Déterminants – Systèmes linéaires

Déterminants – Systèmes linéaires
Denis Vekemans
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∗
Introduction
Montrer qu’une application linéaire est inversible n’est à priori pas chose évidente. Le déterminant per-
mettra, dans certains cas, de montrer très facilement si une matrice est ou non inversible. Il permettra aussi,
toujours dans certains cas, d’obtenir facilement l’inverse d’une matrice. Enfin, il servira, mais c’est pour
une leçon prochaine, à la diagonalisation et la trigonalisation des endomorphismes d’un espace vectoriel. Il
constituera alors un pont entre la théorie des anneaux polynomiaux et celle de l’algèbre linéaire. Dans tout
ce chapitre K désigne un corps. Rappelons qu’un corps est un espace vectoriel sur lui même de dimension 1.
2
Formes multilinéaires
Définition 1
Soit E un K-espace vectoriel. Soit
f :E
| ×E×
{z. . . × E} −→ K.
p fois
f est une forme p-linéaire ou une forme multilinéaire (ou encore une p-forme linéaire) sur E si pour tout
i = 1, . . . , p, pour tout x1 , . . . , xi−1 , xi+1 , . . . , xp ∈ E, l’application x 7→ f (x1 , . . . , xi−1 , x, xi+1 , . . . , xp ) est
linéaire de E dans K. On note Lp (E) l’ensemble des p-formes linéaires sur E.
Proposition 1
Soit E un K-espace vectoriel. L’ensemble des p-formes linéaires sur E, Lp (E) muni de l’addition des fonctions
à valeurs dans K et de la multiplication par un scalaire, a une structure de K-espace vectoriel.
Démonstration. On montre sans peine que c’est un sous espace vectoriel de l’espace des fonctions
définies sur E et à valeurs dans K.
Définition 2
Soit E un K-espace vectoriel. Soit f une forme p-linéaire définie sur un K-espace vectoriel E. Si p = 2, on
dit que f est une forme bilinéaire. Si p = 3, on dit que f est une forme trilinéaire.
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Laboratoire de mathématiques pures et appliquées Joseph Liouville ; 50, rue Ferdinand Buisson BP 699 ; 62 228 Calais
cedex ; France
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Définition 3
Soit E un K-espace vectoriel. Une forme p-linéaire est dite alternée si pour tout (x1 , . . . , xp ) ∈ E p vérifiant
∃i, j ∈ {1, 2, ..., p}, i 6= j, xi = xj , alors f (x1 , . . . , xp ) = 0. L’ensemble des formes p-linéaires alternées sur E
est notée Ap (E).
Définition 4
Soit E un K-espace vectoriel. Une forme p-linéaire est dite symétrique si pour tout (x1 , . . . , xp ) ∈ E p , pour
tout i, j ∈ {1, 2, ..., p} alors f (x1 , . . . , xi , . . . , xj , . . . , xp ) = f (x1 , . . . , xj , . . . , xi , . . . , xp ).
Définition 5
Soit E un K-espace vectoriel. Une forme p-linéaire est dite antisymétrique si pour tout (x1 , . . . , xp ) ∈ E p ,
pour tout i, j ∈ {1, 2, ..., p} alors f (x1 , . . . , xi , . . . , xj , . . . , xp ) = −f (x1 , . . . , xj , . . . , xi , . . . , xp ).
Proposition 2
Si f est une p-forme linéaire antisymétrique et si k est un corps de caractéristique différente de 2 alors f est
alternée.
Démonstration. Comme f est antisymétrique, pour tout (x1 , . . . , xp ) ∈ E p et pour tout i, j ∈ {1, 2, ..., p}
alors f (x1 , . . . , xi , . . . , xj , . . . , xp ) = −f (x1 , . . . , xj , . . . , xi , . . . , xp ).
Supposons que xi = xj .
L’égalité précédente devient : f (x1 , . . . , xi , . . . , xi , . . . , xp ) = −f (x1 , . . . , xi , . . . , xi , . . . , xp ), soit
2f (x1 , . . . , xi , . . . , xi , . . . , xp ) = 0,
ce qui donne, K étant de caractéristique différente de 2 : f (x1 , . . . , xi , . . . , xi , . . . , xp ) = 0.
Avant de continuer, effectuons deux petits rappels à propos du groupe des permutations d’un ensemble
fini.
Rappel 1.
• L’ensemble des bijections σ : {1, 2, ..., p} −→ {1, 2, ..., p} est noté Sp . Une telle bijection est appelée
une permutation de {1, 2, ..., p}.
• Sp muni de la loi de composition des applications possède une structure de groupe.
• Une permutation préservant tout les éléments de {1, 2, ..., p} sauf deux qu’elle permute est appelée une
transposition. Toute permutation est produit de transposition. Le nombre de transposition intervenant
dans cette décomposition est indépendant de la décomposition (en transposition) choisie.
Rappel 2.
• Il existe une morphisme de groupe surjectif ε : Sp −→ {−1, 1} où {−1, 1} est muni de sa struture
multiplicative. L’image de ε sur une permutation est appelée la signature de cette permutation.
• Si σ est élément de Sp alors ε(σ) = (−1)n où n est le nombre de transposition dans une décomposition
de σ en produit de transposition.
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Proposition 3
Soit f une forme p-linéaire alternée définie sur un K-espace vectoriel E. Soient v1 , . . . , vp , p vecteurs de E.
Soit aussi σ un élément de Sp . Alors
f (vσ(1) , . . . , vσ(p) ) = ε(σ)f (v1 , . . . , vp ).
Démonstration. Comme les permutations sont des produits de transpositions, il suffit de montrer cette
égalité pour une transposition. Soit i, j ∈ {1, 2, ..., p} et soit τ la transposition de {1, 2, ..., p} qui échange i
et j.
On a clairement :
f (vτ (1) , . . . , vτ (i) , . . . , vτ (j) , . . . , vτ (p) ) = f (v1 , . . . , vj , . . . , vi , . . . , vp ) = −f (v1 , . . . , vi , . . . , vj , . . . , vp ).
Proposition 4
L’ensemble des p-formes linéaires alternées sur le K-espace vectoriel E, Ap (E) est un sous-espace vectoriel
de l’espace vectoriel des p-formes linéaires sur E, Lp (E).
Démonstration. Il suffit de vérifier que la p-forme nulle est bien élément de Ap (E) et que la combinaison
linéaire de deux p-formes linéaires alternées est encore une p-forme linéaire alternée.
3
Dimension de Ap (E) et déterminant
Proposition 1
E désigne un K-espace vectoriel de dimension finie et p un entier naturel.
Si p est plus grand que la dimension de E alors Ap (E) = {0}.
Démonstration. Soit f ∈ Ap (E) et soient v1 , . . . , vp , p vecteurs non nuls de E. Comme E est de
dimension finie (car n < p), l’un des vecteurs vp , par exemple, est combinaison linéaire des p − 1 autres
vecteurs. Il existe donc α1 , . . . , αp−1 dans K tels que
vp =
p−1
X
αi vi .
p−1
X
αi f (v1 , . . . , vp−1 , vi ).
i=1
On peut alors écrire :
f (v1 , . . . , vp−1 , vp ) =
i=1
Mais comme f est alternée, pour tout i = 1, ..., p−1, f (v1 , . . . , vp−1 , vi ) = 0. On a prouvé que f (v1 , . . . , vp−1 , vp ) =
0. Cela étant vrai pour toute famille de p vecteurs de E, v1 , . . . , vp , f est identiquement nulle sur E.
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Proposition 2
Soit E un K-espace vectoriel de dimension n avec K qui n’est pas de caractéristique 2. L’ensemble des
n-formes linéaires alternées sur E : An (E) est de dimension 1 sur K.
Démonstration. Considérons une base e = (ei )i∈{1,...,n} de E. Considérons d’autre part une n-forme
linéaire alternée f sur E ainsi qu’un n-uplet (v1 , . . . , vn ) de vecteurs de E. Pour i ∈ {1, . . . , n} et j ∈
P
{1, . . . , n}, il existe des scalaires αi,j ∈ K tels que pour tout j ∈ {1, . . . , n}, vj = ni=1 αi,j ei . Considérons
aussi l’ensemble Sn des suites à n éléments et à valeurs dans {1, . . . , n}.
On peut alors écrire :
X
f (v1 , . . . , vn ) =
(1)
αi1 ,1 . . . αin ,n f (ei1 , . . . , ein ).
(ik )k∈{1,...,n} ∈Sn
Remarquons qu’il existe une bijection évidente entre Sn et Sn . Cette bijection est celle qui à une suite
(ik )k∈{1,...,n} de Sn associe la permutation qui envoie l’entier m sur l’entier im .
Via cette remarque, on peut écrire :
f (v1 , . . . , vn ) =
X
ασ(1),1 . . . ασ(n),n f (eσ(1) , . . . , eσ(n) ).
σ∈Sn
f étant alternée, pour tout σ ∈ Sn , quelques soient v1 , . . . , vp , p vecteurs de E,
f (vσ(1) , . . . , vσ(p) ) = ε(σ)f (v1 , . . . , vp ).
Donc :
f (v1 , . . . , vn ) =
X
ασ(1),1 . . . ασ(n),n ε(σ)f (e1 , . . . , en ).
σ∈Sn
Soit encore :
f (v1 , . . . , vn ) =
X
!
ασ(1),1 . . . ασ(n),n ε(σ) f (e1 , . . . , en ),
σ∈Sn
et posant
Π(v1 , . . . , vn ) =
X
ασ(1),1 . . . ασ(n),n ε(σ),
σ∈Sn
v1 , . . . , vn étant n vecteurs quelconques dans E :
f (v1 , . . . , vn ) = Π(v1 , . . . , vn ) · f (e1 , . . . , en ).
Il faut montrer que Π est une forme multilinéaire et alternée. On vérifie sans peine que Π est multilinéaire.
Soient v1 , . . . , vn n vecteurs de E et soient i, j ∈ {1, . . . , n} tels que i < j et tels que vi = vj .
Π(v1 , . . . , vi , . . . , vj , . . . , vn ) =
X
ασ(1),1 . . . ασ(i),i . . . ασ(j),j . . . ασ(n),n ε(σ)
σ∈Sn
=
X
ασ(1),1 . . . ασ(i),i . . .
σ∈Sn
. . . ασ(n),n ε(σ)
ασ(j),i
| {z }
=ασ(j),j car vi =vj
Soit τ la transposition qui échange i et j. τ préserve tout les autres éléments de {1, . . . , n}.
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Donc :
Π(v1 , . . . , vi , . . . , vj , . . . , vn ) =
X
ασ(τ (1)),1 . . . ασ(τ (j)),i . . . ασ(τ (i)),i . . . ασ(τ (n)),n ε(σ).
σ∈Sn
Comme τ = τ −1 , et ε(σ ◦ τ ) = −ε(σ),
Π(v1 , . . . , vi , . . . , vj , . . . , vn ) = −
X
ασ(τ (1)),1 . . . ασ(τ (j)),i . . . ασ(τ (i)),i . . . ασ(τ (n)),n ε(σ ◦ τ )
σ ∈ Sn
| {z }
ou σ◦τ ∈Sn
X
= −
ασ(1),1 . . . ασ(i),i . . . ασ(j),i . . . ασ(n),n ε(σ)
σ∈Sn
En conclusion Π(v1 , . . . , vi , . . . , vj , . . . , vn ) = −Π(v1 , . . . , vi , . . . , vj , . . . , vn ) et comme K n’est pas de caractéristique 2, on déduit que Π(v1 , . . . , vi , . . . , vj , . . . , vn ) = 0 et Π est bien alternée.
Proposition 3
(et définition) Soit E un K-espace vectoriel de dimension finie. Soit e = (e1 , . . . , en ) une base de E. On
appelle application déterminant dans la base e l’application multilinéaire alternée qui à n vecteurs vj
P
pour j ∈ {1, . . . , n} de E d’écriture vj = ni=1 αi,j ei dans la base E associe la quantité :
dete (v1 , . . . , vi , . . . , vj , . . . , vn ) =
X
ασ(1),1 . . . ασ(n),n ε(σ).
σ∈Sn
Démonstration. Nous venons de démontrer que cette application est multilinéaire alternée.
Proposition 4
Soit E un K-espace vectoriel de dimension finie n. Soit e = (e1 , . . . , en ) une base de E. Soit dete l’application
déterminant associée à cette base. Alors dete (e1 , . . . , en ) = 1.
Démonstration. Il suffit de revenir à la définition du déterminant.
Proposition 5
Soit E un K-espace vectoriel de dimension finie n. Soit e = (e1 , . . . , en ) une base de E. Soit f une application
n-linéaire alternée. Soient aussi v1 , . . . , vn n vecteurs de E.
f (v1 , . . . , vn ) = dete (v1 , . . . , vn ) · f (e1 , . . . , en ).
Démonstration. Cette proposition n’est rien d’autre que la ré-écriture de celle démontrée au début de
ce paragraphe et qui donne la dimension de An (E). Se reporter donc à la démonstration de cette proposition.
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Proposition 6
Soit E un K-espace vectoriel de dimension finie n. Soit p ∈ N tel que p ≤ n. Alors la dimension de Ap (E)
!
n
n!
.
est donnée par dimAp (E) =
= p!(n−p)!
p
(n)
Démonstration. Soit e = (e1 , . . . , en ) une base de E. Notons Sp
(n)
Sp
et à valeurs dans {1, . . . , n}. Une suite élément de
l’ensemble des suites à p éléments
sera notée (ik )k∈{1,...,p} . Soient v1 , . . . , vp p vecteurs
de E. Pour i ∈ {1, . . . , n} et j ∈ {1, . . . , p} il existe des scalaires αi,j ∈ K tels que pour tout j ∈ {1, . . . , p},
P
vj = ni=1 αi,j ei .
Si f est une p-forme linéaire sur E,
X
f (v1 , . . . , vp ) =
(2)
αi1 ,1 . . . αip ,p f (ei1 , . . . , eip ).
(n)
(ik )k∈{1,...,p} ∈Sp
(n)
La somme précédente est donc prise sur l’ensemble des suites appartenant à Sp .
(n)
(n)
Etudions plus précisément Sp . Une suite de Sp
est caractérisée par :
• L’ensemble des valeurs qu’elle peut prendre.
• L’ordre dans lequel elle prend ces valeurs.
(n)
Désignons par les entiers k1 < . . . < kp les p valeurs pouvant être prises par une suite donnée de Sp .
(n)
Soient i1 , . . . , ip et i′1 , . . . , i′p deux suites de Sp
permutation σ de Sp telle que iσ(m) =
suite de
(n)
Sp
i′m
prenant leur valeurs dans {k1 , . . . , kp }. Il existe une unique
pour tout m ∈ {1, . . . , p}. Réciproquement si i1 , . . . , ip est une
(n)
et que σ est une permutation de Sp , alors iσ(1) , . . . , iσ(p) est une autre suite de Sp
prenant
(n)
Sp
des suites qui sont à
ses valeurs dans le même ensemble que la suite (ik )k∈{1,...,p} . Le sous-ensemble de
valeur dans {k1 , . . . , kp } peut donc être décrit par l’ensemble kσ(1) , . . . , kσ(p) ; σ ∈ Sp .
(n)
En conclusion Sp
peut être décrit par :
[
Sp(n) =
1≤k1 <...<kp ≤n
(n)
Ce partitionnement de Sp
kσ(1) , . . . , kσ(p) ; σ ∈ Sp .
permet une autre écriture de la somme (2) :
f (v1 , . . . , vp ) =
X
X
αkσ(1) ,1 . . . αkσ(p) ,p f (ekσ(1) , . . . , ekσ(p) ).
1≤k1 <...<kp ≤n σ∈Sp
Mais comme est alternée, ceci se ré-écrit :
f (v1 , . . . , vp ) =
X
X
αkσ(1) ,1 . . . αkσ(p) ,p ε(σ)f (ek1 , . . . , ekp ).
1≤k1 <...<kp ≤n σ∈Sp
Ou encore :
f (v1 , . . . , vp ) =
X
1≤k1 <...<kp ≤n
Notons ek1 ,...,kp la famille libre (ek1 , . . . , ekp ).


X
σ∈Sp

αkσ(1) ,1 . . . αkσ(p) ,p ε(σ) f (ek1 , . . . , ekp ).
L’expression entre parenthèses est exactement égale à detek1 ,...,kp (vk1 , . . . , vkp ).
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Notons (pour 1 ≤ k1 < . . . < kp ≤ n), Π(k1 ,...,kp ) l’application qui à un n-uplet (v1 , . . . , vn ) associe le
p-uplet (vk1 , . . . , vkp ).
(2) admet comme écriture :
X
f (v1 , . . . , vp ) =
detek1 ,...,kp
1≤k1 <...<kp ≤n
X
·f (ek1 , . . . , ekp ),
=Π(k1 ,...,kp ) (v1 ,...,vp )
ou
f (v1 , . . . , vp ) =
(vk1 , . . . , vkp )
|
{z
}
detek1 ,...,kp ◦ Π(k1 ,...,kp ) (v1 , . . . , vp ) · f (ek1 , . . . , ekp ).
1≤k1 <...<kp ≤n
On vérifie sans peine que les fonctions detek1 ,...,kp ◦ Π(k1 ,...,kp ) sont des formes p-linéaires alternées. Ap (E) est
donc engendré par l’ensemble des formes
o
n
F = detek1 ,...,kp ◦ Π(k1 ,...,kp ) ; 1 ≤ k1 < . . . < kp ≤ n .
Remarquons que l’ensemble des p-uplets k1 , . . . , kp tels que 1 ≤ k1 < . . . < kp ≤ n est de cardinal
n
p
Donc F est de cardinal
n
p
!
=
n!
.
p!(n − p)!
!
=
n!
.
p!(n − p)!
Montrons!pour terminer que cette famille est libre. Considérons une famille de scalaires (λi ) pour i allant de
n
n!
. Réindexons cette suite de la façon suivante : (λk1 ,...,kp )1≤k1 <...<kp ≤n , ce qui sera bien
1à
= p!(n−p)!
p
plus pratique. Supposons que cette suite vérifie :
X
λk1 ,...,kp detek1 ,...,kp ◦ Π(k1 ,...,kp ) = 0.
1≤k1 <...<kp ≤n
Par ailleurs, si 1 ≤ m1 < . . . < mp ≤ n, on définit π(ei ) par π(ei ) = emi si i ∈ {m1 , . . . , mp } et par π(ei ) = 0
si i ∈
/ {m1 , . . . , mp } étudions
X
λk1 ,...,kp detek1 ,...,kp ◦ Π(k1 ,...,kp ) (π(e1 ), . . . , π(en )).
1≤k1 <...<kp ≤n
Chacun des termes detek1 ,...,kp ◦Π(k1 ,...,kp ) (π(e1 ), . . . , π(en )) est nul sauf celui tel que k1 = m1 , . . . , kp = mp
qui vaut 1. Donc λm1 ,...,mp = 0. On peut faire ce raisonement pour tout les p-uplets m1 , . . . , mp tels que
1 ≤ m1 < . . . < mp ≤ n, ce qui prouve que chacun des λm1 ,...,mp est nul et que la famille F est libre.
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Déterminant d’une matrice, d’une application linéaire
Définition 6
Soit M = (αi,j )i∈{1,...,n};j∈{1,...,n} une matrice carrée à coefficients dans le corps K. On appelle déterminant de
la matrice M et on note det(M ) le déterminant des n vecteurs dont les coordonnées (dans la base canonique
de Kn ) sont données par les colonnes de M :
det(M ) =
X
ασ(1),1 . . . ασ(n),n ε(σ).
σ∈Sn
Proposition 1
Soit E un K-espace vectoriel de dimension égale à n. Soient e = (e1 , . . . , en ) et e′ = (e′1 , . . . , e′n ) deux bases
de E. Alors :
dete (e′1 , . . . , e′n ).dete′ (e1 , . . . , en ) = 1
(dete (e′1 , . . . , e′n ) est inversible dans K, d’inverse dete′ (e1 , . . . , en )).
Démonstration. L’application qui au n-uplet (v1 , . . . , vn ) de vecteurs de E associe dete′ (v1 , . . . , vn )
est n-linéaire alternée. Donc dete′ (v1 , . . . , vn ) = dete′ (e1 , . . . , en ).dete (v1 , . . . , vn ). Mais dete′ (e′1 , . . . , e′n ) donc
dete′ (e1 , . . . , en ) est inversible dans K d’inverse celui précisé dans la proposition.
Proposition 2
(et définition) Soit f une application linéaire définie sur le K-espace vectoriel E de dimension finie. Soit e
une base de E. Si Me (f ) désigne la matrice de f dans la base e, alors on appelle déterminant de f le scalaire
de K
det(f ) = dete Me (f ).
Démonstration. Soit n = dimE. Il s’agit bien évidemment de montrer que si e′ est une autre base de
E alors dete Me (f ) = dete′ Me′ (f ), ce qui garantira le sens de cette définition. Rappelons que Me (f ) est la
matrice dont les vecteurs colonnes sont données par les coordonnées des f (ei ) pour i ∈ {1, . . . , n} dans la
base e. Donc dete Me (f ) = dete (f (e1 ), . . . , f (en )). De même dete′ Me′ (f ) = dete′ (f (e′1 ), . . . , f (e′n )).
Intéressons nous à l’application qui au n-uplet (v1 , . . . , vn ) de vecteurs de E associe dete (f (v1 ), . . . , f (vn )).
Cette application est n-linéaire alternée. Donc dete (f (v1 ), . . . , f (vn )) = dete (f (e1 ), . . . , f (en ))dete (v1 , . . . , vn ).
En particulier, dete (f (e′1 ), . . . , f (e′n )) = dete (f (e1 ), . . . , f (en ))dete (e′1 , . . . , e′n ).
Soit encore :
dete (f (e′1 ), . . . , f (e′n )) = dete (Me (f ))dete (e′1 , . . . , e′n ).
D’autre part l’application qui au n-uplet (v1 , . . . , vn ) de vecteurs de E associe dete′ (v1 , . . . , vn ) est, elle aussi,
n-linéaire alternée. Donc dete′ (v1 , . . . , vn ) = dete′ (e1 , . . . , en )dete (v1 , . . . , vn ). Si on applique cette formule au
n-uplets (f (e′1 ), . . . , f (e′n )), on obtient dete′ (f (e′1 ), . . . , f (e′n )) = dete′ (e1 , . . . , en )dete (f (e′1 ), . . . , f (e′n )).
Ce qui s’écrit aussi :
dete′ (Me′ (f )) = dete′ (e1 , . . . , en )dete (f (e′1 ), . . . , f (e′n )).
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Donc :
dete (f (e′1 ), . . . , f (e′n )) = dete (Me (f ))dete (e′1 , . . . , e′n ) = dete′ (Me′ (f )) (dete′ (e1 , . . . , en ))−1 .
Puis, comme dete (e′1 , . . . , e′n ) = (dete′ (e1 , . . . , en ))−1 ,
dete (Me (f )) = dete′ (Me′ (f )).
Donc det(f ) est bien indépendant de la base choisie.
5
Quelques propriétés du déterminant
Proposition 1
Si f et g sont deux endomorphismes du K-espace vectoriel E, alors
det(g ◦ f ) = det(g)det(f ).
Démonstration. Soit n la dimension de E et soit e = (e1 , . . . , en ) une base de E. Considérons l’application qui au n-uplet (v1 , . . . , vn ) de vecteurs de E associe dete (g(v1 ), . . . , g(vn )). Cette application est
n-linéaire alternée. Donc dete (g(v1 ), . . . , g(vn )) = dete (g(e1 ), . . . , g(en ))dete (v1 , . . . , vn ).
Appliquons cette formule au n-uplet (f (e1 ), . . . , f (en )), on obtient :
dete (g(f (e1 )), . . . , g(f (en ))) = dete (g(e1 ), . . . , g(en ))dete (f (e1 ), . . . , f (en )).
Ce qui est exactement
det(g ◦ f ) = det(g)det(f ).
Proposition 2
Soit M = (αi,j )i∈{1,...,n};j∈{1,...,n} une matrice carrée à coefficients dans le corps K. Soit M T la transposée de
la matrice M . Alors det(M ) = det(M T ).
′
′
′ )
Démonstration. Si M = (αi,j )i∈{1,...,n};j∈{1,...,n} alors M = (αi,j
i∈{1,...,n};j∈{1,...,n} , avec αi,j = αj,i pour
tout i ∈ {1, . . . , n} et j ∈ {1, . . . , n} et
det(M T ) =
X
′
′
ασ(1),1
. . . ασ(n),n
ε(σ)
σ∈Sn
=
X
α1,σ(1) . . . αn,σ(n) ε(σ).
σ∈Sn
Comme les applications σ de Sn sont des bijections, on peut écrire :
α1,σ(1) . . . αn,σ(n) = ασ−1 (1),1 . . . ασ−1 (n),n
De plus, ε étant un morphisme de groupes multiplicatifs, ε(σσ −1 ) = 1 et donc ε(σ) = ε(σ −1 ).
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Cela donne :
det(M T ) =
X
α1,σ(1) . . . αn,σ(n) ε(σ)
σ∈Sn
X
=
ασ−1 (1),1 . . . ασ−1 (n),n ε(σ −1 )
σ −1 ∈Sn
= det(M ).
Proposition 3
Soit M une matrice triangulaire par bloc.
M=
M1
M′
0
M2
!
où M1 et M2 sont des matrices carrées. Le déterminant de M est égal au produit de det(M1 ) par det(M2 ) :
det(M ) = det(M1 )det(M2 ).
Démonstration. On suppose que M est une matrice carrée à n colonnes. On suppose que M1 possède
m colonnes. M2 possède donc n − m colonnes. Notons aussi M = (αi,j )i∈{1,...,n};j∈{1,...,n} .
Considérons A = {σ ∈ Sn ; σ({1, . . . , m}) = {1, . . . , m}}.
Si σ n’est pas élément de A alors il existe un entier i ∈ {1, . . . , m} tel que σ(i) ∈ {m + 1, . . . , n}. Pour
cet entier i, ασ(i),i = 0 et ασ(1),1 . . . ασ(n),n ε(σ) = 0.
Donc
det(M ) =
X
ασ(1),1 . . . ασ(n),n ε(σ).
σ∈A
Mais si σ ∈ A alors σ({1, . . . , m}) = {1, . . . , m} et σ({m + 1, . . . , n}) = {m + 1, . . . , n}. σ est le produit
′
d’une permutation de {1, . . . , m} et d’une permutation de {m + 1, . . . , n}. Notons Sn−m
l’ensemble des
permutations de {m + 1, . . . , n}.
On obtient :
det(M ) =
X
σ∈Sm
!
X
ασ(1),1 . . . ασ(m),m ε(σ) 
′
σ ′ ∈Sn−m
= det(M1 )det(M2 )

ασ′ (m+1),m+1 . . . ασ′ (n),n ε(σ ′ )
Corollaire 4
Soit M une matrice triangulaire (supérieure ou inférieure) à coefficients dans un corps K. Alors le déterminant
de M est égal au produit des éléments diagonaux de M .
Démonstration. C’est évident par récurrence sur l’ordre des matrices, en considérant
!
α1,1
uT
Mn =
0
Mn−1
et la propriété précédente.
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Déterminants – Systèmes linéaires
Corollaire 5
L’application identique Id sur le K-espace vectoriel E de dimension finie vérifie det(Id) = 1.
Démonstration. En effet, la représentation matricielle de Id dans une base de E est la matrice dont
les coefficients diagonaux sont tous égaux à 1 et qui a tout ses autres coefficients égaux à 0. Le déterminant
d’une application linéaire étant celui d’une de ses représentations matricielles, on obtient le résultat prévu.
6
Méthodes de calcul du déterminant
Proposition 1
Soit M une matrice carrée d’ordre n à coefficient dans K.
On ne change pas la valeur du déterminant de M en :
• effectuant une opération élémentaire sur les colonnes de M ,
• effectuant une opération élémentaire sur les lignes de M .
Démonstration. Si M = (αi,j )i∈{1,...,n};j∈{1,...,n} alors M est composée des n vecteurs colonnes


α1,j
 . 
. 
vj = 
 . .
αn,j
Le déterminant de M est égal, par définition du déterminant d’une matrice, au déterminant de ces n
vecteurs.
Effectuer une opération sur les colonnes de M revient à additionner λvi où λ ∈ K et i ∈ {1, . . . , n} à vj
dans la colonne Cj de M . Soit M ′ la matrice obtenue en additionnant λvi à vj dans la colonne Cj de M . On
a:
det(M ′ ) = det(v1 , . . . , vj−1 , vj + λvi , vj+1 , . . . , vn ).
Par multilinéarité du déterminant, ceci devient :
det(M ′ ) = det(v1 , . . . , vj−1 , vj , vj+1 , . . . , vn ) + λdet(v1 , . . . , vj−1 , vi , vj+1 , . . . , vn ),
et comme le déterminant est alterné, det(v1 , . . . , vj−1 , vi , vj+1 , . . . , vn ) = 0 et
det(M ′ ) = det(v1 , . . . , vj−1 , vj , vj+1 , . . . , vn ) = det(M ).
Pour ce qui est des opérations élémentaires sur les lignes, il suffit de considérer la transposée de M : une opération élémentaire sur les lignes de M est une opération élémentaire sur les colonnes de M T , puis d’appliquer
ce qui vient d’être démontré.
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Proposition 2
Soit M une matrice carrée d’ordre n. Soit λ ∈ K. On a :
det(λM ) = λn det(M ).
Démonstration. Comme précédement il suffit de remarquer que si v1 , . . . , vn sont les vecteurs colonnes
constituant la matrice M alors λv1 , . . . , λvn sont ceux qui constituent λM et
det(λM ) = det(λv1 , . . . , λvn ).
L’application déterminant étant n-linéaire, on aboutit à l’égalité
det(λM ) = det(λv1 , . . . , λvn )
= λn det(v1 , . . . , vn )
= λn det(M ).
Proposition 3
Soit M une matrice carrée d’ordre n. On change le signe du déterminant de M si :
• on permute deux colonnes de M ,
• on permute deux lignes de M .
Démonstration. M est constituée des n vecteurs colonnes vi , pour i ∈ {1, . . . , n}. Le déterminant de
M est égal au déterminant de ses n vecteurs. Permuter deux colonnes de M revient à permuter les deux
vecteurs corespondants dans la liste (v1 , . . . , vn ).
Supposons que les vecteurs permutés soient le ième et le jème (i < j). L’application déterminant étant
alternée, det(v1 , . . . , vj , . . . , vi , . . . , vn ) = −det(v1 , . . . , vi , . . . , vj , . . . , vn ).
Pour ce qui est des lignes, il suffit de considérer la transposée de M .
Proposition 4
Développement du déterminant par rapport à une ligne ou une colonne.
Soit M = (αi,j )i∈{1,...,n};j∈{1,...,n} une matrice carrée d’ordre n à coefficients dans K. Soit Mp,q la matrice
carrée d’ordre n − 1 :
Mp,q = (αi,j )i∈{1,...,n};j∈{1,...,n};i6=p;j6=q .
Le déterminant de M admet comme développement par rapport à la jème colonne :
det(M ) =
n
X
(−1)i+j αi,j det(Mi , j),
i=1
et par rapport à la ième ligne :
det(M ) =
n
X
(−1)i+j αi,j det(Mi , j).
j=1
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Déterminants – Systèmes linéaires
Démonstration. Considérons là encore les vecteurs colonnes de M :


α1,j
 . 
. 
vj = 
 . .
αn,j
Considérons aussi la base canonique e de Kn . Pour tout j ∈ {1, . . . , n}, vj =
Pn
i=1 αi,j ei .
Le détermi-
nant de M est égal au déterminant des n vecteurs vj . Considérant le jème vecteur, par multilinéarité de
l’application déterminant,
det(M ) = det(v1 , . . . , vn ) =
n
X
αi,j det(v1 , . . . , vj−1 , ej , vj+1 , . . . , vn ).
i=1
Représentant les n vecteurs (v1 , . . . , vj−1 , ej , vj+1 , . . . , vn ) par une matrice M ′ , on obtient pour M ′ l’écriture :


α1,1 . . . α1,j−1 0 α1,j+1 . . . α1,n


..
..
..
..
..


.
.
.
.
.




 αi−1,1 . . . αi−1,j−1 0 αi−1,j+1 . . . αi−1,n 




′
M =  αi,1 . . . αi,j−1 1 αi,j+1 . . . αi,n 


 α

.
.
.
α
0
α
.
.
.
α
i+1,j−1
i+1,j+1
i+1,n 
 i+1,1


..
..
..
..
..


.
.
.
.
.


αn,1 . . . αn,j−1 0 αn,j+1 . . . αn,n
Par transposition des lignes et des colonnes de M ′ , on transforme la matrice

1 αi,1 . . . αi,j−1 αi,j+1 . . . αi,n

 0

M ′′ =  .
 ..
Mi , j

0
M ′ en la matrice M ′′ :







M ′′ est triangulaire par bloc. De plus, comme M ′′ est obtenue à effectuant i−1 transpositions sur les lignes
de M ′ et j − 1 transpositions sur les colonnes de M ′ , det(M ′ ) = (−1)i+j det(M ′′ ). Mais det(M ′′ ) = det(Mi,j ).
Donc
det(M ) =
n
X
(−1)i+j αi,j det(Mi , j).
i=1
Pour ce qui est du développement suivant les lignes, il suffit de refaire le même calcul avec la transposée de
M.
Définition 7
M = (αi,j )i∈{1,...,n};j∈{1,...,n} une matrice carrée d’ordre n à coefficients dans K. Soit Mp,q la matrice carrée
d’ordre n − 1.
Mp,q = (αi,j )i∈{1,...,n};j∈{1,...,n};i6=p;j6=q .
′ )
On appelle matrice adjointe de la matrice M la matrice carré d’ordre n M ′ = (αi,j
i∈{1,...,n};j∈{1,...,n} où pour
′ = (−1)i+j det(M ).
tout i ∈ {1, . . . , n} et j ∈ {1, . . . , n}, αi,j
i,j
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Définition 8
On appelle comatrice de la matrice carrée M la transposée de la matrice adjointe de M .
Proposition 5
Si M est une matrice carrée d’ordre n et que M Co est la comatrice de M alors
M M Co = M Co M = det(M )Idn .
Démonstration. Supposons que M = (αi,j )i∈{1,...,n};j∈{1,...,n} et que M Co = (αi,j )i∈{1,...,n};j∈{1,...,n} .
P
′ .
Alors M M Co = (βi,j )i∈{1,...,n};j∈{1,...,n} avec βi,j = nk=1 αi,k αk,j
Donc
βi,j =
n
X
αi,k (−1)k+j det(Mk,j ).
(3)
k=1
• Supposons que i < j et remplaçons dans la matrice M la jème ligne par la ième. Développons ensuite
cette dernière matrice suivant cette jème ligne. On obtient pour le déterminant de cette matrice
exactement l’expression 3. Mais cette matrice possédant deux lignes égales a un déterminant nul. Donc
si i 6= j, βi,j = 0.
• Si i = j, βi,i =
Pn
k+i det(M )
k,i
k=1 αi,k (−1)
qui est exactement égal au développement de det(M )
suivant la ième ligne. Donc βi,i = det(M ).
En conclusion M M Co = det(M )Idn . Travaillons maintenant sur le produit M Co M . Posons ici M Co M =
Pn
′
′
′ )
(βi,j
i∈{1,...,n};j∈{1,...,n} avec βi,j =
k=1 αi,k αk,j .
Donc
′
βi,j
=
n
X
αk,j (−1)i+k det(Mi,k ).
(4)
k=1
On refait alors comme précédemment en distinguant les cas i 6= j et i = j.
Théorème 6
Soit M une matrice carrée d’ordre n.
M est inversible dans l’anneau Mn (K) si et seulement si son déterminant est non nul.
De plus, dans le cas où M est inversible, la matrice inverse de M , M −1 est donnée par :
M −1 = (det(M ))−1 M Co ,
et
(det(M ))−1 = det(M −1 ).
Démonstration. Si M est une matrice carrée inversible, alors il existe une matrice N de même ordre
que M telle que M N = N M = Idn . Donc det(M N ) = det(Idn ) = 1. Mais det(M N ) = det(M )det(N ). Donc
det(M ) est inversible dans K (et est par conséquent non nul) et (det(M ))−1 = det(M −1 ).
Supposons que det(M ) est non nul et calculons. Notons M Co la comatrice de M . La proposition précédente
donne M M Co = M Co M = det(M )Idn . Comme det(M ) est non nul, det(M ) est inversible et il en est de
même de M . On obtient alors exactement l’expression voulue pour M −1 .
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Mathématiques
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Déterminants – Systèmes linéaires
2006
Le calcul de la matrice adjointe d’une matrice offre donc un moyen de calculer l’inverse de cette matrice.
Ce calcul est cependant souvent très laborieux. Cette technique est utilisée en particulier pour résoudre des
systèmes d’équations du premier degré (systèmes de Cramer).
7
Systèmes linéaires
Soit K un corps commutatif, on se propose de discuter de la résolution du système de p équations à n
inconnues sur K :
ai,1 x1 + . . . + ai,n xn = bi , ∀i ∈ {1, . . . , p}.
On appelle X l’ensemble des (x1 , . . . , xn ) satisfaisant le système. On appelle M = (ai,j )i∈{1,...,p};j∈{1,...,n} la
matrice du système.
7.1
Cas de Cramer
Le système est carré (n = p) et le déterminant ∆ de la matrice du système est non nul.
Il y a une solution et une seule, chaque inconnue xi vaut xi =
∆i
∆
où ∆i se déduit à partir de ∆ en y
remplaçant la ième colonne par la colonne des termes constants.
7.2
Cas général : règle de Rouché
M ∈ Mp,n (K).
On cherche le rang de M . C’est l’unique r ∈ N tel que :
• il existe un déterminant δ d’ordre r extrait de A non nul,
• s’il existe des déterminants d’ordre (r + 1) extraits de A, ils sont tous nuls.
δ est choisi (déterminant principal) ; ses lignes déterminent les équations principales, ses colonnes, les inconnues principales. Les autres équations et inconnues, s’il en existe, sont non principales.
A chaque équation non principale est attaché un déterminant caractéristique d’ordre r + 1 obtenu en
adjoignant à δ :
• une (r + 1)ème ligne composée des coefficients des inconnues principales dans l’équation non principale
considérée,
• une (r + 1)ème colonne constituée des termes constants correspondants.
Ensuite,
• si l’un des p − r déterminants caractéristiques d’ordre r + 1 est non nul, X = ∅ ;
• si tous les p − r déterminants caractéristiques d’ordre r + 1 sont nuls, le système est équivalent au
système des r équations non principales : on donne des valeurs arbitraires aux (n − r) inconnues non
principales et on résout ensuite un système de Cramer par rapport aux inconnues principales dans les
équations principales.
–15/20–
Mathématiques
PLC1
7.3
Déterminants – Systèmes linéaires
2006
Cas particulier des systèmes homogènes
C’est le cas lorsque : ∀i ∈ {1, . . . , p}, bi = 0.
X est dans ce cas un sous-espace vectoriel de dimension (n − r) de Kn .
8
Exercices
Exercice 1
Soit ∆ un déterminant d’ordre n ≥ 3
a1,1 a1,2 a1,3 . . . a1,n−2
a1,n−1
a1,n
a2,1 a2,2 a2,3 . . . a2,n−2
a2,n−1
a2,n
a3,n−1
a3,n
a4,n−1
..
.
..
.
a4,n .
..
.
..
.
0
∆=
a3,2 a3,3 . . . a3,n−2
0
..
.
..
.
0
0
0
a4,3 . . . a4,n−2
..
.
..
.
0
...
0
an,n−1 an,n
Un terme du déterminant s’écrit aσ(1),1 . . . aσ(n),n ε(σ) où σ ∈ Sn .
Quel est le nombre maximal de termes non nuls dans ce déterminant ?
Exercice 2
Montrer que le
a −b
1
1
a2 − b1
..
.
an − b1
est nul si n ≥ 3.
Exercice 3
déterminant
a1 − b2
a2 − b2
..
.
an − b2
. . . a1 − bn . . . a2 − bn , ∀(a1 , . . . , an , b1 , . . . , bn ) ∈ K(2n)
..
.
. . . an − bn On se donne α1 , . . . , αn ∈ R et n ∈ {2, 3, . . .}.
Calculer le déterminant
sin(α1 + α1 ) sin(α1 + α2 ) . . . sin(α1 + αn )
sin(α2 + α1 ) sin(α2 + α2 ) . . . sin(α2 + αn )
..
..
..
.
.
.
sin(αn + α1 ) sin(αn + α2 ) . . . sin(αn + αn )
Exercice 4
Soit k ∈ N. Montrer que le déterminant
1k
2k
...
nk
2k
..
.
3k
..
.
...
(n + 1)k
..
.
nk (n + 1)k . . . (2n − 1)k
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Mathématiques
PLC1
2006
Déterminants – Systèmes linéaires
est nul si n ≥ k + 2.
Aide : on pourra introduire les polynômes Pj (X) = (X + j − 1)k , ∀j ∈ {1, . . . , n}.
Exercice 5
1. Montrer que le déterminant de Vandermonde
1 a a2
1
1
1 a2 a2
2
∆a1 ,...,an = . .
.
..
.. ..
1 an a2n
est donné par
∆a1 ,...,an défini par
. . . a1n−1 . . . a2n−1 n
.. , ∀(a1 , . . . , an ) ∈ K ,
. n−1
. . . an ∆a1 ,...,an =
Y
(aj − ai ).
1≤i<j≤n
2. Calculer le déterminant :
Exercice 6
∆=
1 a a2 a4 1 b b2 b4 , ∀(a, b, c, d) ∈ K4 .
1 c c2 c4 1 d d 2 d4 On considère le déterminant cyclique d’ordre n dépendant de u1 , . . . , un ∈ C :
u1
u2
u3 . . .
un
un
u1
u2 . . . un−1
∆n (u1 , . . . , un ) = un−1 un u1 . . . un−2
..
..
..
..
.
.
.
.
u2
u3
u4 . . .
u1
Donner ∆n (u1 , . . . , un ) en fonction de u1 , . . . , un ∈ C.
Aide : posant α = e
2iπ
n
, on pourra calculer ∆n (u1 , . . . , un )Vn , où
1
1
1
...
1
1
α
α2
...
αn−1
Vn = 1
..
.
α2
α4
...
..
.
..
.
α2(n−1)
..
.
.
1 αn−1 α2(n−1) . . . α(n−1)(n−1)
Exercice 7
Soient m et p deux entiers naturels tels que m ≥ p ≥ 1. Calculer le déterminant d’ordre
–17/20–
Mathématiques
PLC1
p+1
m
0
!
m+1
0
..
.
∆(m, p) =
m+p
0
Exercice 8
2006
Déterminants – Systèmes linéaires
m
1
!
!
m+1
1
..
.
!
...
!
1
p
!
m+1
...
!
m+p
m
p
..
.
m+p
...
p
!
!
Soient a1 , . . . , an , b1 , . . . , bn ∈ R.
0
a1
0
0
...
b1
0
a2
0
0
.
∆n+1 (a1 , . . . , an , b1 , . . . , bn ) = ..
..
.
b2
..
.
0
..
.
..
.
0
0
0
... 0
0
..
. 0
0
a3
.
.. .. ..
.
.
. ..
.. .. ..
.
.
. 0
..
. 0 an
0
0
0
0
...
0
0
bn
0
0
Calculer ∆n+1 (a1 , . . . , an , b1 , . . . , bn ).
Exercice 9
Soit Mn la matrice carrée d’ordre n, à coefficients réels définie par :





Mn = 




r1
a
b
r2
b
..
.
b
..
.
b
b
a
...
a






r3


..
. a 

. . . b rn
a
...
a
..
.
On note Jn la matrice carrée de rang n dont tous les coefficients sont égaux à 1.
On note également pn le polynôme
pn (X) =
n
Y
(ri − X).
i=1
1. Montrer que, pour tout λ ∈ R, det(Mn + λJn ) = φn est de la forme φn = αn + λβn .
2. En déduire αn et βn dans le cas où a 6= b (à l’aide de pn ).
3. Calculer det(Mn ) dans le cas où a = b.
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Mathématiques
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Exercice 10
2006
Déterminants – Systèmes linéaires
Soient p ∈ C et q ∈ C∗ . On note Dn le déterminant d’ordre n (n ≥ 1) tel que
Dn = . . . 0 . . .. . . 1 p
q
..
. 0 .
0 1
p
.. . . . . . .
.
.
. q .
0 ... 0
1 p p
q
0
On note Dn′ le déterminant d’ordre n (n ≥ 1) tel que
′
Dn = . . . 0 . . .. . . 2 p
q
..
. 0 .
0 1
p
.. . . . . . .
.
.
. q .
0 ... 0
1 p p
q
0
′
′
.
− qDn−2
1. Montrer que l’on a : Dn = pDn−1 − qDn−2 ; Dn′ = Dn − qDn−2 ; Dn′ = pDn−1
2. En déduire Dn et Dn′ .
Application numérique :
– p = 2, q = 1.
– p = 1, q = 1.
Exercice 11
Exercice 12
Exercice 13
a, b, c ∈ R. Discuter et résoudre le système en (x, y, z) ∈ R3 :



 ax + by + cz = 1
cx + ay + bz = 1 .


 bx + cy + az = 1
α ∈ C. Discuter et résoudre le système en (x, y, z) ∈ C3 :

2


 x + αy + α z = 0
αx + y + αz = 0 .


 α2 x + αy + z = 0
Discuter et résoudre le système :
xi + xi+1 = 2ai , ∀i ∈ {1, . . . , n − 1} ; xn + x1 = 2an ,
a1 , . . . , an ∈ K étant donnés.
Application : peut-on construire un polygone du plan affine connaissant les milieux de ses côtés ?
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Mathématiques
PLC1
Déterminants – Systèmes linéaires
2006
Références
[1] Les-Mathématiques.net : http ://www.les-mathematiques.net/
[2] M. Serfati, Exercices de mathématiques. 1. Algèbre, Belin, Collection DIA, 1987.
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Mathématiques