La trousse à outils en électricité

Terminale S – Physique
Chapitre 6, 7 et 8
La trousse à outils en électricité
La tension uAB correspond à la différence de potentiel VA – VB que l’on représente par une flèche partant
de B pointant vers A (à l’extérieur du circuit).
dq
; elle est
L’intensité i dans un circuit série est le débit de charges électriques par unité de temps i 
dt
représentée par une flèche sur le circuit, dans le sens inverse de circulation des électrons (qui, eux,
circulent des potentiels négatifs vers les potentiels positifs).
Le conducteur ohmique
Couramment appelé « résistance », ce dipôle se caractérise effectivement par sa résistance R au passage
du courant, exprimée en ohms (Ω). La tension à ses bornes uR est proportionnelle à l’intensité i qui le
traverse selon la loi d’Ohm
uR  R  i
Le conducteur ohmique est capable de dissiper l’énergie électrique qu’il reçoit en énergie thermique
(chaleur) : c’est l’effet Joule. Sur une durée t, ER  P  t  UI  t  Ri 2 t .
Le condensateur
Constitué de 2 armatures conductrices séparées par un isolant (le diélectrique), le condensateur se
caractérise par sa capacité C exprimée en farads (F). La tension uC à ses bornes (convention récepteur) est
proportionnelle à la charge q de son armature positive (exprimée en coulombs, symbole : C)
q
uC 
C
Le condensateur est capable de stocker de l’énergie électrique.
1
EC  C uC 2
2
L’énergie étant une grandeur continue, la tension aux bornes du condensateur (et sa charge) est une
grandeur continue.
La bobine
La bobine idéale est un fil gainé enroulé en spires sur un cylindre. Elle se caractérise par son inductance
L, exprimée en henrys (H). La tension uL à ses bornes (convention récepteur) est proportionnelle à la
dérivée de l’intensité du courant qui la traverse
di
uL  L
dt
La bobine idéale fournit une réponse à toute variation du courant électrique : on dit qu’elle s’oppose aux
variations de l’intensité. Dans la réalité, la bobine étant un enroulement de fil, elle oppose nécessairement
une résistance r au passage du courant : la bobine réelle est donc également résistive, de sorte que pour
une bobine réelle
di
uL  L  r i
dt
L’énergie emmagasinée (et non stockée) par la bobine idéale se met sous la forme
1
EL  L i 2
2
L’énergie étant une grandeur continue, l’intensité du courant traversant une bobine est une grandeur
continue.
1
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Chapitre 6, 7 et 8
Etude des dipôles RC et RL série
Nous nous sommes intéressés à la réponse des dipôles RC et RL série à un échelon montant ou
descendant de tension (c’est-à-dire à une variation brutale de la tension appliquée aux bornes du dipôle).
E
1
K
R
i
A
condensateur
bobine
B
2
uKA
uAB
L’utilisation de la loi d’additivité des tensions (loi des mailles) et les relations caractéristiques des dipôles
conduisent toujours à une équation différentielle du 1er ordre
dy
 a y b
dt
éventuellement homogène (b = 0) dans le cas de la réponse à un échelon descendant de tension. On
obtient une équation concernant uC(t) dans le cas du dipôle RC et concernant i(t) dans le cas du dipôle
RL. Les solutions générales sont du type
b
y (t )  k  eat 
a
où la constante k se détermine par la connaissance d’une condition particulière sur y(t), le plus souvent à t
= to.
Exercices
1. a. Montrer que, dans le cas de la charge d’un condensateur (C) associé en série à une résistance
(R) et par un générateur de fém E, la tension à ses bornes se met sous la forme
uC (t )  E 1  e t /  avec   R  C
b. Montrer que  est bien homogène à une durée.
2. a. Montrer que, dans le cas de la rupture de courant dans un circuit série comportant un générateur
de fém E, une bobine (L,r) et une résistance (R), l’intensité du courant dans le circuit peut se
mettre sous la forme
E
L
1  e t /  avec  
i (t ) 

Réq
Réq
b. Montrer que  est bien homogène à une durée.
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Chapitre 6, 7 et 8
Etude du dipôle RLC série
Condensateur et bobine sont des composants susceptibles de stocker (condensateur) ou d’emmagasiner
temporairement (bobine) de l’énergie électrique. Un condensateur, initialement chargé, branché aux
bornes d’une bobine idéale, restitue l’énergie qu’il a stockée ; la bobine s’oppose à cette restitution et
emmagasine à son tour l’énergie cédée par le condensateur, avant de la lui re-communiquer, et ainsi de
suite : s’entame une partie de « ping-pong » entre les deux composants qui s’échangent l’énergie
électrique initialement stockée par le générateur.
En présence d’une résistance (celle de la bobine réelle, notamment), le processus de ping-pong est
amorti : la résistance dissipe de l’énergie par effet Joule et le ping-pong se retrouve amputé, à chaque
transfert condensateur–bobine, d’une partie d’énergie.
Lors de la décharge d’un condensateur dans une bobine, lorsque la résistance totale du circuit est nulle, la
tension aux bornes du condensateur obéit à l’équation différentielle du second ordre
d ²uC
1
uC  0

dt ²
LC
Les solutions d’une telle équation sont du type
uC (t )  U m cos o .t   
avec les constantes Um l’amplitude (en volts)
2
o 
 2 f o la pulsation (rad.s–1)
To
 la phase à l’origine
Sur l’exemple ci-contre, Um = 3 V, To = 4 s et  = /2.
Rappels
 La période propre To est la durée d’un motif oscillatoire (en secondes).
 La fréquence propre fo est le nombre de motifs répétés en une seconde (en hertz)
 La pulsation propre o est la vitesse de répétition du motif – 2 parcourus en To secondes – (en
rad.s–1)
Exercices
1. Etablir l’équation (ci-dessus) à laquelle obéit uC(t) dans le dipôle LC série.
2. Montrer que les solutions proposées sont bien solution de cette équation, et en déduire
l’expression nécessaire de la période propre To des oscillations de la tension aux bornes du
condensateur, uC.
3. Comment évolue l’intensité dans le circuit ?
4. Déterminer la solution particulière correspondant à uC(t) à la décharge du condensateur
(initialement chargé) dans la bobine.
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