Séance de travaux pratiques sur le rendement des lignes

Séance de travaux pratiques sur le rendement des lignes
Introduction
Le calcul du rendement des lignes fait intervenir les puissances en début et en fin de ligne. Le
calcul de ces dernières fait intervenir les tension et courant en début et en fin de ligne. La
première partie du document explique comment ces valeurs sont calculées pour une ligne
quelconque (en régime triphasé équilibré), quelle que soit sa longueur.
Une fois cette étape franchie, on définit le rendement d’une ligne électrique haute tension.
Pour poursuivre, on définit la notion de puissance naturelle d’une ligne et de SIL (surge
impedance loading), pour terminer par une étude du rendement maximum d’une ligne. Les
hypothèses considérées pour l’étude du rendement maximum sont celles de Papazoglou, à
savoir tension, courant et facteur de puissance sont considérées comme les variables de la
fonction rendement.
Calcul d’une chute de tension en régime triphasé équilibré
En triphasé équilibré, sous les hypothèses décrites dans la séance de travaux pratiques
« RLC », il a été montré que l’étude d’une ligne pouvait se ramener à l’étude d’une seule
phase. Le schéma équivalent d’une phase est visible à la figure suivante. Il comporte des
impédances longitudinales z [Ω] et transversales y-1[Ω].
Figure 1 Schéma équivalent monophasé d’une ligne électrique
La chute de tension le long d’un tronçon de ligne de longueur dx s’écrit :
z dx
y dx
Vx+dVx Vx

zdxIzdxdIIdV
dVVdVVdV
xxxx
xxxxx
≅+=
=
−
+
=
)(
)( Équation 1
De manière similaire :
ydxVdI xx
≅
Équation 2
On a donc les deux équations
x
xzI
dx
dV = Équation 3
x
xyV
dx
dI = Équation 4
que l’on peut différentier par rapport à x :
dx
dI
z
dx
Vd xx =
2
2
Équation 5
dx
dV
y
dx
Id x=
2
2
Équation 6
Introduisant (1) et (2) dans (5) et (6), on obtient
x
xyzV
dx
Vd =
2
2
Équation 7
x
xyzI
dx
Id =
2
2
Équation 8
avec en x=0 (au récepteur), Rx VV
=
et Rx II
=
1
En résolvant (7) et (8), on obtient
RR Ixyz
y
z
VxyzxV )sinh()(cosh)( += Équation 9
RR IxyzVxyz
z
y
xI )(cosh)sinh()( += Équation 10
Introduisant :
1 On utilise l’indice R pour désigner le côté récepteur (receiving end) et S pour le côté qui produit de l’énergie
(sending end)

la constante de propagation yz= γ Équation 11
l’impédance naturelle (« surge impedance ») y
z
Zc= Équation 12
l’admittance naturelle (« surge impedance ») z
y
Yc= Équation 13
et en considérant une ligne de longueur l, avec une extrémité qui produit de l’énergie (dénotée
« s », en x=l) et une extrémité réceptrice (dénotée « r », en x=0), les équations (9) et (10)
deviennent
RCRS IlZVlV )sinh()(cosh
γ
γ
+
=
Équation 14
RRcS IlVlYI )(cosh)sinh(
γ
γ
+
=
Équation 15
Sous forme matricielle, cela donne
= =
R
R
R
R
c
c
S
S
I
V
DC
BA
I
V
llY
lZl
I
V
)cosh()sinh(
)sinh()cosh(
γγ
γγ
Équation 16
Ou si l’on recherche les tension et courant au récepteur :
−
−
=
S
S
R
R
I
V
AC
BA
I
V Équation 17
Les équations (16) et (17) sont valables quelle que soit la longueur de la ligne considérée.
En utilisant la notion de quadripôle, les équations (16) et (17) sont équivalentes au schéma
« en pi »2 suivant :
2 Attention à ne pas confondre le schéma équivalent de cette page, valable pour les lignes quelle que soit leur
longueur, avec le schéma en pi valable présenté pendant la répète RLC, et valable pour les lignes courtes
seulement !!

Où
)sinh(
1)cosh(1
2
)sinh(
lZ
l
B
A
Y
lZBZ
c
c
γ
γ
γ
π
π
−
=
−
=
=
=
Équation 18
Puissance naturelle et Surge Impedance Loading (SIL)
D’après [Aguet1987], on appelle puissance naturelle d’une ligne la puissance que cette ligne
supposée de longueur infinie absorberait si on lui appliquait la tension nominale.
On peut donc aussi dire (les « l » se simplifiant), que c’est la puissance transmise par la ligne
chargée par son impédance caractéristique, à tension nominale :
c
nat Z
U
P
2
= Équation 19
Or, la puissance réactive consommée par une ligne s’écrit
22 33 ClVLlIQ
ωω −= Équation 20
L’équation 20 montre que si l’on choisit c Z
C
L
I
V≅= (à la résistance linéique près), alors la
ligne ne consomme pas de puissance réactive. Pour le formuler autrement, lorsqu’une ligne
fonctionne à sa puissance naturelle- à la résistance linéique près-, (c'est-à-dire si la charge
connectée à la ligne est égale à son impédance caractéristique alors qu’elle fonctionne à sa
tension nominale), on a la même quantité d’énergie stockée dans les champs magnétique et
électrique. Sous ces conditions, la ligne se comporte comme une résistance pure et ne
nécessite aucun apport de puissance réactive externe.

Après avoir parlé de « Puissance naturelle », la transition vers le « Surge Impedance
Loading » (SIL) est facile. On pourrait traduire « Surge Impedance » par « Impedance
transitoire ». Comme son appellation anglaise l’indique, la notion de SIL se rencontre dans les
calculs de propagation de surtensions transitoires (voir par exemple [Weedy1998]).
Commençons par définir ce qu’est une « surge impedance » : c’est l’impédance d’une ligne
qui aurait la même quantité d’énergie stockée dans les champs magnétique et électrique et qui
en même temps serait caractérisée par une absence de pertes joules. Autrement dit,
l’impédance caractéristique c
Zd’une telle ligne serait égale à C
L.
Dans la pratique, aux fréquences habituelles, les pertes joules sont présentes et non
négligeables. Cependant, quand on aborde des phénomènes à haute fréquence, ou des
transitoires dus à la foudre, les pertes sont souvent ignorées [Gönen1988]. On pose alors
C
L
Zc=
et l’on définit la SIL par « the power delivered by the line to a purely resistive load equal to
its surge impedance”:
c
Z
U
SIL
2
= Équation 21
On utilise souvent la notion de SIL pour comparer les capacités de transports de deux lignes
haute tension. Cependant, il faut bien distinguer la notion de puissance naturelle et celle de
puissance maximale. La détermination de la puissance maximale qu’une ligne peut transporter
est complexe. Elle doit prendre en compte par exemple la stabilité du réseau, les limites
thermiques de la ligne, les limites de chute de tension… (Voir paragraphe dédié à ce sujet).
Rendement d’une ligne
En triphasé, si on désigne par U la tension entre phases et V la tension de phase, les
puissances complexes [kVA] reçue et injectée s’écrivent respectivement:
*
3R
R
RIUS = Équation 22
*
3S
S
SIUS = Équation 23
Le rendement associé au transport de l’énergie électrique est le rapport entre la puissance
active reçue en fin de ligne par les récepteurs [MW] et la puissance active injectée en début de
ligne [MW]3. Celui-ci peut donc s’écrire
3 La puissance complexe a pour unité le kVA. Lorsque l’on prend la partie réelle de cette puissance complexe, on
parle de puissance active, qui a pour unité le MW. La partie imaginaire de la puissance complexe est dénommée
puissance « apparente », elle s’exprime en kVAr (« r » étant l’abréviation de réactif).