Théorème de densité de Chebotarev

UNIVERSITÉ PARIS 13
ÉCOLE NORMALE SUPÉRIEURE DE RENNES
Théorème de densité de Chebotarev
Gabriel Lepetit
Mémoire de stage de Licence 3 réalisé sous la direction de Cédric PÉPIN au LAGA, Université
Paris 13
MAGISTÈRE 1 2014-2015

Ce stage a été effectué du 19 mai au 20 juin 2015 au :
Laboratoire Analyse, Géométrie et Applications (LAGA)
Université Paris 13
99 avenue Jean-Baptiste Clément
93430 Villetaneuse
Mon maître de stage était Cédric Pépin (http://www.math.univ-paris13.fr/~cpepin/),
maître de conférences au sein de l’équipe Arithmétique et Géométrie Algébrique.
1

Table des matières
1 Généralités sur les extensions algébriques 4
1.1 Extension finies . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.2 Extensions algébriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.2.1 Cas des anneaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.2.2 Cas des corps . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.3 K-isomorphismes et éléments conjugués . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.4 Norme, trace, discriminant . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
2 Anneaux de Dedekind 14
2.1 Anneaux noethériens . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
2.2 Définition des anneaux de Dedekind . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
2.3 Décomposition des idéaux fractionnaires dans un anneau de Dedekind . . . . 16
3 Corps de nombres 20
3.1 Définition et traduction des résultats précédents . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
3.2 Décomposition dans une extension, idéaux ramifiés . . . . . . . . . . . . . . . . 21
3.3 Norme d’un idéal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
4 Théorie de Galois 26
4.1 Extensions galoisiennes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
4.2 Correspondance de Galois . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
4.3 Ramification dans les extensions galoisiennes de corps de nombres . . . . . . 28
4.3.1 Décomposition d’un idéal premier dans une extension galoisienne . . 28
4.3.2 Le relèvement de Frobenius . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
4.4 Exemples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
4.4.1 Extension quadratique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
4.4.2 Extension cyclotomique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
5 Théorie du corps de classe pour les corps de nombres 34
5.1 Le groupe des classes de rayon modulo m . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
5.1.1 Premiers d’un corps de nombres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
5.1.2 Groupe des classes de rayon . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
5.2 La loi de réciprocité d’Artin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
5.2.1 Énoncé de la loi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
5.2.2 Démonstration dans le cas cyclotomique . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
6 Le théorème de Chebotarev 42
6.1 Fonctions L et prolongements méromorphes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
6.1.1 Prolongement des fonctions L . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
6.1.2 Développement en produit eulérien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
6.2 Notions de densité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
6.2.1 Densité polaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
2

6.2.2 Densité de Dirichlet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
6.3 Conclusion de la démonstration . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
7 Un aperçu de géométrie algébrique 56
7.1 Un aperçu de géométrie algébrique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
7.1.1 Variété algébrique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
7.1.2 Schéma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
7.2 Théorème de Chebotarev pour les schémas de type fini sur Z. . . . . . . . . . 58
7.2.1 Présentation du théorème . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
7.2.2 Dictionnaire courbes - corps de nombres . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
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INTRODUCTION
Le théorème de densité de Chebotarev, démontré par Nikolaï Chebotarev 1en 1922, est
une généralisation du théorème de Dirichlet qui affirme que l’ensemble des nombres pre-
miers en progression arithmétique de raison ma une densité naturelle parmi les nombres
premiers de 1
ϕ(m)où ϕest la fonction indicatrice d’Euler. Il fournit au passage une dé-
monstration plus profonde de ce théorème, qui peut être péniblement démontré de manière
élémentaire : on montrera en effet que c’est un cas particulier du théorème de Chebotarev,
précisément le cas où il est appliqué à une extension cyclotomique Q[ζ]de Q, où ζest une
racine primitive de l’unité.
Ce fait est révélateur d’un état d’esprit général de la théorie des nombres, qui veut que
l’on prenne de la hauteur et que l’on introduise des concepts très généraux, comme le sont
les extensions de corps, les anneaux de Dedekind, l’étude de la ramification ou la théorie de
Galois, pour prouver des énoncés simplement compréhensibles.
Dans ce mémoire, on s’attachera d’abord à présenter des outils généraux de la théorie
des nombres (en s’appuyant essentiellement sur [4]) à travers la présentation des extensions
algébriques de corps et des anneaux de Dedekind, puis on fera un traitement succint de la
théorie de Galois ; enfin, nous tâcherons de comprendre un des énoncés principaux de la
théorie du corps de classe : la loi de réciprocité d’Artin, qui sera au cœur de la démonstra-
tion du théorème de Chebotarev, que nous finirons par effectuer en utilisant des techniques
d’analyse complexe.
1. en transcription cyrillique standard, Nikolaï TCHEBOTARIOV (1894-1947), mathématicien soviétique,
connu aussi pour un théorème sur les racines de l’unité.
3

Chapitre 1
Généralités sur les extensions
algébriques
1.1 Extension finies
Définition 1.1.1
Soient Aet Bdes anneaux tels que A⊂B. On dit que Best une extension finie de Asi
c’est un A-module de type fini.
En particulier, cela donne dans le cas des corps :
Définition 1.1.2
Soit Kun corps. On dit que Lest une extension finie de Ksi c’est un corps contenant K
et que sa dimension en tant que K-espace vectoriel, notée [L:K]est finie. On appelle
[L:K]le degré de L sur K.
Proposition 1.1.3 (formule des degrés)
Soient K⊂L⊂Mune suite d’extensions finies de corps. Alors
[M:K]=[M:L][L:K]
Démonstration. Soit n= [L:K],m= [M:L],(x1, ... , xn)une base de Lsur K,(y1, ... , ym)
une base de Msur L.
Alors, en notant ∀1¶i¶n,∀1¶j¶m,zi,j=xiyj, on peut affirmer que (zi,j)est une
base à mn éléments de Msur K.
En effet, si z∈M, il existe (aj)∈Lmtel que z=
m
P
j=1
ajyj.
De plus, ∀j∈J1; mK, comme aj∈L, on peut trouver ui,j∈Ktel que aj=
n
P
i=1
ui,jxi.
Donc z=
m
P
j=1
n
P
i=1
ui,jxiyjdonc (zi,j)est génératrice.
La liberté est claire car si ui,j∈Ket P
i,j
ui,jxiyj=0, alors par liberté de (yj)dans le
L-espace vectoriel M,∀j∈J1; mK,n
P
i=1
,ui,jxi=0 donc ∀i,j,ui,j=0 par liberté de (xi).
Dans le cas d’un corps fini K, le cardinal de Ks’exprime en fonction de sa caractéristique
pet de son degré sur un sous-corps isomorphe à Fp:
4