Pondichéry 2014. Enseignement spécifique

Pondichéry 2014. Enseignement spécifique
EXERCICE 3 (5 points) (candidats n’ayant pas suivi l’enseignement de spécialité)
Le plan complexe est muni d’un repère orthonormé (O, −→u,−→v).
Pour tout entier naturel n,onnoteAnle point d’affixe zndéfini par :
z0=1et zn+1 =!3
4+√3 4i"zn.
On définit la suite (rn)par rn=|zn|pour tout entier naturel n.
1) Donner la forme exponentielle du nombre 3
4+√3 4i
2) a) Montrer que la suite (rn)est géométrique de raison √3
2.
b) En déduire l’expression de rnen fonction de n.
c) Que dire de la longueur OAnquand ntend vers +∞?
3) On considère l’algorithme suivant :
Vari abl es nentier
Rréel
Préel strictement positif
Entrée Demander la valeur de P
Traite ment Rprend la valeur 1
nprend la valeur 0
Tant que R>P
nprend la valeur n+1
Rprend la valeur √3
2R
Fin tant que
Sortie Afficher n
a) Quelle est la valeur affichée par l’algorithme pour P=0,5?
b) Pour P=0,01,onobtientn=33.Quelestlerôledecetalgorithme?
4) a) Démontrer que le triangle OAnAn+1 est rectangle en An+1.
b) On admet que zn=rneinπ
6.
Déterminer les valeurs de npour lesquelles Anest un point de l’axe des ordonnées.
c) Compléter la figure donnée en annexe, àrendreaveclacopie,représentantlespointsA6,A7,A8et A9.
Les traits de construction seront apparents.
http ://www.maths-france.fr 1 c ⃝Jean-Louis Rouget, 2014. Tous droits réservés.

ANNEXE
O
A0
A1
A2 A3
A4
A5
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Pondichéry 2014. Enseignement spécifique
EXERCICE 3 : corrigé
1) !!!!!
3
4+√3 4i!!!!!
="
#
#
$%3
4&2
+'√3
4(2
=)12
16 =)3 4=√3 2puis
3
4+√3 4i=√3 2'√3 2+1 2i(=√3 2*cos *π 6++isin *π 6++=√3 2eiπ/6.
3
4+√3 4i=√3 2eiπ/6.
2) a) Soit nun entier naturel.
rn+1 =|zn+1|=!!!!!'3
4+√3 4i(zn!!!!!
=!!!!!
3
4+√3 4i!!!!!×|zn|=√3 2rn.
Donc la suite rnest géométrique de raison q=√3
2.
b) On en déduit que pour tout entier naturel n,
rn=r0×qn=1×'√3
2(n
='√3
2(n
.
Pour tout entier naturel n,rn='√3
2(n
.
c) Pour tout entier naturel n,OAn=|zn|=rn='√3
2(n
.Puisque−1<√3
2<1,onsaitque
lim
n→+∞
OAn=0.
3) a) Décrivons les différentes étapes.
•Etape 1. R=1et n=0.
•Etape 2. On a R>P.Doncn=1et R=√3
2=0,8...
•Etape 3. On a R>P.Doncn=2et R=3
4=0,75
•Etape 4. On a R>P.Doncn=3et R=3√3
8=0,6...
•Etape 5. On a R>P.Doncn=4et R=9
16 =0,56 ...
•Etape 6. On a R>P.Doncn=5et R=9√3
32 =0,4....
On a maintenant R!Pet donc l’algorithme s’arrête et affiche 5.
L’algorithme affiche 5.
b) L’algorithme demande la précision Ppuis affiche la première valeur de npour laquelle rn!P.
4) a) Soit nun entier naturel.
•OAn+1 =rn+1 =√3
2rnet OAn=rn.Enfin,
An+1An=|zn+1 −zn|=!!!!!'3
4+√3 4(zn−zn!!!!!
=|zn|×!!!!!
3
4+√3 4−1!!!!!
=!!!!!−1
4+√3 4!!!!!
rn="
#
#
$%−1
4&2
+'√3
4(2
rn=)4
16rn=1 2rn.
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Mais alors,
An+1O2+An+1A2
n='√3
2(2
r2
n+%1
2&2
r2
n=%3
4+1 4&r2
n=r2 n=OA2 n.
D’après la réciproque du théorème de Pythagore,letriangleOAnAn+1 est rectangle en An+1 .
b) Soit nun entier naturel. Puisque zn=rneinπ/6et que rn>0,unargumentdeznest nπ
6.Parsuite
An∈(Oy)⇔il existe un entier relatif ktel que nπ
6=π 2+kπ
⇔il existe un entier relatif ktel que n=3+6k
⇔il existe un entier naturel ktel que n=3+6k(car nest un entier naturel).
Les entiers naturels npour lesquels Anest un point de l’axe des ordonnées sont les entiers naturels de la forme 3+6k,
k∈N.Cesontlesentiers3,9,15,21 ...
c) Figure.
O
A0
A1
A2 A3
A4
A5
A6
A7
A8A9
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