Théorie de Galois

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Th´eorie de Galois
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Cours de Maˆıtrise — Saint-Etienne 2002/2003
Bruno Deschamps

Table des mati`eres
1 Introduction `a la th´eorie des corps 3
1.1 G´en´eralit´es . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.1.1 Anneaux et corps . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.1.2 Polynˆomes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.2 Extensions................................. 6
1.2.1 G´en´eralit´es . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.2.2 Extensions alg´ebriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.2.3 Clˆoture alg´ebrique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.2.4 Extensions transcendantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
1.2.5 Corps de rupture et corps de d´ecomposition . . . . . . . . . . 16
1.3 Corpsfinis................................. 17
1.3.1 Th´eor`eme de Wedderburn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
1.3.2 Corps finis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
2 Th´eorie de Galois 22
2.1 Extension s´eparable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
2.1.1 El´ements s´eparables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
2.1.2 Caract´erisation de la s´eparabilit´e . . . . . . . . . . . . . . . . 23
2.2 Extension normale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
2.2.1 Normalit´e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
2.2.2 Caract´erisation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
2.3 Extension galoisienne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
3 Applications 32
3.1 Trace, norme et discriminant . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
3.1.1 Trace, norme et polynˆome caract´eristique dans une extension 32
3.1.2 Discriminant . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
3.1.3 R´esultant . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
3.2 Corpsfinis................................. 39
3.3 Corps cyclotomiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
3.3.1 Indicateur d’Euler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
3.3.2 Racines de l’unit´e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
3.3.3 Polynˆomes cyclotomiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
3.3.4 Corps cyclotomiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
3.4 Extensions kumm´erienne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
3.5 R´esolubilit´e par radicaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
3.5.1 Extensions radicales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
3.5.2 R´esolubilit´e par radicaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

Chapitre 1
Introduction `a la th´eorie des
corps
1.1 G´en´eralit´es
1.1.1 Anneaux et corps
D´efinition.— On appelle anneau tout ensemble Anon vide muni de deux lois de
compositions internes +et .telles que (A, +) soit un groupe ab´elien et telles que .
soit associative et distributive par rapport `a +.
•On dit que Aest unitaire s’il existe e∈Atel que pour tout a∈A,a.e =e.a =a.
Si Aest unitaire, l’´el´ement eest unique, on le note 1Aou 1s’il n’y a pas d’ambiguit´e.
•On dit que Aest int´egre si chaque ´el´ement de Aest r´egulier, c’est-`a-dire si pour
tout a, b, c ∈A(a6= 0) on a a.b =a.c ⇒b=cet b.a =c.a ⇒b=c.
•On dit que Aest commutatif si .est une loi commutative.
Soit Aun anneau unitaire. Un ´el´ement a∈Aest dit inversible dans As’il existe
b∈Atel que a.b =b.a = 1. L’´el´ement best alorts unique et s’appelle l’inverse de
a. On le note a−1. L’ensemble des ´el´ements inversible de As’appelle le groupe des
unit´es de A. C’est un groupe pour ., on le note U(A).
D´efinition.— On appelle corps tout anneau unitaire Atel que U(A) = A− {0}.
Si Aest commutatif, on parle de corps commutatif, dans le cas contraire, on parle
de corps gauche.
D´efinition.— Soient Aet Bdeux anneaux unitaires, on appelle morphisme d’anneaux,
toute application f:A→Bv´erifiant
∀x, y ∈A, f(x+y) = f(x) + f(y), f (xy) = f(x)f(y)et f(1A) = 1B
Lemme.— Sous les hypoth`eses de la d´efinition pr´ec´edente, on a
f(U(A)) ⊂U(B)
et ∀a∈U(A),f(a−1) = (f(a))−1.
Proposition.— •Tout corps est un anneau int`egre.
•Soit Aun anneau commutatif. Aest un corps ssi Ane poss`ede que deux id´eaux,
{0}et A.
3

Introduction `a la th´eorie des corps 4
•Soit kun corps commutatif et Aun anneau unitaire. Tout morphisme d’anneau
f:k→Aest injectif.
Exemple : Soit n∈N∗. Les propositions suivantes sont ´equivalentes :
i) nest premier,
ii) Z/nZest int`egre,
iii) Z/nZest un corps.
Si pd´esigne un nombre premier, on note Fp=Z/pZ.
D´efinition.— Soit (K, +, .)un corps. On appelle sous-corps de K, toute partie k
de Kstable par +et .telle que (k, +, .)soit un corps.
Lemme.— Soit Kun corps et (ki)iune famille de sous-corps de K. Alors Tiki
est un sous-corps de K.
Si kest un sous-corps de Ket Aune partie de K, l’intersection des sous-corps
de Kcontenant ket Aest donc un sous-corps de K(l’intersection ne se fait pas
sur un ensemble vide car Kcontient Aet k). Ce corps est le plus petit sous-corps
(au sens de l’inclusion) de Kcontenant ket A.
D´efinition.— On appelle corps engendr´e dans Kpar Asur kle plus petit sous-
corps (au sens de l’inclusion) de Kcontenant ket A. On le note k(A).
Proposition.— Soit k⊂Kdeux corps et A⊂K. On a
k(A) = P(a1,· · · , an)
Q(b1,· · · , bm)/ n, m ∈N;P∈k[X1,· · · , Xn],
Q∈k[X1,· · · , Xm];
(a1,· · · , an)∈An,(b1,· · · , bm)∈Am;Q(b1,· · · , bm)6= 0}
=(Pi∈IλiQki∈Jiaki
Pi0∈I0λi0Qki0∈Ji0bki0
/ I, I0, Ji, Ji0f inis,
aki, bki0∈A;λi, λi0∈ko
Preuve:
——–
D´efinition.— Soit Kun corps et k0et k1deux sous-corps de K. On appelle
compositum dans Kdes corps k0et k1le corps k0•k1=k0(k1) = k1(k0). Par
extension, si (ki)id´esigne une famille de sous-corps de K, on appelle compositum
des corps kidans le corps K, le plus petit sous-corps de Kcontenant kipour tout
i. On note ce corps •iki.
Soit Aun anneau unitaire. L’application f:Z→Ad´efinie par f(n) = 1+· · ·+1
(nfois) est un morphisme d’anneau. Son noyau est ´etant un id´eal, est donc de la
forme nZavec n∈N(si n= 0, fest injectif).
D´efinition.— Avec les notation pr´ec´edente, on appelle caract´eristique de Al’entier
n.
Lemme.— La caract´eristique d’un corps est soit nul, soit ´egale `a un nombre pre-
mier.
D´efinition.— Un corps est dit premier s’il ne poss`ede pas d’autre sous-corps que
lui-mˆeme. Soit Kun corps, on appelle sous-corps premier de Kl’intersection de
tous ces sous-corps. Le sous-corps premier d’un corps est donc un corps premier.

Introduction `a la th´eorie des corps 5
Proposition.— Un corps premiers est isomorphe soit `a Qsoit `a un Z/pZpour p
premier. Si Kest un corps et Fsont sous-corps premier. On a:
car(K) = 0 ⇐⇒ F'Qet car(K) = p⇐⇒ F'Fp
1.1.2 Polynˆomes
Proposition.— Soit Kun corps commutatif, l’anneau K[X]est euclidien (donc
en particulier principal).
Corollaire.— Soit Kun corps commutatif et kun sous-corps de K. Soit P, Q ∈
k[X]⊂K[X]. Le p.g.c.d de Pet Qest le mˆeme dans k[X]et dans K[X].
D´efinition.— Soit Kun corps commutatif et P∈K[X]. On dit qu’un ´el´ement
α∈Kest racine de Psi P(α) = 0.
Proposition.— Soit Kun corps commutatif et P∈K[X]un polynˆome de degr´e
n≥1. Si α∈Kest racine de P, alors il existe Q∈K[X]de degr´e n−1tel que
P(X) = (X−α)Q(X).
En cons´equence de quoi, un polynˆome P∈K[X]de degr´e n≥1, poss`ede au
maximum nracines.
Preuve: Posons P(X) = Pn
k=0 akXket prenons α∈K, alors on a
P(X)−P(α) =
n
X
k=0
ak(Xk−αk)
or, pour tout k= 1,· · · , n, on a
Xk−αk= (X−α)
k−1
X
i=0
Xiαk−i
On a donc
P(X)−P(α) = (X−α)Q(X)
avec Q(X) = Pn
k=1 Pk−1
i=0 akXiαk−iqui est visiblement un polynˆome de degr´e n−1.
Si αest racine de P, la proposition en d´ecoule alors.
——–
Corollaire.— Si P∈K[X]un polynˆome et α∈Kune racine de P, il existe un
polynˆome Q∈K[X]et un entier d > 0tel que P(X) = (X−α)dQ(X)et Q(α)6= 0.
On dit alors que αest racine de Pd’ordre d.
Preuve: S’obtient par r´ecurrence finie.
——–
On dit qu’un polynˆome P∈K[X] est totalement d´ecompos´e si ses seuls facteurs
irr´eductibles sont de degr´e 1, ce qui revient `a dire que la somme des ordres de ses
racines est ´egale `a son degr´e.
Lemme.— Soit Kun corps commutatif, les propositions suivantes sont ´equivalentes
:
i) Tout polynˆome P∈K[X]de degr´e ≥1admet une racine,
ii) tout polynˆome P∈K[X]est totalement d´ecompos´e.
Preuve: S’obtient par r´ecurrence finie.