Pondichéry – Avril 2014 – Série S – Exercice Le plan complexe est

PanaMaths [ 1 - 9 ] Avril 2014
Pondichéry – Avril 2014 – Série S – Exercice
Le plan complexe est muni d’un repère orthonormé
(
)
O; ,uv
GG.
Pour tout entier naturel n, on note n
A
le point d’affixe n z défini par :
01z= et 133
44 n
n
ziz
+
⎛⎞
⎜⎟
⎜⎟
⎝⎠
=+
On définit la suite
()
n
r par nn rz
=
pour tout entier naturel n.
1. Donner la forme exponentielle du nombre complexe 33
44
i+.
2. a. Montrer que la suite
(
)
n
r est géométrique de raison 3
2.
b. En déduire l’expression de n r en fonction de n.
c. Que dire de la longueur n
OA lorsque n tend vers
+
∞ ?
3. On considère l’algorithme suivant :
Variables n entier naturel
R réel
P réel strictement positif
Entrée Demander la valeur de P
Traitement R prend la valeur 1
n prend la valeur 0
Tant que
R
P>
n prend la valeur 1n
+
R prend la valeur 3
2
R
Fin tant que
Sortie Afficher n
a. Quelle est la valeur affichée par l’algorithme pour 0,5P= ?
b. Pour 0,01P= on obtient 33n
=
. Quel est le rôle de cet
algorithme ?

Pana
M
4. a.
D
b.
O
D
l
c.
C
r
L
M
aths
D
émont
r
O
n adm
e
D
étermi
n
l
’axe de
s
C
omplé
t
r
eprésen
t
L
es trait
s
r
er que l
e
e
t que
n
z
n
er les v
a
s
ordonn
é
t
er la fig
u
t
ant les
p
s
de con
s
e
triangl
e
6
n
i
n
re
π
=
.
a
leurs d
e
é
es.
u
re donn
é
p
oints
6
A
s
truction
[ 2 - 9 ]
e
nn
OA A
+
.
e
n pour
l
é
e en an
n
6
,
7
A
,
8
A
seront a
p
1
+
est rec
t
l
esquelle
n
exe, à r
e
et
9
A
.
p
parents
t
angle e
n
s
n
A est
e
ndre av
.
Av
r
n
1 n
A
+
.
un poin
t
ec la co
p
r
il 2014
t
de
p
ie, en

PanaMaths [ 3 - 9 ] Avril 2014
Analyse
Sans présenter de difficulté majeure, l’exercice, conforme, de ce point de vue, à une tendance
certaine, aborde une variété de thèmes nécessitant des méthodes de résolution elles-mêmes
variées.
Les questions 1 et 2 conduisent à des manipulations algébriques sur des complexes,
notamment les termes d’une suite complexe.
La question 3 est l’ingrédient algorithmique de l’exercice.
La question 4 permet de se rappeler que l’algèbre et la géométrie entretiennent des liens
étroits et que manipuler les complexes en négligeant la géométrie est une bien triste chose ! ☺
Incidemment, cette question doit faire penser les candidat(e)s à se à se munir, pour l’épreuve,
d’un crayon papier, d’un compas et d’une gomme !
Résolution
Question 1.
On commence par déterminer le module de 33
44
i+ :
22
2
3 3 3 3 9 3 12 3
4 4 4 4 16 16 16 4
i⎛⎞
⎛⎞
+=+ =+==
⎜⎟
⎜⎟ ⎜⎟
⎝⎠ ⎝⎠
D’où : 33 3 3
44 4 2
i+==
.
Il vient alors :
33 3232 3 331
44 2 4 4 222
33
iii
⎛⎞⎛⎞
+= ×+× = +
⎜⎟⎜⎟
⎜⎟⎜⎟
⎝⎠⎝⎠
On identifie facilement : 3cos
26
π
= et 1sin
26
π
=.
Finalement : 6
33 331 3 3
cos sin
44 222 2 6 6 2
i
ii ie
π
ππ
⎛⎞
⎛⎞
+= += + =
⎜⎟
⎜⎟
⎜⎟
⎝⎠
⎝⎠ .
6
33 3
44 2
i
ie
π
+=

PanaMaths [ 4 - 9 ] Avril 2014
Question 2.a.
Pour tout entier naturel n, on a : nn
rz=.
D’où, en tenant compte du résultat de la question précédente :
N
66
11
1
33 33 3 3 3 3
44 44 2 2 2 2
ii
nn n n n n n n
rz iz iz ez ez z r
ππ
++
=
⎛⎞
= = + =+ ×= ×= × ×= ×=×
⎜⎟
⎜⎟
⎝⎠
La suite
()
n
r est bien géométrique de raison 3
2.
La suite
()
n
r est une suite géométrique de raison 3
2.
Question 2.b.
D’après le résultat de la question précédente, on a, pour tout entier naturel n : 03
2
n
n
rr
⎛⎞
=×
⎜⎟
⎜⎟
⎝⎠
.
Or 01z=. On en tire immédiatement : 00
11rz
=
==
.
Finalement :
3
,2
n
n
nr
⎛⎞
∀∈ =
⎜⎟
⎜⎟
⎝⎠
`.
Question 2.c.
Comme n
z est l’affixe du point n
A
, on a immédiatement : 3
2
n
nnn
OA z r ⎛⎞ ===
⎜⎟
⎜⎟
⎝⎠
.
Or, on a :
][
31;1
2∈− . On en déduit immédiatement : lim 0
n
nr
→+∞
=
et, finalement :
lim 0
n
nOA
→+∞
=

PanaMaths [ 5 - 9 ] Avril 2014
Question 3.a.
Faisons « tourner l’algorithme à la main » avec 0,5P
=
:
n R
(valeur exacte) R
(valeur approchée à 3
10
−
) RP>
0 1 1,000 Oui
1 3
2 0,866 Oui
2
2
33
0,75
24
⎛⎞
==
⎜⎟
⎜⎟
⎝⎠ 0,750 Oui
3
3
333
28
⎛⎞
=
⎜⎟
⎜⎟
⎝⎠ 0,650 Oui
4
4
39
0,562 5
216
⎛⎞
==
⎜⎟
⎜⎟
⎝⎠ 0,563 Oui
5
5
393
232
⎛⎞
=
⎜⎟
⎜⎟
⎝⎠ 0,487 Non
L’algorithme va donc afficher la dernière valeur de la variable N, à savoir 5.
Pour 0,5P= l’algorithme affiche la valeur 5.
Question 3.b.
La boucle « Tant que » s’interrompt dès que la condition « RP> » n’est plus vérifiée,
c'est-à-dire, dès que l’on a : « RP≤ ». L’algorithme affiche alors la valeur courante de la
variable n. En d’autres termes, la valeur courante de la variable R correspondant à n
r (valeur
initiale égale à 1 et multiplication par 3
2 à chaque passage dans la boucle), l’algorithme
fournit la plus petite valeur de n telle que n
rP
≤
.
Avec 0,01
P= on a :
() ()
3
0car 1
2
ln 0,01
33
0,01 ln ln 0,01
22 3
ln 2
n
n
rP n n
<<
⎛⎞ ⎛⎞
≤⇔ ≤ ⇔ ≤ ⇔≥
⎜⎟ ⎜⎟
⎜⎟ ⎜⎟ ⎛⎞
⎝⎠ ⎝⎠ ⎜⎟
⎝⎠