Et (2)

Terminale S
Obligatoire
Devoir n°3 de Sciences Physiques et Chimiques
3h30 – CALCULATRICE INTERDITE
28/11/2013
Exercice 1 : (10 points) A PROPOS DE SATELLITES TERRESTRES.
Un satellite géostationnaire est un satellite artificiel qui se trouve sur une orbite géostationnaire. Sur cette
orbite le satellite se déplace de manière exactement synchrone avec la planète et reste constamment audessus du même point de la surface. Cette caractéristique est très utile pour les télécommunications et
certaines applications dans le domaine de l'observation de la planète.
La partie III est indépendante.
I.
Satellite SPOT 4
1.
Quel est le nom du référentiel dans lequel le mouvement du satellite est étudié ?
Référentiel géocentrique
Décrire la trajectoire d’un point de la surface de la Terre dans ce référentiel.
Dans le référentiel géocentrique un point de la surface de la Terre décrit une trajectoire circulaire
autour de l’axe des pôles en 24 heures
2.
⃗ exercée par la Terre sur le satellite en fonction des données de
Exprimer vectoriellement la force 𝑭
⃗.
l’énoncé et du vecteur unitaire 𝒖
⃗𝑭 = − 𝑮×𝒎×𝑴𝟐𝑻 𝒖
⃗
(𝑹 +𝒉)
𝑻
3.
Quelle propriété doit avoir le référentiel pour pouvoir appliquer la deuxième loi de Newton ?
Le référentiel géocentrique doit être galiléen pour que la deuxième loi de Newton puisse s’appliquer.
4. On considérera dans la suite de l’exercice que le référentiel d’étude
4.1 Énoncer la deuxième loi de Newton appliquée au satellite.
vérifie cette condition.
Dans le référentiel géocentrique galiléen, la seconde loi de Newton s’écrit :
⃗ 𝒆𝒙𝒕 =
∑𝑭
⃗
𝒅𝒑
𝒅𝒕
=
⃗)
𝒅(𝒎𝒗
𝒅𝒕
=𝒎
⃗
𝒅𝒗
𝒅𝒕
⃗
= 𝒎. 𝒂
car la masse du satellite se conserve
⃗
Ainsi, on écrira que ⃗𝑭 = 𝒎. 𝒂
4.2
⃗ (sans souci d’échelle) sur le schéma de
En déduire une représentation du vecteur accélération 𝒂
l’annexe 1, à rendre avec la copie.
C
𝐹
N
𝑎
u
O
Terre
S
1/8
4.3
En déduire la valeur de l’accélération a du centre d’inertie C du satellite.
D’après la seconde loi de Newton,
⃗⃗𝑭
⃗𝑭 = 𝒎. 𝒂
⃗ donc 𝒂
⃗ =
𝒎
Ainsi, on écrira que 𝒂
5.
𝑮×𝒎×𝑴𝑻
𝟐
𝑻 +𝒉)
= 𝒎 (𝑹
𝑮×𝑴𝑻
𝟐
𝑻 +𝒉)
= (𝑹
⃗,𝑵
⃗⃗ ), montrer que son mouvement
En décomposant vecteur accélération dans une base de Frenet (C ; 𝑻
circulaire est uniforme. Donner l’expression de l’accélération a du centre d’inertie C du satellite en
fonction de v, RT et h. Comment qualifier l’accélération du satellite ?
On décompose le vecteur accélération dans la base de Frenet :
𝐝𝐯
(0,25)
⃗ + 𝐯
𝐚⃗ = 𝐝𝐭 . 𝐓
(𝐑
(0,25) Et
⃗ = −(
𝒂
𝑹
𝟐
𝟐
𝐓+𝐡 )
𝑮×𝑴𝑻
⃗
𝟐.𝒖
𝑻 +𝒉)
⃗⃗ (1)
.𝐍
𝑮×𝑴𝑻
⃗⃗
𝟐.𝑵
)
+𝒉
𝑻
= (𝑹
Donc d’après les équations (1) et (2), on obtient :
𝐝𝐯
𝐝𝐭
(2)
=𝟎
Donc la vitesse v est constante et le mouvement du satellite est uniforme.
De plus, on obtient l’équation suivante :
⃗ =(
𝒂
𝑹
𝒗𝟐
𝑻
⃗
. ⃗𝑵
+𝒉)
donc
𝒂 = (𝑹
𝒗𝟐
𝑻 +𝒉)
L’accélération du satellite est donc centripète.
6.
7.
Donner l’expression de la vitesse v, supposée constante, du centre d’inertie C du satellite en fonction de
RT, h et T.
Pendant la durée T, le satellite parcourt le périmètre 2.(RT + h) à la vitesse constante :
𝟐.(𝐑 𝐓 + 𝐡)
𝒗=
𝑻
En déduire l’expression de l’accélération a du centre d’inertie C du satellite en fonction de RT, h et T.
Comme
8.
𝒂 = (𝑹
𝒗𝟐
𝑻 +𝒉)
alors
𝒂=
𝟒.𝟐 (𝐑 𝐓 + 𝐡)
𝑻𝟐
En identifiant les expressions de l’accélération obtenues aux questions 4.3 et 6, montrer que la masse MT
𝟒𝝅𝟐 (𝑹𝑻 +𝒉)𝟑
de la Terre est donnée par la formule suivante : 𝑴𝑻 =
puis calculer sa valeur. (Pour cette
𝑮.𝑻𝟐
seule question, le résultat sera exprimé avec un seul chiffre significatif).
D’après les questions précédentes :
𝒂=
𝟒.𝟐 (𝐑 𝐓 + 𝐡)
𝑻𝟐
𝟐𝟒
9.
𝑮×𝑴𝑻
𝟐
𝑻 +𝒉)
= (𝑹
donc
𝑴𝑻 =
𝟒.𝟐 (𝐑 𝐓 + 𝐡)𝟑
𝑮×𝑻𝟐
AN : 𝑴𝑻 = 𝟔 × 𝟏𝟎 𝒌𝒈
Le satellite est-il géostationnaire ?
La période de révolution T du satellite est ≠ 24h donc le satellite n’est pas géostationnaire.
2/8
II. Étude du mouvement de la station spatiale ISS.
1.
Enoncer la troisième loi de Kepler et l’appliquer aux satellites SPOT 4 et à l’ISS.
La troisième loi de Kepler nous dit que le rapport du carré de la période de révolution d’un objet en
orbite et du cube du demi-grand axe de cette orbite est une constante soit :
𝑻𝟐
= 𝑪𝒔𝒕𝒆
𝒂𝟑
En considérant que les satellites SPOT 4 et l’ISS ont des orbites circulaires, la troisième loi de Kepler
donnera :
𝑻𝟐
= (𝑹
(𝑹𝑻 +𝒉)𝟑
2.
𝟑
𝑻 +𝒉𝑺 )
En déduire la valeur de la période de révolution TS de l’ISS.
D’après la relation précédente, on obtient :
𝑻𝑺 = 𝑻 ×
3.
𝑻𝟐𝑺
(𝑹𝑻 +𝒉𝑺 )𝟑
√(
𝑹𝑻 +𝒉)𝟑
= 𝟗𝟐 𝒎𝒊𝒏
Montrer que l’altitude hS2 où devrait se trouver l’ISS pour qu’elle soit considérée comme géostationnaire
3
𝑇
2
est donnée par la relation suivante : ℎ𝑆2 = (𝑅𝑇 + ℎ). √( 𝑇𝑆 ) − 𝑅𝑇
D’après la relation obtenue à la question 1), on obtient :
𝑻𝟐
= (𝑹
(𝑹𝑻 +𝒉)𝟑
𝑻𝟐𝑺
𝟑
𝑻𝟐𝑺
𝑻 +𝒉𝑺𝟐 )
𝟑
(𝑹𝑻 + 𝒉𝑺𝟐 ) = 𝑻𝟐 × (𝑹𝑻 + 𝒉)𝟑 (
𝒉𝑺𝟐
4.
𝟐
𝑻
= √( 𝑻𝑺 ) × (𝑹𝑻 + 𝒉) − 𝑹𝑻
Déterminer la vitesse vS de la station avec hS2 = 3,30 x 107 m.
Par définition : 𝒗𝑺
5.
𝟑
=
𝟐𝝅 × (𝑹𝑻 +𝒉𝑺𝟐 )
𝑻𝟐𝟒𝒉
= 𝟐𝟖𝟔𝟒 𝒎. 𝒔−𝟏
Combien de révolutions n autour de la Terre un astronaute présent à bord de la station spatiale
internationale fait-il en 24h ?
Avec une période de révolution notée TS, l’ISS fera 𝒏
=
𝟐𝟒
𝑻𝑺
= 𝟏𝟔 tours quotidiens.
III. Ravitaillement de la station ISS.
1. Modèle simplifié du décollage
Dans ce modèle simplifié, on suppose que le système {fusée + gaz} est isolé.
1.1. En comparant la quantité de mouvement du système considéré aux dates t = 0 s et
t = 1 s, montrer que :
mg
vf  
.v g
mf
Quelle est la conséquence de l’éjection de ces gaz sur le mouvement de la fusée ?
Le système S = {fusée + gaz} étant supposé isolé, la quantité de mouvement ⃗⃗⃗⃗
𝒑𝑺 = ⃗⃗⃗⃗
𝒑𝒈 + ⃗⃗⃗⃗
𝒑𝒇 du
système se conserve au cours du temps. Entre les dates t = 0 et t = 1 s, on aura donc :
⃗⃗⃗⃗𝒈 + ⃗⃗⃗⃗
(𝒑
𝒑𝒇 )
𝒕=𝟎𝒔
⃗⃗⃗⃗𝒈 + ⃗⃗⃗⃗
= (𝒑
𝒑𝒇 )
𝒕=𝟏𝒔
3/8
Initialement le système est immobile (on considère que les gaz n’ont pas encore eu le temps d’être
éjectés de la fusée) donc
⃗⃗⃗⃗𝒈 + ⃗⃗⃗⃗
(𝒑
𝒑𝒇 )
𝒕=𝟎𝒔
⃗⃗⃗⃗𝒈 + ⃗⃗⃗⃗
= (𝒑
𝒑𝒇 )
𝒕=𝟏𝒔
= ⃗𝟎
⃗⃗⃗⃗𝒇 = ⃗𝟎
𝒎𝒈 × ⃗⃗⃗⃗
𝒗𝒈 + 𝒎𝒇 × 𝒗
Donc ⃗⃗⃗⃗
𝒗𝒇
𝒎𝒈
= − 𝒎 × ⃗⃗⃗⃗
𝒗𝒈
𝒇
Lors du décollage, les gaz sont éjectés vers le bas. La relation précédente montre que la fusée est alors
propulsée vers le haut. Il s’agit d’un exemple de mode de propulsion par réaction.
1.2. Après avoir montré numériquement que la variation de la masse de la fusée est négligeable au
bout d’une seconde après le décollage, calculer la valeur de la vitesse de la fusée à cet instant.
Le débit de gaz est noté D=3x103 kg.s-1 et on notera la variation de la masse de la fusée Δmf.
On aura la relation suivante : Δmf = D x Δt = 3x103 kg
Cette valeur calculée est très inférieure à la masse initiale de la fusée. La variation de la masse de la
fusée au bout de 1s est donc négligeable. Ainsi, on considérera que la masse de la fusée reste
inchangée et donc constante.
Pour calculer la vitesse de la fusée, on utilise la formule obtenue à la question précédente :
𝟑×𝟏𝟎𝟑
𝒗𝒇 =
× 𝟒 × 𝟏𝟎𝟑 = 𝟏𝟓 𝒎. 𝒔−𝟏
𝟖×𝟏𝟎𝟓
2. Étude plus réaliste du décollage
2.1. En réalité la vitesse vf est très inférieure à celle calculée à la question 1.2. . En supposant que le
système {fusée + gaz} est isolé, quelle force n’aurait-on pas dû négliger ?
La vitesse de la fusée est en réalité inférieure à la vitesse réelle. Dans notre étude, il n’aurait pas
fallu négliger l’impact de la force de frottement de l’air sur la fusée.
⃗ et à la force de poussée
2.2. On considère désormais le système {fusée}. Il est soumis à son poids 𝐏
𝐅 définie par 𝐅 = −𝐷 × ⃗⃗⃗⃗
𝑣𝑔 où D est la masse de gaz éjecté par seconde.
2.2.1. Montrer que le produit (D.vg) est homogène à une force.
Cherchons l’unité du produit D.vg : D est en kg.s-1 et vg en m.s-1 donc D.vg est en kg.m.s-2
A partir de la force P=mg , on en déduit que N = kg.m.s-2 donc le produit D.vg peut
s’exprimer en newton et est bien homogène à une force.
2.2.2. Vérifier par une application numérique que la fusée peut effectivement décoller.
La fusée peut décoller si la valeur F de la force de poussée F =D× vg est supérieure à la
valeur P du poids P de la fusée :
- P = 8 x 105 x 10 = 8 x 106 N
- F = 3 x 103 x 4 x 103 =1,2 x 107 N
On voit bien que F > P ; la fusée peut décoller.
4/8
Exercice 2 : (4 points) DES MOLECULES TEMOINS DU MURISSEMENT DES POMMES.
Lorsque des pommes mûrissent, leurs membranes cellulaires s’oxydent, engendrant la dégradation des
acides gras à longues chaines qu’elles contiennent. Il en résulte la formation de deux molécules A et B
représentées ci-dessous. Ces deux espèces chimiques, dont les concentrations augmentent lors du
mûrissement des pommes, ont la propriété de masquer la saveur caractéristique du fruit non mûr.
Les molécules A et B présentent les formules semi-développées suivantes :
Identification des molécules A et B
1. Propriétés des molécules A et B.
1.1. Entourer et donner le nom du groupe caractéristique présent dans les deux molécules.
Le groupe caractéristique présent dans ces molécules est le groupe ester
1.2. Parmi les molécules A et B, l’une se nomme éthanoate de 3-méthylbutyle. Laquelle ? Justifier
La molécule A se nomme ainsi car la chaine principale de la molécule A contient 2 carbones ce
qui explique le préfixe en eth.
1.3. Préciser la formule brute des composés A et B. En déduire par quelle relation les molécules A et
B sont liées.
La formule brute de ces deux molécules est C7H14O2. Ces molécules sont donc des isomères.
2. Séparation des molécules A, B1 et B2 par distillation fractionnée.
2.1. Annoter le schéma de distillation fractionnée en Annexe.
2.2. Rappeler le principe d’une distillation fractionnée et dire si une séparation est possible. Justifier
sommairement.
La distillation fractionnée permet de séparer des espèces chimiques dont les températures
d’ébullition sont différentes ; Ainsi, il sera possible de séparer les composants A et B.
3. Identification des molécules A et B à l’aide de la spectroscopie RMN du proton 1H.
3.1. Noter dans les tableaux donnés en Annexe, la multiplicité des hydrogènes proches des
groupements – COO – des molécules A et B.
3.2. Associer alors les spectres 1 et 2 aux molécules A et B. A1 et B2
5/8
ANNEXE 2 À RENDRE AVEC LA COPIE
Montage de la distillation fractionnée :
Thermomètre
Réfrigérant droit
Colonne de Vigreux
Ballon à fond rond
Chauffe-ballon
Erlenmeyer
Mélange réactionnel +
pierres ponces
Spectre RMN : à compléter
Singulet
Triplet
Sextuplet
Quadruplet
6/8
Exercice 3 : (6 points) LE SAUT DE LA GENOUILLE.
1. Exploitation de l’enregistrement.
1.1. Montrer que les valeurs v9 et v11 des vecteurs vitesse instantanée du centre d’inertie de la
grenouille aux points G9 et G11 sont respectivement d’environ 1,45 m.s-1 et de 1,60 m.s-1 . Tracer sur
la figure 9 (en annexe) les vecteurs v9 et v11 avec une échelle de 1 cm pour 0,5 m.s-1.
Par définition, 𝒗𝟗
=
𝑮𝟏𝟎 𝑮𝟏𝟐
𝒗𝟏𝟏 =
𝟐×𝝉
𝑮𝟖 𝑮𝟏𝟎
𝟐×𝝉
𝟐×𝟐,𝟗
= 𝟐×𝟐𝟎×𝟏𝟎−𝟑 = 𝟏, 𝟒𝟓 𝒎. 𝒔−𝟏
et
𝟐×𝟑,𝟐
= 𝟐×𝟐𝟎×𝟏𝟎−𝟑 = 𝟏, 𝟔𝟎 𝒎. 𝒔−𝟏
1.2. Construire le vecteur v = v11 – v9 avec pour origine le point G10. Déterminer sa valeur en
utilisant l’échelle précédente.
⃗ est de 0,80 cm donc avec l’échelle précédente, on trouve Δv = 0,8 x 0,5
La longueur du vecteur Δ𝒗
= 0,4 m.s-1.
1.3. Montrer que la valeur a10 du vecteur accélération du centre d’inertie à l’instant t10 est environ
égale à 10 m.s-2. Tracer sur la figure 9 le vecteur a10 avec pour origine le point G10 (échelle 1 cm
pour 5 m.s–2).
Par définition, 𝒂𝟏𝟎
∆𝒗
𝟎,𝟒
= 𝟐×𝝉 = 𝟐×𝟐𝟎×𝟏𝟎−𝟑 = 𝟏𝟎 𝒎. 𝒔−𝟐
2. Étude dynamique du mouvement
2.1. Les actions mécaniques dues à l’air étant négligées, utiliser la deuxième loi de Newton
pour déterminer les caractéristiques du vecteur accélération du centre d’inertie (G) de la
grenouille au cours du saut ;
Pour faire l’étude mécanique du système, il faut au préalable définir :
- Système : grenouille de masse m
- Référentiel terrestre supposé galiléen
- Repère de l’étude : (O, 𝑖, 𝑗) cartésien et orthonormé
- Forces extérieures au système : ∑ 𝐹𝑒𝑥𝑡 = 𝑃⃗ car les frottements de l’air sont négligés.
La seconde loi de Newton s’écrit alors :
⃗
𝒅𝒑
∑ ⃗𝑭𝒆𝒙𝒕 =
𝒅𝒕
=
⃗)
𝒅(𝒎𝒗
𝒅𝒕
=𝒎
⃗
𝒅𝒗
𝒅𝒕
= 𝒎. ⃗𝒂
car la masse de la grenouille se conserve
⃗ = 𝒎. 𝒈
⃗⃗ = 𝒎. 𝒂
⃗ et par conséquent, 𝒂
⃗ =𝒈
⃗⃗
Donc ⃗𝑷
𝒂𝒙 (𝒕) = 𝟎
𝒂𝒚 (𝒕) = −𝒈
Ainsi, 𝑎 {
Le vecteur accélération a les caractéristiques suivantes :
Direction : verticale.
Sens : vers le centre de la terre.
Intensité : a = g = 10 m.s-2
7/8
2.2. Déterminer les équations horaires x(t) et y(t) du point G
Après intégration successives, on trouve, en tenant compte des conditions initiales :
𝒙(𝒕) = 𝑽𝟎 𝐜𝐨𝐬 𝜶𝟎 . 𝒕
⃗⃗⃗⃗⃗⃗
𝒈
𝑶𝑮 {
𝒚(𝒕) = − . 𝒕𝟐 + 𝒗𝟎 . 𝐬𝐢𝐧 𝜶𝟎 . 𝒕
𝟐
2.3. En déduire l’équation de la trajectoire du centre d’inertie de la grenouille. Ce résultat est-il
conforme à l’allure de la trajectoire de l’enregistrement expérimental ?
A partir de l’équation (𝒕) = 𝑽𝟎 𝐜𝐨𝐬 𝜶𝟎 . 𝒕 , nous allons exprimer t en fonction de x puis
remplacer t par son expression dans la seconde expression. On obtient :
−𝒈
𝒚(𝒙) = 𝟐.𝑽𝟐 .(𝒄𝒐𝒔 𝜶
𝟎
𝟎
𝟐
.
𝒙
+ 𝒕𝒂𝒏 𝜶𝟎 . 𝒙
)²
Cette équation est bien celle d’une parabole, ce qui est conforme avec l’enregistrement.
2.4. Quelles sont les caractéristiques du vecteur vitesse du point G au sommet S de la trajectoire ?
En déduire l’expression littérale de la date tS à laquelle ce sommet est atteint. Calculer ensuite la
hauteur maximale atteinte par la grenouille.
Au sommet de sa trajectoire, le vecteur vitesse de la grenouille s’écrira :
𝒗𝑺𝒙 (𝒕𝑺 ) = 𝑽𝟎 𝐜𝐨𝐬 𝜶𝟎
⃗⃗⃗⃗
𝒗𝑺 {
𝒗𝑺𝒚 (𝒕𝑺 ) = −𝒈. 𝒕𝑺 + 𝒗𝟎 . 𝐬𝐢𝐧 𝜶𝟎 = 𝟎
On en déduit de −𝒈. 𝒕𝑺
+ 𝒗𝟎 . 𝐬𝐢𝐧 𝜶𝟎 = 𝟎 que 𝒕𝑺 =
𝒗𝟎 .𝐬𝐢𝐧 𝜶𝟎
𝒈
Enfin, déterminons la hauteur maximale atteinte par la grenouille. Pour cela, il faut calculer la valeur
de ymax(tS).
𝒚𝒎𝒂𝒙 (𝒕𝑺 ) = −
𝒈 𝟐
. 𝒕 + 𝒗𝟎 . 𝐬𝐢𝐧 𝜶𝟎 . 𝒕𝑺
𝟐 𝑺
𝒈 𝒗𝟎 . 𝐬𝐢𝐧 𝜶𝟎 𝟐
𝒗𝟎 . 𝐬𝐢𝐧 𝜶𝟎
𝒚𝒎𝒂𝒙 (𝒕𝑺 ) = − . (
) + 𝒗𝟎 . 𝐬𝐢𝐧 𝜶𝟎 . (
)
𝟐
𝒈
𝒈
𝒗𝟎 𝟐 . (𝐬𝐢𝐧 𝜶𝟎 )𝟐 𝒗𝟎 𝟐 . (𝐬𝐢𝐧 𝜶𝟎 )𝟐
𝒚𝒎𝒂𝒙 (𝒕𝑺 ) = −
+
𝟐𝒈
𝒈
𝒚𝒎𝒂𝒙 (𝒕𝑺 ) =
𝒗𝟎 𝟐 .(𝐬𝐢𝐧 𝜶𝟎 )𝟐
𝟐𝒈
𝟒×
𝟐
𝟒
= 𝟐×𝟏𝟎 = 𝟎, 𝟏𝟎 𝒎
8/8
2.5. La grenouille se déplace de nénuphar en nénuphar. Quelle doit être la valeur de la vitesse
initiale lors du saut pour que la grenouille atteigne un nénuphar situé à 60 cm, l’angle 0 entre le
vecteur vitesse et la direction horizontale étant inchangé ?
Pour déterminer la vitesse initiale de la grenouille lors du saut ce cette dernière, il faut résoudre
l’équation y(x)=0 en remplaçant x par sa valeur.
−𝒈
𝒚(𝒙) =
. 𝒙𝟐 + 𝒕𝒂𝒏 𝜶𝟎 . 𝒙 = 𝟎
𝟐
𝟐. 𝑽𝟎 . (𝒄𝒐𝒔 𝜶𝟎 ) ²
−𝒈
. 𝒙 + 𝒕𝒂𝒏 𝜶𝟎 = 𝟎
𝟐. 𝑽𝟐𝟎 . (𝒄𝒐𝒔 𝜶𝟎 ) ²
𝑽𝟐𝟎 =
𝒈𝒙
𝟐. 𝒕𝒂𝒏 𝜶𝟎 . (𝒄𝒐𝒔 𝜶𝟎 ) ²
𝒈𝒙
𝟔
√
𝑽𝟎 = √
=
= 𝟐, 𝟒𝟓 𝒎. 𝒔−𝟏
𝟐 × 𝟎, 𝟓 × 𝟏
𝟐. 𝒕𝒂𝒏 𝜶𝟎 . (𝒄𝒐𝒔 𝜶𝟎 ) ²
9/8
⃗⃗⃗⃗
𝒗𝟗
⃗
𝚫𝒗
⃗⃗⃗⃗⃗⃗
𝒗𝟏𝟏
⃗⃗⃗⃗⃗⃗
𝒂𝟏𝟎
10/8