le régim e sin u so ïd al - sur le site de Claude Lahache

3.1 Expression des grandeurs caractéristiques.
Une fonction sinusoïdale du temps x(t) s’écrit
)ft2sin(2X)tsin(X
ˆ
)t(x ϕ+π=ϕ+ω=
- ωt+ϕ est la phase (angle en radians)
- ϕ est la phase à l’origine des temps
- ω = 2πf = 2π/T est la pulsation en rad/s
Une telle fonction est évidemment alternative.
Vecteur de Fresnel
X
associé :
Ce vecteur est issu de l’origine O du plan ; son
module est X (val efficace).
Le vecteur de Fresnel tourne autour de l’origine
à la vitesse angulaire ω rad/s.
Voir ci-contre des représentations à diverses dates.
(La représentation est souvent faite pour t = 0)
Grandeur complexe X
On suppose que le vecteur de Fresnel est représenté dans
le plan complexe ; dans ces conditions,
X
est l’image de
X dans ce plan.
Sous forme polaire : X = [ X ; ϕ ]
(argument ⇔ phase à l’origine)
Sous forme cartésienne : X = Xcosϕ + j.Xsinϕ
3.2 Sommes et produits de grandeurs sinusoïdales.
3.2.1 Déphasage entre 2 grandeurs.
Soient les tensions u
1
(t) = U
1
√2sin(ωt+ϕ
1
) et u
2
(t) = U
2
√2sin(ωt + ϕ
2
), de même fréquence f = ω/2π.
Les 2 vecteurs de Fresnel associés
21
UetU tournent à la même vitesse dans le plan et l’angle ϕ = ϕ
2
- ϕ
1
qu’ils font entre eux est constant au cours du temps.
X
ˆ
ϕsinX
ˆ
X
ˆ
−
2
/
T
0 0rigine des
arguments
X à t = 0
X à t = T/4
X à t = T/2
ϕ
ϕϕ
ϕ
ω
ωω
ω rad/s
0
X à t = 0
ϕ
ϕϕ
ϕ
Xsinϕ
ϕϕ
ϕ
Xcosϕ
ϕϕ
ϕ

ϕ = ϕ
2
- ϕ
1
, ainsi orienté, est le déphasage de u
2
(t) par
rapport à u
1
(t).
- Si ϕ > 0, alors u
2
(t) est en avance sur u
1
(t) (cas représenté)
- Si ϕ < 0, alors u
2
(t) est en retard sur u
1
(t).
Cas particuliers :
- ϕ = 0 : deux grandeurs en phase
- ϕ = ± 180° : deux grandeurs en opposition de phase
- ϕ = ± 90° : deux grandeurs en quadrature de phase.
Remarque : Pour 2 grandeurs de fréquences différentes, le déphasage
évolue constamment au cours du temps.
3.2.2 Déphasage courant – tension pour un dipôle.
Soit   un dipôle fonctionnant en régime sinusoïdal établi,
et fléché en convention récepteur.
Par convention, on nomme déphasage courant – tension la différence
de phase de u(t), par rapport à i(t)
Le déphasage ϕ est donc orienté de UversI .
D’où les 2 situations possibles, représentées ci-dessous :
3.2.3 Lois des nœuds et des mailles.
Loi des nœuds :
Soit i(t) = I√2sin(ωt + ϕ), se subdivisant, en un nœud, en
i
1
(t) = I
1
√2sin(ωt + ϕ
1
) et i
2
(t) = I
2
√2sin(ωt + ϕ
2
).
Nous pouvons écrire, à tout instant, i(t) = i
1
(t) + i
2
(t).
Avec les vecteurs de Fresnel, cette relation devient :
21 III
+=
Pour les grandeurs complexes, nous aurons :
I
1
= [I
1
; ϕ
1
] = I
1
cosϕ
1
+ j.I
1
sinϕ
1
I
2
= [I
2
; ϕ
2
] = I
2
cosϕ
2
+ j.I
2
sinϕ
2
Et I = I
1
+ I
2
= (I
1
cosϕ
1
+ I
2
cosϕ
2
) + j.(I
1
sinϕ
1
+I
2
sinϕ
2
)
Mais attention!
En valeurs efficaces, I ≠ I
1
+ I
2
: La loi des nœuds n’est pas valable, sauf dans certains cas particuliers
(courants en phase par exemple)
0
U2
U1
ϕ
ϕϕ
ϕ
2
ϕ
ϕϕ
ϕ
1
ϕ
ϕϕ
ϕ
=
ϕ
ϕϕ
ϕ
2 -
ϕ
ϕϕ
ϕ
1
i
u
U
I
ϕ
> 0
U
I
ϕ
< 0
I = [ I ; 0] et U = [ U;
ϕ
> 0]
u(t) en avance sur i(t)
(dipôle à tendance inductive) I = [ I ; 0] et U = [ U;
ϕ
< 0]
u(t) en retard sur i(t)
(dipôle à tendance capacitive)
i
i1
i2
I
1
I
2
I

Loi des mailles :
Pour les 2 dipôles associés en série de la figure de droite,
on pose : - u
1
(t) = U
1
√2sin(ωt + ϕ
1
)
- u
2
(t) = U
2
√2sin(ωt + ϕ
2
)
- u(t) = U√2sin(ωt + ϕ)
La loi des mailles permet d’écrire
à tout instant : u(t) = u
1
(t) + u
2
(t) .
Cette relation reste valable avec les vecteurs de Fresnel
associés aux tensions :
21
UUU +=
De la même façon, on écrira U = U
1
+ U
2
, loi des mailles traduite
avec les grandeurs complexes associées aux tensions u(t), u
1
(t) et u
2
(t).
Mais attention !
Tout comme la loi des nœuds, la loi des mailles ne s’écrit pas en valeurs efficaces .
(Sauf cas particulier, tel que celui de tensions en phase)
3.2.4 Produit de 2 grandeurs sinusoïdales.
Soient les grandeurs sinusoïdales x
1
(t) = X
1
√2sin2πf
1
t et x
2
(t) = X
2
√2sin2πf
2
t ; dans le cas général, les
fréquences f
1
et f
2
de ces grandeurs n’ont aucune relation entre elles.
Nous définissons le produit y(t) = K.x
1
(t).x
2
(t) où K est une constante (nommée parfois facteur d’échelle )
y(t) peut se mettre sous la forme : y(t) = 2KX
1
X
2
.sin2πf
1
t.sin2πf
2
t
soit, après linéarisation : y(t) = KX1X2.cos2π(f
2
– f
1
)t – KX1X2.cos2π(f
1
+ f
2
)t
Bien qu’étant une combinaison linéaire de 2 fonctions sinusoïdales de fréquences f
1
+ f
2
et |f
2
– f
1
|, la grandeur
y(t) n’est pas forcément une fonction sinusoïdale !!
Exemple :
x
1
= sin(100t)
(sinusoïde de fréquence ≈ 16Hz)
x
2
= 2sin(720t)
(sinusoïde de fréquence ≈ 115Hz)
y = x
1
.x
2
(non sinusoïdale, de fréquence
≈ 30Hz)
Cas de la puissance électrique :
Soit un dipôle , fléché en convention récepteur, et pour lequel nous avons les grandeurs instantanées
suivantes :
i(t) = I√2sinωt et u(t) = U√2sin(ωt + ϕ)
La puissance instantanée qu’il reçoit est définie par p(t) = u(t).i(t)
c’est-à-dire p(t)= 2UI.sinωt.sin(ωt + ϕ)
Par linéarisation, il vient : p(t)= UIcosϕ - UIcos(2ωt + ϕ)
p(t) , produit de 2 fonctions sinusoïdales de même pulsation, apparaît comme une fonction sinusoïdale de
pulsation 2ω, décalée d’un terme constant dans le temps qui est UIcosϕ.
u
u
1
u
2
1
2
U
1
U
2
U
i
u

3.3 Impédances et admittances.
3.3.1 Définitions.
Soit le dipôle ci-contre pour lequel i(t) = I√2sinωt
et u(t) = U√2sin(ωt + ϕ)
Nous définissons respectivement l’impédance Z et l’admittance Y de
par :
)S:siemensen(
U
I
Yet):ohmsen(
I
U
Z=Ω=
On définit également une
impédance complexe Z ainsi qu’une admittance complexe Y comme suit :
U
I
Yet
I
U
Z==
avec nos notations, nous avons : I = [ I ; 0] et U = [ U ; ϕ ].
L’impédance complexe s’écrit :
[
]
[ ] [ ]
ϕ+ϕ=ϕ=
ϕ
=sinZ.jcosZ,Z
0,I,U
Z
On pose souvent Z = R + j.X où R = Zcosϕ est la résistance du dipôle et X = Zsinϕ est sa réactance .
(R et X se mesurent en Ω)
L’admittance complexe, quant à elle, s’écrit :
[
]
[ ] [ ]
ϕ−ϕ=ϕ−=
ϕ
=sinY.jcosY,Y
,U 0,I
Y
On pose maintenant Y = G + j.B où G = Ycosϕ est la conductance du dipôle et B = -Ysinϕ est sa
susceptance . (G et B se mesurent en S)
3.3.2 Cas des dipôles élémentaires.
Résistance
u(t) = R.i(t) ; u(t) et i(t) en phase donc ϕ = 0
En valeurs efficaces, U = RI
Alors R
I
U
Z== et Z = [R ; 0] = R
R
1
U
I
Y== et Y = [1/R ; 0] = 1/R
Inductance
dt
di
L)t(u = ; i(t) en quadrature retard avec u(t), donc ϕ = + 90°
En valeurs efficaces, U = LωI
Alors
ω== L
I
U
Z et Z = [ Lω ; +90° ] = jLω
ω
== L
1
U
I
Y
et Y = [ 1/Lω ; -90° ] = 1/(jLω)
Capacité
dt
du
C)t(i =
; u(t) en quadrature retard avec i(t), donc ϕ = - 90°
En valeurs efficaces, I = CωU
Alors
ω
== C
1
I
U
Z
et Z = [1/Cω ; - 90° ] = 1/(jCω)
ω== C
U
I
Y et Y = [ Cω ; + 90° ] = jCω
i
u
L
u
i U
I
ϕ
ϕϕ
ϕ
C
u
i
I
U
ϕ
ϕϕ
ϕ
i
u
R
U
I

3.3.3 Règles d’associations.
En série
La loi des mailles impose : u(t) = u
1
(t) + u
2
(t)
Soit en complexes : U = U
1
+ U
2
On en déduit :
I
U
I
U
IUU I
U2121 +=
+
=
Soit, pour les impédances : Z
EQ
= Z
1
+ Z
2
Dans une association série, on additionne les impédances complexes.
En parallèle
La loi des nœuds s’écrit : i(t) = i
1
(t) + i
2
(t)
Soit, en grandeurs complexes : I = I
1
+ I
2
On en déduit :
U
I
U
I
UII U
I2121 +=
+
=
D’où la relation entre les admittances : Y
EQ
= Y
1
+ Y
2
Dans une association parallèle, on additionne les admittances complexes
Exemples :
Dans les 2 exemples d’association qui suivent, on appelle ϕ le déphasage courant-tension du dipôle équivalent
à l’association.
Z
EQ
= R + jLω = [Z
EQ
; ϕ ]
avec
22
EQ
)L(RZ ω+=
et
R
L
tan
ω
=ϕ
Y
EQ
= 1/R + jCω = [Y
EQ
; -ϕ ]
(soit ω+
== jRC1 R
Y
1
Z
EQ
)
avec :
2
2
)C(
R
1
Yω+=
et tanϕ = -RCω
u
u1 u2
Z2 Z1
i
Z1
Z2
u
i
i1
i2
L
R
uR uL
u
i
U
R
U
L
U
)
(
réf
I
ϕ
ϕϕ
ϕ
> 0
R
C
u
i
iR
iC
I
R
I
C
I
)
(
réf
U
ϕ
ϕϕ
ϕ
< 0