le régim e sin u so ïd al - sur le site de Claude Lahache

3.1 Expression des grandeurs caractéristiques.
Une fonction sinusoïdale du temps x(t) s’écrit
x(t) = X̂ sin(ωt + ϕ) = X 2 sin(2πft + ϕ)
X̂
X̂ sin ϕ
T/2
- ωt+ϕ est la phase (angle en radians)
- ϕ est la phase à l’origine des temps
- ω = 2πf = 2π/T est la pulsation en rad/s
Une telle fonction est évidemment alternative.
− X̂
Vecteur de Fresnel X associé :
X à t = T/4
Xàt=0
ω rad/s
Ce vecteur est issu de l’origine O du plan ; son
module est X (val efficace).
Le vecteur de Fresnel tourne autour de l’origine
à la vitesse angulaire ω rad/s.
Voir ci-contre des représentations à diverses dates.
(La représentation est souvent faite pour t = 0)
ϕ
0rigine des
arguments
0
X à t = T/2
Grandeur complexe X
On suppose que le vecteur de Fresnel est représenté dans
le plan complexe ; dans ces conditions, X est l’image de
X dans ce plan.
Xàt=0
Xsinϕ
ϕ
Sous forme polaire : X = [ X ; ϕ ]
(argument ⇔ phase à l’origine)
Sous forme cartésienne : X = Xcosϕ + j.Xsinϕ
ϕ
0
Xcosϕ
ϕ
3.2 Sommes et produits de grandeurs sinusoïdales.
3.2.1 Déphasage entre 2 grandeurs.
Soient les tensions u1(t) = U1√2sin(ωt+ϕ1) et u2(t) = U2√2sin(ωt + ϕ2), de même fréquence f = ω/2π.
Les 2 vecteurs de Fresnel associés U1 et U 2 tournent à la même vitesse dans le plan et l’angle ϕ = ϕ2 - ϕ1
qu’ils font entre eux est constant au cours du temps.
ϕ = ϕ2 - ϕ1 , ainsi orienté, est le déphasage de u2(t) par
rapport à u1(t).
- Si ϕ > 0, alors u2(t) est en avance sur u1(t) (cas représenté)
- Si ϕ < 0, alors u2(t) est en retard sur u1(t).
U2
ϕ = ϕ2 - ϕ1
ϕ2
ϕ1
Cas particuliers :
- ϕ=0
: deux grandeurs en phase
- ϕ = ± 180°
: deux grandeurs en opposition de phase
- ϕ = ± 90°
: deux grandeurs en quadrature de phase.
0
Remarque : Pour 2 grandeurs de fréquences différentes, le déphasage
évolue constamment au cours du temps.
3.2.2 Déphasage courant – tension pour un dipôle.
Soit un dipôle fonctionnant en régime sinusoïdal établi,
et fléché en convention récepteur.
i
u
Par convention, on nomme déphasage courant – tension la différence
de phase de u(t), par rapport à i(t)
Le déphasage ϕ est donc orienté de I vers U .
D’où les 2 situations possibles, représentées ci-dessous :
U
ϕ>0
I
I
I = [ I ; 0] et U = [ U; ϕ > 0]
u(t) en avance sur i(t)
(dipôle à tendance inductive)
ϕ<0
U
I = [ I ; 0] et U = [ U; ϕ < 0]
u(t) en retard sur i(t)
(dipôle à tendance capacitive)
3.2.3 Lois des nœuds et des mailles.
Loi des nœuds :
Soit i(t) = I√2sin(ωt + ϕ), se subdivisant, en un nœud, en
i1(t) = I1√2sin(ωt + ϕ1) et i2(t) = I2√2sin(ωt + ϕ2).
i
i1
i2
Nous pouvons écrire, à tout instant, i(t) = i1(t) + i2(t).
Avec les vecteurs de Fresnel, cette relation devient :
I = I1 + I2
Pour les grandeurs complexes, nous aurons :
I
I1
I2
I1 = [I1 ; ϕ1] = I1cosϕ1 + j.I1sinϕ1
I2 = [I2 ; ϕ2] = I2cosϕ2 + j.I2sinϕ2
Et I = I1 + I2 = (I1cosϕ1 + I2cosϕ2) + j.(I1sinϕ1 +I2sinϕ2)
Mais attention!
En valeurs efficaces, I ≠ I1 + I2 : La loi des nœuds n’est pas valable, sauf dans certains cas particuliers
(courants en phase par exemple)
U1
Loi des mailles :
Pour les 2 dipôles associés en série de la figure de droite,
on pose :
- u1(t) = U1√2sin(ωt + ϕ1)
- u2(t) = U2√2sin(ωt + ϕ2)
- u(t) = U√2sin(ωt + ϕ)
u
1
2
u1
u2
La loi des mailles permet d’écrire à tout instant : u(t) = u1(t) + u2(t) .
Cette relation reste valable avec les vecteurs de Fresnel
associés aux tensions : U = U1 + U2
De la même façon, on écrira U = U1 + U2 , loi des mailles traduite
avec les grandeurs complexes associées aux tensions u(t), u1(t) et u2(t).
U1
U2
U
Mais attention ! Tout comme la loi des nœuds, la loi des mailles ne s’écrit pas en valeurs efficaces.
(Sauf cas particulier, tel que celui de tensions en phase)
3.2.4 Produit de 2 grandeurs sinusoïdales.
Soient les grandeurs sinusoïdales x1(t) = X1√2sin2πf1t et x2(t) = X2√2sin2πf2t ; dans le cas général, les
fréquences f1 et f2 de ces grandeurs n’ont aucune relation entre elles.
Nous définissons le produit y(t) = K.x1(t).x2(t) où K est une constante (nommée parfois facteur d’échelle)
y(t) peut se mettre sous la forme :
y(t) = 2KX1X2 .sin2πf1t.sin2πf2t
soit, après linéarisation :
y(t) = KX1X2.cos2π(f2 – f1)t – KX1X2.cos2π(f1 + f2)t
Bien qu’étant une combinaison linéaire de 2 fonctions sinusoïdales de fréquences f1 + f2 et |f2 – f1|, la grandeur
y(t) n’est pas forcément une fonction sinusoïdale !!
Exemple :
x1 = sin(100t)
(sinusoïde de fréquence ≈ 16Hz)
x2 = 2sin(720t)
(sinusoïde de fréquence ≈ 115Hz)
y = x1.x2
(non sinusoïdale, de fréquence ≈ 30Hz)
Cas de la puissance électrique :
Soit un dipôle , fléché en convention récepteur, et pour lequel nous avons les grandeurs instantanées
suivantes :
i
i(t) = I√2sinωt et u(t) = U√2sin(ωt + ϕ)
La puissance instantanée qu’il reçoit est définie par p(t) = u(t).i(t)
c’est-à-dire
p(t)= 2UI.sinωt.sin(ωt + ϕ)
Par linéarisation, il vient :
p(t)= UIcosϕ - UIcos(2ωt + ϕ)
u
p(t) , produit de 2 fonctions sinusoïdales de même pulsation, apparaît comme une fonction sinusoïdale de
pulsation 2ω, décalée d’un terme constant dans le temps qui est UIcosϕ.
3.3 Impédances et admittances.
3.3.1 Définitions.
i
Soit le dipôle ci-contre pour lequel i(t) = I√2sinωt
et u(t) = U√2sin(ωt + ϕ)
Z = U (en ohms : Ω)
I
u
par :
Nous définissons respectivement l’impédance Z et l’admittance Y de
Y = I (en siemens : S)
U
et
On définit également une impédance complexe Z ainsi qu’une admittance complexe Y comme suit :
Z=
U
I
et
Y =
I
U
avec nos notations, nous avons : I = [ I ; 0] et U = [ U ; ϕ ].
[U, ϕ ] = [Z, ϕ ] = Z cos ϕ + j.Z sin ϕ
L’impédance complexe s’écrit : Z =
[I,0 ]
On pose souvent Z = R + j.X où R = Zcosϕ est la résistance du dipôle et X = Zsinϕ est sa réactance.
(R et X se mesurent en Ω)
L’admittance complexe, quant à elle, s’écrit : Y =
[I,0 ]
[U, ϕ ] = [Y,−ϕ ] = Y cos ϕ − j.Y sin ϕ
On pose maintenant Y = G + j.B où G = Ycosϕ est la conductance du dipôle et B = -Ysinϕ est sa
susceptance. (G et B se mesurent en S)
3.3.2 Cas des dipôles élémentaires.
Résistance
u(t) = R.i(t) ; u(t) et i(t) en phase donc ϕ = 0
En valeurs efficaces, U = RI
R
i
Alors Z = U = R et Z = [R ; 0] = R
I
Y = I = 1 et Y = [1/R ; 0] = 1/R
U
R
Inductance
u(t) = L di ; i(t) en quadrature retard avec u(t), donc ϕ = + 90°
dt
En valeurs efficaces, U = LωI
Alors Z = U = 1 et Z = [1/Cω ; - 90° ] = 1/(jCω)
I
Cω
I
Y =
= Cω et Y = [ Cω ; + 90° ] = jCω
U
U
u
L
i
U
ϕ
u
Alors Z = U = Lω et Z = [ Lω ; +90° ] = jLω
I
Y = I = 1 et Y = [ 1/Lω ; -90° ] = 1/(jLω)
U
Lω
Capacité
i(t) = C du ; u(t) en quadrature retard avec i(t), donc ϕ = - 90°
dt
En valeurs efficaces, I = CωU
I
I
i
C
I
u
U
ϕ
3.3.3 Règles d’associations.
i
En série
La loi des mailles impose : u(t) = u1(t) + u2(t)
Soit en complexes : U = U1 + U2
U + U2
U
U
U
= 1
= 1+ 2
On en déduit :
I
I
I
I
Soit, pour les impédances :
Z1
Z2
u1
u2
u
ZEQ = Z1 + Z2
Dans une association série, on additionne les impédances complexes.
En parallèle
La loi des nœuds s’écrit : i(t) = i1(t) + i2(t)
Soit, en grandeurs complexes : I = I1 + I2
I +I
I
I
I
On en déduit :
= 1 2 = 1 + 2
U
U
U U
i1
i
Z1
Z2
i2
D’où la relation entre les admittances :
YEQ = Y1 + Y2
u
Dans une association parallèle, on additionne les admittances complexes
Exemples :
Dans les 2 exemples d’association qui suivent, on appelle ϕ le déphasage courant-tension du dipôle équivalent
à l’association.
i
L
R
uR
uL
u
iR
i
R
u
iC
C
ZEQ = R + jLω = [ZEQ ; ϕ ]
avec
U
ϕ>0
ZEQ = R 2 + (Lω)2
et
tan ϕ = Lω
R
YEQ = 1/R + jCω = [YEQ ; -ϕ ]
R
)
(soit ZEQ = 1 =
Y 1 + jRCω
avec :
Y = 12 + (Cω)2
R
et tanϕ = -RCω
UR
I
ϕ<0
IR
UL
I (réf)
IC
U (réf)
3.4 Puissances.
3.4.1 Puissance instantanée, puissance moyenne.
Reprenons ce qui a été présenté au §324 :
Soit un dipôle , fléché en convention récepteur, et pour lequel nous considérons les grandeurs instantanées
suivantes :
i
i(t) = I√2sin(ωt + ϕI) et u(t) = U√2sin(ωt + ϕU )
La puissance instantanée qu’il reçoit est définie par p(t) = u(t).i(t)
c’est-à-dire
p(t)= 2UI.sin(ωt + ϕI).sin(ωt + ϕU)
Par linéarisation, il vient :
p(t)= UIcos(ϕU - ϕI) - UIcos(2ωt + ϕU + ϕI)
u
Par définition, le terme ϕU - ϕI n’est autre que le déphasage courant – tension ϕ de ce dipôle.
La puissance instantanée p(t) apparaît comme une fonction sinusoïdale de pulsation 2ω, affectée d’une
composante continue, constante dans le temps, qui est UIcosϕ.
UIcosϕ est la valeur moyenne de p(t) ;
On écrit :
P = UIcosϕ
P est la puissance moyenne reçue par le
dipôle ; elle se chiffre en watts.
Exemple (ci-contre)
i(t) = 0,4√2sin(314t + π/6)
u(t) = 25√2sin(314t + π/2)
On obtient une puissance moyenne
P = 5W; la puissance instantanée
P
ondule entre – 5W et + 15W.
Au cours du temps, p(t) peut être
positive (dipôle récepteur), mais
également négative (dipôle générateur)
Pour l’exemple choisi, P > 0, le
dipôle est globalement récepteur.
p(t)>0
p(t)<0
3.4.2 Puissance complexe.
Pour le dipôle
envisagé au § précédent, les grandeurs complexes associées à u(t) et i(t) sont :
jϕu
U = [ U ; ϕU ] = UcosϕU + jUsinϕU = U.e
jϕi
I = [I ; ϕI ] = IcosϕI + jIinϕI = I.e
On définit la puissance apparente complexe par la grandeur : S = U.I
jϕu
jϕi
j(ϕu - ϕi)
jϕ
= UI.e
= UI.e soit
Il vient alors : S = U.e . I.eLa partie réelle de S s’identifie à la puissance moyenne P.
On pose ainsi :
*
(I* représente le conjugué de I)
S = UIcosϕ +jUIsinϕ
P = UIcosϕ et on nomme P puissance active (exprimée en watts : W)
Q = UIsinϕ et on nomme Q puissance réactive (exprimée en voltampères réactifs : var)
D’où : S =P + jQ et S = mod(S) =
voltampères (VA)
P2 + Q2 = UI ; S est la puissance apparente ; elle se chiffre en
Signification de ces diverses puissances :
Soit un dipôle D, d’impédance complexe Z = R + jX, alimenté en régime sinusoïdal ; il est soumis à la
tension complexe U, et est parcouru par l’intensité complexe I.
Nous avons ainsi U = Z.I .
La puissance apparente complexe s’écrit, pour ce dipôle :
*
*
*
2
2
S = U.I = Z.I.I ; or I.I = I2 . soit S = RI + jXI
2
La partie réelle P = RI correspond à la puissance dissipée par effet Joule au sein de la partie résistive du
2
dipôle. La partie imaginaire Q = XI traduit une puissance mise en jeu par la partie réactive du dipôle.
Pour la puissance apparente S, nous obtenons s = mod(S) = Z.I2 = U.I ; tout comme la puissance réactive Q, la
puissance apparente S ne correspond pas à une puissance telle qu’on le conçoit en termes physiques. Nous
verrons qu’elle est essentiellement utilisée comme puissance de dimensionnement. (C’est, par exemple, un
paramètre constructeur pour un transformateur)
3.4.3 Cas des dipôles passifs élémentaires.
R
iR
Résistance : ϕ = 0, donc cosϕ = 1 et sinϕ = 0
Il vient : PR = UI = RI2 et QR = 0
Une résistance ne met pas de puissance réactive en jeu.
I
U
uR
Inductance : ϕ = + 90°, donc cosϕ = 0 et sinϕ = 1
Il vient : PL = 0 et QL = UI = LωI2
Une inductance pure ne consomme aucune puissance (active) ;
c’est par contre un récepteur de puissance réactive (QL > 0)
L
iL
U
ϕ
uL
I
Capacité : ϕ = -90°, donc cosϕ = 0 et sinϕ = -1
Il vient cette fois : PC = 0 et QC = -UI = - (1/Cω).I2
Une capacité pure ne consomme pas non plus de puissance (active) ;
c’est, en revanche, un générateur de puissance réactive (QC < 0) !!
C
iC
I
3.4.4 Théorème de Boucherot.
ϕ
U
uC
Ce théorème concerne la puissance mise en jeu dans une association de récepteurs.
Récepteurs en série :
La puissance complexe est :S = U.I*
Soit :
S = (U1 + U2 + … + UN).I*
S = U1.I* + U2.I* + … + UN.I*
S = S1 + S2 + … + SN
i
D1
D2
u1
u2
uN
u
Où S1 , S2 , … SN sont les puissances complexes
mises en jeu par chacun des N récepteurs associés.
i
Récepteurs en parallèle :
La puissance complexe s’écrit maintenant :
S = U.I* = U.(I1 + I2 + … + IN)*
Soit: S = U.I1* + U.I2* + ... + U.IN*
S = S1 + S2 + ... + SN
Où S1 , S2 , ... SN sont mises en jeu par les récepteurs associés.
DN
u
i1
i2
D1
D2
iN
DN
Conclusion : La puissance apparente complexe consommée par une association de récepteurs est égale à la
somme des puissances apparentes complexes consommées par chacun des récepteurs associés.
En outre, chacune des puissances complexes élémentaires s’écrit sous la forme SI = PI + jQI ; donc, en
développant de la sorte l’expression de la puissance apparente complexe globale, il vient :
S = (P1 + jQ1) + (P2 + jQ2) + ... + (PN + jQN) = P + jQ
D’où la puissance active globale P consommée :
P = P1 + P2 + … + PN
Et la puissance réactive globale Q consommée :
Q = Q1 + Q2 + … + Q N
Ces 2 relations constituent le théorème de Boucherot : Dans une association de récepteurs fonctionnant en
régime sinusoïdal, la puissance active et la puissance réactive globales consommées sont respectivement
égales à la somme des puissances actives ou réactives consommées par chacun des éléments associés.
Attention : Il n’y a pas addition des puissances apparentes : S ≠
SI !!
3.4.5 Facteur de puissance.
Définition : Pour une installation électrique, on appelle facteur de puissance le rapport sans dimension :
k = P
S
S représentant la puissance maximale disponible (dimensionnement) et P la puissance effectivement
consommée, le facteur de puissance correspond à un taux d’utilisation de la source à laquelle l’installation est
connectée.
Dans le cas du régime sinusoïdal, S = UI et P = UIcosϕ ; le facteur de puissance s’identifie ici au « cosϕ ».
Importance du facteur de puissance :
En électricité industrielle, certains récepteurs, comme les moteurs électriques, les fours à induction, les tubes
néon … sont caractérisés par un déphasage courant – tension assez important (supérieur à 30°) ; il en résulte
un facteur de puissance k = cosϕ largement inférieur à 1.
ZL
i
Le problème est le suivant :
Soit un récepteur alimenté en sinusoïdal, sous la tension
efficace U, devant fournir une puissance PU à l’utilisateur.
u
Si le rendement énergétique de ce récepteur est η, on peut
e
écrire :
PU = ηUIcosϕ
L’intensité du courant appelé sur la ligne de distribution
Production
Récepteur
Ligne de
PU
est :
I=
d’énergie
transport
ηU cos ϕ
La tension secteur U étant à peu près constante en France,
le courant en ligne I est d’autant plus intense que cosϕ est faible. De plus, la ligne de transport étant
caractérisée par une impédance ZL , la tension U chutera d’autant plus que I est élevée !
La grandeur ZLI2 correspond à la puissance perdue en ligne . D’autre part, plus la demande de courant est
importante et plus les conducteurs de ligne seront gros donc lourds et chers !!
Le fournisseur d’énergie impose un facteur de puissance minimal aux utilisateurs industriels : Leurs compteurs
enregistrent l’énergie active consommée(WP) , mais également l’énergie réactive (WQ).
W
Sur une durée ∆t, le rapport Q donne la valeur moyenne de tanϕ.
WP
Au delà de tanϕ = 0,4, (soit cosϕ = 0,928), le fournisseur d’énergie applique une surtaxe à l’utilisateur
industriel .
Pour relever la valeur du facteur de puissance d’une installation, un moyen simple consiste à installer des
batteries de condensateurs, en parallèle avec les récepteurs incriminés, ou en tête de l’installation.
Exemple de calcul
Soit un moteur, alimenté sous U = 220V/50Hz, fournissant une puissance utile PU = 3200W ; son rendement
est η = 80% et son facteur de puissance vaut cosϕ = 0,75.
PU
≈ 24,2A
Le courant appelé sur le réseau par ce moteur est donc I =
ηU.0,75
Les puissances électriques mises en jeu sont :
P = PU = 4000W
η
i’
i
Q = P.tanϕ ≈ 3530var
On câble alors un condensateur de capacité C aux bornes du moteur.
La puissance P reste inchangée ; par contre, la puissance réactive devient
u
C
M
Q’ = Q – U2Cω .
Soit cosϕ’ le facteur de puissance de l’ensemble {moteur + condensateur}
)
P( tan ϕ − tan ϕ'
Comme Q = P.tanϕ et Q’ = P.tanϕ’, il vient : C =
U2ω
Dans notre exemple, nous avions tanϕ ≈ 0,882, et nous souhaiterions tanϕ’≤ 0,4
Le calcul amène à C > 127µF
i’ ≈Cte
3.4.6 Cas de régimes non sinusoïdaux.
On rencontre de tels régimes dans les récepteurs non linéaires
Prenons l’exemple d’un pont de Graëtz, alimentant une charge
suffisamment inductive pour assimiler le courant qui la traverse
à une constante.
Dans ces conditions, les grandeurs électriques d’alimentation
(v(t) et i(t)) ont l’allure représentée à droite.
Expression de la puissance instantanée p(t) appelée :
Pendant l’alternance positive de v(t)
p(t) = + IoVmsinωt
Pendant l’alternance négative
p(t) = - IoVmsinωt
d’où la puissance moyenne P :
P= 2
T
T
2 I V
o m
0
i
L
v
R
+Vm
sin ωt.dt soit P = 2 Vm Io
π
La puissance apparente s’écrit :
S = Vm .Io
2
Nous pouvons calculer le facteur de puissance
k de ce récepteur :
k = P = 2 2 ≈ 0,9
S
π
Io
-Io
La puissance réactive qu’il consomme est alors : Q = S2 − P2 ≈ 0,308VmIo
-Vm
3.5 Installations en triphasé.
3.5.1 Système triphasé équilibré.
X3
C’est un ensemble de 3 grandeurs sinusoïdales,
- De même fréquence
- De même amplitude
- Déphasées entre elles de 120°
120°
x1(t) = X√2sinωt
x2(t) = X√2sin(ωt - 2π/3)
x3(t) = X√2sin(ωt - 4π/3)
(Cf. diagramme de Fresnel à droite)
Exemple :
120°
120°
Conséquence immédiate :
La somme de ces 3 grandeurs est nulle à tout instant
x1(t) + x2(t) + x3(t) = 0
ou
X1 + X2 + X3 = 0 ou
X1
X2
X1 + X2 + X3 = 0
3.5.2 Réseau électrique triphasé.
On utilise un tel réseau pour le transport de l’électricité en haute tension (20kV à 300kV environ) et
pour sa distribution locale en basse tension (220/380V par exemple)
i1
Ce réseau comporte 3 conducteurs de phase (1, 2, 3) ou
(1)
(R, S, T) et un 4ème conducteur dit « neutre » (N).
u12
Remarque : Il n’y a pas de neutre dans les réseaux de transport.
i2
On distingue :
(2)
- Les tensions simples (entre neutre et 1 phase)
u23
v1(t), v2(t) et v3(t)
(3)
- Les tensions composées (entre 2 phases)
i3
v1
v2
v3
u12(t) = v1 - v2 , u23 = v2 – v3 et u31 = v3 – v1
- Les courants en ligne (dans chaque conducteur de phase)
iN
i1(t), i2(t) et i3(t)
(N)
u31
Nous nous limitons ici à la présentation des propriétés d’un réseau triphasé équilibré en tension et en courant.
Diagramme des tensions pour un réseau équilibré en tension
Les tensions simples (v1, v2, v3) et composées
(u12, u23, u31), prises dans cet ordre, forment
2 systèmes équilibrés directs.
v1 + v2 + v3 = u12 + u23 + u31 = 0
U31
V3
U12
V1 = [V ; 0]
= V
V2 = [V ; -2π/3] = -V/2 - jV√3/2
V3 = [V; -4π/3] = -V/2 + jV√3/2
Pour les tensions composées:
U12 = V1 – V2 = 3V/2 + jV√3/2 = [V√3; +π/6]
= [V√3; - π/2]
U23 = V2 – V3 = - jV√3
U31 = V3 – V1 = - 3V/2 + jV√3/2 = [V√3; + 5π/6]
D’où la relation fondamentale entre les valeurs efficaces:
U = V√ 3
Exemple: En basse tension, V ≈ 220V et U = V√3 ≈ 380V
V1
V2
U23
Représentation temporelle des tensions simples et composées pour le réseau 220/380V – 50Hz.
3.5.3 Branchement des récepteurs sur le réseau.
Récepteurs monophasés : En 1ère approximation, un récepteur monophasé peut être assimilé à un dipôle
impédant ( lampes d’éclairage, appareils électroménagers divers).
Dans une distribution domestique monophasée, l’utilisateur dispose du neutre et d’un seul conducteur de
phase. Le branchement de ses appareils ne pose donc aucun problème ; ils seront soumis (en France) à une
tension simple, de valeur efficace proche de 220V.
Dans une distribution triphasée, il en va autrement : L’utilisateur ne peut pas brancher ses appareils entre 2
phases, sous peine de les détruire ! (Tension efficace voisine de 380V) Il les répartira entre le neutre et chacun
des conducteurs de phase, dans le but d’équilibrer au mieux les courants sur le réseau.
Récepteurs triphasés : Qu’ils soient actifs (moteurs) ou passifs (chauffe-eau), les récepteurs triphasés sont
formés de 3 dipôles identiques, que nous modélisons par 3 impédances,
afin de simplifier.
A priori, ces appareils devraient posséder 6 bornes ; en réalité, ils n’en
possèdent que 3 ou 4, ainsi qu’une borne de terre, imposée pour des raisons
de sécurité (protection des personnes)
Ils peuvent en fait être couplés au réseau de 2 façons : en étoile ou en
triangle.
(1)
(1)
(2)
(2)
(3)
(3)
(N)
(N)
Couplage étoile ; le neutre n’est pas
obligatoire, si l’appareil est équilibré ; il
est parfois câblé tout de même, par
sécurité.
En étoile, chaque impédance doit
supporter la tension simple V.
Couplage triangle ; en triangle, le
neutre ne peut pas être distribué
En triangle, chaque impédance doit
supporter la tension composée U.
3.5.4 Courants et puissances en régime équilibré.
Considérons un récepteur passif équilibré, formé de 3 impédances identiques : Z = R + jX = [Z ; ϕ]
Ce récepteur est couplé à un réseau triphasé équilibré en tension.
On note i1, i2 et i3 les courants instantanés dans chaque fil de ligne et j1, j2 et j3 les courants instantanés dans
chaque impédance du récepteur.
Couplage étoile :
Il vient : i1 = j1 ; i2 = j2 ; i3 = j3
et
: V1 = Z.I1 ; V2 = Z.I2 ; V3 = Z.I3
(1)
Comme V1 = V2 = V3 = V et v1 + v2 + v3 = 0, que le
récepteur est équilibré, alors I1 = I2 = I3 = I et
i1 + i2 + i3 = 0 ; le courant dans le fil de neutre est nul ;
le conducteur de neutre n’est pas obligatoire ici.
(2)
(3)
Puissance moyenne :
Chacune des impédances consomme Pi = V.I.cosϕ ;
Le récepteur consomme alors P* = 3.Pi = 3VIcosϕ,
soit encore :
i1
j1
i2
j2
i3
j3
Z
Z
Z
v1 v2 v3
iN
(N)
P* = √3UIcosϕ
Puissance réactive : Pour une impédance, Qi = V.I.sinϕ, soit, pour le récepteur, Q* = 3VIsinϕ = √3UIsinϕ
Puissance apparente : S* =
P*2 + Q*2 = 3VI soit S* = √3UI
Couplage triangle :
Nous avons maintenant :
i1 = j1 – j3 i2 = j2 – j1 i3 = j3 – j2
Dans la mesure où le réseau est équilibré en tension
et le récepteur est équilibré, alors les courants en ligne
d’une part, et les courants dans les impédances d’autre
part, forment un système équilibré de courants.
(1)
u12
u31
(2)
u23
Il vient ainsi :
- I1 = I2 = I3 = I , avec i1 + i2 + i3 = 0
- J1 = J2 = J3 = J , avec j1 + j2 + j3 = 0
(3)
j1
i2
j2
i3
j3
Z
Z
Z
iN = 0
(N)
Les courants ji sont déphasés de ϕ par rapport
aux tensions composées correspondantes.
i1
I3
L’exploitation géométrique du diagramme des
courants (cf. ci-contre), amène à :
U31
I = J√3
Puissance moyenne :
Une impédance consomme Pi = U.J.cosϕ
Le récepteur consomme P∆ = 3.U.J.cosϕ
soit
J3
U12
ϕ
J1
ϕ
P∆ = √3UIcosϕ
Puissance réactive :
Une impédance consomme Qi = U.J.sinϕ
L’ensemble consomme :
Q∆ = 3JUsinϕ = √3UIsinϕ
Puissance apparente :
Tout comme pour le couplage étoile, il vient
S∆ = √3UI
I1
J2
ϕ
U23
I2