LES DIVISIONS Sens du mot diviser : partager. La division par zéro n’existe pas . I. La division euclidienne Problème Le collège dispose de 541 € pour acheter des calculatrices. Une calculatrice coûte 12 €. Combien de calculatrices le collège peut-il acheter ? Le résultat est forcément un nombre entier Lorsque l’on divise deux nombres entiers et que l’on décide de s’arrêter « avant la virgule », on dit que l’on effectue une division euclidienne. Effectuer une division euclidienne, c’est trouver deux nombres entiers : le quotient entier et le reste. Technique Méthode 5 4 1 1 2 - 4 8 6 1 - 6 0 4 5 1 Le reste est toujours strictement inférieur au diviseur. Dans 54, combien de fois 12 ? 4 fois ! 4 x 12 = 48 54 – 48 = 6 (inférieur au diviseur) On abaisse le 1 Dans 61, combien de fois 12 ? 5 fois ! 5 x 12 = 60 61 – 60 = 1 (inférieur au diviseur) On arrête, il n’y a plus rien à abaisser. Vocabulaire à savoir 541 est le dividende 12 est le diviseur 45 est le quotient entier 1 est le reste Vérification à savoir 541 = (12 × 45) + 1 Quand on effectue une division euclidienne, on a toujours : Dividende = (diviseur × quotient entier) + reste Avec la calculatrice Utilisation des touches 2nde : Conclusion 541 ÷ 12 = 45 reste 1 Le collège pourra commander 45 calculatrices et il restera 1 €. II. Divisibilité 1. Définitions Exemple : 56 = 8 x 7 7 et 8 sont des diviseurs de 56. On dit aussi : 56 est divisible par 7 et par 8. 56 est un multiple de 7 et de 8. 2. Critères de divisibilité A savoir • Un nombre est divisible par 2 s'il est pair. Il se termine par 0, 2, 4, 6 ou 8. 372 est divisible par 2 car il se termine par 2. • • • • Un nombre est divisible par 3 si la somme de ses chiffres est divisible par 3. 2 742 est divisible par 3, car 2 + 7 + 4 + 2 = 15 et 15 = 3 × 5. Un nombre est divisible par 4 si le nombre forme par ses deux derniers chiffres est divisible par 4. 7512 est divisible par 4 car 12 = 3 × 4. Un nombre est divisible par 5 s'il se termine par 0 ou par 5. 3125 est divisible par 5 car il se termine par 5. Un nombre est divisible par 9 si la somme de ses chiffres est divisible par 9. 6 741 est divisible par 9, car 6 + 7 + 4 + 1 = 18 et 18 = 9 × 2. Exemple : Complète par « oui » ou « non » en utilisant les critères de divisibilité. est divisible est divisible est divisible est divisible est divisible par par par par par 2 3 4 5 9 171 Non Oui Non Non Oui 2 164 3 642 4 515 Oui Oui Non Non Oui Oui Oui Non Non Non Non Oui Non Non Non III. La division décimale 1. Division d’un entier par un entier Problème Une mère veut partager 21 € entre ses 4 enfants. Combien aura chaque enfant ? Technique 2 1, 0 0 - 2 0 1 0 8 2 0 - 2 0 0 4 5, 2 5 Dès que l’on abaisse le premier 0 « après la virgule » du dividende, on place une virgule au quotient. Vérification : 5,25 x 4 = 21 Le quotient exact de 21 par 4 est 5,25. Avec la calculatrice : On utilise la touche : Conclusion 21 ÷ 4 = 5,25. Chaque enfant recevra 5,25 €. 2. Division d’un nombre décimal par un entier Problème On veut partager 49,50 € entre 6 personnes. Combien aura chaque personne ? Technique 4 9, 5 0 - 4 8 1 5 - 1 2 3 0 - 3 0 0 6 8, 2 5 Dès que l’on abaisse le premier chiffre après la virgule du dividende, on place une virgule au quotient. Vérification : 8,25 x 6 = 49,50 Le quotient exact de 49,50 par 6 est 8,25. Avec la calculatrice : On utilise la touche : Conclusion 49,50 ÷ 6 = 8,25. Chaque personne reçoit 8,25 €.