Sens du mot diviser : partager. La division par zéro n`existe pas . I

L
ES DIVISIONS
Sens du mot diviser : partager.
La division par zéro n’existe pas .
I. La division euclidienne
Problème
Le collège dispose de 541 € pour acheter des calculatrices. Une calculatrice coûte 12 €.
Combien de calculatrices le collège peut-il acheter ?
Le résultat est forcément un nombre entier
Lorsque l’on divise deux nombres entiers et que l’on décide de s’arrêter « avant la virgule », on
dit que l’on effectue une division euclidienne.
Effectuer une division euclidienne, c’est trouver deux nombres entiers : le quotient entier et
le reste.
Technique
Le reste est toujours strictement
inférieur au diviseur.
Méthode
Dans 54, combien de fois 12 ? 4 fois !
4 x 12 = 48
54 – 48 = 6 (inférieur au diviseur)
On abaisse le 1
Dans 61, combien de fois 12 ? 5 fois !
5 x 12 = 60
61 – 60 = 1 (inférieur au diviseur)
On arrête, il n’y a plus rien à abaisser.
1
4
5
2
1
5
4
8
4
-
1
6
0
6
-
1

Vocabulaire à savoir
541 est le dividende
12 est le diviseur
45 est le quotient entier
1 est le reste
Vérification à savoir
541 = (12 × 45) + 1
Quand on effectue une division euclidienne, on a toujours :
Dividende = (diviseur × quotient entier) + reste
Avec la calculatrice
Utilisation des touches 2nde :
Conclusion
541 ÷ 12 = 45 reste 1
Le collège pourra commander 45 calculatrices et il restera 1 €.

II. Divisibilité
1. Définitions
Exemple : 56 = 8 x 7
7 et 8 sont des diviseurs de 56. On dit aussi :
56 est divisible par 7 et par 8.
56 est un multiple de 7 et de 8.
2. Critères de divisibilité
A savoir
• Un nombre est divisible par 2 s'il est pair. Il se termine par 0, 2, 4, 6 ou 8.
372 est divisible par 2 car il se termine par 2.
• Un nombre est divisible par 3 si la somme de ses chiffres est divisible par 3.
2 742 est divisible par 3, car 2 + 7 + 4 + 2 = 15 et 15 = 3
×
5.
• Un nombre est divisible par 4 si le nombre forme par ses deux derniers chiffres est
divisible par 4.
7512 est divisible par 4 car 12 = 3
×
4.
• Un nombre est divisible par 5 s'il se termine par 0 ou par 5.
3125 est divisible par 5 car il se termine par 5.
• Un nombre est divisible par 9 si la somme de ses chiffres est divisible par 9.
6 741 est divisible par 9, car 6 + 7 + 4 + 1 = 18 et 18 = 9
×
2.
Exemple : Complète par « oui » ou « non » en utilisant les critères de divisibilité.
171 2 164 3 642 4 515
est divisible par 2 Non Oui Oui Non
est divisible par 3 Oui Non Oui Oui
est divisible par 4 Non Oui Non Non
est divisible par 5 Non Non Non Oui
est divisible par 9 Oui Non Non Non

III. La division décimale
1. Division d’un entier par un entier
Problème
Une mère veut partager 21 € entre ses 4 enfants. Combien aura chaque enfant ?
Technique
Dès que l’on abaisse le premier 0 « après la virgule
» du
dividende, on place une virgule au quotient.
Vérification : 5,25 x 4 = 21
Le quotient exact de 21 par 4 est 5,25.
Avec la calculatrice : On utilise la touche
:
Conclusion
21
÷
4 = 5,25.
Chaque enfant recevra 5,25 €.
0
0
1
,
2
4
5
2
5,
0
2
-
0
1
8
-
0
2
0
2
-
0

2. Division d’un nombre décimal par un entier
Problème
On veut partager 49,50 € entre 6 personnes. Combien aura chaque personne ?
Technique
Dès que l’on abaisse le premier chiffre après la virgule
du dividende, on place une virgule au quotient.
Vérification : 8,25 x 6 = 49,50
Le quotient exact de 49,50 par 6 est 8,25.
Avec la calculatrice : On utilise la touche :
Conclusion
49,50 ÷ 6 = 8,25.
Chaque personne reçoit 8,25 €.
0
5
9,
4
6
5
2
8,
8
4
-
5
1
2
1
-
0
3
0
3
-
0