Electrostatique

UTC PS95
Notes de Cours PS 95
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Electrostatique
I. Introduction et structure de la mati`ere
L’´electrostatique est la branche de la physique qui ´etudie les ph´enom`enes cr´e´es par des charges
´electriques statiques pour l’observateur. Depuis l’Antiquit´e il est connu que certains mat´eriaux, dont
l’ambre, attirent des objets de petites tailles apr`es avoir ´et´e frott´es. Le mot grec pour ambre est elek-
tron. La mati`ere est constitu´ee d’atomes eux-mˆemes constitu´es d’un noyau autour duquel gravite une
sorte de nuage compos´es d’´electrons et portant l’essentiel de la masse. Ces ´electrons se repoussent
les uns les autres mais restent confin´es autour du noyau car celui-ci poss`ede une charge ´electrique
positive qui les attire. On attribue cette charge positive `a des particules appel´ees protons. Il existe
une autre sorte de particules, les neutrons portant une charge ´electrique nulle. Dans le tableau de
Mendelev tout ´el´ement chimique est repr´esent´ee par la notation :
A
ZX
Le nombre Aest le nombre de masse (protons+ nucl´eons), le nombre Zest le nombre atomique
(nombre de protons). La charge ´electrique totale est donc Q= +Ze. Le cort`ege ´electronique poss`ede
une charge Q=−Ze assurant la neutralit´e ´electrique d’un atome.
– Electron :q=−e=−1,602 10−19C, m = 9,10910−31kg
– Proton :q= +e= +1,602 10−19C, m = 1,67210−27kg
– Neutron :q= 0C, m = 1,67410−27 kg
Remarque : 1 C (ce qui est ´enorme) ne p`ese que 10−12kg !
Un mat´eriau est ainsi constitu´e d’un grand nombre de charges ´electriques mais celles-ci sont toutes
compens´ees. Des charges, en exc`es ou en manque, non compens´ees sont responsables des effets
´electriques. Dans un conducteur parfait, les porteurs de charges non compens´ees peuvent se d´eplacer
librement dans tout le volume occup´e par le mat´eriau. Dans un isolant parfait, ils ne peuvent se
d´eplacer et restent localis´es `a l’endroit o`u ils ont ´et´e d´epos´es.
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II. Force, champ, potentiel et ´energie potentielle ´electrostatique
Force et champ ´electrostatique
Toute charge qPau point Pexerce sur une charge qMau point Mimmobile une force,
appel´ee force de Coulomb de la forme :
~
FP/M =1
4πε0
qPqM
r2~u
o`u r=||−−→ P M ||,~u =−−→ P M/r et ε0= 8,854 ×10−12F.m−1est la permittivit´e ´electrique
dans le vide.
Ainsi la force est attractive si qPqM<0et r´epulsive si qPqM>0. On peut g´en´eraliser pour un
syst`eme Sde charges ponctuelles qi,i= 1,2,3... et la force exerc´ee par le syst`eme sur Mvaut
alors
~
FS/M =X
i
1
4πε0
qMqi
r2
i
~ui=qM~ E(M)o`u ~ E(M) = 1
4πε0X
i
qi
r2
i
~ui
est le champ ´electrique au point Mcr´ee par l’ensemble des charges qi. En pratique, cette expression
est rarement utilisable puisque nous sommes amen´es `a consid´erer des mat´eriaux comportant un
nombre gigantesque de particules. Il est donc plus habile d’utiliser des distributions continues de
charges. Il s’agit d’une approximation, permettant de remplacer une somme presque infinie par une
int´egrale. On ´ecrit de mani`ere g´en´erale :
~
E(M) = 1
4πε0Zdistribution
dq(P)
r2~u
Cas d’une distribution lin´eique : dq=λdl(´el´ement de longueur), distribution surfacique dq=σdS
(´el´ement de surface) et cas distribution volumique dq=ρdV(´el´ement de volume).
Potentiel ´electrostatique
L’´energie potentielle ´electrostatique Epd’une particule test charg´ee qtau point M
plac´ee dans un champ ´electrostatique cr´ee par une autre charge qau point Pest ´egal au
travail qu’il faut fournir pour amener de fa¸con quasi-statique cette particule de l’infini `a
sa position actuelle M. On trouve que
Ep=qtV(M)o`u V(M) = 1
4πε0
q
r
est le potentiel ´electrostatique au point M.
Dans ce cas, on montre facilement que
~
E(M) = −−−→ gradV(M)
Attention, ici on d´erive par rapport aux coordonn´ees du point M, la charge en P´etant fixe.
Ce r´esultat reste vrai pour une distribution quelconque de charge et
V(M) = 1
4πε0Zdistribution
dq(P)
r
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Energie potentielle
L’´energie potentielle d’un ensemble de charges correspond au travail qu’il a fallu fournir
pour amener ces charges de l’infini `a leur position actuelle. On montre que
Ep=1
2Zdistribution
dq(M)V(M)
III. Th´eor`eme de Gauss et ´equation de maxwell-Gauss
Th´eor`eme de Gauss
Le flux du champ ´electrique `a travers une surface quelconque ferm´ee Sest la charge
contenue `a l’int´erieur de la surface (Qint) divis´ee par ε0:
Φ = ZZS
~
E·~n dS=Qint
ε0
Equation de Maxwell-Gauss
C’est une cons´equence directe du th´eor`eme de Gauss et du th´eor`eme de la divergence.
div ~ E=ρ
ε0
IV. Conducteurs en ´equilibre
Conducteur isol´e
L’´equilibre ´electrostatique d’un conducteur est atteint lorsqu’aucune charge ´electrique ne
se d´eplace plus `a l’int´erieur du conducteur. Cela entraˆıne n´ecessairement que :
– 1. le champ ´electrostatique total dans le conducteur est nul, donc ~ E= 0 et le
potentiel est constant.
– 2. les charges sont obligatoirement localis´ees `a la surface du conducteur (densit´e
surfacique σ).
– 3. le champ ´electrostatique ext´erieur `a proximit´e imm´ediate d’un conducteur vaut :
~
E=σ
ε0
~n
o`u ~n est un vecteur unitaire normal au conducteur et dirig´e vers l’ext´erieur.
Influence ´electrostatique
A. En pr´esence d’un champ ´electrique ext´erieur, un conducteur non charg´e peut pr´esenter une dis-
tribution surfacique de charge σ6= 0 avec RSσdS= 0.
B. Deux conducteurs, porteurs de charges ´electriques Q1et Q2, acqui`erent, `a l’´equilibre ´electrostatique,
des distributions de charges correspondant `a des potentiels uniformes V1et V2. Certaines lignes de
champ joignent un conducteur `a l’autre et l’orientation de ces lignes de champ d´efinit celui des
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Figure 1 – Sph`ere charg´ee en influence (gauche). Syst`eme de deux conducteurs (droite).
conducteurs dont le potentiel est le plus ´elev´e. Par application du th´eor`eme de Gauss on montre que
les ´el´ements de surface correspondants sont porteurs de charges ´electriques oppos´ees :
σ1dS1=−σ2dS2
Condensateurs
On appelle condensateur tout syst`eme de 2 conducteurs en influence ´electrostatique. La charge Q
port´ee par un des conducteurs est proportionnelle `a la diff´erence de potentiel (tension) U=V1−V2:
Q=CU
Cest la capacit´e du condensateur d´ependant de la g´eom´etrie. L’int´erˆet est d’avoir C´elev´e pour
avoir des charges ´elev´ees et une faible tension.
Figure 2 – Condensateur plan (gauche) et cylindrique (droite).
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Magn´etostatique
I. Introduction
La magn´etostatique est l’´etude du magn´etisme dans des situations o`u le champ magn´etique ~ Best
ind´ependant du temps. Il existe deux sources de champ magn´etique :a. le courant ´electrique et b.
la mati`ere aimant´ee.
Figure 3 – a. le courant ´electrique et b. la mati`ere aimant´ee.
II. Expression du champ magn´etique
Champ magn´etique cr´e´e par une charge en mouvement
Le champ magn´etique cr´e´e en un point Mpar une particule de charge qsitu´ee en un point Pet
anim´ee d’une vitesse ~v est
~
B(M) = µ0
4π
q~v ∧~u
r2o`u ~u =−−→
P M/||−−→ P M ||
L’unit´e de champ magn´etique est le Tesla [T] et µ0= 4π10−7est la perm´eabilit´e dans le vide. La for-
mule se g´en´eralise dans le cas d’une distribution quelconque de charges en mouvement, en particulier :
Champ magn´etique cr´e´e par un circuit Cparcouru par un courant ´electrique I
Loi de Biot-Savart :
~
B(M) = µ0
4πIC
Id~ l∧~u
r2o`u I=ZZsection du f il
~
j·~ndS
et ~ jest la densit´e volumique de courant. Dans le cas d’un fil rectiligne align´e sur l’axe
Oz, on trouve (en coordonn´ees cylindriques (R, θ, z)) :
~
B(M) = µ0I
2πR~eθ
On peut appliquer la formule de Biot-Savart pour : 1. La spire circulaire, 2. Le sol´eno¨ıde,
3. La bobine de Helmholtz.
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