TS SPE DEVOIR MAISON no 2 correction Exercice 1 Soit a un entier

TS SPE DEVOIR MAISON no2correction
Exercice 1
Soit aun entier naturel non divisible par 7.
1. Comme aest un entier naturel non divisible par 7 alors an’est pas congru à 0 modulo 7.
Utilisons un tableau :
Modulo 7, aest congru à 1 2 3 4 5 6
Modulo 7, a6est congru à 1 64 ≡1 729 ≡1 4096 ≡1 15625 ≡1 46656 ≡1
Dans tous les cas : a6≡1 (mod 7).
2. La division euclidienne de 6 par ks’écrit : 6 = kq +ravec 0 6r < k.
a6=akq+r=akq ×ar=akq ×ar.
Or ak≡1 (mod 7), donc a6≡ar≡1 (mod 7).
Donc ar≡1 (mod 7).
3. kétant le plus petit naturel vérifiant ak≡1 (mod 7), alors r= 0, c’est-à-dire que kdivise 6.
Les valeurs possibles pour ksont donc 1, 2, 3 et 6.
4. Pour a= 2, 23≡1 (mod 7) donc l’ordre de 2 est 3.
Pour a= 3, 36≡1 (mod 7) donc l’ordre de 3 est 6.
Pour a= 4, 43≡1 (mod 7) donc l’ordre de 4 est 3.
Pour a= 5, 56≡1 (mod 7) donc l’ordre de 5 est 6.
Pour a= 6, 62≡1 (mod 7) donc l’ordre de 6 est 2.
Exercice 2
1. On considère l’équation (E1) : 6x−5y= 7 dont les inconnues xet ysont des entiers relatifs.
a. Si le couple (x,y) vérifie (E1) alors 6x−5y= 7.
Or 6 ≡1 (mod 5) donc 6x≡x(mod 5)
5y≡0 (mod 5) et 7 ≡2 (mod 5)
donc x≡2 (mod 5).
b. On a x= 5k+ 2 avec kentier relatif.
En remplaçant dans (E1) : 6(5k+ 2) −5y= 7 soit 30k+ 12 −5y= 7 soit 5y= 30k−5 soit y= 6k−1.
On vérifie réciproquement que les couples de la forme (5k+ 2 ; 6k−1) sont solutions de (E1) :
6(5k+ 2) −5(6k−1) = 30k+ 12 −30k+ 5 = 7
Donc les couples (5k+ 2 ; 6k−1) sont solutions de (E1)
2. On cherche des couples de la forme (5k+ 2 ; 6k−1) avec 5k+ 2 >0 et 5k+ 2 <500 et 6k−1>0.
5k+ 2 >0 donne k>−2/5 soit k>0

5k+ 2 <500 donne k < 498/5 soit k < 99.6 soit k699
6k−1>0 donne k>1/6 soit k>1
Ce qui donne comme condition sur k : 1 6k699 soit 99 valeurs possibles.
Il ya donc 99 points de ∆dont les coordonnées sont des entiers naturels et dont l’abscisse est inférieure à 500.
3. On considère à présent l’équation (E2) : 6x2−5y2= 7 dont les inconnues xet ysont des entiers relatifs.
a. Si le couple (x,y) vérifie (E2) alors 6x2−5y2= 7.
Or 6 ≡1 (mod 5) donc 6x2≡x2(mod 5)
5y2≡0 (mod 5) et 7 ≡2 (mod 5)
donc x2≡2 (mod 5).
b. Utilisons un tableau :
Modulo 5, xest congru à 0 1 2 3 4
Modulo 5, x2est congru à 0 1 4 4 1
Pour tout entier x,x2est congru à 0 , à 1 ou à 4 modulo 5.
c. x2n’est jamais congru à 2 modulo 5 donc l’équation (E2) n’a pas de solution.