TS SPE DEVOIR MAISON no 2 correction Exercice 1 Soit a un entier

TS SPE
correction
DEVOIR MAISON no 2
Exercice 1
Soit a un entier naturel non divisible par 7.
1. Comme a est un entier naturel non divisible par 7 alors a n’est pas congru à 0 modulo 7.
Utilisons un tableau :
Modulo 7, a est congru à
Modulo 7,
a6
est congru à
1
2
3
4
5
6
1
64 ≡ 1
729 ≡ 1
4096 ≡ 1
15625 ≡ 1
46656 ≡ 1
Dans tous les cas : a6 ≡ 1 (mod 7).
2. La division euclidienne de 6 par k s’écrit : 6 = kq + r avec 0 6 r < k.
q
a6 = akq+r = akq × ar = ak × ar .
Or ak ≡ 1 (mod 7), donc a6 ≡ ar ≡ 1 (mod 7).
Donc ar ≡ 1 (mod 7).
3. k étant le plus petit naturel vérifiant ak ≡ 1 (mod 7), alors r = 0, c’est-à-dire que k divise 6.
Les valeurs possibles pour k sont donc 1, 2, 3 et 6.
4. Pour a = 2, 23 ≡ 1
Pour a = 3, 36 ≡ 1
Pour a = 4, 43 ≡ 1
Pour a = 5, 56 ≡ 1
Pour a = 6, 62 ≡ 1
(mod 7) donc l’ordre de 2 est 3.
(mod 7) donc l’ordre de 3 est 6.
(mod 7) donc l’ordre de 4 est 3.
(mod 7) donc l’ordre de 5 est 6.
(mod 7) donc l’ordre de 6 est 2.
Exercice 2
1. On considère l’équation (E1 ) : 6x − 5y = 7 dont les inconnues x et y sont des entiers relatifs.
a. Si le couple (x , y) vérifie (E1 ) alors 6x − 5y = 7.
Or 6 ≡ 1 (mod 5) donc 6x ≡ x (mod 5)
5y ≡ 0 (mod 5) et 7 ≡ 2 (mod 5)
donc x ≡ 2 (mod 5).
b. On a x = 5k + 2 avec k entier relatif.
En remplaçant dans (E1 ) : 6(5k + 2) − 5y = 7 soit 30k + 12 − 5y = 7 soit 5y = 30k − 5 soit y = 6k − 1.
On vérifie réciproquement que les couples de la forme (5k + 2 ; 6k − 1) sont solutions de (E1 ) :
6(5k + 2) − 5(6k − 1) = 30k + 12 − 30k + 5 = 7
Donc les couples (5k + 2 ; 6k − 1) sont solutions de (E1 )
2. On cherche des couples de la forme (5k + 2 ; 6k − 1) avec 5k + 2 > 0 et 5k + 2 < 500 et 6k − 1 > 0.
5k + 2 > 0 donne k > −2/5 soit k > 0
5k + 2 < 500 donne k < 498/5 soit k < 99.6 soit k 6 99
6k − 1 > 0 donne k > 1/6 soit k > 1
Ce qui donne comme condition sur k : 1 6 k 6 99 soit 99 valeurs possibles.
Il ya donc 99 points de ∆ dont les coordonnées sont des entiers naturels et dont l’abscisse est inférieure à 500.
3. On considère à présent l’équation (E2 ) : 6x2 − 5y 2 = 7 dont les inconnues x et y sont des entiers relatifs.
a. Si le couple (x , y) vérifie (E2 ) alors 6x2 − 5y 2 = 7.
Or 6 ≡ 1 (mod 5) donc 6x2 ≡ x2 (mod 5)
5y 2 ≡ 0 (mod 5) et 7 ≡ 2 (mod 5)
donc x2 ≡ 2 (mod 5).
b. Utilisons un tableau :
Modulo 5, x est congru à
Modulo 5,
x2
est congru à
0
1
2
3
4
0
1
4
4
1
Pour tout entier x, x2 est congru à 0 , à 1 ou à 4 modulo 5.
c. x2 n’est jamais congru à 2 modulo 5 donc l’équation (E2 ) n’a pas de solution.