Interpolation Numérique

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Interpolation Numérique
Pablo CROTTI, Mathias RIME
Mini-projet effectué au sein de la section de Mathématiques
Eté 2007
Professeur responsable Alfio Quarteroni
Assistant Benjamin Stamm

Introduction
L’interpolation numérique consiste de manière générale à approximer une fonction dont on
ne connaît les valeurs qu’en certains points. Plus précisément, étant donné n+ 1 couples (xi, yi),
le problème consiste à trouver une fonction Φ = Φ(x)telle que Φ(xi) = yipour i= 0,...,n. On
dit alors que Φinterpole {yi}aux noeuds {xi}. La forme de la fonction Φdépend du problème
et du but de l’interpolation. En effet, Φpeut être un polynôme, et on parle alors d’interpolation
polynomiale, ou bien Φpeut être un polynôme trigonométrique, ou une fonction polynomiale par
morceaux, et on dit alors que Φest une interpolation par morceaux.
L’intérêt et le mode d’utilisation d’une fonction d’interpolation dépend surtout de la prove-
nance des données. Les quantités yipeuvent, par exemple, représenter les valeurs aux noeuds
xid’une fonction fconnue analytiquement. La fonction d’interpolation permet alors de simpli-
fier des calculs numériques d’intégrales ou de dérivées. D’autre part, les quantités yipeuvent
représenter des données expérimentales qu’il faut synthétiser, vu leur nombre parfois élevé.
Le but de ce mini-projet est d’introduire les notions de base de l’interpolation dans le cadre
d’une fonction à une variable. Nous parlerons de l’interpolation polynomiale de Lagrange avec
noeuds équirépartis, de l’interpolation polynomiale par morceaux, ainsi que de l’approximation
au sens des moindres carrés.
Pour mieux comprendre et illustrer ce qu’est l’interpolation numérique, nous mettons deux
fonctions en exemple (Sinus et Runge) avec l’utilisation des polynômes de Lagrange sur un
ou plusieurs morceaux. Ces deux exemples montrent que l’interpolation par morceaux est bien
meilleure qu’une approximation polynomiale avec des points d’interpolation équirépartis lorsque
le nombre de morceaux est grand.
Nous tenons à remercier Benjamin Stamm, notre assistant responsable, pour sa correction
rapide et très attentive de notre projet, ainsi que pour sa disponibilité.
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Table des matières
Introduction 2
Table des figures 4
1 Approximation par les moindres carrés 5
1.1 Rappels d’algèbre linéaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.2 Meilleure approximation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.3 Problème des moindres carrés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.4 Problème des moindres carrés pour des fonctions . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
2 Interpolation polynomiale & noeuds équirépartis 10
2.1 Polynôme de Lagrange . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
2.2 Erreur d’interpolation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
2.3 Défauts de l’interpolation polynomiale avec noeuds équirépartis . . . . . . . . . . 14
2.4 Stabilité du polynôme d’interpolation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
3 Interpolation de Lagrange par morceaux 17
4 Forme de Newton du polynôme d’interpolation 20
4.1 Quelques propriétés des différences divisées de Newton . . . . . . . . . . . . . . . 20
4.2 Erreur d’interpolation avec les différences divisées . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
5 Interpolation d’Hermite-Birkhoff 23
Conclusion 24
Références 25
ANNEXE : CODES MATLAB 26
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Table des figures
1.1 Projection du vecteur vdans le sous-espace W................... 5
1.2 Lissage de données aléatoires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
2.1 Erreur d’interpolation du sinus avec noeuds équirépartis . . . . . . . . . . . . . . 13
2.2 Interpolations de sinus avec degré 2,3,4,5,6,8 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
2.3 Contre-exemple de Runge : Interpolation de degré 2,4,5,8 et 12 . . . . . . . . . . 15
2.4 Contre-exemple de Runge : Erreurs d’interpolation avec noeuds équirepartis . . . 16
3.1 Interpolation linéaire par morceaux de la fonction sinus . . . . . . . . . . . . . . . 17
3.2 Erreurs pour l’interpolation par morceaux de la fonction sinus . . . . . . . . . . . 18
3.3 Interpolation linéaire par morceaux de la fonction de Runge . . . . . . . . . . . . 18
3.4 Erreurs d’interpolation par morceaux de la fonction de Runge . . . . . . . . . . . 19
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1 Approximation par les moindres carrés
Dans cette partie du rapport nous allons étudier une méthode appelée approximation au
sens des moindres carrés. Cette méthode permet d’approximer un ensemble de couples (xi, yi)
obtenus de manière aléatoires ou par l’intermédiaire d’une fonction. L’approximation n’est pas
une interpolation car la fonction résultante obtenue après calcul ne passe pas forcément par tous
les couples (xi, yi). En effet, l’approximation par les moindres carrés est obtenue en résolvant un
système d’équations linéaires surdéterminé.
1.1 Rappels d’algèbre linéaire
Définition 1.1. Soit Vun R-espace vectoriel de dimension finie muni d’un produit scalaire
h−,−i. Soient Wun sous-espace vectoriel de Vet (w0, w1,...,wn)une base orthogonale de W.
Soit v∈Vet soit ΠW(v)∈W, la projection orthogonale du vecteur vsur le sous-espace W,
définie par :
ΠW(v) :=
n
X
i=0
hv, wii
hwi, wiiwi.(1.1)
Définition 1.2. Soit Vun R-espace vectoriel de dimension finie muni d’un produit scalaire
h−,−i et soit Wun sous-espace vectoriel de V.L’espace orthogonal à West l’ensemble noté
W⊥défini par :
W⊥:= {v∈V| hw, vi= 0 ∀w∈W}.
C’est un sous-espace vectoriel de V. En effet 0∈W⊥, et si w1, w2∈W⊥,α, β ∈Ralors
∀w∈Won a hαw1+βw2, wi=αhw1, wi+βhw2, wi= 0. Donc αw1+βw2∈W⊥. Remarquons
que pour tout v∈Von a v−ΠW(v)∈W⊥. De plus, si A∈Mn×m(R)alors nous avons
Im(A)⊥=Ker(At)et Ker(A)⊥=Im(At)où on note par Atla transposée de A.
1.2 Meilleure approximation
Théorème 1.3 ([Hess06],page 62).Soit Vun R−espace vectoriel muni d’un produit scalaire
h−,−i. Soit Wun sous-espace vectoriel de Vet soit v∈V. Alors ΠW(v)est la meilleure
approximation de vdans W, dans le sens où
kv−ΠW(v)k<kv−wk,∀w∈W, w 6= ΠW(v)
où k.kest la norme engendrée par le produit scalaire h−,−i.
W
V
W
(v)
vv -
W
(v)
Fig. 1.1 – Projection du vecteur vdans le sous-espace W
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