Energie d`un point materiel

Energie d’un point materiel
MPSI
26 août 2008
Table des matières
1 Puissance et travail d’une force
1.1 Puissance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2 Travail d’une force . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2
2
2
2 Théorème de l’énergie cinétique
2.1 Énergie cinétique . . . . . . . . . .
2.2 Théorème de l’énergie cinétique . .
2.3 Force conservative . . . . . . . . . .
2.3.1 Force conservative et énergie
3
3
3
4
4
. . . . . . .
. . . . . . .
. . . . . . .
potentielle
.
.
.
.
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.
.
.
.
.
3 Energie mécanique et intégrale première de l’énergie cinétique
5
3.1 Energie mécanique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
3.2 Relation entre le théorème de l’énergie cinétique et Em (M )R . 5
3.3 Intégrale première de l’énergie cinétique . . . . . . . . . . . . . 5
3.4 Relation entre l’énergie potentielle et les relations d’équilibre . 6
1
Chapitre
1
Puissance et travail d’une force
1.1
Puissance
Définition 1 Soit M(m) un point materiel de masse m observé dans un
→
−
référentiel R et animé de la vitesse V (M )R .
→
−
Supposons que M soit soumis à l’action d’une force F .
La puissance, scalaire associée à cette force à chaque instant, est définie par :
→
− →
−
P = F . V (M )R
L’unité de la puissance est le Watt.
→
−
Propriété 1 Si M(m) est soumis à un ensemble de forces Σ F , alors :
X
P =
Pi
i
avec :
1.2
→
− →
−
Pi = Fi . V (M )R
Travail d’une force
→
−
Définition 2 Le travail d’une force F entre t et t+dt dans le référentiel R
est donné par :
δω = P.dt
On obtient aussi la formule :
−
→
− →
δω = F . dl
2
Chapitre
2
Théorème de l’énergie cinétique
2.1
Énergie cinétique
Définition 3 Soit M(m) point materiel de masse m observé dans R, et
→
−
animé de la vitesse V (M )R .
L’énérgie cinétique de M(m) dans R est donnée par, avec v la norme de
→
−
V (M )R :
1
Ec (M )R = .m.v 2 (M )R
2
L’unité de l’énergie cinétique est le Joule.
2.2
Théorème de l’énergie cinétique
Soit M(m) un point matériel de masse m observé dans R galiléen, soumis
→
−
dans R à la résultante Σ F des forces exterieures.
Théorème 1 On obtient la relation :
dEc (M )R =
X
δωi
i
Entre deux instants t1 et t2 , le théorème de l’énergie cinétique devient :
X
∆t1 →t2 Ec (M ) =
ωi
i
avec :
Z
M2
ωt1 →t2 =
M1
3
−
→
− →
F . dl
2.3
Force conservative
→
−
Définition 4 Une force F est dites conservative quand son travail entre
deux points M1 et M2 ne dépend pas du chemin suivit, mais uniquement des
positions M1 et M2 .
Ceci implique que sur un contour fermé, le travail d’une force conservative
est nul.
Une force qui n’est pas conservative est dites non-conservative.
2.3.1
Force conservative et énergie potentielle
On obtient la formule suivante, liant énergie potentielle et force conservative :
−
→
− →
δω = F . dl = −dEp
4
Chapitre
3
Energie mécanique et intégrale
première de l’énergie cinétique
3.1
Energie mécanique
Définition 5 L’énergie mécanique d’un point materiel M(m) de masse m
dans un réferentiel R, notée Em (M )R , est la somme de son énergie cinétique
et de son énergie potentielle totale Eptot :
Em (M )R = Ec (M )R + Eptot
3.2
Relation entre le théorème de l’énergie
cinétique et Em(M )R
Soit M(m) un point materiel de masse m, soumis à des forces non-conservatives,
notées F n−c . On obtient la relation suivant :
dEm (M )R = Σδω n−c
3.3
Intégrale première de l’énergie cinétique
Définition 6 L’énergie mécanique de M dans R est constante si et seulement
si :
→ Il n’y a pas de forces non conservatives ou les forces non conservatives
→
−
→
−
ne travaillent pas. F n−c ⊥ dl
5
Dans ce cas, en dérivant l’expression de l’énergie mécanique, on obtient une
expression égale à zéro. Ce qui permet de ne pas avoir à passer par le P.F.D.
Ceci consitue l’intégrale première de l’énergie cinétique.
3.4
Relation entre l’énergie potentielle et les
relations d’équilibre
Considérons un système dont la position ne dépend que d’une seul variable de l’espace.
Supposons que M(m) point materiel de masse m soit soumis à le force résul→
−
tant F conservative.
Les positions d’équilibre du système sont les extrémums de la fonction Ep .
Si la courbe est convexe au voisinage de l’équilibre, alors l’équilibre est stable.
Si la courbe est concave au voisinage de l’équilibre, alors l’équilibre est instable.
6