Fonctions du second degré

FONCTIONS DU SECOND DEGRE
Déterminer le tableau de variations d’une fonction du second degré
A partir de la forme développée :
On a démontré en cours le théorème suivant :
Théorème : Le tableau de variation d’une fonction du second degré est :
– Si a a > 0
x
–∞
–
b
f(x)
f(–
– Si
+∞
2a
b
)
2a
a<0
x
–∞
–
b
f(–
f(x)
+∞
2a
b
2a
)
Algorithme de réponse :
– Lire a, b et c
b
2a
–
Calculer –
–
Calculer f(–
–
Faire le tableau en fonction du signe de
b
)
2a
a
A partir de la forme canonique :
La forme canonique a(x – )² +  nous donne directement les coordonnées de l’extrémum qui
sont (, ), tandis que a détermine le sens de la parabole.
Exemple :
On considère la fonction est définie
sur IR par : f(x) = 3(x – 2)² + 1.Sont
tableau de variation est :
x
–∞
2
+∞
f(x)
1
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Fiche originale réalisée par Thierry Loof
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Exercice 1
Déterminer le tableau de variation de la fonction définie sur IR par :
f(x) = 3x² – 2x + 1
Corrigé
Exercice 2
Déterminer le tableau de variation de la fonction définie sur IR par :
f(x) = –4x² + 1
Corrigé
Exercice 3
Déterminer le tableau de variation de la fonction définie sur IR par :
f(x) = (x + 2)² + 1
Corrigé
Exercice 4
Déterminer le tableau de variation de la fonction définie sur IR par :
f(x) = –2(3 – x)² – 5
Corrigé
Exercice 5
Déterminer le tableau de variation de la fonction définie sur IR par :
f(x) = x² – 2x + 1
Exercice 6
Déterminer le tableau de variation de la fonction définie sur IR par :
f(x) = –2x² + x
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Déterminer le tableau de variations d’une fonction du second degré
Corrigé 1
Déterminer le tableau de variation de la fonction définie sur IR par :
f(x) = 3x² – 2x + 1
Algorithme de réponse :
– Lire a, b et c
b
– Calculer –
2a
–
–
Ici on a :
a=3;
b = –2 ;
b
–2
1
–
=–
=
2×3
3
2a
et
c=1
b
)
f(1) = 3(1)² – 2(1) + 1 = 2
3
3
3
3
2a
Faire le tableau en fonction du signe de a
a > 0 le tableau de variation est donc :
Calculer f(–
x
–∞
1
3
+∞
f(x)
2
3
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Corrigé 2
Déterminer le tableau de variation de la fonction définie sur IR par :
f(x) = –4x² + 1
Algorithme de réponse :
– Lire a, b et c
b
– Calculer –
2a
–
–
Calculer f(–
Ici on a :
a = –4 ; b = 0 (il n’y a pas de terme en x) ; et c = 1
b
0
–
=–
=0
2×(–4)
2a
b
)
f(0) = –4(0)² + 1 = 1
2a
Faire le tableau en fonction du signe de a
x
–∞
0
a < 0 le tableau de variation est donc :
+∞
1
f(x)
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Déterminer le tableau de variations d’une fonction du second degré
Corrigé 3
Déterminer le tableau de variation de la fonction définie sur IR par :
f(x) = (x + 2)² + 1
La forme canonique est a(x – )² +  .
Donc ici :
a = 1 (positif) donc la parabole est tournée vers le haut
= – 2 car (x + 2) = (x –(– 2))
=1
x
–∞
–2
+∞
f(x)
1
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Corrigé 4
Déterminer le tableau de variation de la fonction définie sur IR par :
f(x) = –2(3 – x)² – 5
La forme canonique est a(x – )² +  .
Donc ici :
a = –2 (négatif) donc la parabole est tournée vers le bas
= 3 car (3 – x)² = (x – 3)²
(deux nombres opposés ont le même carré)
 = –5
x
–∞
3
+∞
–5
f(x)
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