Electromagnétisme Ex 1 Equation de propagation des ondes

Lycée Newton - PT
EM - TD6 - Propagation des ondes électromagnétiques
Electromagnétisme
TD no 6 : Propagation des ondes électromagnétiques
Ex 1
Equation de propagation des ondes électromagnétiques dans le vide
1.1. Rappeler les équations de maxwell.
1.2. Simplifier ces équations dans le cas du vide.
1.3. Montrer alors que l’équation de propagation de E dans le vide est :
∆E −
1 ∂E
1
= 0 avec 2 = µ0 ε0
c2 ∂t
c
1.4. Etudier la structure des OPPH dans le vide, en revenant aux équations découplées du premier ordre.
1.4.a. Montrer tout d’abord que la relation de dispersion est
k=±
ω
c
1.4.b. Montrer que l’onde est transversale.
1.4.c. Montrer que (u, E, B) forme un trièdre orthonormé direct.
1.4.d. Montrer que les champs électriques et magnétiques associés à une OPPH sont en phase et dans un
rapport 1/c.
1.4.e. Ces résultats sont-ils généralisables à une OPP ?
Ex 2
OEMPPH dans le vide illimité
2.1. Etablir l’équation de propagation du champ électrique dans le vide.
2.2. Les directions de l’espace sont indiquées par la base orthonormée (ex , ey , ez ). On envisage une solution sous
forme d’ondes plane progressive harmonique polarisée rectilignement :
E = E0 cos(ωt − kz)ex avec E0 = cte
Expliquer en quoi cette solution constitue une OEMPPH. Vérifier qu’elle est acceptable à condition que k et ω
satisfassent une relation à expliciter.
2.3. Dans le cas où k > 0, déterminer le champ magnétique B associé à cette onde. Résumer les principales
caractéristiques de cette onde.
2.4. Exprimer le vecteur de Poynting. En déduire la puissance P (moyennée en temps) traversant une surface
d’aire S orthogonale à la direction de propagation et orientée dans le sens de la propagation.
2.5. Exprimer la densité volumique uem d’énergie électromagnétique de l’onde. Que dire des termes électrique
et magnétique ? Moyenner uem en temps. En déduire la vitesse ve de propagation de l’énergie.
Ex 3
Réflexion d’une onde électromagnétique sur un miroir parfait sous
incidence normale
Une onde électromagnétique se propage suivant ex tout en étant polarisée suivant ey . L’espace est vide et infini selon
x < 0 et est limité par un miroir, conducteur parfait en x = 0. On admet que l’onde électromagnétique est nulle dans
le conducteur parfait.
3.1. Rappeler sans démonstration l’équation de propagation du champ électrique.
3.2. Rappeler la solution sous forme d’une onde plane progressive harmonique (champ électrique et champ
magnétique).
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Sur le conducteur parfait, l’onde se réfléchie.
3.3. Ecrire les relations de passage à l’interface avec le conducteur parfait pour le champ électrique total et le
champ magnétique total.
3.4. En déduire l’expression de l’onde (champ électrique et champ magnétique) réfléchie. Commenter sa structure.
3.5. Calculer le vecteur de Pointing Π ainsi que sa moyenne temporelle.
3.6. Calculer l’énergie électromagnétique volumique uem de l’onde ainsi que sa moyenne temporelle. Commenter.
Ex 4
Modélisation simplifiée d’une cavité optique
Le but de cette exercice est d’étudier les modes d’une cavité, comme par exemple celle d’une cavité Laser. L’onde
électromagnétique se propage suivant ±ex tout en étant polarisée suivant ey et effectue des allers-retours dans la
cavité, délimitée par deux miroirs plans - ce qui simplifie la situation réelle du laser pour laquelle les miroirs sont
sphériques - assimilés à des conducteurs parfaits placés en x = 0 et x = L.
4.1. Rappeler (sans démonstration) l’équation de propagation de d’Alembert unidimensionelle dont est solution
le champ électrique.
4.2. Ecrire les relations de passage à l’interface avec le conducteur parfait. En déduire que le champ électrique
total en x = 0 et x = L.
4.3. Sur le conducteur parfait, l’onde se réfléchie et effectue donc plusieurs allers-retours dans la cavité. On
cherche alors la solution du champ électrique sous forme d’une onde stationnaire :
Etot = E0 sin(ωt)cos(k.x + ψ)ey
4.4. Trouver la relation liant ω et k.
4.5. Compte tenu des conditions aux limites, calculer ψ et les valeurs possibles de k.
4.6. Quelles sont donc les fréquences propres de la cavité, i.e. les fréquences permettant l’existance d’une onde
électromagnétique dans la cavité.
4.7. Dans le cas n = 1, calculer le champ magnétique correspondant.
4.8. Réinterpréter Etot en terme d’ondes planes progressives.
4.9. Calculer le vecteur de Pointing Π.
4.10. Calculer l’énergie électromagnétique volumique uem de l’onde. Commenter.
Ex 5
Onde dans un métal
A suffisamment basse fréquence, un métal est localement neutre et sa conductivité γ est réelle. On peut y négliger le
courant de déplacement devant le courant de conduction.
5.1. Etablir l’équation de propagation vérifiée par le champ électrique dans le métal.
5.2. Le métal est illimité dans l’espace. On envisage une onde dont le champ électrique s’écrit, en complexe :
E = E0 exp[i(ωt − kz)]ex
o* E0 est une constante réelle positive. Etablir la relation de dispersion en faisant intervenir une distance
caractéristique notée δ (épaisseur de peau). Donner l’expression du champ électrique. Quelle est la signification
de δ ?
5.3. Etablir l’expression du vecteur de Poynting moyenné en temps.
5.4. On raisonne sur un volume parallélépipédique d’épaisseur dz, d’extensions L selon x et l selon y. Déterminer
l’expression de la puissance P (moyennée en temps) cédée à ce volume de métal par l’onde (effet Joule).
5.5. En réalisant un bilan énergétique sur le volume, vérifier la cohérence des résultats des deux questions
précédentes.
Ex 6
Onde dans un câble coaxial
On étudie un guide d’onde constitué de deux armatures métalliques cylindriques coaxiales, d’axe ez et de rayons
respectifs R1 et R2 > R1 . Les régions r < R1 et r > R2 sont remplies de métal parfait (conductivité infinie). La région
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[R1 , R2 ] est occupée par du vide. Dans cette zone vide, on veut propager une onde électromagnérique dont le champ
électrique s’écrit :
E(r, θ, z, t) = f (r) cos(ωt − kz)er avec f (R1 ) = E0 ∈ R+
On donne :
et
#
"
#
"
#
∂Ar ∂Az
1 ∂(rAθ ) 1 ∂Ar
1 ∂Az ∂Aθ
−
−
−
er +
eθ +
ez
∇∧A =
r ∂θ
r ∂r
r ∂θ
∂z
∂z
∂r
"
!
∂2 f
∂f
1 ∂
1 ∂2 f
∆f =
r×
+ 2 2+ 2
r ∂r
∂r
r ∂θ
∂z
6.1. A l’aide des équation de Maxwell (préciser la ou lesquelles), déterminer la fonction r 7→ E(r).
6.2. Déterminer le champ magnétique B de l’onde.
6.3. Etablir la relation de dispersion pour l’onde envisagée. Commenter.
6.4. Déterminer l’expression du vecteur de Poynting. En déduire le flux d’énergie (moyenné en temps) à travers
une section transversale du câble.
6.5. Calculer la densité volumique d’énergie électromagnétique de l’onde, puis la moyenner dans le temps.
6.6. En déduire la vitesse moyenne ve de propagation de l’énergie dans le câble.
Ex 7
Système GPS et ionosphère
Le système de localisation GPS (global position system) est si précis qu’il est nécessaire de prendre en compte la
dispersion due à la traversée de l’ionosphère. L’ionosphère, d’épaisseur H, est un plasma globalement neutre.
• satellite
D
H
Terre
Le plasma est un gaz ionisé. Il contient :
– des électrons de masse m, de charge −e et de densité particulaire n (nombre d’électrons par utité de volume) ;
– des ions de masse M, de charge +e et de densité particulaire n.
Le plasma est suffisamment dilué pour considérer que ses éléments constitutufs sont sans interaction.
7.1. Lors du passage de l’onde dans le plasma, à quelle condition l’effet du champ magnétique de l’onde sur les
charges est-il négligeable devant celui du champ électrique ?
7.2. On néglige l’effet du champ magnétique sur les charges. En un point donné du plasma, le champ électrique
de l’onde s’écrit, en complexe E = E0 exp(iωt). En étudiant le mouvement des charges, établir l’expression de la
conductivité complexe γ(ω) du plasma. Commenter.
7.3. On envisage une onde électromagnétique plane pseudo-progressive harmonique, dont le champ électrique
s’écrit :
E = E0 exp[i(ωt − k · r)]
Ecrire les équations de Maxwell en complexes. Montrer que la relation de dispersion s’écrit :
k2 =
ω2 − ω2p
c2
où la grandeur ωp , appelée pulsation de plasma, est à définir.
7.4. Pourquoi ωp joue-t-elle le rôle d’une pulsation de coupure ?
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7.5. Calculer la vitesse de groupe, définie par
dω
dk
et correspondant à la vitesse de déplacement de l’enveloppe d’un paquet d’onde.
vg =
7.6. Un train d’onde électromagnétique est envoyé par un satellite vers la Terre. Quel temps τ met-il pour
parcourir la distance D ?
ω
L’espace est assimilé à du vide en dehors de l’ionosphère. La fréquence de l’onde est telle que f fp , où fp = 2πp ,
ce qui permet un calcul approché avec un développement limité.
7.7. Pour prendre en compte la dispersion ionosphérique, on envoie deux trains d’onde de fréquences f1 et f2
et on mesure l’écart ∆t entre leurs temps de parcours. Exprimer ∆t avec f2 > f1 fp .
7.8. Montrer que D = cτ − d, avec
d=
f12 f22 c∆t
f 2 ( f22 − f12 )
On trouve que d est de l’ordre de quelques mètres. Commentaire.
Ex 8
Onde hertzienne dans l’eau de mer
On étudie la propagation d’ondes hertzienne dans l’eau de mer. On admet que l’eau est totalement neutre (ρ = 0).
Sa permittivité diélectrique relative εr = 80 et sa conductivité σ = 6,23 S · m−1 sont supposées réelles.
8.1. Quel est le domaine de fréquence des ondes hertziennes ? Donner les équations de Maxwell dans le milieu
diélectrique (remplacer ε0 par ε0 εr ). Comment se situe la conductivité du cuivre comparée à celle de l’eau de
mer ?
8.2. Déterminer l’équation de propagation vérifiée par le champ électrique.
8.3. Etablir la relation de dispersion.
8.4. Déterminer la fréquence de coupure au-delà de laquelle il n’y a pas d’absorption. Quelle est la vitess de
phase dans ce cas ?
8.5. La fréquence d’une onde est f = 100 MHz. Déterminer la valeur de la pulsation spatiale k. Déterminer la
distance caractéristique d’absorption de l’onde et sa vitesse de phase. Y a-t-il dispersion ? Pourquoi n’utilise-t-on
pas d’ondes hertziennes pour les communications sous-marines ?
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