Génération boltzmannienne exacte avec oracles inexacts

Génération boltzmannienne exacte avec oracles
inexacts
Philippe Duchon
LaBRI
Aléa 2011 - 8 mars 2011

Génération aléatoire “Boltzmannienne” Simulation exacte des lois discrètes Simulation avec intervalles de sécurité
1Génération aléatoire “Boltzmannienne”
2Simulation exacte des lois discrètes
3Simulation avec intervalles de sécurité

Génération aléatoire “Boltzmannienne” Simulation exacte des lois discrètes Simulation avec intervalles de sécurité
Modèle de Boltzmann
On a une famille d’objets discrets C, munie d’une taille |.|,
telle que, pour tout n,
Cn={c∈ C :|c|=n}soit fini.
Modèle de Boltzmann [D., Flajolet, Louchard,
Schaeffer] : pour un réel x>0 fixé, assigne à chaque objet
c∈ C une probabilité proportionnelle à x|c|(ou à x|c|/|c|!
pour des classes d’objets étiquetés), donc
PC,x(C=c) = x|c|
C(x)P′C,x(C=c) = x|c|/|c|!
ˆ
C(x)

Génération aléatoire “Boltzmannienne” Simulation exacte des lois discrètes Simulation avec intervalles de sécurité
Modèle de Boltzmann
La taille de l’objet obtenue est aléatoire, mais deux objets de
même taille ont la même probabilité d’apparaître.
Le choix du paramètre x(entre 0 et le rayon de convergence
de la série génératrice) permet au moins de “jouer” sur la
taille moyenne.
La taille moyenne est xC ′(x)
C(x), on peut donc chercher si, par
exemple, il est possible de trouver xtel qu’elle soit égale à n
(et il se trouve que, lorsqu’il existe, ce xmaximise la
probabilité que la taille soit égale à n).

Génération aléatoire “Boltzmannienne” Simulation exacte des lois discrètes Simulation avec intervalles de sécurité
Générateurs de Boltzmann
Ce qui fait l’attrait du modèle de Boltzmann : des constructions
récursives classiques, se traduisent en équations sur les séries
génératrices, et en générateurs de Boltzmann efficaces, qui se
ramènent à la simulation d’un petit nombre de lois discrètes.
Union disjointe, C=A ⊕ B :loi de Bernoulli
GenC(x)
Si Bern (A( x ) / (A( x)+B( x )))=1 a l o r s
Retourner GenA ( x )
Sinon
Retourner GenB ( x )
F i n S i