Equations différentielles

Equations différentielles
1. Généralités
Définition
Une équation différentielle est une relat
ion entre une variable réelle
(par exe
m
ple
x
)
, une fon
c
tion qui
dép
en
d de
cette varia
ble (par exemple
y
)
et un cer
ta
i
n nomb
re de ses dér
i
v
ées succ
e
ss
i
v
es
. Lorsq
u
e la
dér
i
v
ée de pl
us hau
t deg
r
é de la fon
ction
(qui appar
a
ît réellement)
est la
n
ième
(
n
∈
À
*)
,
on dit que
l'éq
uation
différentielle
est d'
ord
re
n
.
Exemples
x
yy
"
=
x
−
x
2
y'
est une éq
uation diff
é
rentielle d'o
rdre 2
o
ù
y
est une fon
c
tion
de la variable
x
.
O
n peut auss
i l'
é
c
rire
.
y
”
=
x
−
x
2
y
’
y
x
x"
−
tx'
+
x
2
=
1 est une éq
uation diff
é
rentielle d'o
rdre 2 où
x
est une fon
c
tion
de
la variable
t
.
x
t'
−
tx
+
x
2
=
1 est une éq
uation diff
é
rentielle d'o
rdre 1 où
t
est une fon
c
tion
de
la variable
x
.
Remarques
x
Une éq
uation diff
é
r
entielle d'
o
rd
re
n
pe
ut donc s'
é
c
r
i
re sous la forme :
φ
(
x,y,
y
',
y
",
...
,y
(
n
)
)
=
0 ou encore
φ
(
x,y
(
x
)
,
y
'
(
x
)
,
y
"
(
x
)
,
...
,y
(
n
)
(
x
)
)
=
0
où
y
est donc une fon
c
tion qu
i dépend de
x
et
φ
est
une fon
ction des
n
+
2
variables
x,y,
y
',
y
",
...
,y
(
n
)
.
Nous nous intéress
erons aux fonctions
y
à valeurs dans
Á
ou
Â
.
x
Il nous arri
vera de ren
c
ontrer
à la place de
y'
et nous pourrons av
oi
r des équations de la form
e
d
y
d
x
2
x
d
x
=
y
2
d
y
.
Définition
Résou
d
re (ou int
é
g
rer) une éq
uation diff
é
r
entielle
φ
(
x,y,
y
',
y
",
...
,y
(
n
)
)
=
0 sur un interva
lle
I
de
Á
ou
Á
tout
entier
, c'est tr
ouver toutes les fonctions
f
telles que :
a.
f
soit
n
fois déri
vable sur
I
b.
∀
x
∈
I
,
φ
(
x,
f
(
x
)
,
f
'
(
x
)
,
f
"
(
x
)
,
...
,
f
(
n
)
(
x
)
)
=
0
Une fon
c
tion
qui vérifie les con
ditions (a) et (b)
est app
elée solutio
n (ou int
é
g
rale) par
ticu
l
ière de
l'éq
ua
tion diff
é
rentielle et sa courbe re
p
r
é
se
n
t
ati
ve est appe
lée co
u
rb
e int
é
g
rale de l'
é
q
uation
diff
é
re
ntielle.
On appelle solutio
n (ou int
é
g
rale) générale
de l'éq
ua
tion l'ensemble de toutes les fonction solutions.
On appelle courbes int
é
g
rales d'
une éq
ua
tion diff
é
rentielle l'
ens
e
m
b
l
e des co
urbes rep
r
é
s
e
n
ta
t
ives de
to
utes les solu
tions de cette éq
uation diff
ére
ntielle
.
Francis
Wlazins
ki
1

Remarques
x
En pratiq
ue, on supp
ose souvent que
I
est un int
ervalle ouvert de
Á
.
x
Si
Id
I
dési
gne l'application identi
té de
Á
restreint à
I
, on peut aussi écrire
φ
(
Id
I
,y,
y
',
y
",
...
,y
(
n
)
)
=
0
où 0
designe
la fonction nulle sur
I
.
x
Dans certains cas, à partir de la solution générale d'
une éq
uat
ion diff
é
rent
ie
lle
, on peut re
c
her
c
her
une solution pa
rtic
u
l
ière satis
fa
isa
nt à certaines con
ditions appelées conditions initiales. En
géné
ral
, ces conditions c
oncernen
t les valeurs prises par la fonction ou certaines dérivées en une
valeur
x
0
.
Exemples
x
La fonction
f
définie sur
Á
pa
r
f
(
x
)
=
x
2
est une solution
particulièr
e
de l'
é
q
uation diff
érentielle
y"
+
xy'
−
5
y
=
2
−
3
x
2
.
x
Les courbes intégrales de l'équation différentielle
y"
=
0 s
on
t
l
es droites du plan non parall
èles à
l'axe des or
d
onn
ées.
x
y
=
=
x
2
−
2 est la solution particulière de l'équation différentielle
y'
=
x
qui vérifie
la
2
x
t
d
t
1
2
condition initiale
y
(2)
=
0
.
Définition
Une fonction
f
définie sur
I
est dite une solution maximale d'une équation d
i
fférentielle (
E
) s'il n'exist
e
pas d'intervalle
J
I
et de fonction
g
telle que
g
|
I
=
f
qui soit aussi solution de (
E
).
Définition
On appe
lle éq
ua
t
ion simpl
i
fi
ée toute éq
uat
ion diff
é
rentielle qui peut se mettre sous la forme
φ
(
x,
y
(
n
)
)
=
0.
Méthode de résolution
Si on peut mettre l'équat
i
on sous la forme
y
(
n
)
=
g
(
x
)
alo
rs il suffit d'
int
é
grer
n
fois la fonction
g
.
Ex :
On cherche à résoudre l'
équation différentielle
xy'
−
1
=
0
.
A prio
ri
, c
ette éq
uation est définie sur
Á
. Toutefoi
s,
si
x
=
0, alo
rs auc
une fon
ction ne con
v
i
ent.
On pe
ut donc la résou
d
re soit sur
]
−∞
;0[
soit sur
]0;
+∞
[.
Pour simpl
i
fier, on pren
d
]0;
+∞
[.
On ob
tien
t
y'
=
et donc
y
=
ln
x
+
a
où
a
∈
Á
.
1
x
Les courbes i
nté
g
ra
les de l'éq
uation s'o
b
tiennent de celle de
ln
x
par une tran
sla
tion parall
è
lem
ent
à l'axe des ordonn
ées.
2. Equations différentielles du premier ordre
2.1 Equations à variables séparables
Définition
On appelle éq
ua
tion à variab
les sé
pa
rab
l
es toute éq
uat
ion diff
é
rentielle qui peut se mettre sous la forme
a
(
x
)
+
b
(
y
)
y
'
=
0
où
a
et
b
sont des appl
i
c
ations contin
ues sur des intervall
es à pr
éciser.
Francis
Wlazins
ki
2

Méthode de résolution
Soient
A
et
B
des pr
i
mi
tives respectivement de
a
et
de
b
sur un intervalle
I
où
a
et
b
sont continues
.
En inté
gran
t l'égalit
é, on obtien
t
A
(
x
)
+
B
(
y
)
=
cste
Si
B
admet une ap
pli
cat
ion réci
proqu
e
B
−
1
, on a
y
=
B
−
1
(
−
A
(
x
)
+
cste
)
.
Ex :
On cherche à résoudre l'
équation différentielle
x
2
y
'
=
e
y
.
Si
x
=
0, alo
rs auc
une fon
ction ne con
v
i
ent.
On pe
ut donc la résou
d
re soit sur
]
−∞
;0[
soit sur
]0;
+∞
[.
On
a
−
y'e
−
y
=
et en intég
rant
e
−
y
=
+
c
où
c
∈
Á
.
D
onc
y
= −
où
c
∈
Á
.
−
1
x
2
1
x
l
n
1
x
+
c
L'ensemble de définition de la fonction
y
dépend de
c
.
Pour avoir une solution sur ]0;
+∞
[, il faut que
c
>
0.
Il n'y pas de solu
tion sur
]
−∞
;0[
tout entier
,
ca
r il faut
c
'est-
à-dire
c
>
0 et
.
1
x
+
c
>
0
x
F
−
1
c
;
0
Remarque
Il arrivera que l'on ne puisse
pas
obtenir
y
en fonction de
x
.
2.2 Equations non linéaires homogènes
Définition
On appelle éq
ua
tion homogè
ne toute éq
uat
ion diff
é
rentielle qui ne change pas lorsque l'
on remplace
x
par
λ
x
et
y
par
λ
y
pour
tout réel
λ
.
Une éq
ua
tion homogè
ne peut se mettre sous la forme
φ
(
y
'
,
)
=
0 et parfois
sous la forme
y'
=
(1)
.
y
x
F
y
x
Méthode de résolution
Nous nous bornerons aux équations homogènes que l'on peut mettre sous la forme (1).
Dans ce cas, on pose
y
=
tx
où
t
est donc une fonction de
x
.
On obtient alors une équation à vari
ab
les séparables.
Ex :
On veut résoudre
l'
éq
uat
ion diff
é
rentielle
xy
'
−
y
=
sur
]0;
+∞
[
.
x
2
+
y
2
On
peut
mettre
ce
tte équation
sous la forme (1)
e
n effet, on a
y'
=
.
x
2
+
y
2
+
y
x
=
1
+
y
x
2
+
y
x
On pose donc
y
=
tx
et
y'
=
t'
x
+
t
.
x
(
t'
x
+
t
)
−
tx
=
x
2
+
t
2
x
2
⇔
t'
x
+
t
−
t
=
1
+
t
2
⇔
t'
× =
1
1
+
t
2
1
x
⇔
où
k
∈
Á
ou
a
rg
sh
t
+
c
où
c
∈
Á
l
n
t
+
1
+
t
2
=
l
n
k
x
+=
l
n
x
⇔
où
k
∈
Á
ou
a
rg
sh
t
où
k
∈
Á
t
+
1
+
t
2
=
k
x
+=
l
n
k
x
+
⇔
−
t
où
k
∈
Á
ou
où
k
∈
Á
1
+
t
2
=
k
x
+
t
=
e
l
n
(
k
x
)
−
e
−
l
n
(
k
x
)
2
+
⇔
1
+
t
2
=
k
2
x
2
−
2
kxt
+
t
2
où
k
∈
Á
ou
où
k
∈
Á
+
t
=
k
x
−
1
k
x
2
+
⇔
t
=
où
k
∈
Á
.
k
2
x
2
−
1
2
k
x
+
Et donc
y
(
=
tx
)
=
où
k
∈
Á
.
k
2
x
2
−
1
2
k
+
Francis
Wlazins
ki
3

2.3 Equations linéaire
s
du premier ordre
Définition
On appelle équation linéaire du premier ordre toute éq
uat
ion diff
érentielle qui peut se mettre sous la
forme
a
(
x
)
y
'
+
b
(
x
)
y
+
c
(
x
)
=
0
où
a,b
et
c
sont des appl
i
c
ations contin
ues sur des intervall
es à pr
éciser.
L'éq
uation est dite no
rmalis
ée si
a
(
x
)
=
1
(
x
)
c'est-à-dire
si
e
lle est de la form
e
y
'
+
b
(
x
)
y
+
c
(
x
)
=
0.
Remarque
Lor
sq
ue l'équat
ion n'est pas no
rmalis
ée, on peut se ramener à une équat
i
on nor
ma
lisée en divisant pa
r
a
(
x
)
sur tout intervalle où
a
ne s'ann
u
l
e pa
s. Puis on "raccor
de" les solutions suivant l'intervalle deman
dé.
Méthodes de résolution
a. Equation
s
linéaire
s
du premier ordre sans second membre
Nous nous inté
res
s
ons dans un prem
ier tem
ps aux équat
ions de la form
e
y
'
+
b
(
x
)
y
=
0
C'est une éq
uat
ion à variable
s
séparab
le
s
dont
la
solution générale est
y
=
k
e
−
B
(
x
)
où
k
∈
Á
et
B
est une
primitive de
b
.
Ex :
On cherche à résoudre
(1
+
x
2
)
y'
+
4
xy
=
0
sur
Á
.
On a
y'
+
y
=
0
.
4
x
1
+
x
2
Une primitive de
est
.
2
2
x
1
+
x
2
2
l
n
(
1
+
x
2
)
=
l
n
(
1
+
x
2
)
2
D'où
la solutio
n générale est
y
=
où
k
∈
Á
k
e
−
l
n
(
1
+
x
2
)
2
C'est-à-dire
y
=
où
k
∈
Á
.
k
(
1
+
x
2
)
2
b. Equation
s
linéaire
s
du premier ordre avec second membre
Soi
en
t
y
1
et
y
2
deux solutions de
a
(
x
)
y
'
+
b
(
x
)
y
+
c
(
x
)
=
0 (2).
On a donc
a
(
x
)
y
1
'
+
b
(
x
)
y
1
+
c
(
x
)
=
0
a
(
x
)
y
2
'
+
b
(
x
)
y
2
+
c
(
x
)
=
0
D'où
a
(
x
)
y
1
'
−
a
(
x
)
y
2
'
+
b
(
x
)
y
1
−
b
(
x
)
y
2
=
0
a
(
x
)
(
y
1
−
y
2
)
'
+
b
(
x
)
(
y
1
−
y
2
)
=
0
Donc
y
1
−
y
2
est une solution de l'équation sans second membre associée :
a
(
x
)
y
'
+
b
(
x
)
y
=
0
(3)
ou
y
'
+
y
=
0
(3
'
) sur tout intervalle où
a
ne s'annule pas.
b
(
x
)
a
(
x
)
D'où la méthode :
#
On résout d'abord l'équation (3).
#
On détermine ensuite une solution particuli
ère de (2).
#
Les solutions générales de (2) s'obtiennent en ajoutant les solutions de (3) et la solution
particuli
ère trouvée de (2).
Détermination de la solution particulière de (2) : Méthode dite de la variation de la constante
Sur un intervalle où
a
ne s'annule pas, soit
D
est une primitive de
.
b
(
x
)
a
(
x
)
Les solu
tions de (3
'
) sont de la forme
y
=
k
e
−
D
(
x
)
où
k
∈
Á
.
Francis
Wlazins
ki
4

On suppose que la solution particulière
y
0
de (2) est de la forme
y
0
=
ke
−
D
(
x
)
où
k
cette fois-ci est
une fonction de
x
c'
est-à-dire
y
0
=
k
(
x
)
e
−
D
(
x
)
.
D'où
y'
0
=
k
'
(
x
)
e
−
D
(
x
)
−
k
(
x
)
e
−
D
(
x
)
.
b
(
x
)
a
(
x
)
a
(
x
)
y
0
'
+
b
(
x
)
y
0
=
a
(
x
)
[
k
'
(
x
)
e
−
D
(
x
)
−
k
(
x
)
e
−
D
(
x
)
] +
b
(
x
)
k
(
x
)
e
−
D
(
x
)
=
a
(
x
)
k
'
(
x
)
e
−
D
(
x
)
= −
c
(
x
)
b
(
x
)
a
(
x
)
Et donc
k
'
(
x
)
=
e
D
(
x
)
.
−
c
(
x
)
a
(
x
)
Il suffit de déterminer une primitive
F
(
x
)
de
e
D
(
x
)
et alors
y
0
=
F
(
x
)
e
−
D
(
x
)
.
−
c
(
x
)
a
(
x
)
Ex :
On cherche à résoudre
.
(
x
2
+
1
)
y
−
x
y
=
3
x
#
L'
équation sans secon
d membre assoc
i
ée (appelée aussi équation liné
aire du premie
r ordre
homogène) est
. Elle est définie sur
Á
.
(
x
2
+
1
)
y
−
x
y
=
0
Ell
e est équivalente à
y
−
x
x
2
+
1
y
=
0
Une primitive de
est
.
−
x
x
2
+
1
−
1
2
l
n
(
x
2
+
1
)
= −
l
n
1
+
x
2
D'o
ù les solutions de l'équation sans second membre sont
y
=
où
k
∈
Á
.
k
1
+
x
2
#
Recher
che d'une solution particulière :
O
n pose
y
0
=
.
k
(
x
)
1
+
x
2
y'
0
=
k
'
(
x
)
1
+
x
2
+
x
1
+
x
2
k
(
x
)
(
x
2
+
1
)
y
0
−
x
y
0
=
k
(
x
)
(
1
+
x
2
)
3
+
x
1
+
x
2
k
(
x
)−
x
k
(
x
)
1
+
x
2
(
x
2
+
1
)
y
0
−
x
y
0
=
k
(
x
)
(
1
+
x
2
)
3
=
3
x
D'où
et
.
k
(
x
) =
3
x
(
1
+
x
2
)
3
=
3
x
(
1
+
x
2
)
−
3
/
2
k
(
x
) =
3
(−
2
)
1
2
(
1
+
x
2
)
−
1
/
2
Enfin
y
0
= −
3
#
Les solutions de l'équation avec second membre sont donc
y
=
où
k
∈
Á
.
k
1
+
x
2
−
3
2.4 Equations de
Bernoulli
Définition
On appelle éq
uation de
Bernou
l
li
toute éq
uat
ion diff
érentielle qui peut se mettre sous la forme :
a
(
x
)
y
'
+
b
(
x
)
y
+
c
(
x
)
y
α
=
0
où
a,b
et
c
sont des appl
i
c
ations contin
ues sur des intervall
es à pr
éciser
et
α
est un réel fixé avec
α ≠
0 et
α
≠
1.
Remarque
Dans un cadre quelconque, il faut
y
>
0.
Méthode de résolution
On pose
t
=
y
1
−α
.
On
obtient
t'
=
(1
−α
)
y'
y
−α
=
(1
−α
)
.
y
y
a
(
x
)
y
'
+
b
(
x
)
y
+
c
(
x
)
y
α
=
0
⇔
a
(
x
)
y
y
+
b
(
x
)
y
y
+
c
(
x
) =
0
⇔
a
(
x
)
1
−
t
+
b
(
x
)
t
+
c
(
x
) =
0
On obtient
donc
une équation linéaire du premier ordre
en
t
.
Francis
Wlazins
ki
5