Energie d`un point materiel

Energie d’un point materiel
MPSI
26 aoˆut 2008

Table des mati`eres
1 Puissance et travail d’une force 2
1.1 Puissance ............................. 2
1.2 Travaild’uneforce ........................ 2
2 Th´eor`eme de l’´energie cin´etique 3
2.1 ´ Energiecin´etique ......................... 3
2.2 Th´eor`eme de l’´energie cin´etique . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
2.3 Forceconservative......................... 4
2.3.1 Force conservative et ´energie potentielle . . . . . . . . 4
3 Energie m´ecanique et int´egrale premi`ere de l’´energie cin´e-
tique 5
3.1 Energie m´ecanique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
3.2 Relation entre le th´eor`eme de l’´energie cin´etique et Em(M)R. 5
3.3 Int´egrale premi`ere de l’´energie cin´etique . . . . . . . . . . . . . 5
3.4 Relation entre l’´energie potentielle et les relations d’´equilibre . 6
1

Chapitre 1
Puissance et travail d’une force
1.1 Puissance
D´efinition 1 Soit M(m) un point materiel de masse m observ´e dans un
r´ef´erentiel R et anim´e de la vitesse −→ V(M)R.
Supposons que M soit soumis `a l’action d’une force −→ F.
La puissance, scalaire associ´ee `a cette force `a chaque instant, est d´efinie par :
P=−→ F .−→ V(M)R
L’unit´e de la puissance est le Watt.
Propri´et´e 1 Si M(m) est soumis `a un ensemble de forces Σ−→ F, alors :
P=X
i
Pi
avec :
Pi=−→ Fi.−→ V(M)R
1.2 Travail d’une force
D´efinition 2 Le travail d’une force −→ Fentre t et t+dt dans le r´ef´erentiel R
est donn´e par :
δω =P.dt
On obtient aussi la formule :
δω =−→ F .−→ dl
2

Chapitre 2
Th´eor`eme de l’´energie cin´etique
2.1 ´ Energie cin´etique
D´efinition 3 Soit M(m) point materiel de masse m observ´e dans R, et
anim´e de la vitesse −→ V(M)R.
L’´en´ergie cin´etique de M(m) dans R est donn´ee par, avec v la norme de
−→
V(M)R:
Ec(M)R=1
2.m.v2(M)R
L’unit´e de l’´energie cin´etique est le Joule.
2.2 Th´eor`eme de l’´energie cin´etique
Soit M(m) un point mat´eriel de masse m observ´e dans R galil´een, soumis
dans R `a la r´esultante Σ−→ Fdes forces exterieures.
Th´eor`eme 1 On obtient la relation :
dEc(M)R=X
i
δωi
Entre deux instants t1et t2, le th´eor`eme de l’´energie cin´etique devient :
∆t1→t2Ec(M) = X
i
ωi
avec :
ωt1→t2=ZM2
M1
−→
F .−→ dl
3

2.3 Force conservative
D´efinition 4 Une force −→ Fest dites conservative quand son travail entre
deux points M1et M2ne d´epend pas du chemin suivit, mais uniquement des
positions M1et M2.
Ceci implique que sur un contour ferm´e, le travail d’une force conservative
est nul.
Une force qui n’est pas conservative est dites non-conservative.
2.3.1 Force conservative et ´energie potentielle
On obtient la formule suivante, liant ´energie potentielle et force conser-
vative :
δω =−→ F .−→ dl =−dEp
4