RSF et Résonances - Physique en Sup IV

Sup PCSI1 - Exercices de physique
Régime Sinusoïdal Forcé et résonances
Régime Sinusoïdal Forcé (2° série) – Circuits électriques,
Résonances sur des systèmes électriques ou mécaniques.
1.
Etude d’un pont de mesure :
On considère le circuit suivant, alimenté sous une tension sinusoïdale e(t).
Calculer la tension V mesurée par le voltmètre et montrer qu’elle s’annule si la
relation : Z1.Z3 = Z2.Z4 est vérifiée. (Condition d’équilibre du pont).
Z1
Z4
V
e(t)
Z2
2
Z3
Application : pont de Maxwell.
Le circuit est monté avec pour Z1 une bobine réelle (L,r) dont on cherche les caractéristiques, Z2= R2 (résistor), Z3 obtenu par
l’association d’un condensateur C et d’un résistor R en parallèle, et Z4 = R4 (résistor).
Montrer que le relevé des valeurs de C et R pour lequel le pont est équilibré donne accès à L et r. (R2 et R4 sont connues et
fixées).
Rép : r = R2R4/R et L = R2R4C
2.
R
L’entrée d’un oscilloscope peut être modélisée par l’association en parallèle d’un
condensateur Ce et d’un résistor Re. Le montage ci-contre, permet de déterminer Re et
Ce.
U1
G.B.F
.
Ce
Mesure de l’impédance d’entrée d’un oscilloscope :
Re
U2
On relève la valeur à donner à R pour que l’on ait U2 = U1/2.
En régime permanent R = Rp = 1,00 MΩ. En R.S.F., à la fréquence f = 10,0 kHz , R = RS =
840 kΩ .
a) Montrer que Rp = Re.
b) Calculer Ce.
Rép : a) A fréquence nulle Ce est assimilable à un interrupteur ouvert ; diviseur de tension. b) Calculer l’impédance
équivalente de l’association en dérivation de Re et Ce. Relier les tensions complexes u1 et u2 , puis passer en module. Ce = 15,0
pF.
3.
Impédance d’entrée ; mise en équation d’un circuit :
A
C
R
e
R
L
B
C
On envisage le circuit suivant, alimenté entre A et B par une source de tension
sinusoïdale e(t) = E.cos (ω.t)
v
D
a) Calculer l'impédance d'entrée Ze du montage, c'est à dire l'impédance vue des
points A et B.
b) Exprimer la tension complexe v en fonction de e, R, L, C et ω.
Rép : a) Ze = R + jLω(1 + jRC ω) / (jRC ω + 1 - LC ω²)
(b) en introduisant des courants et écrivant les lois de noeud et de maille :
v=
e. jLω / R
1 − LCω ² + jRCω + ( jLω / R )(1 + jRCω )
1
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4.
Régime Sinusoïdal Forcé et résonances
Circuit "bouchon" :
u(t)
On considère le montage suivant :
le générateur délivre une tension de la forme : u(t) = U cos ω.t.
Exprimer l'admittance du circuit en fonction de ω, puis représenter
l'amplitude de l'intensité I traversant R en fonction de ω.
A quel comportement correspond ici le phénomène de résonance ?
L
R
C
R : à la résonance, minimum d'intensité, pour ω = 1/(√LC)
5.
Etude d'une association RLC :
On étudie expérimentalement un dipôle constitué d'une association d'un
condensateur, d'une bobine et d'une résistance selon le schéma ci-contre.
1°) On souhaite accéder expérimentalement à la mesure de l'impédance de ce
dipôle, c'est à dire au module de cette impédance et à son argument. Concevez
un montage permettant les mesures nécessaires à l'aide d'un oscilloscope.
C
R
L
2°) Exprimer l'impédance Z du dipôle et son module |Z|. Représenter sommairement |Z| = f(ω) où ω est la pulsation
imposée au dipôle par le générateur.
3°) On admettra que |Z| passe par un extrémum pour ω = ωo = 1/√LC (soit ωo² = 1/LC). On relève alors la valeur du
module de l'impédance : |Zo| = 8,26 kΩ, correspondant à une fréquence de 14,0 kHz. Sachant que la mesure du module de
l'impédance pour ω = 0 conduit à |Z|(ω = 0) = 3,14 kΩ, en déduire les valeurs de R, C et de L.
Rép :
R = 3,14 kΩ ; C = 2,45 nF ; L = 53,0 mH
6. Exploitation d’un relevé expérimental.
Cas d’un système de facteur de qualité modéré, à fort amortissement.
Le système suspension-amortisseur d’une voiture doit être testé régulièrement lors des contrôles techniques. Son
diagramme de réponse fréquentielle est donné ci-après. La variable d’observation est l’écart de position du moyeu de la
roue par rapport à sa position à l’équilibre. Un dispositif extérieur sollicite le système en lui imposant des vibrations de
fréquence variable. La valeur d’amplitude d’élongation est portée sur le graphe en valeur relative.
Déterminer la pulsation propre ωo et la fréquence propre fo du système, sachant qu’àsa fréquence propre le système sera
en quadrature retard sur l’excitateur.
L’étude théorique de la résonance permet de proposer pour la fréquence de résonance fr l’expression : 1 ²
Déterminer la valeur du facteur de qualité Q.
Commenter la complémentarité qui apparaît entre les courbes d’amplitude et les courbes de phase sur cette situation.
Aurait-on pu déterminer ωo et Q avec une seule de ces courbes ?
-1
-1
Rép : ωo = 4,5 rad.s ; ωr = 2,8 rad.s ; Q = 0,9.
2
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7.
Régime Sinusoïdal Forcé et résonances
Exploitation d’un relevé expérimental.
Cas d’un système de grand facteur de qualité, à faible amortissement.
Dans son principe de fonctionnement, le premier maillon d'un récepteur radiophonique correspond au
schéma ci-contre (postes à lampes, puis à transistor). Il permet d'effectuer une sélection des stations
en ajustant la capacité C. L’antenne reçoit les signaux issus de « toutes les stations environnantes » et
les injecte dans le circuit gauche du transformateur. Seuls les signaux dont la fréquence sera proche de
f0 seront présents aux bornes de C.
En règle générale, L est fixe (L = 170 µH). L est l'inductance que « voit » le condensateur C. C est variable est permet à
l'utilisateur du poste de sélectionner la station de son choix.
Les stations de radio sont réparties dans des espaces de fréquence appelés bandes. La gamme des ondes radio se divisent
en bandes et sous bandes. Pour chaque station émettrice, un intervalle Δf = 9 kHz encadrant la fréquence d’émission (onde
porteuse) permet de laisser passer un groupe de fréquences audibles par modulation d’amplitude. L'étroitesse de cette
bande caractérise la sonorité caractéristique de la gamme AM.
La situation peut se modéliser par un circuit RLC série en sortie sur le condensateur C.
Dans une position donnée du condensateur réglable, le circuit récepteur présente les graphes de résonance ci-dessous.
L’étude analytique de la résonance montre que pour des circuits de facteur de qualité suffisant, à la fréquence de
résonance fr , le gain G = V/Ue , rapport de l’amplitude de la tension V obtenue en sortie sur la tension d’entrée sur circuit,
a pour expression :
1 1
4²
1 1
2²
Déterminer la fréquence d’accord du récepteur ainsi que la valeur de la capacité dans ce cas.
Quel est la valeur de la bande passante et du facteur de qualité ? Quelle est la résistance R associée à ce circuit ?
Le circuit est-il exploitable pour la réception radiophonique décrite en préambule ?
Rép : fo = 160 kHz (France Inter : 162kHz en GO). C = 5,9 nF. ∆f = fo/Q = 9 kHz. Circuit juste assez sélectif.
8.
Sismographe :
On considère l’appareil schématisé ci-contre. R est un ressort de raideur k, de longueur à
vide Lo, auquel est suspendu un point matériel M de masse m.
Celui-ci subit par l'intermédiaire du système amortisseur A une force de frottement
d’expression :
F = − f v , v étant sa vitesse par rapport au support S. Le mouvement du
z
S
y
R
M
T
zo
A
point matériel M par rapport à S s'inscrit sur le tambour T grâce à un stylet.
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Régime Sinusoïdal Forcé et résonances
On étudie ce mouvement lorsque S prend par rapport au référentiel terrestre, supposé galiléen, un mouvement connu de
direction verticale.
1°) Expliquer qualitativement pourquoi, dans le cas de vibrations verticales rapides du sol, le stylet reproduit ces vibrations
en vraie grandeur sur le tambour.
2°) a) Pour l'étude des mouvements on utilise un axe vertical (zz') lié à la Terre et orienté vers le haut. Exprimer la longueur
Léq du ressort correspondant à la position Méq du stylet à l’équilibre, quand le support S est immobile.
b) On appelle zo(t) la cote sur sur l’axe (Oz) à la date t du point de S coïncidant avec M à l'équilibre et z(t) = zo(t) + y(t) la
cote du point matériel M. Former l'équation différentielle vérifiée par y(t).
3°) On modélise les vibrations du sol par zo(t) = Zo.cosΩt à une constante près, et l'on cherche y(t) en régime stationnaire
sous la forme : y(t) = Y.cos(Ωt+ϕ) (Y > 0). En utilisant la notation complexe, exprimer α = Y/Zo en fonction de la pulsation
réduite x = Ω/ωo et du facteur de qualité Q = mωo/f où ωo =
k /m .
4°) Quelle est la limite de α quand x tend vers l'infini ? Que vaut α quand x tend vers 0 ? Tracer à l’aide de la calculatrice
une allure de α en fonction de la pulsation Ω pour les valeurs suivantes du facteur de qualité : Q = 2,0 ; Q = 0,7 et Q = 0,3 ?
A partir de quelle valeur Qm de Q la fonction α(x) passe-t-elle par un maximum ?
Conclusion ? Comment choisir Q pour que le domaine des pulsations pour lesquelles α reste proche de 1 soit le plus étendu
possible ?
R : 1°) Du fait de son inertie, M ne suit pas les vibrations si elles sont très rapides : le support se déplace devant un stylet
quasi-immobile et celui-ci reproduit les déplacements du support, changés de signe (opposition de phase).
2°) a) à l’équilibre : mg – k(Léq – Lo) = 0.
••
••
••
•
•
b) Ecrire la RFD pour M(m) dans le référentiel lié à la Terre, galiléen : m z = m y + m zo = − f y − ky où y est la vitesse
de la masse m par rapport à S (donc du piston dans le cylindre amortisseur) et - ky est la somme du poids et de la force de
••
rappel du ressort ; il vient :
3°)
α=
x2
2
(1 − x 2 ) 2 +
=
x
Q2
y+
••
f • k
y + y = − zo
m
m
1
1 1 
1 
− 2  2 − 2  + 1
4
x
x 
Q 
4°) Apparition d’une résonance au-delà de Qm ≈ 0,7.On peut aussi, par le calcul analytique, chercher une condition
d’extrémum sur la quantité

1 
u ² − u  2 − 2  + 1 , quantité située sous la racine dans l’expression du 3°, avec u = 1/x².
Q 

On arrive à Q > 1/√2 et donc Qm = 1/√2. On choisira Q = Qm.
4