théorie algébrique des systèmes linéaires stationnaires

THEORIE ALGEBRIQUE DES SYSTEMES
LINEAIRES STATIONNAIRES
MULTIVARIABLES
F. CHAPLAIS
Centre d’Automatique de l’Ecole des Mines de Paris
35 rue Saint-Honor´e
77305 Fontainebleau CEDEX

Table des mati`eres
Introduction 4
1 Forme op´erateur d’un syst`eme lin´eaire 8
1.1 D´efinitions ....................................... 9
1.2 Exemples ....................................... 10
1.2.1 Un exemple num´erique ............................ 10
1.2.2 Forme d’´etat ................................. 10
1.2.3 Forme observateur, forme contrˆoleur .................... 11
1.3 Transfert d’une forme op´erateur ........................... 11
1.3.1 D´efinition ................................... 11
1.3.2 R´eponse fr´equentielle d’une forme d’´etat .................. 11
1.4 Et maintenant, un peu de technique... ........................ 13
2 Matrices euclidiennes et formes canoniques 14
2.1 Corps des fractions. Anneau principal. Anneau euclidien ............. 15
2.1.1 Anneau. Corps des fractions ......................... 15
2.1.2 Anneau principal ............................... 15
2.1.3 Anneau euclidien ............................... 16
2.2 Matrices `a´el´ements dans un anneau euclidien ................... 19
2.2.1 D´efinition. Matrices unimodulaires ..................... 19
2.2.2 Op´erations ´el´ementaires ........................... 19
2.2.3 Forme triangulaire (Hermite) ........................ 20
2.2.4 Forme diagonale (Smith) ........................... 25
2.3 Exercices ........................................ 28
3 Divisibilit´e de matrices euclidiennes 29
3.1 Divisibilit´e ....................................... 30
3.2 PGCD ......................................... 33
3.3 Variations sur l’identit´e de Bezout .......................... 34
3.4 Solution g´en´erale de l’Identit´e de Bezout ...................... 36
3.5 Rang du PGCD .................................... 37
4 Matrices rationnelles 39
4.1 Matrices rationnelles dans le cas g´en´eral ...................... 40
4.1.1 D´efinition ................................... 40
4.1.2 Factorisation ................................. 40
4.1.3 Pˆoles d’une matrice rationnelle (cas polynˆomial) .............. 41
4.2 Matrices rationnelles dans le cas euclidien ..................... 42
4.2.1 Pr´eliminaires ................................. 42
4.2.2 D´efinition ................................... 43
1

4.2.3 Division euclidienne de matrices ....................... 43
4.3 Matrices polynˆomiales propres ............................ 44
4.3.1 D´efinitions ................................... 44
4.3.2 Propri´et´es ................................... 45
4.4 Caract´erisation des matrices rationnelles propres .................. 47
4.5 Exercices ........................................ 49
5 Matrices polynˆomiales et op´erateurs diff´erentiels 51
5.1 D´efinitions ....................................... 52
5.2 Dimension de l’espace des solutions ......................... 53
5.3 Relation avec la divisibilit´e .............................. 54
6 Formes op´erateurs ´equivalentes 57
6.1 D´efinition diff´erentielle ................................ 58
6.2 D´efinition alg´ebrique ................................. 59
6.3 Syst`eme dual ..................................... 61
6.4 Invariants par ´equivalence de formes op´erateurs .................. 61
6.5 Exercices ........................................ 63
7R´ealisation 64
7.1 D´efinition ....................................... 65
7.2 Unicit´e ......................................... 65
7.3 Existence ....................................... 67
7.4 Exercices ........................................ 75
8 Commandabilit´e, observabilit´e et stabilit´e des formes op´erateurs 78
8.1 Rappels sur la forme d’´etat ............................. 79
8.1.1 D´efinitions ................................... 79
8.1.2 Crit`eres d’observabilit´e, de commandabilit´e................. 79
8.1.3 D´ecomposition de l’espace d’´etat ...................... 81
8.1.4 Stabilit´e d’une forme d’´etat ......................... 83
8.1.5 Calcul des valeurs propres non commandables, non observables ...... 85
8.2 G´en´eralisation aux formes op´erateurs ........................ 86
8.2.1 D´efinitions ................................... 86
8.2.2 R´esultats ................................... 87
8.3 R´ealisation d’un transfert .............................. 87
8.3.1 Retour sur la stabilit´e ............................ 90
8.4 Exercices ........................................ 91
9 Syst`eme boucl´e93
9.1 D´efinitions ....................................... 95
9.2 Syst`eme boucl´e .................................... 97
9.3 R´eduction du syst`eme boucl´e ............................ 98
9.4 Observabilit´e et commandabilit´e du syst`eme boucl´e ................100
9.5 Transfert du syst`eme boucl´e .............................101
9.6 Stabilit´e ........................................102
2

10 Anneau des fractions rationnelles propres stables 105
10.1 D´efinition .......................................106
10.2 Propri´et´es ´el´ementaires ................................106
10.3 Division euclidienne ..................................107
10.4 Exercices ........................................111
11 Assignation de mod`ele 112
11.1 Param´etrisation des contrˆoleurs stabilisants ....................113
11.1.1 Factorisation du transfert du syst`eme boucl´e ................113
11.1.2 Param´etrisation des contrˆoleurs stabilisants ................114
11.2 Assignation de mod`ele ................................116
11.2.1 Transferts assignable et calcul du contrˆoleur ................116
11.2.2 Z´eros instables du transfert boucl´e .....................118
11.3 R´egularit´edeX+Π¯
Net questions connexes ....................119
Probl`emes 121
3

Système
entrées sorties
Introduction
Automatique et alg`ebre
L’automatique est couramment pr´esent´ee comme une science de l’ing´enieur (ce qu’elle est). Ce
livre est l’occasion de montrer que l’automatique est aussi une discipline math´ematique, dot´ee
d’objets, de probl`emes et de m´ethodes propres.
L’objet est autour duquel s’articule l’automatique est le syst`eme. Au premier abord, il s’agit
d’un syst`eme diff´erentiel du type f(z, u, y) = 0 avec plus d’inconnues que d’´equations. Ce qui
int´eresse en fait l’automaticien, c’est la relation qui existe entre la variable u(les entr´ees) et la
variable y(les sorties), via l’existence de z(l’´etat partiel). On appelle cette relation “relation
entr´ees-sorties”, et on la repr´esente souvent par le dessin suivant:
Figure 0.1: Repr´esentation d’un syst`eme par boˆıte noire.
Les fl`eches ont la signification qu’elles ont classiquement: elles relient les arguments d’un
op´erateur `a ses valeurs. La “boˆıte noire” interrompant cette fl`eche est la pour signifier, au
milieu de cette relation entr´ees-sorties, la pr´esence de “variables cach´ees” z, en fait les conditions
initiales du syst`eme diff´erentiel.
On ne d´efinira pas d’ailleurs la relation entr´ees-sorties d’un syst`eme dans ce cours: on d´efinira
plutˆot sous quelle condition deux syst`emes diff´erentiels1admettent la mˆeme relation entr´ees-
sorties, et on appellera syst`eme la classe d’´equivalence correspondante. Un syst`eme est donc
une relation entr´ees-sorties.
Un fois d´efini ce que sont les syt`emes, il faudra bien dire ce qu’on en fait. L’op´eration classique
sur les syst`emes est le bouclage. L’id´ee en est la suivante: ´etant donn´e un syst`eme de d´epart
qui, `a partir d’entr´ees (qui sont en fait des commandes), “fabrique” des sorties, on lui accole
un autre syst`eme, que l’on appelle le contrˆoleur, et qui repr´esente un processus de d´ecision,
puisqu’`a l’inverse du syst`eme de d´epart il fabrique des commandes `a partir des sorties. Si de
plus, on fait d´ependre ce processus de d´ecision de nouvelles entr´ees, les consignes, on voit qu’au
total on obtient un nouveau syst`eme: le syst`eme boucl´e2qui peut se repr´esenter grossi`erement
sous la forme de la figure .
Le probl`eme auquel se consacrera ce cours est le suivant: ´etant donn´e un syst`eme, trouver
un contrˆoleur tel que le syst`eme boucl´e ait un comportement entr´ees-sorties donn´e. Il s’agit
d’une ´equation, dont les donn´ees sont le syst`eme d’origine, le comportement d´esir´e du syst`eme
boucl´e, et dont l’inconnue est le contrˆoleur.
1qu’on appellera “formes op´erateurs”
2les sorties du premier syst`emes sont consid´er´ees comme ´etant encore les sorties du syst`eme boucl´e
4