Sens du mot diviser : partager. La division par zéro n`existe pas . I

LES
DIVISIONS
Sens du mot diviser : partager.
La division par zéro n’existe pas .
I.
La division euclidienne
Problème
Le collège dispose de 541 € pour acheter des calculatrices. Une calculatrice coûte 12 €.
Combien de calculatrices le collège peut-il acheter ?
Le résultat est forcément un nombre entier
Lorsque l’on divise deux nombres entiers et que l’on décide de s’arrêter « avant la virgule », on
dit que l’on effectue une division euclidienne.
Effectuer une division euclidienne, c’est trouver deux nombres entiers : le quotient entier et
le reste.
Technique
Méthode
5 4 1
1 2
- 4 8
6 1
- 6 0
4 5
1
Le reste est toujours strictement
inférieur au diviseur.
Dans 54, combien de fois 12 ? 4 fois !
4 x 12 = 48
54 – 48 = 6 (inférieur au diviseur)
On abaisse le 1
Dans 61, combien de fois 12 ? 5 fois !
5 x 12 = 60
61 – 60 = 1 (inférieur au diviseur)
On arrête, il n’y a plus rien à abaisser.
Vocabulaire à savoir
541 est le dividende
12 est le diviseur
45 est le quotient entier
1 est le reste
Vérification à savoir
541 = (12 × 45) + 1
Quand on effectue une division euclidienne, on a toujours :
Dividende = (diviseur × quotient entier) + reste
Avec la calculatrice
Utilisation des touches 2nde
:
Conclusion
541 ÷ 12 = 45 reste 1
Le collège pourra commander 45 calculatrices et il restera 1 €.
II.
Divisibilité
1. Définitions
Exemple :
56 = 8 x 7
7 et 8 sont des diviseurs de 56. On dit aussi :
56 est divisible par 7 et par 8.
56 est un multiple de 7 et de 8.
2. Critères de divisibilité
A savoir
•
Un nombre est divisible par 2 s'il est pair. Il se termine par 0, 2, 4, 6 ou 8.
372 est divisible par 2 car il se termine par 2.
•
•
•
•
Un nombre est divisible par 3 si la somme de ses chiffres est divisible par 3.
2 742 est divisible par 3, car 2 + 7 + 4 + 2 = 15 et 15 = 3 × 5.
Un nombre est divisible par 4 si le nombre forme par ses deux derniers chiffres est
divisible par 4.
7512 est divisible par 4 car 12 = 3 × 4.
Un nombre est divisible par 5 s'il se termine par 0 ou par 5.
3125 est divisible par 5 car il se termine par 5.
Un nombre est divisible par 9 si la somme de ses chiffres est divisible par 9.
6 741 est divisible par 9, car 6 + 7 + 4 + 1 = 18 et 18 = 9 × 2.
Exemple : Complète par « oui » ou « non » en utilisant les critères de divisibilité.
est divisible
est divisible
est divisible
est divisible
est divisible
par
par
par
par
par
2
3
4
5
9
171
Non
Oui
Non
Non
Oui
2 164 3 642 4 515
Oui
Oui
Non
Non
Oui
Oui
Oui
Non
Non
Non
Non
Oui
Non
Non
Non
III. La division décimale
1. Division d’un entier par un entier
Problème
Une mère veut partager 21 € entre ses 4 enfants. Combien aura chaque enfant ?
Technique
2 1, 0 0
- 2 0
1 0
8
2 0
- 2 0
0
4
5, 2 5
Dès que l’on abaisse le premier 0 « après la virgule » du
dividende, on place une virgule au quotient.
Vérification : 5,25 x 4 = 21
Le quotient exact de 21 par 4 est 5,25.
Avec la calculatrice : On utilise la touche :
Conclusion
21 ÷ 4 = 5,25.
Chaque enfant recevra 5,25 €.
2. Division d’un nombre décimal par un entier
Problème
On veut partager 49,50 € entre 6 personnes. Combien aura chaque personne ?
Technique
4 9, 5 0
- 4 8
1 5
- 1 2
3 0
- 3 0
0
6
8, 2 5
Dès que l’on abaisse le premier chiffre après la virgule
du dividende, on place une virgule au quotient.
Vérification : 8,25 x 6 = 49,50
Le quotient exact de 49,50 par 6 est 8,25.
Avec la calculatrice : On utilise la touche :
Conclusion
49,50 ÷ 6 = 8,25.
Chaque personne reçoit 8,25 €.