Les nombres

LES NOMBRES
I) Les différents types de nombres
1) Les nombres entiers
Définitions :
• {0 ; 1 ; 2 ; 3 ...} est l’ensemble des nombres entiers naturels : l’ensemble des nombres entiers naturels est noté N
(comme Naturel).
• {... −3 ; −2 ; −1 ; 0 ; 1 ; 2 ; 3 ...} est l’ensemble des nombres entiers relatifs : il est noté Z.
Remarques : • En ajoutant aux entiers naturels les entiers négatifs, on passe de l’ensemble N à l’ensemble Z.
‚ Tout entier naturel est relatif. On dit que N est inclus dans Z et on le note : N W Z.
2) Les nombres rationnels :
Définitions :
• Un nombre rationnel est un nombre pouvant s’écrire sous la forme d’une fraction ou quotient du type a où a ∈ Z et b
b
∈ N−{0}. L’ensemble des nombres rationnels se note Q (comme Quotient).
a
• Un nombre décimal est un nombre rationnel pouvant s’écrire n où a S Z et n S N. L’ensemble des nombres
10
décimaux est noté D (comme Décimal).
Remarques : • Tout décimal s’écrit sous la forme d’une fraction. Par exemple : − 2, 63 = −263 .
100
On écrit alors : D W Q.
‚ On démontre qu’il existe des nombres qui ne sont pas rationnels comme par exemple 2 ou π. Ces
nombres sont appelés les nombres irrationnels.
3) Les nombres réels
Définition : L’ensemble regroupant les nombres rationnels et les nombres irrationnels constitue l’ensemble des nombres
réels que l’on note R (comme Réel).
Théorème : On représente l’ensemble des nombres réels par une droite : les abscisses des points de cette droite forment
l’ensemble R. Le nombre réel 0 est l’abscisse de l’origine O et le nombre réel 1 celle du point I.
Propriété : Les remarques précédentes permettent d’écrire : N W Z W D W Q W R.
Les nombres 1/3
II) Intervalles de R
Définition : L’intervalle fermé d’extrémités a et b (a ≤ b) noté [a ; b] est l’ensemble des nombres réels x
tels que a ; x ; b . Les bornes a et b appartiennent à l’intervalle [a ; b].
Remarque : x ∈ [a ; b] signifie a ≤ x ≤ b.
Exemples : L’intervalle [−3 ; 5] est représenté par le segment [AB] suivant :
A
-4
-3
B
-2
-1
x ∈ [−3 ; 5] signifie −3 ≤ x ≤ 5.
4
−2,8 ∈ [−3 ; 5]
∈ [−3 ; 5]
3
Intervalle
Inégalités
associées
[3 ; +∞[
x≥3
]−1 ; +∞[
x > .1
]−∞ ; 2[
x<2
[−2 ; 5]
−2 ≤ x ≤ 5
0
5 ∈ [−3 ; 5]
1
2
3
4
5
6
8 ∉ [−3 ; 5].
Représentation
−1 ≤ x ≤ 4
2<x<7
−1 < x ≤ 3
Remarques :
• Les bornes a et b appartiennent à l’intervalle [a ; b], mais n’appartiennent pas à ]a ; b[.
‚ Les symboles +o et .o (plus l’infini et moins l’infini) ne désignent pas des nombres réels : les crochets sont donc
toujours « ouverts » en +o ou en .o.
III) Valeur absolue et distance
Définition : Soit une droite munie d’un repère (O ;I). Pour tout nombre réel x, la valeur absolue de x notée x est la
distance du point M d’abscisse x à l’origine O.
• si x ? 0 alors x = x .
• Si x ; 0 alors x = − x .
Conséquence : pour tout nombre réel x , x est positif.
Définition : Soit x et y deux nombres réels, la distance entre les nombres x et y est le nombre réel positif x − y .
Remarque : x − y peut aussi s’écrire y − x .
Exemples :
Les nombres 2/3
IV) Nombres premiers
1) Diviseurs d’un nombre entier naturel
Définition : Soit a et b deux entiers naturels (b ≠ 0). On dit que b est un diviseur de a s’il existe un entier naturel q tel que
a = b × q.
Remarque : q représente le quotient de la division de a par b. Si la division « s’arrête » avec un quotient entier, alors b
divise a. On dit aussi que a est divisible par b.
Exemples :
2) Nombres premiers
Définition : Un entier naturel est dit premier s’il admet seulement deux diviseurs : 1 et lui-même.
Exemples : La liste des nombres premiers commence par :
3) Décomposition en produit de nombres premiers
Théorème : Tout entier naturel se décompose en produit de facteurs premiers.
Exemples :
Les nombres 3/3