre 1647 au père Noël).
1
•
•
•
•
•
À retenir :
Un argument (ou raisonnement) est une suite de phrases dont les premières sont appelées
prémisses et la dernière (souvent précédée par « donc ») est la conclusion.
Un argument est valide lorsque la vérité des prémisses entraîne nécessairement la vérité de la
conclusion, c'est-à-dire lorsque la conclusion est vraie dans tous les cas (réels ou possibles) où
les prémisses sont vraies.
Un argument est non valide lorsque la situation précédente n’est pas vérifiée, c’est à dire
lorsqu’il existe un cas possible où les prémisses sont vraies et la conclusion fausse.
La validité d’un argument est indépendante de la vérité ou de la fausseté effective des prémisses.
Ce que dit le fait qu’un argument est valide, c’est que SI les prémisses sont vraies, alors la
conclusion doit l’être.
La logique est la théorie de la manière dont la vérité se propage de phrases en phrases,
c’est-à-dire de ce que veut dire le fait que la vérité de certaines phrases « entraîne
nécessairement » la vérité d’autres phrases.
Exercice 3:
Compléter les syllogismes suivants
1aucun B n'est A
tout C est B
?
2aucun B n'est A
quelque C est B
?
3tout B est A
quelque C est B
?
4tout B est A
quelque C n'est pas A
?
5678-
tout B est A
quelque C n'est pas B
?
aucun B n'est A
tout C est A
?
quelque A est B
tout A est C
aucun B n'est A
?
quelque C n'est pas A
Exercice 4 (facultatif): déduire des 8 propositions suivantes a) à i) les cinq propositions 1 à 5, en mettant
en évidence la forme du syllogisme utilisé:
a- quelques femmes sont blondes
b- tout amateur de chocolat est mineur
c- quelques mineurs portent des lunettes
d- les amateurs de cassoulet portent des lunettes
f- aucune femme ne porte de lunettes
g- aucune personne blonde n'aime le coq au vin
h- tout amateur de chocolat est blond
i- aucun mineur n'est de sexe féminin
1- aucune femme n'aime le cassoulet
2- quelques femmes n'aiment pas le coq au vin
3- quelques mineurs n'aiment pas le cassoulet
4- aucune femme n'aime le chocolat
5- personne n'aime le coq au vin et le chocolat
2
Qu'est-ce qu'un syllogisme ?
1 - Un jugement a :
- un noyau de la forme : A est B.
Par exemple homme est mortel.
A et B sont deux notions : A est le sujet, B est l'attribut (ou le prédicat), « est » est la
copule.
- une qualité : affirmatif ou négatif
- une quantité : universel ou particulier
universel affirmatif : tout
particulier affirmatif : certains (ou quelque)
universel négatif : aucun
particulier négatif : certains ... ne ... pas
exemple de jugement affirmatif particulier : quelque homme est mortel (ou certains hommes sont
mortels).
exemple de jugement affirmatif universel : tout homme est mortel.
exemple de jugement négatif particulier : quelque homme n'est pas mortel.
exemple de jugement négatif universel : aucun homme n'est mortel.
Un syllogisme est une suite de trois jugements, deux prémisses et une conclusion, comportant en tout
trois notions reliées deux à deux dans chacun des jugements de manières différentes. Comme tout
argument, un syllogisme peut être valide ou non valide.
Notion de vérifonctionnalité dans le langage des propositions:
La logique des propositions a pour principe de décomposer toute proposition complexe en propositions
élémentaires reliées par des signes particuliers, les connecteurs. Les propositions élémentaires peuvent
être soit vraies, soient fausses.
Cette logique s'appuie sur le principe de vérifonctionnalité : la vérité ou la fausseté d'une proposition
complexe ne doit dépendre que de la vérité et de la fausseté des propositions élémentaires qui la
composent.
Il y a des connecteurs qui sont tels que le principe de vérifonctionnalité n'est pas vérifié lorsqu'ils
interviennent dans une proposition complexe. Un connecteur est dit vérifonctionnel lorsqu'il vérifie le
principe de vérifonctionnalité.
Exemple :
1- La connaissance de la vérité de p et de q ne me permet pas à elle seule de connaître la vérité ou la
fausseté de « p parce que q ». Le connecteur « parce que » n'est pas vérifonctionnel.
2- La connaissance de la vérité de p et de q me permet à elle seule de connaître la vérité ou la fausseté
de « p et q », ainsi que de « p ou q ». Donc les connecteurs « et » et « ou » sont vérifonctionnels.
Exercice 5 : Transcrivez en calcul des propositions les énoncés suivants, en indiquant les
propositions élémentaires par des lettres:
1.
- S'il pleut, je prends un parapluie ou je reste à la maison
2.
- Pierre et Marie sont étudiants
3.
- Pierre et Marie sont mariés
4.
- Si Darius attaque par l'Est nous le prendrons à revers et nous appellerons du renfort.
5.
- Si Darius attaque par l'Est nous le prendrons à revers et je suis un bon stratège.
6.
- Il ne fait pas beau et je ne vais pas me promener ou je reste sous les arcades.
7.
- Il ne fait pas beau et je reste à la maison ou j'irai bronzer sur la plage.
8.
- Je partirai, à moins qu'il ne vienne
9.
- un concept est vide de contenu, sauf si un objet donné lui correspond dans l'intuition
10.
- le monde existe, à moins que je rêve ou qu'un malin génie me trompe.
11.
- les idées claires sont vraies seulement si Dieu n'est pas trompeur
12.
- Descartes dit que les idées claires sont vraies
13.
- Descartes dit que si Dieu n'est pas trompeur les idées claires sont vraies.
14.
- on ne devient pas un musicien accompli sans apprendre à lire les notes et jouer d'un
instrument.
15.
- pour que cette enveloppe ait été ouverte, il est nécessaire que Jean en ait été
3
informé, à moins que Pierre ait oublié de la coller
16.
- si mon raisonnement est valide, je ne raterai pas mon exercice. Or, ou bien je rate
mon exercice, ou bien la logique est facile. Et précisément la logique n'est pas facile. Donc
mon raisonnement n'est pas valide.
Traduction d'un argument en langage des propositions :
On traduit séparément chaque prémisse et la conclusion, sans chercher à traduire l'ensemble de
l'argument en une seule phrase. En revanche, on traduit par des lettres identiques les propositions
élémentaires identiques dans des lignes différentes de l'argument.
Feuille 1, exercice1, n°4 :
p : Le gouvernement fait une bonne politique ;
q : Les salaires augmentent ;
r : L'endettement de l'État diminue.
Traduction de l'argument :
donc
p→(q∨r )
¬r∧¬q
¬p
Exercice 7 : Quel est le connecteur principal des formules suivantes ? Faites leur arbre syntaxique :
(¬( p→q)→( p∨r ))
¬(( p∧q)→r )
¬(¬(¬q→r )∨¬( r → p))
Exercice 8 : indiquez quelles expressions ci-dessous sont des formules (au sens strict): faites l'arbre de
chaque formule quand cela a un sens. Certaines sont-elles des formules au sens large. Rétablissez alors
les parenthèses manquantes
1- r
2- (( p∧q))
3- ¬¬¬ p
4- ( p →(( p → p) → p))→( p∨ p)
5678-
¬( p∧( q∧( r∧( s∧t))))
( p → q) → r
(¬(¬(¬ p)∨q)∨¬ p∨q)
(¬(¬( p∨q))→(r → s))
Exercice 9 : Les expressions ci-dessous sont-elles des formules ? Si oui, démontrez-le, sinon, expliquez
pourquoi
.
1- (¬ p∨(q→¬ p))
2- ((( p∨q)→¬ p)∧q)
3- ¬(¬(¬(r ∨ p)∧q)∧r )
4- ¬(¬( p∨¬(q→s)))
5- ((¬( p v r )∨(q∧(r ∨p)))∨q)
4
Construction formelle du langage pour le calcul des propositions
petit bréviaire
SYNTAXE
Langage-objet: c'est le langage formel dont on étudie les propriétés. Ce langage est décrit dans un
« métalangage », qui est ici notre langage quotidien.
Alphabet ou symboles primitifs: ensemble des symboles élémentaires avec lesquels sont construits tous
les objets (formules) du langage-objet. Ce sont: les connecteurs: ¬,∨,∧, → , ; les parenthèses
ouvrantes et fermantes ; les atomes : p, q, r, s, t, etc., en nombre indéfini.
Expression: c'est une suite quelconque de symboles primitifs: pq )( rq
par exemple.
Formule: une formule est une expression qui vérifie les propriétés suivantes:
(i)
un atome est une formule
(ii)
si A est une formule, alors ¬ A est une formule.
(iii)
si A et B sont des formules, alors ( A∨B) ,( A∧B) et ( A → B) sont des
formules.
(iv)
Toute formule l'est en vertu des règles précédentes.
Une telle définition est dite récursive : le terme à définir apparaît dans la définition sans que la
définition soit pour autant circulaire, grâce à (i).
Arbre d'une formule: c'est un arbre qui donne la structure de la formule à partir du connecteur principal
et des sous-formules: ex: (¬ p → (r ∨¬( p∧q)))
La profondeur d'une formule est le nombre d'étages de l'arbre. Ici 5.
SÉMANTIQUE
Rappel en guise d'introduction : qu'est-ce qu'une fonction ?
Une fonction est un procédé qui fait correspondre à chaque élément d'un ensemble (dit ensemble de
A→B
départ) un élément d'un autre ensemble (d'arrivée). On note f :
x → f ( x)
Ce procédé peut être donné
– par une expression algébrique : par exemple f : x → x 2 ;
– par un graphique avec les valeurs de l'ensemble de départ en abscisse et celles de l'ensemble
5
d'arrivée en ordonnée ;
– par des catalogues empiriques : par exemple la fonction qui à tout objet manufacturé associe son
code-barre ;
– par une technique pratique, comme l'opération de mesure qui associe à un individu sa taille.
Vrai et Faux: ce sont deux objets supplémentaires, notés V et F. Ils n'appartiennent pas au langage-objet,
mais au métalangage.
Assigner une valeur de vérité aux formules du langage objet, (dire par exemple p est vrai ou (q → p)
est faux, c'est fixer la valeur de la formule pour une distribution de valeurs de vérité.
Définition 1 : une distribution de valeurs de vérité (dvv) est une fonction de l'ensemble des formules vers
l'ensemble à deux éléments {V, F}, qui a pour propriété que sa valeur pour une formule est caractérisée
de manière unique par ses valeurs sur les atomes p, q, r, etc., au moyen des règles suivantes:
1- La table de vérité des connecteurs, qui définit la valeur de ¬ p ,( p∨q) ,( p∧q) ,( p → q)
pour une dvv quelconque en fonction de ses valeurs sur p et q (ou n'importe quel atome).
p
V
V
F
F
q
V
F
V
F
( p∨q)
V
V
V
F
( p∧q)
V
F
F
F
p
V
F
( p → q)
V
F
V
V
¬p
F
V
2- Pour une dvv donnée dont on connait la valeur pour chaque atome, sa valeur pour une formule
quelconque est déterminée au moyen de l'arbre syntaxique, en mettant les valeurs de la dvv pour les
atomes au bout des branches, puis en remontant le long des branches en utilisant les tables de vérité des
connecteurs.
(Il existe une définition plus rigoureuse, qui est récursive comme la définition des formules)
Ex : formule (( p∨q) → r ) . On recherche sa valeur pour la dvv δ telle que δ (p)= F, δ (q)=V, δ (r)=F
Définition 2 :Table de vérité d'une formule quelconque: c'est la détermination des valeurs de la formule
pour toutes les dvv, chaque dvv étant représentée par une ligne de la table, correspondant à ses valeurs
sur les atomes. Pour une formule avec n atomes, il y a 2n dvv différentes, donc 2n lignes dans la table de
vérité.
Définition 3 : une dvv δ satisfait une formule A lorsque δ(A)= V.
Une formule est satisfiable lorqu'il existe au moins une dvv qui la satisfait. Elle est contingente lorsqu'il
existe à la fois des dvv qui la satisfont et des dvv qui ne la satisfont pas.
Définition 4 : une tautologie est une formule satisfaite par toutes les dvv. Cela correspond au fait que
« sa table de vérité ne comporte que des V ». On note ⊨ A pour « A est une tautologie ».
Définition 5:deux formules sont tautologiquement équivalentes lorsqu'elles ont les mêmes valeurs pour
6
toutes les dvv. Cela correspond au fait qu'elles ont la même table de vérité (on note A eq B ).
Théorème: A eq B si et seulement si ⊨ (( A → B)∧( B → A))
rem: "⊨" et "eq" ne sont pas des symboles du langage-objet, mais du métalangage.
Définition 6: Un ensemble de formules A1, …, An, a pour conséquence logique B si et seulement si toute
dvv qui satisfait simultanément A1, …, et An, satisfait aussi B. On note: A1, …, An, ⊨ B
Cela se traduit par le fait que si on fait les tables de vérité des formules, B est vrai pour toutes les lignes
où A1, …, An sont simultanément vraies.
La notion de conséquence logique formalise le concept d'argument valide : « A1, …, et An donc B » est
valide signifie que A1, …, An⊨ B. A1, …, An sont les prémisses, B est la conclusion.
Théorème sémantique de la déduction: A1, …, An a pour conséquence logique B si et seulement si
(A1∧…∧A n)→B est une tautologie
Autrement dit : A 1, … , A n ⊨ B si et seulement si ⊨ ( A1∧…∧A n)→B
Si les prémisses sont réduites à une seule formule A, on a :
A a pour conséquence logique B ssi toute dvv qui satisfait A satisfait B.
Dans ce cas, le théorème sémantique de la déduction est : A ⊨ B ssi A → B est une tautologie.
7
Les principaux schémas de tautologies et équivalences du calcul des
propositions
A eq A Identité
¬( A∧¬ A) non contradiction
¬¬ A eq A double négation
( A∨A)eq A
A∨¬ A tiers exclu
( A∧A)eq A
Associativité:
Commutativité:
( A∧( B∧C )) eq(( A∧B)∧C )
( A∨B)eq ( B∨A)
( A∨( B∨C )) eq(( A∨B)∨C )
(A∧B)eq (B∧A)
Distributivité:
 A∧ B∨Ceq  A∧B∨ A∧C
 A∨ B∧C eq  A∨B ∧ A∨C 
Interdéfinissabilité des connecteurs (lois de De Morgan):
¬( A∧ B)eq (¬ A∨¬B)
( A → B) eq (¬ A∨B)
¬( A∨ B)eq (¬ A∧¬B)
¬( A → B) eq ( A∧¬ B)
Lois de l'implication:
 A B∧A B modus ponens
 A B∧¬B ¬ A modus tollens
A   B  A verum...
¬ A  A B ex false...
(A → B)eq (¬B → ¬ A)
 A B∧ B  C AC 
A  B C  eq A∧B C
Théorème de substitution : Si A est une tautologie, alors la formule obtenue en remplaçant toutes les
occurrences d'un même atome dans A par une formule quelconque est aussi une tautologie (idem pour
les équivalences ).
Ex : ( p∨q)→( q →( p∨q)) est une tautologie car on obtient la formule à partir de ... ?
Théorème de remplacement :Si A eq B et si A est une sous-formule de C, alors la formule obtenue en
remplaçant dans C une ou plusieurs occurrences de A par B est équivalente à C.
Ex : ¬¬q → p eq q → p car ... ?
8
Démonstration qu'une formule est conséquence logique de trois autres : méthode pratique par les
tables de vérité.
Soit 4 formules A, B, C et D. Examinons si A, B, C ⊨ D (A,B,C a pour conséquence logique D)
On regarde le nombre total des atomes dans l'ensemble des quatre formules. Imaginons que ces formules
comportent en tout 3 atomes p, q, r. On fait les tables de vérité à 8 lignes de A, B, C. On regarde les
lignes où A, B et C sont toutes les 3 vraies et pour ces ligne on évalue aussi si D est vraie ou fausse. S'il
y a une ligne où A, B, C sont toutes vraies et où D est fausse, D N'EST PAS conséquence logique de A,
B, C. S'il n'y en a pas, D est conséquence logique.
Exemple 1 :
p
q
r
A
B
C
V
V
V
V
V
F
V
V
F
F
F
F
V
F
V
V
V
V
V
F
F
F
V
F
F
V
V
V
F
V
F
V
F
V
V
V
F
F
V
V
V
F
F
F
F
V
V
V
À la ligne 6, A, B, C sont vraies et D fausse. D n'est pas conséquence logique
Exemple 2 :
p
q
r
A
B
C
V
V
V
V
V
F
V
V
F
F
F
F
V
F
V
F
F
V
V
F
F
F
V
F
F
V
V
V
F
V
F
V
F
F
F
F
F
F
V
V
V
F
D
V
F
V
D
F
F
F
V
V
F
Il n'y a pas de ligne où A, B, C soient toutes vraies. D est conséquence logique
Exemple 3 :
p
q
r
A
B
C
D
V
V
V
V
V
V
V
V
V
F
F
V
F
V
F
V
V
V
V
V
F
F
F
V
V
F
V
V
F
F
V
F
V
F
V
V
V
F
F
V
V
V
F
V
V
F
F
F
V
V
V
V
À toutes les lignes où A, B, C sont vraies, c'est-à-dire 1, 3, 6, 8, D est aussi vraie. D est conséquence logique
9
FEUILLE D'EXERCICES 3
Exercice 1 : construire l'arbre syntaxique des formules suivantes. Pour les 3 premières, démontrez
qu'elles sont des formules.
(((t∧q)∧r)→⅂⅂s)
(⅂((t∨t)∨s)∨⅂q)
(p∨((s∧⅂t)∧⅂q))
⅂((r→(⅂t→p))∧(⅂p∨t))
(⅂(t∨s)∧((q→⅂s)∧s))
(r→(⅂t∧((q→r)∧q)))
123456-
((q→(r→q))∧(s∨⅂(q∧q)))
⅂(⅂⅂s∨((p→s)→(((r∨r)→s)→⅂q)))
(⅂(s→t)∧((⅂(s∧t)∧p)→(q→r)))
(((t∨p)∧r)→⅂(⅂(q∧t)∨s))
(((q∧t)→p)∧⅂(⅂p∨t))
7891011-
Exercice 2 : un mauvais génie a supprimé toutes les parenthèses des formules, ce qui donne les
expressions ci-dessous. Quelles pouvaient être les formules d’origine (attention, il y a un intrus) ?
1.
p →¬q∨r
3.
¬¬q → r ∨s
5.
q → s∨¬¬q∧ p
2.
¬q∨r → s
4.
p∨¬q∨¬s → p
6.
¬q¬r → s∨ p
Exercice 3 : notation polonaise (de Lukasiewicz): cette notation permet d'éliminer les parenthèses, en
écrivant le connecteur devant les formules sur lesquelles il porte. On note  ,  ,  ,  , par N, K, A, C.
Par exemple, ( p∨q) s'écrit Apq, et (p  (  q  r)) s'écrit CpKNqr.
Transcrire dans cette notation les formules: (  q  r)  p, (r  q)  (s∧  p), et les cinq premières
formules de l'exercice 1.
Inversement, transcrire en notation standard les fomules ANpCqq, CqKNprs, KCCNKAqrpprq
Exercice 4 : évaluer les formules 1, 3, 5, 8, 9, 10 de l'exercice 1 pour la dvv : p:F q:F r:V s:F t:V
Exercice 5 : faire la table de vérité des formules suivantes :
1. ((p∨q)→⅂p)
8. ((q∧r)∨((r→p)∧r))
2. ((p→q)∨(q∨⅂p))
9. ⅂((((p∧⅂p)→r)→q)→⅂r)
3. (((r∨p)→q)∨(q∨p))
10. (((r∨⅂q)→q)∨⅂((r→p)∨q))
4. ⅂((q∨(⅂q∧p))∧p)
11. ⅂((⅂(r∧p)→(p∨q))→q)
5. (p∨((q∧(p→q))∨r))
12. (⅂p→⅂(p∧(q→(p∧q))))
6. (⅂(⅂q∧p)∧⅂p)
13. ⅂(r∨((q∨q)∨(q∨r)))
7. ((⅂p∧(r→q))→⅂p)
14. ((q→p)→((q∧p)∧((p∨q)→q)))
Exercice 6 : pouvez-vous dire sans calculer la table de vérité si les formules suivantes sont des
tautologies :
1.
( p →(r ∧ p))∨¬( p →(r ∧ p))
2.
¬(q →r ) →((q → r )→( p → r ))
3.
(( p →(q∨r ))∧ p)→(q∨r )
4.
((( p → q) → p)∧( p →(q → p))) →(( p → q) →(q → p))
5.
( p → q)∨¬(¬ p∨q)
6.
¬( p → q)→((q →( p → q))→( p∧¬q))
10
Exercice 7 : les formules suivantes sont-elles (tautologiquement) équivalentes (méthode de votre choix
sauf l'arbre sémantique) ?
1.
p →(q∧r )eq ( p → q)∧( p → r )
5. (( p∧q) → r ) eq ¬( p∧q)∨r
2. ( p∧q)→r eq( p → r )∧(q → r)
6. (( p∧q) → r ) eq(¬ p∨¬q)∨r
3. ( p∨q)→r eq( p → r )∨(q → r)
7. ¬( p →(q → r ))eq( p∧¬( q → r ))
4.
8. ( p → p) eq(q∨¬q)
p →(q∨r )eq ( p → q)∨( p → r )
Exercice 8 : les arguments suivants sont-ils valides ? (transformer en affirmation de conséquence
logique, puis appliquer la définition)
p∧q
p →(q∨r )
p
p→q
p∨q
(( p∧q) →¬r )
(q∧ p)→¬q
p→r
r →¬ p
q→¬ p
r ∧¬r
q→ p
r
r →¬q
donc ¬ p
q
→
r
donc ¬q
donc q → s
donc r ∨¬r
donc ¬ p
donc s
donc ¬ p
Exercice 9 : exprimer (avec bienveillance) sous la forme d'une formule de calcul propositionnel le
raisonnement suivant. Est-il logiquement valide?
"S'il n'y avait pas ce que nous appelons vide, espace ou nature impalpable, les corps n'auraient pas où se
placer ni où se mouvoir, ce qu'ils semblent bien faire. Donc il faut admettre l'existence du vide" (d'après
Epicure).
Exercice 10 : Traduisez en langage des propositions les raisonnements suivants, et examinez s'ils sont
valides :
1- Si l'on ne cherche pas de nouvelles sources d'énergie et si les États acceptent des normes
contraignantes, alors le pouvoir d'achat des citoyens diminuera. Mais si le pouvoir d'achat des citoyens
diminue, on ne cherchera pas de nouvelles sources d'énergie. Donc si les États acceptent des normes
contraignantes, on ne cherchera pas de nouvelles sources d'énergie.
2- Si l'on ne peut pas éradiquer le paludisme et si les moustiques anophèles se développent, alors,
on n'éradiquera pas le paludisme.
3- Si Dieu existe, alors le mal n'existe pas ou il joue un rôle dans la création. Mais s'il joue un rôle dans
la création et si Dieu est bon, alors le mal n'est pas un mal. Or c'est absurde. Donc si Dieu et le mal
existent, Dieu n'est pas bon.
Exercice 11 : montrer qu'on peut trouver pour n'importe quelle formule une formule équivalente qui ne
comporte pas le connecteur →. On peut donc se passer de ce connecteur. Peut-on se passer d'autres
connecteurs ?
Exercice 12 : On introduit un nouveau connecteur, le connecteur ni...ni... (ou plus élégamment flèche de
Peirce). Il est noté ↓ et sa table de vérité est la suivante :
|p|q|
p↓q
|
|V|V|
|V|F|
|F|V|
|F|F|
F
F
F
V
|
|
|
|
Démontrer qu'il est possible de trouver pour n'importe quelle formule une formule équivalente qui ne
comporte pas d'autre connecteur que ↓ (on essaiera d'exprimer ¬ p , p∧q , p∨q , p →q , dans cet
ordre, au moyen de ce connecteur).
11
SÉMANTIQUE (SUITE) : MÉTHODE DE L'ARBRE SÉMANTIQUE
La méthode de l'arbre sémantique (aussi appelé tableau sémantique) est une autre technique permettant
de déterminer si une formule est ou non une tautologie, en construisant un arbre (différent de l'arbre
syntaxique) Cette méthode est en général plus simple que celle de la table de vérité lorsque la formule
comporte plus de trois atomes.
Les règles:
V :¬A
F: A
V : A∨B
V:A
V:B
F :¬A
F : A∨B
V:A
F:A
F:B
V : A∧B
V : AB
V:A
V:B
F:A
F : A∧B
F:A
V:B
F: AB
F:B
V: A
F: B
La méthode: on écrit des formules signées, c'est-à-dire précédées de V ou F.
1. Pour examiner si une formule A est une tautologie, on part toujours de: F: A
2. on construit l'arbre au moyen des règles ci-dessus qui disent comment traiter chaque formule en
fonction de sa signature (V ou F) et de son connecteur principal.
3. Traiter une formule revient à générer une autre formule (si le connecteur principal est la
négation) ou deux autres formules (dans tous les autres cas) , et à les mettre soit l'une au dessous
de l'autre, soit de part et d'autre de deux branche. On continue ensuite à traiter les formules
générées en dessous selon les mêmes règles.
4. Toutes les formules qui apparaissent dans l'arbre doivent avoir été traitées (on les coche au fur et
à mesure).
5. La ou les formules générées selon les règles doivent être reportées au bout de toutes les branches
déjà ouvertes qui sont situées EN DESSOUS de la formule que vous traitez.
6. Vous êtes libres de traiter les formules présentes dans l'arbre dans l'ordre que vous souhaitez.
Mais vous avez intérêt à traiter d'abord les formules qui n'ouvrent pas de branche.
7. Une fois que toutes les formules (sauf les atomes) ont été traitées, on examine chaque branche de
l'arbre en remontant du bas jusqu'en haut. Si on trouve à un moment donné un atome signé puis
le même atome avec sa signature opposée (par exemple: q:V puis q:F), la branche est barrée (on
met une croix). On ne s'intéresse à ce moment-là qu'aux atomes et non aux formules complexes.
8. Si TOUTES les branchent sont barrées, la formule est une tautologie. Sinon, non.
9. On peut examiner si les branches sont barrées au fur et à mesure qu'on traite les formules. Si une
branche est barrée, on peut mettre une croix et cesser d'en tenir compte dans la construction de
l'arbre. De toute manière, tout ce qui passera par là sera toujours barré ensuite.
12
Exemple 1:
Exemple 2
:
Autre arbre, juste mais plus complexe, résultat de choix moins judicieux pour la même formule:
13
FEUILLE D'EXERCICES 4
Arbres sémantiques
Exercice 1 : examinez au moyen de la méthode de l'arbre sémantique si les formules suivantes sont des
tautologies.
1. ((s∨⅂p)→(r→r))
7. ((q∨⅂(s∧t))∨(s∨((s∧⅂q)∧t)))
8. (r∨((⅂(r∨t)→p)∨⅂r))
2. (( p→r )∧(r →(q∨s)))→(¬s∧ p)
9. ((s→r)→(r∨⅂((p∨t)∧s)))
3. (((q→r)∧(r→s))→(q∨s))
10. (((r→(r∨(p∨(p∧⅂t))))∨t)→(t→t))
4. ((r→t)∨((r→q)→s))
11. (s∨(r∨(q→(⅂r∧(s→q)))))
5. (⅂(r→q)→⅂(((s∨p)∨r)→s))
12. (⅂t→(q→(r→(⅂t))))
6. (p∨((⅂p∨p)→⅂t))
Exercice 2 : examinez au moyen de la méthode de l'arbre sémantique si les équivalences suivantes sont
valides :
(q →(r ∨s))eq (¬r → q) ( p∨q)eq (q →¬ p) ( p →(q∧r ))eq((q →¬r ) →¬ p)
( p∨¬ p) eq( q → q)
Exercice 3 : soit l'ensemble B composé des formules suivantes : p , q → r , p∨q
Examinez au moyen de la méthode de l'arbre sémantique si les formules suivantes sont conséquence
logique de B :
p → q ¬ p → r (t∧r )→( r∧t) (r → s)→( p∨s ) r →(¬q∨(q → p))
Exercice 4 : mêmes questions pour les mêmes formules avec B composé de r →q , ¬( p∧q), q
Exercice 5 : même question avec B composé de
plus rapidement ?
s → t , q∧r ,( p∨s)∧¬( p∨s ) . Pouvez-vous conclure
14
Corrigé feuille d'exercice 4, Exercice 1
3/
5/
9/
15
10/
11/
12/
16
Indications feuille 3 exercice 5
En suivant l'ordre standard pour les lignes de la table de vérité, vous devez trouver pour :
10 : VVFFVVVF
11 : VVVFVVFF
12 : VVVV
13 : FFFV
Indications feuille 3 exercice 7
1:oui 2:non 3:non 4:oui 5:oui 6:oui 7:oui 8:oui
Corrigé partiel feuille 3 exercice 8
1- valide (non démontré)
2(( p∧q) →¬r )
est-il un raisonnement valide ?
r
donc ¬ p
Il faut examiner si {( p∧q)→¬r , r } a pour conséquence logique ¬ p . Faisons la table de vérité de
ces trois formules :
¬p
p q r
( p∧q)→¬r r
v v v
f
v
f
v v f
v
f
f
v f
v
v
v
f
v f
f
v
f
f
f
v v
v
v
v
f
v f
v
f
v
f
f
v
v
v
v
f f f
v
f
v
A la ligne 3, les deux premières formules sont vraies et ¬ p est fausse. Celle-ci n'est donc pas leur
conséquence logique et le raisonnement n'est pas valide.
Les raisonnements 3, 4, 5 sont valides.
Les raisonnements 1, 6 et 7 ne sont pas valides.
3- valide car la deuxième prémisse n'est jamais vraie (antilogie). Il n'y a donc pas de ligne où les
prémisses sont vraies et la conclusion fausse.
4p→(q∨r )
r →¬ p est-il un raisonnement valide ?
q→r
donc ¬ p
Il faut examiner si { p→(q∨r ) , r →¬ p , q→r } a pour conséquence logique ¬ p . Faisons la table de
vérité des trois prémisses :
(voir page suivante)
17
p q r
p→( q∨r )
r →¬ p
q→r
¬p
v v v
v
f
v
f
v v f
v
v
f
f
v f v
v
f
v
f
v f f
f
v
v
f
f v v
v
v
v
v
f v f
v
v
f
v
f f v
v
v
v
v
f f f
v
v
v
v
Les prémisses sont toutes vraies aux lignes 5, 7, 8 seulement.
La conclusion ¬ p est aussi vraie à ces trois lignes. Donc le raisonnement est valide
5- le raisonnement est valide car la conclusion est une tautologie. Comme elle est toujours vraie, il ne
peut y avoir de ligne où les prémisse soient vraies et où elle soit fausse.
Les raisonnements 6 et 7 ne sont pas valides (non démontré).
Corrigé feuille 3, exercice 10, n°1 :
Mise en forme logique :
p : on cherche des nouvelles sources d'énergie
q : les États acceptent des normes contraignantes
r : le pouvoir d'achat des citoyens diminue
Le raisonnement est : (¬ p∧q)→r , r →¬ p donc q→¬ p
Ce raisonnement n’est pas valide. En effet Il est valide ssi (¬ p∧q) → r , r →¬ p a pour
conséquence logique q→¬ p , et donc ssi : (((¬ p∧q)→r )∧( r →¬ p))→(q→¬ p)
est une tautologie.
Pour le démontrer, on utilise la méthode de l’arbre sémantique en partant de la formule signée :
F :(((¬ p∧q)→r )∧(r →¬ p))→(q→¬ p)
18
L1 philosophie 2011
Partiel n°2 de logique
L. Vinciguerra
1-Traduire dans le langage des propositions la phrase suivante. Y a-t-il plusieurs traductions différentes
possibles ? Quelle est la meilleure (justifiez votre position) ?
A moins que l'enseignant soit corruptible, je dois travailler si je veux réussir mon examen, sauf si je
connais le responsable du service de l'imprimerie et s'il m'a donné le sujet à l'avance.
2- Les expressions suivantes sont-elles des formules ? Si oui, faites leur arbre syntaxique et démontrezle. Si non, justifiez-le brièvement:
 p∨¬q∧r ¬ p 
¬ p  qr∧s p 
3- Faites la table de vérité des formules suivantes:
 p ¬q∧ p  q 
 p ¬¬ p∨q r  p
Ces formules sont-elles des tautologies? Pourquoi?
4- Examinez au moyen de la méthode de l'arbre sémantique si les formule suivantes sont des
tautologies:
q∨r s∧¬s¬q  r 
 p  q∨r ∧ r ¬s p∧s q
5- Examinez au moyen de la méthode de votre choix si les deux formules
¬¬ p∨¬s q t  r  et ¬ p∨¬s q∧¬t  r  sont équivalentes.
6- Donnez la définition de la satisfaction d'une formule par une distribution de valeurs de vérité.
7- Qu'est-ce qu'une conséquence logique d'un ensemble de formules?
8- Examinez si { ¬q  p  ,  p∧r  q } a pour conséquence logique r  q
9- Proposez un dialogue permettant de prouver la validité de ¬ p∧¬ p
19
L1 philosophie
Logique session 1 partiel n°2
20/4/2012
AUCUN DOCUMENT AUTORISÉ
1- Qu’est-ce qu’un connecteur vérifonctionnel ?
2- Donnez la définition d’une formule du langage des proposions.
3- L’expression suivante est-elle une formule ? Si oui démontrez-le,sinon dites pourquoi :
(¬(( p → r ) →¬(q∨r ))∨ p)
4- Donnez la définition d’une distribution de valeurs de vérité (dvv) dans le langage des propositions.
Soit la formule : ((¬(( p → r )→ ¬(q∨r ))∨ p)∧s)
. Faites l’arbre de cette formule et évaluez la formule pour la distribution de valeurs de vérité :
p:V
q:V
r:F
s:V
5- Les formules suivantes sont-elles (tautologiquement) équivalentes :
(¬( p∧q) →(q → p))
et
( p →¬q)
6- Examinez par la méthode de votre choix si le raisonnement suivant est valide :
¬(( p → q) → p)
(( q∨ p) → q)→ p
donc p
7- Traduisez en langage des propositions le raisonnement suivant, et examinez par la méthode de votre
choix s’il est valide :
S’il ne pleut pas l’abstention sera forte. Mais si je chante il pleut. Et toutes les fois que
les étudiants réussissent leur examen de logique je chante. Donc si l’abstention n’est pas forte les
étudiants ne réussissent pas leur examen de logique.
8- Au moyen de la méthode de l’arbre sémantique, examinez si la formule suivante est une tautologie :
(( p∨¬q)→ r )∨(q →(¬r → p))
9-Écrivez les formules suivantes sous une forme sans négation devant une parenthèse, en justifiant les
étapes de votre calcul :
¬(q →(¬q∨r ))
(¬(¬( p → r )∨( p∧q))→ r )
10- Qu’est ce que la syntaxe et la sémantique dans la logique des propositions ?
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