CHAPITRE 13 : FILTRAGE

PCSI CHAPITRE 13 : FILTRAGE 1/10
CHAPITRE 13 : FILTRAGE
I. INTRODUCTION
On appelle filtre un quadripôle permettant de transmettre sélectivement une bande de fréquences.
Nous étudierons donc dans ce chapitre la réponse d’un quadripôle à une tension sinusoïdale en
fonction de la fréquence du signal (fig.13.1).
Figure 13.1. : Quadripôle
II. FILTRES PASSIFS D’ORDRE 1
1) Fonction de transfert
La quantité fondamentale dans l’étude des quadripôles est leur fonction de transfert complexe
()
H
ω
, définie comme le rapport de la tension de sortie par la tension d’entrée :
()
(
)
()
s
e
u
Hu
ω
ω
ω
≡
Avec les notations de la figure 13.1., elle s’écrit :
()
(
)
()
j
e
s
e
U
HU
ϕ
ω
ω
ω =
Pour qu’un quadripôle soit considéré comme un filtre, il faut donc que sa fonction de transfert ait
une dépendance en la fréquence du signal. Le module de la fonction de transfert d’un filtre est
appelé gain du filtre et noté G :
()
(
)
()
(
)
ss
ee
uU
GH uU
ω
ω
ωω
≡==
Son argument est simplement le déphasage de la tension de sortie par rapport à la tension d’entrée :
()
(
)
() ()
arg arg s
e
u
Hu
ω
ω
ϕω
ω
⎡⎤
==⎡⎤⎢⎥
⎣⎦⎣⎦
2) Caractérisation d’un filtre
On caractérise un filtre d’après son gain à fréquence d’entrée nulle (signal continu) et à très haute
fréquence (
ω
→+∞) :
• Filtre passe bas :
(
)
0G ω →∞ = (le filtre transmet les basses fréquences)
• Filtre passe haut :
()
00G ω →= (le filtre transmet les hautes fréquences)
• Filtre passe haut :
()
(
)
00GG ωω →= →∞= (le filtre transmet une bande de fréquence)
(
)
j
2e
t
ss
uU
ω
φ +
=
quadripôle
j
2e
t
ee
uU
ω
=

PCSI CHAPITRE 13 : FILTRAGE 2/10
On peut déduire la nature du filtre en considérant uniquement les dipôles qui le composent. En
effet, nous savons que, en régime continu, un condensateur se comporte comme un interrupteur
ouvert et une bobine comme un court-circuit et que, à haute fréquence, un condensateur se
comporte comme un court-circuit et une bobine comme un interrupteur ouvert.
Exemple : Circuit R,C série
On considère un circuit R,C série comme un quadripôle, la tension d’entrée étant la tension délivrée
par le générateur et la tension de sortie étant prise aux bornes du condensateur (fig.13.2). Un tel
filtre, construit avec des dipôles passifs, est dit filtre passif. La présence du condensateur implique
qu’il s’agit d’un filtre passe-bas (à l’inverse, si on avait pris la tension de sortie aux bornes de la
résistance, on aurait eu affaire à un filtre passe-haut).
Figure 13.2. : Filtre R,C
On reconnaît un pont diviseur de courant, la tension de sortie du quadripôle est :
11
11
s
ee
jC
uuu
RjC jRC
ω
ωω
==
++
d’où la fonction de transfert de ce filtre :
()
1
1
s
e
u
HujRC
ωω ==
+
La pulsation apparaît au maximum à la puissance 1 : un tel filtre est appelé un filtre d’ordre 1. Le
gain du filtre est :
() () ()()
1/2
2
2
11
1
jRC
GH RC
RC
ω
ωω ω
ω
−
−
⎡
⎤
== = +
⎣
⎦
+
Le déphasage du signal de sortie est quant à lui :
()
(
)
(
)
(
)
arg arctan (car cos 0)HRC ϕω ω ω ϕ ==− >
On retrouve bien qu’il s’agit d’un filtre passe-bas :
(
)()
01 ; 0GG ωω →= →∞=
3) Gain en décibel d’un filtre
Un rapport permet de comparer deux grandeurs x1 et x2 exprimées dans la même unité. L’écart ∆
entre x1 et x2 exprimé en Bel (B) est défini comme le logarithme décimal du rapport :
1
2
log
B
x
x
∆=
L’unité habituellement utilisée est le décibel (dB), défini comme un dixième de Bel : 1dB = 0,1 B.
La relation ci-dessus devient, en exprimant l’écart en décibel :
1
2
10log
dB
x
x
∆=
Dans un circuit électrique, la puissance moyenne dissipée par un résistor est proportionnelle au
carré de la tension :
2
UR=P
L’écart entre deux puissances est donc :
s
u
e
u

PCSI CHAPITRE 13 : FILTRAGE 3/10
2
21 2 1 1
12 1 2 2
10log 10 log log 20log cte
dB
RU R U U
RU R U U
⎡⎤
⎛⎞ ⎡ ⎤
⎢⎥
∆= = + = +
⎜⎟ ⎢⎥
⎢⎥
⎝⎠ ⎣ ⎦
⎣⎦
Cette relation explique que l’on définisse le gain en décibel d’un filtre par la relation :
() ()
()
(
)
20log 20log s
dB
e
U
GGU
ω
ωω ≡=
Exemples :
() ()
() ()
3
20 10
60 10
dB s e
dB s e
GUU
GUU
ωω
ωω
−
=⇒ =
=− ⇒ =
4) Diagramme de Bode
On appelle diagramme de Bode d’un filtre l’ensemble des deux graphes :
(
)
()
:log
:log
dB
fG
g
ω
ω
ωϕω
→⎧
⎪
⎨→
⎪
⎩
La première courbe est la courbe de réponse en gain du filtre, la deuxième la courbe de réponse en
phase. Tout comme en chimie, où l’on définit le pH comme l’opposé du logarithme décimal de la
concentration en ions oxonium, l’utilisation des logarithme permet de condenser des vastes
domaines de variation de la fréquence et du gain sur un graphique.
Une décade est un intervalle de log
ω
égal à 1, i.e. 21 10
ω
ω
=
.
La variation du gain d’un filtre en fonction de la fréquence est bien sûr continue : il faut décider
d’une convention pour choisir, en fonction de G, entre les propositions « le filtre transmet la
fréquence ω » et« le filtre ne transmet pas la fréquence ω ». On définit pour cela la pulsation de
coupure
ω
c d’un filtre comme la pulsation au-delà ou en-dessous de laquelle le gain du filtre est
inférieur à max 2G :
()
max
2
c
G
G
ω ≡
La relation correspondante pour le gain en décibel est :
()
max
max max
20log 10log 2 3
2
dB c dB dB
G
GGG
ω ==− −
La bande passante d’un filtre est le domaine de pulsations pour lesquelles :
() ()
max
max max max
3
2dB dB dB
GGG G G G
ωω ≤≤ ⇔ −≤ ≤
Dans l’étude d’un filtre, on trace d’abord le diagramme asymptotique (on représente
(
)
dB
G
ω
et
()
ϕ
ω pour les limites 0 ,
ω
→+∞), puis on en déduit le diagramme réel en joignant les asymptotes
grâce aux points correspondants aux pulsations de coupure.
5) Filtres d’ordre 1
Revenons sur le filtre passe-bas R,C étudié au paragraphe 2 et posons 1
c
R
C
ω
= :
() ()
2
1
1
11
s
c
ec
c
uj
Huj
ω
ω
ωωω ωω
−
== =
++
() ()
1/2
21
c
G ωωω
−
⎡
⎤
=+
⎣
⎦ ;
(
)
(
)
arctan c
ϕ
ωωω =−

PCSI CHAPITRE 13 : FILTRAGE 4/10
On voit sur cette expression que la fréquence de coupure du filtre est : 1
c
R
C
ω
= (on a bien
()
12 max 2
c
GG ω == ). La bande passante du filtre est donc
[
]
0, c
ω
.
Traçons maintenant le diagramme de Bode asymptotique :
()
() ()
10log 1 0 20log
0 : :
arctan 0 0 arctan 2
dB dB
c
GG
ω
ω
ωω
ϕ
ϕ
π
⎧⎛⎞
→− = →−⎧⎪⎜⎟
⎪
→→∞
⎨⎨
⎝⎠
→− =
⎪⎪
⎩→− ∞ =−
⎩
L’asymptote de G pour les hautes fréquences est donc une droite de pente –20 dB par décade, les
trois autres asymptotes sont horizontales. Enfin, les valeurs correspondant à la fréquence de coupure
sont :
(
)
() ()
max 33
: arctan 1 4
dB c dB
c
c
GG ω
ω
ϕ
ωπ
=−=−⎧
⎪
⎨=− =−
⎪
⎩
On en déduit donc le diagramme de Bode du filtre (fig.13.3). Remarquons enfin que, aux hautes
fréquences
()
c
ω
ω , la fonction de transfert peut s’écrire :
()
c
H
j
ω
ω
ω
Le circuit est alors un montage intégrateur puisque :
0
t
c
se ee
uHu u udt
j
ω
ω
==
∫
Figure 13.3. : Diagramme de Bode du filtre R,C passe-bas
Etudions maintenant le même circuit en prenant la tension de sortie us aux bornes de la résistance :
il s’agit d’un circuit passe-haut du fait du rôle d’interrupteur ouvert joué par le condensateur à basse
fréquence. Sa fonction de transfert est (pont diviseur de tension) :
()
()
2
2
11 1 1
see
R
CjRC
RjRC jRC
uuuH
RjC jRC jRC RC
ω
ω
ωω
ωω ωω
+
==→==
++ ++
d’où :
() ()
1/2
2
2
11
11
c
G
RC
ω
ωω
ω
−
⎛⎞
⎛⎞
==+
⎜⎟
⎜⎟
⎜⎟
⎝⎠
+⎝⎠
()
(
)
arctan (car cos 0)
c
ϕω ω ω ϕ
=
>
la pulsation de coupure du filtre est donc , comme dans le cas du filtre passe-bas : 1/
c
R
C
ω
=. Les
asymptotes admises par G et
ϕ
sont :
GdB
log(
ω
/
ω
c) log(
ω
/
ω
c)
ϕ
–
3
−π/
4
−π/
2

PCSI CHAPITRE 13 : FILTRAGE 5/10
20log 0
0 : : 0
2
dB dB
c
GG
ω
ωω
ωϕ
ϕπ
⎧⎛⎞
→→
⎧
⎪⎜⎟
→→∞
⎨⎨
⎝⎠ →
⎩
⎪→
⎩
L’asymptote de G aux basses fréquences est donc une droite de pente +20dB par décade, les trois
autres asymptotes sont horizontales. Enfin, les valeurs correspondant à la fréquence de coupure
sont :
(
)
() ()
3
: arctan 1 4
dB c
c
c
G ω
ω
ϕ
ωπ
=−⎧
⎪
⎨==
⎪
⎩
d’où le diagramme de Bode de ce filtre passe-haut (fig.13.4.).
Figure 13.4. : Diagramme de Bode du filtre R,C passe-haut
Remarquons enfin que la fonction de transfert à basse fréquence
(
)
c
ω
ω  s’écrit :
c
Hj
ω
ω
Le circuit est alors un montage dérivateur puisque :
s
eee
c
j
uHu uu
ω
ω
=
=
6) Adaptation d’impédance
On a considéré dans les études précédentes que le courant à la sortie du filtre était nul. En pratique,
on branche un circuit d’utilisation à la sortie du filtre. L’étude n’est donc valable que si la résistance
du circuit est grande. Pour s’affranchir simplement de ces problèmes d’adaptation d’impédance, on
peut placer un AO en montage suiveur entre le quadripôle et le circuit d’utilisation (figure 13.5.).
Figure 13.5. : Adaptation d’impédance
On a alors une tension d’utilisation égale à
s
e
uHu
=
quel que soit le courant dans le circuit
d’utilisation.
GdB
log(
ω
/
ω
c)
log(
ω
/
ω
c)
ϕ
–
3
π
/
4
π
/
2
s
u
filtre
e
u
+
–