Phénomènes de propagation – Equation de d

PSI Brizeux Ch. PO1 Phénomènes de propagation – Equation de d’Alembert 1
CHAPITRE PO1
CHAPITRE PO1
Phénomènes de propagation – Equation de d’Alembert
Nous nous intéressons, dans ce cours sur les phénomènes de propagation d’ondes, à des grandeurs,
scalaires ou vectorielles, qui dépendent des variables d’espace et de temps et dont les équations aux
dérivées partielles par rapport à ces variables sont liées. Ainsi la donnée d’une telle grandeur à un
endroit de l’espace et à un instant donné permet d’obtenir des renseignements sur cette même grandeur
à un autre endroit et à un autre moment.
Le premier exemple abordé est celui de la chaîne d’oscillateurs couplés dont on pressent que la
mise en mouvement de l’un de ses éléments aura des répercussions sur ses éléments voisins, et
transmettra, dans une certaine mesure, son déplacement aux autres.
1. CHAINE D’OSCILLATEURS COUPLES :
EQUATION D’ONDE
Afin d’étudier la propagation d’ondes sonores dans les solides, nous adoptons le modèle
microscopique d’une chaîne infinie d’oscillateurs couplés de type masse-ressort. Les masses
représentent les atomes du solide, et les ressorts permettent de rendre compte des forces subies par ces
atomes lorsqu’ils se déplacent au voisinage de leur position d’équilibre. Dans ce modèle, nous
négligeons les forces de frottement.
1.1. Chaîne discrète de N oscillateurs couplés
1.1.1. Chaîne de N oscillateurs couplés
Nous pouvons construire une suite de systèmes oscillants possédant un nombre croissant de degrés
de liberté, en associant des ressorts tous identiques de raideur k, et des masses m toutes identiques
également. Nous obtenons des systèmes d’équations à plusieurs variables qui repèrent les abscisses
des masses vis à vis des positions d’équilibre.
L’oscillateur unique est de la forme :
m
k
k
X
L’équation de son mouvement, décrit par rapport à sa position d’équilibre, est :
!
md2X
dt 2="2kX

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Le système de deux oscillateurs couplés est représenté ci-dessous :
X1
m
m
k
k
k
X2
Les équations du mouvement des deux masses sont :
!
md2X1
dt 2="kX1+k X2"X1
( )
md2X2
dt 2="kX2"k X2"X1
( )
#
$
%
%
&
%
%
Pour la chaîne à N oscillateurs couplés nous avons donc :
X1
X2
m
m
k
k
...
...
Xk-1
Xk
Xk+1
XN
Pour le mouvement de la kième masse et en utilisant toujours des variables de position comptées
par rapport à l’équilibre :
m
˙ ˙
X k
= - k(Xk - Xk - 1) + k(Xk + 1 - Xk)
Pour la 1ère et la Niéme masse, on a :
m
˙ ˙
X
1
= -kX1 + k(X2 - X1 ) et m
˙ ˙
X N
= -k(XN - XN - 1) -kXN
Nous obtenons donc N équations différentielles couplées à N variables.
Imaginons enfin la chaîne d’oscillateurs infinie (sans points de fixation). Une perturbation de l’état
d’équilibre imposée à l’oscillateur 1 (supposons par exemple qu’on l’écarte légèrement de l’état
d’équilibre et qu’on le lâche sans vitesse initiale) va le mettre en mouvement. Mais par l’intermédiaire
du ressort 1-2, l’oscillateur 2 va lui-même osciller, et mettre en mouvement, par le ressort 2-3,
l’oscillateur 3. La perturbation initiale va donc, de proche en proche, se répercuter sur tous les
oscillateurs de la chaîne. Nous pourrions « suivre » cette mise en mouvement progressive et la voir se
propager le long de la chaîne, un peu comme une rangée de dominos qui s’abat... Nous arrivons ainsi
à la notion d’onde.
Pour mieux la concrétiser et faire apparaître la vitesse de propagation du phénomène, nous allons
traiter la chaîne d’oscillateurs comme un milieu continu.

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1.2. Approximation des milieux continus : équation d’onde de d’Alembert
Chaque oscillateur est séparé de ses voisins immédiats d’une longueur a au repos. Nous supposons
cette longueur suffisamment faible (devant une longueur caractéristique du phénomène qui reste à
définir) pour pouvoir traiter la chaîne comme un milieu continu et faire des développements limités.
Ainsi, au lieu d’étiqueter les oscillateurs par un indice, nous leur affectons l’abscisse continue x au
repos. Si l’oscillateur k a l’abscisse x, l’oscillateur k - 1 l’abscisse x - a et l’oscillateur k + 1 l’abscisse
x + a...
Quand il est en mouvement, un oscillateur possède, vis à vis de son abscisse x de repos, une
abscisse X(x, t).
x
x-a
x+a
x
X(x-a,t)
X(x,t)
X(x+a,t)
déplacements par rapport
à l’équilibre
L’équation de mouvement d’un tel oscillateur s’écrit alors :
m
!
"2X
"t2
= -k[ X(x, t ) - X(x - a, t) ] + k[ X(x + a, t) - X(x, t) ]
Or, avec les hypothèses faites : X(x - a, t) ≈ X(x, t) - a
!
"X
"x
+
!
a2
2
!
"2X
"x2
X(x + a, t) ≈ X(x, t) + a
!
"X
"x
+
!
a2
2
!
"2X
"x2
D’où : m
!
"2X
"t2
= ka2
!
"2X
"x2
, soit encore :
!
"2X
"x2#m ka2
"2X
"t2=0
Remarquons dès à présent que le terme
!
m
ka2
a nécessairement les dimensions de l’inverse du carré
d’une vitesse que nous noterons ici c (comme célérité), si bien que l’équation précédente peut
s’écrire :
!
"2X
"x2#1 c2
"2X
"t2=0
Cette équation est appelée équation de d’Alembert à une dimension, ou encore équation d’onde.
Les solutions de cette équation modélisent, nous le verrons, le phénomène ondulatoire.

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Remarque : la force F du ressort placé à gauche du point d’abscisse x au repos s’écrit :
F = -k[ X(x, t ) - X(x - a, t) ] = - ka
!
"X
"x
Par linéarité, et du fait de l’ordre indifférent de différenciation, il apparaît alors que F obéit
également à l’équation de d’Alembert. : la force F (« cause » de la propagation de l’onde) et le
déplacement X (« effet » associé) ont tous deux une structure d’onde.
Sans entrer plus avant dans l’étude de cette équation, nous pouvons d’ores et déjà affirmer que la
grandeur c, appelée célérité, représente bien la vitesse de propagation dont nous avions parlé plus
haut.
Pour la chaîne continue d’oscillateurs, cette célérité vaut c =
!
ka2
m
. Il est intéressant de considérer
cette chaîne comme un ressort unique continu tout au long duquel est répartie la masse m. Nous
pouvons alors éliminer la grandeur a en faisant les deux remarques suivantes :
- la masse du système est distribuée de façon discrète à raison d’une masse m « tous les a », ce qui
revient à une masse « continue » répartie avec la masse linéique ml =
!
m
a
.
- chaque ressort a une longueur a à l’équilibre et une raideur k. Or, un ressort possède une raideur
inversement proportionnelle à sa longueur si bien qu’on peut écrire k =
!
kl
a
où kl est une grandeur
caractéristique d’un ressort donné, indépendante de sa longueur. kl caractérise alors parfaitement le
ressort continu. (Attention : kl n’est pas une raideur, il a les dimensions d’une force et s’exprime
en N ).
D’où
!
kl
ml
=
!
ka2
m
et la célérité associée au ressort continu, de caractéristiques kl et ml est :
c =
!
kl
ml
1.3. Modèle mésoscopique du solide. Module d’Young
L’étude de la propagation des ondes sonores dans les solides peut également être abordé par un
modèle permettant d’exprimer la célérité des ondes en fonction de grandeurs physiques
mésoscopiques, à savoir, la masse volumique ρ (qui jouera le rôle de la masse linéique du modèle
précédent) et le module d’Young E (qui jouera le rôle de la constante de raideur linéique).
Le module d’Young Y est défini à partir de la loi de Hooke, loi qui exprime la force dF à appliquer
à une portion de solide de surface dS pour créer un allongement relatif
!
"X
"x
dans la direction x
perpendiculaire à dS :
!
dF =E"X
"x
#
$
% &
'
(
dS
.

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X représente la position de la surface dS par rapport à la position d’équilibre.
• On peut trouver l’expression de la célérité des ondes sonores en fonction de E et ρ directement par
des considérations d’homogénéïté.
E est homogène à une force surfacique et s’exprime en kg.m-1.s-2.
ρ s’exprime en kg.m-3.
On peut donc poser
!
c=E
"
On constate, et c’est une remarque générale à la propagation des ondes mécaniques, que la célérité
est proportionnelle à la « raideur » du milieu (ici E) et inversement proportionnelle à son inertie (ici
ρ).
• On peut retrouver cette expression en appliquant la relation fondamentale de la dynamique à une
tranche de solide de surface S et d’épaisseur dx :
!
"Sdx #2X
#t2=$E#X #x
%
&
' (
)
*
x
S+E#X
#x
%
&
' (
)
*
x+dx
S
!
=ES "2X
"x2dx
Remarque : à un instant t quelconque, les positions des surfaces initialement en x et x+dx sont en
x+X(x,t) et x+dx+X(x+dx,t). L’épaisseur de la tranche est donc en toute rigueur :
!
dx'=dx +"X
"x
#
$
% &
'
(
dx
qu’on a assimilé à dx dans le calcul précédent.
On a donc :
!
"#2X
#t2$E#2X #x2=0
, soit encore :
!
"2X
"x2#1 c2
"2X
"t2=0
avec
!
c=E
"
.
2. AUTRES EXEMPLES DE PHENOMENES REGIS PAR
L’EQUATION DE D’ALEMBERT
2.1. Ondes de tension et de courant dans une ligne électrique
Considérons une ligne électrique coaxiale ou bifilaire servant à transporter un courant : dans le
cas de la ligne bifilaire par exemple, un des fils transporte le courant dans un sens et l’autre fil en
sens inverse. La ligne est supposée sans perte (résistances négligeables). Isolons par la pensée une
longueur l de ligne : ce circuit filiforme parcouru par un courant possède donc une inductance
propre :