Cours de Physique statistique

Licence de Physique Année 2015-2016
3`eme année Parcours Physique et Applications & Mécanique
UNIVERSITÉ PARIS SACLAY ORSAY
Cours de Physique statistique

Compilation de textes de A. Abada,G. Abramovici,J.-L. Raimbault et G. Roux
avec l’aimable autorisation des auteurs ; sélection et mise en page : G. Abramovici.

Table des matières
I Physique et probabilités 1
1 Probabilités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
a Exemple : jeux aléatoires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
b Dénombrement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
2 Systèmes physiques à l’équilibre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
a Équilibre thermodynamique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
b Autres grandeurs thermodynamiques . . . . . . . . . . . . . . . . 3
c Ordres de grandeur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
d Collisions et libre parcours moyen . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
3 Bilan et objectifs du cours . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
4 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
a Marche au hasard (approche par la combinatoire) . . . . . . . . . 7
b Distribution des vitesses d’un gaz . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
c Probabilités conditionnelles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
d Événements indépendants . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
II Description microscopique et entropie statistique 9
1 Micro-états et macro-états . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
2 Espace des phases et densité d’états . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
a Définition de l’espace des phases . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
b Densité d’états dans l’espace des phases . . . . . . . . . . . . . . 11
c Exemples d’espace des phases . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
d Surface d’énergie constante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
e Particules indiscernables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
f Calcul des grandeurs physiques : principe ergodique . . . . . . . . 13
g Variables extensives et intensives . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
3 Entropie statistique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
a Information manquante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
b Définition de l’entropie statistique . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
c Propriétés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
d De l’entropie statistique à l’entropie thermodynamique . . . . . . 17
4 Postulat d’entropie maximale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
5 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
a Micro-états et macro-états . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
b Oscillateur harmonique à une dimension . . . . . . . . . . . . . . 19
i

III L’ensemble microcanonique 21
1 Postulat fondamental . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
a Système isolé . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
b Application du principe d’entropie maximale . . . . . . . . . . . 22
c Densité d’états . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
2 Exemple de calcul de la fonction de partition . . . . . . . . . . . . . . . 24
a Le cas du gaz parfait . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
b Calcul des grandeurs thermodynamiques . . . . . . . . . . . . . . 25
3 Lois thermodynamiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
a Premier principe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
b Le second principe retrouvé . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
c Du microscopique au macroscopique . . . . . . . . . . . . . . . . 27
d Calcul des variables macroscopiques à l’équilibre thermodynamique 28
e Propriétés de l’entropie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
f Équation d’état du gaz parfait microcanonique . . . . . . . . . . 29
4 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
a Entropie de mélange ; paradoxe de Gibbs . . . . . . . . . . . . . . 31
b Défauts dans les solides . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
c Chaîne polymère et force entropique . . . . . . . . . . . . . . . . 33
IV Ensemble canonique 35
1 Distribution et fonction de partition canonique . . . . . . . . . . . . . . 35
a Expérience de deux systèmes en contact thermique . . . . . . . . 35
b Application du principe d’entropie maximale . . . . . . . . . . . 37
2 Entropie d’équilibre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
a Statistique de Boltzmann . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
b Distribution de Maxwell . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
c Cas de particules indépendantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
3 Potentiel thermodynamique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
4 Théorème d’équipartition de l’énergie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
5 Calcul de la pression en théorie cinétique . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
6 Stabilité thermodynamique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
a Minimisation de l’énergie libre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
b Fluctuations en énergie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
c Équivalence des ensembles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
7 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
a Système d’oscillateurs harmoniques quantiques unidimensionnels 47
b Dipôles classiques dans dans un champ extérieur . . . . . . . . . 47
c Système à deux niveaux dans l’ensemble canonique . . . . . . . . 48
ii

V Ensemble grand-canonique 49
1 Entropie d’équilibre et grande fonction de partition . . . . . . . . . . . . 49
2 Grand potentiel thermodynamique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
3 Le gaz parfait dans le cadre grand-canonique . . . . . . . . . . . . . . . 52
4 Étude d’un gaz diatomique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
a Hamiltonien et degrés de libertés . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
b Capacité calorifique d’un gaz de molécules diatomiques . . . . . . 53
5 Densité spatiale d’un gaz parfait en présence d’un champ extérieur . . . 55
6 Autres ensembles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
a Relation de Gibbs-Duhem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
b Identité faible de Gibbs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
7 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
a Adsorption d’un gaz à la surface d’un solide . . . . . . . . . . . . 59
b Rotation des gaz diatomiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
c Équilibre chimique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
d Compressibilité et fluctuations du nombre de particules . . . . . 62
VI Coefficients de transport 63
1 Relations entre flux et gradients : lois macroscopiques . . . . . . . . . . . 63
a Notion d’équilibre thermodynamique local . . . . . . . . . . . . . 63
b Définition des coefficients de transport . . . . . . . . . . . . . . . 64
c Équations de transport . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
2 Évaluation des coefficients de transport par une approche microscopique 67
a Paramètres microscopiques pertinents . . . . . . . . . . . . . . . 67
b Retour sur le libre parcours moyen . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
c Constante d’auto-diffusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
d Conductivité thermique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
e Viscosité dynamique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
f Relations entre coefficients . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
g Limites de l’approche . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
3 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
a Marche au hasard (équation maîtresse) . . . . . . . . . . . . . . . 71
b Vidange d’un réservoir . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
c Conductivité électrique σet loi de Wiedemann-Franz . . . . . . . 72
d Suspension brownienne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
e Coefficient Seebeck S, principe du thermocouple . . . . . . . . . 74
VII Statistiques quantiques 75
1 Systèmes quantiques sans interaction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
2 Statistiques classique et quantique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
a Statistique de Fermi-Dirac . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
b Statistique de Bose-Einstein . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
iii