Filtres linéaires

MP – Cours de physique
Jean Le Hir, 3 septembre 2005 Page 1 sur 21
ÉLECTRONIQUE
Chapitre 2
Filtres linéaires
2.1. Définitions. Fonction de transfert, ordre d’un filtre
Filtre linéaire, ordre, superposition
Un filtre linéaire est un quadripôle pour lequel il existe une relation différentielle linéaire entre les
signaux d’entrée et de sortie.
Dans nos études, nous nous intéresserons uniquement aux tensions d’entrée
(
)
e
u t
et de sortie
(
)
s
u t
.
La tension d’entrée
(
)
e
u t
est délivrée par un circuit générateur placé en amont du filtre. Dans les études
qui suivent, ce générateur est considéré comme un générateur idéal de tension, c’est-à-dire que la tension
délivrée par ce générateur est indépendante du courant d’entrée
En aval du filtre se trouve un circuit utilisateur et il est clair que la tension de sortie
(
)
s
u t
dépend non
seulement de la tension d’entrée
(
)
e
u t
et de la nature du filtre, mais aussi du circuit utilisateur. Aussi,
nous placerons-nous fréquemment dans la situation dite en sortie ouverte où le courant de sortie est nul.
Ordre d’un filtre
Par définition, on appelle ordre du filtre l’ordre de l’équation différentielle à laquelle obéit la tension de
sortie
(
)
s
u t
. Dans tout ce qui suit, nous nous limiterons strictement aux filtres linéaires d’ordre inférieur
ou égal à deux.
Linéarité et superposition
La linéarité du filtre implique que toute opération linéaire appliquée à la tension d’entrée se traduit par
une réponse en sortie modifiée par application du même opérateur linéaire
(
)
e
u t
(
)
s
u t
(
)
s
i t
(
)
e
i t
circuit
amont
circuit
aval
filtre
(
)
e
u t
(
)
s
u t
(
)
e
i t
filtre
s
0
i
=
Cas général
Fonctionnement particulier "en sortie ou
verte"

ÉLECTRONIQUE Chapitre 2 Filtres linéaires
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En particulier, si
(
)
s1
u t
et
(
)
s2
u t
sont les réponses aux tensions d’entrées
(
)
e1
u t
et
(
)
e2
u t
,
1
λ
et
2
λ
deux
nombres réels, alors la réponse d’un filtre linéaire à la tension d’entrée
(
)
(
)
1 e1 2 e2
u t u t
λ +λ
sera
(
)
(
)
1 s1 2 s2
u t u t
λ +λ .
De même si
(
)
s
u t
est la réponse à la tension d’entrée
(
)
e
u t
, alors la réponse d’un filtre linéaire à la
tension d’entrée
(
)
e
du t
dt
sera
(
)
s
du t
dt
.
Réponse harmonique, fonction de transfert
Nous nous intéresserons tout particulièrement au cas où l’on applique à l’entrée du filtre un signal
sinusoïdal établi depuis très longtemps de telle sorte que tous les phénomènes transitoires soient amortis.
Dans ce cas, pour un filtre linéaire, la réponse en sortie sera également une fonction sinusoïdale de même
fréquence.
Les signaux de sortie et d’entrée seront alors caractérisés par leurs amplitudes complexes
s
u
et
e
u
et l’on
appelle fonction de transfert du filtre le rapport de ces amplitudes complexes, toujours fonction de
j
ω
:
( )
s
e
u
H j
u
ω =
Stabilité d’un filtre
Une condition nécessaire pour qu’un filtre soit stable en régime sinusoïdal est qu’il n’existe pas pour ce
filtre de mode propre d’évolution divergente. En effet, dans ce cas la tension de sortie pourrait diverger
même sans aucune tension d’entrée appliquée et le filtre cesserait tôt ou tard d’avoir un comportement
linéaire.
• Cas d’un filtre du premier ordre
L’équation différentielle sans second membre à laquelle obéit
(
)
s
u t
en l’absence de signal d’entrée
s’écrit dans le cas le plus général sous la forme :
(
)
( )
ss
0
du t ku t
dt
+ =
, avec k
∈
.
Si la constante réelle k est positive, les solutions sont des fonctions exponentielles d’argument négatif,
donc convergentes quand
t
→∞
tandis que pour
0
k
<
, les solutions sont des fonctions exponentielles
d’argument positif, donc divergentes quand
t
→∞
.
En conséquence, le dénominateur des fonctions de transfert du premier ordre pourra toujours s’écrire sous
la forme canonique
0
1
j
ω
+
ω
avec
0
0
ω >
, et jamais sous la forme
0
1
j
ω
−
ω
.
• Cas d’un filtre du second ordre
L’équation différentielle sans second membre à laquelle obéit
(
)
s
u t
en l’absence de signal d’entrée
s’écrit dans le cas le plus général sous la forme :
(
)
(
)
( )
2s s s
2
0
d u t du t u t
dt dt
+β +γ =
, avec et
β∈ γ∈
.
L’équation caractéristique correspondante s’écrit
2
0
r r
+β + γ=
et a pour discriminant
2
4
∆ =β − γ
.

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Pour
0
∆ >
, l’équation admet deux solutions exponentielles réelles et ces exponentielles doivent être
l’une et l’autre d’argument négatif, ce qui implique que leur somme
−β
doit être négative et leur produit
γ
doit être positif.
Pour
0
∆ =
,
γ
est nécessairement positif et les solutions sont de la forme d’un polynôme du premier
degré multiplié par l’exponentielle
t
e
−β
qui n’est convergente quant
t
→∞
que pour
0
β >
.
Pour
0
∆ <
,
γ
est nécessairement positif. L’équation admet alors des solutions réelles sinusoïdales
exponentiellement amorties et l’amortissement
t
e
−β
doit être convergent quant
t
→∞
, ce qui impose la
condition
0
β >
.
Nous avons ainsi démontré que les seuls filtres stables correspondent nécessairement aux conditions
0
β >
et
0
γ >
. Il s’ensuit que, dans le cas d’un filtre du second ordre stable, le dénominateur de la
fonction de transfert est un trinôme du second degré en
j
ω
à coefficients positifs et peut toujours se
mettre sous la forme canonique :
2
2
0 0
1 jQ
ω ω
+ −
ω ω
où
0
ω
, pulsation caractéristique du filtre, et Q, facteur de qualité du filtre, sont des constantes positives.
Diagramme de Bode
Définition
Le diagramme de Bode d’un filtre en régime harmonique est, par définition, l’ensemble de deux graphes
représentant pour le premier le module de la fonction de transfert exprimé en décibel en fonction du
logarithme décimal
1
de la pulsation et pour le second l’argument de la fonction de transfert en fonction du
logarithme décimal de la pulsation.
( )
( )
( )
dB 10 10
ref
10 ref
20 log log
arg log
H H j f
H j g
ω
= ω =
ω
ω
ϕ = ω =
ω
La pulsation de référence
ref
ω
peut être choisie arbitrairement, mais quand cela est possible, on choisira
la pulsation caractéristique du filtre.
Association de filtres en cascade
L’association « en cascade », ou « en série », correspond à la connexion de l’entrée d’un second filtre à la
sortie du premier.
1 Conformément aux normes ISO internationales, les logarithmes décimaux seront notés «
10
log
» ou « lg ».
filtre 2
e1
u
i
u
e
i
filtre 1
s
0
i
=
Association "en cascade"
s2
u
i
i

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La tension intermédiaire
i
u
est aussi bien la tension de sortie
s1
u
du filtre 1 que la tension d’entrée
e2
u
du
filtre 2, si bien que la fonction de transfert globale du filtre en sortie ouverte est égale au produit des
fonctions de transfert du filtre 1 (en présence du filtre 2) et du filtre 2 en sortie ouverte.
1/2 2
H H H
= ⋅
Attention ! La fonction de transfert
1/2
H
du filtre 1 en présence du filtre 2 n’est pas a priori
égale à la fonction de transfert
1
H
du même filtre 1 en sortie ouverte.
Nous avons alors :
( ) ( ) ( )
1/ 2 2 dB 1/2 dB 2 dB
1/2 2 1/ 2 2
soit
arg arg arg soit
H H H H H H
H H H
= ⋅ = +
= + ϕ = ϕ +ϕ
La construction du diagramme de Bode associé à une fonction de transfert inconnue se présentant sous la
forme d’un produit de deux fonctions de transfert connues est particulièrement simple : il suffit de
représenter les deux diagrammes élémentaires et d’en « faire la somme ».
Cette propriété est adaptable au cas d’une fonction de transfert se présentant sous la forme d’un rapport de
deux fonctions de transferts élémentaires :
( ) ( ) ( )
1
dB 1 dB 2 dB
12
21 2 1/2 2
soit
arg arg arg soit
H
H H H H
HH
HHH H H
= = −
=⇒
= − ϕ= ϕ −ϕ
2.2. Filtres du premier ordre
Filtre passe-bas du premier ordre
Étude canonique
La fonction de transfert d’un filtre passe-bas du premier ordre s’écrit, dans le cas le plus général sous la
forme suivante :
( )
0
0
1
H
H j
j
ω =
ω
+
ω
où
0
ω
est la pulsation caractéristique du filtre que l’on appelle encore pulsation de coupure à
3 dB
−
.
• Formes asymptotiques
En très basse fréquence :
0
0
H H
ω→
∼
, soit :
dB 0
0
0
0
20lg
0 ( , si 0)
H H
H
ω→
ω→
→
ϕ → +π <
Pour la pulsation
0
ω= ω
,
0 0
4
12
j
H H
H e
j
π
−
= =
+, soit :
0
0
dB 0
0
20lg 3
( , si 0)
4
H H
H
ω=ω
ω=ω
= −
π
ϕ = − +π <
En très haute fréquence :
0
0
H j H
ω→∞
ω
−
ω
∼ , soit :
dB 0
0
0
20lg 20lg
( , si 0)
2
H H
H
ω→∞
ω→∞
ω
−
ω
π
ϕ → − +π <

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Remarque : on obtient l’équation des asymptotes, fonction affine de
0
lg
ω
ω
, en considérant le logarithme
du module du monôme équivalent . Cet équivalent est toujours très facile à obtenir et l’on construit ainsi
aisément le diagramme de Bode asymptotique , en amplitude et en phase.
• Diagramme de Bode
Le diagramme de Bode du filtre passe-bas du premier ordre correspondant à
0
1
H
=
est représenté ci-
après. Pour d’autres valeur de
0
H
, il suffit d’ajouter
0
20lg
H
à la valeur du gain en décibel.
On remarquera en particulier le comportement asymptotique de pente
20 dB
−
par décade en haute
fréquence, caractéristique du passe-bas du premier ordre.
Le diagramme de phase est représenté dans le cas où
0
H
est positif. Pour
0
0
H
<
, il convient d’ajouter
π
à la phase.
Exemples de réalisations
• Filtres passifs : cellules RC ou LR
Il s’agit sans doute des filtres les plus simples que l’on puisse envisager. La fonction de transfert en sortie
ouverte se calcule simplement par division de tension.
Pour le filtre RC : Pour le filtre LR :
( )
1
1
C
C
Z
H j
Z R jRC
ω = =
+ + ω
( )
1
1
L
R
H j
L
R Z j
R
ω = =
ω
++
e
u
s
u
C
R
R
L
e
u
s
u
0
1
H
=
0
1
RC
ω =
0
1
H
=
0
R
L
ω =
( )
0
lg
ω
ω
0,1 1 10
ϕ
4
π
−
0
2
π
−
3 dB
−
20 dB /−
décade
0,1 1 10
( )
0
lg
ω
ω
0
20
−
10
−
30
−
dB
H