Définitions en géométrie
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INTRODUCTION Les propriétés ci-dessous sont-elles cohérentes avec les définitions "modernes" ? Si non, donnez un contre-exemple et corrigez. 1. Le losange a 2 diagonales: la grande diagonale et la petite diagonale. 2. Le parallélogramme a deux angles obtus et deux angles aigus. 3. Dans un parallélogramme les angles opposés sont isométriques. 4. Les bases du trapèze sont les côtés non parallèles. 5. Les diagonales du parallélogramme ne sont pas isométriques. 6. Les médianes du losange sont isométriques. 7. Le rectangle a des médianes de longueurs différentes. DÉFINITIONS EN GÉOMÉTRIE 1ère partie : SURFACES SURF.DEF.1 DÉFINITIONS EN GÉOMÉTRIE La géométrie des Anciens (Pythagore, Euclide,…) était une géométrie statique : on énumérait les propriétés des objets, les ressemblances, les différences,… C’est ainsi que parmi d’autres propriétés, on citait : pour le CARRÉ et pour le RECTANGLE 4 côtés égaux un grand côté (longueur) un petit côté (largeur). Au XIXe S, les mathématiciens ont développé une mathématique de transformations, avec une prédilection pour les transformations continues… (on peut même parler d’horreur des discontinuités). Ces mathématiciens modernes ont constaté que l’on pouvait passer d’une manière continue de l’ancien rectangle au carré et vice-versa (ce que certains expriment par : « Le carré est un moment du rectangle »). R C R R R R Pour éviter la discontinuité qui consisterait à avoir une figure qui n’est pas un rectangle parmi une suite continue de rectangles, la définition du rectangle a été remaniée, afin d’englober les carrés. SURF.DEF.2 RECTANGLE = TOUT QUADRILATÈRE AYANT 4 ANGLES DROITS. De même, la définition du parallélogramme a été remaniée afin d’englober les rectangles, et celle du trapèze de manière à englober les parallélogrammes. TRAPÈZE = TOUT QUADRILATÈRE AYANT AU MOINS 2 CÔTÉS PARALLÈLES. PARALLÉLOGRAMME = TOUT QUADRILATÈRE AYANT 2 PAIRES DE CÔTÉS PARALLÈLES. Et aussi : LOSANGE = TOUT QUADRILATÈRE AYANT 4 CÔTÉS DE LONGUEURS ÉGALES (OU ISOMÉTRIQUES) Remarque : « Le rectangle a 4 angles droits » est l’énoncé d’une propriété. Ce n’est pas l’expression d’une définition. Il suffit de penser à l’énoncé : « Le chat a 4 pattes » ! Le même souci de continuité a présidé à la définition de TRAPÈZE ISOCÈLE. a b b’ TRAPÈZE ISOCÈLES c d TRAPÈZE NON ISOCÈLES e SURF.DEF.3 En effet, on peut passer de manière continue – c’est-à-dire par une suite de trapèzes du type a – de a à b ou à b’ mais pas de a à c, ni à d, ni à e. Suite continue de trapèzes isocèles Les trapèzes intermédiaires ne sont PAS isocèles. TRAPÈZE ISOCÈLE = TOUT TRAPÈZE DONT UNE MÉDIANE AU MOINS EST AXE DE SYMÉTRIE (ORTHOGONALE). De même : TRIANGLE ISOCÈLE = TOUT TRIANGLE AYANT AU MOINS 2 CÔTÉS ÉGAUX. On passe en effet de manière continue d’un triangle ayant 2 côtés égaux à un triangle ayant 3 côtés égaux, puis à nouveau à un triangle ayant 2 côtés égaux (démonstration à l’aide d’un compas). SURF.DEF.4 REMARQUES MÉTHODOLOGIQUES • Comment éviter de donner des idées fausses aux petits enfants (préscolaire) ? − Utiliser les FORMES LOGIQUES DE VYGOTSKI (triangles, disques, carrés) plutôt que les blocs logiques de DIENÈS (triangles, disques, carrés, rectangles non carrés). − Si on a côte à côte un rectangle non carré et un rectangle carré, parler du « long » (c’était la terminologie utilisée par Dienès) et du « carré » (plus tard, on appellera le « long » rectangle strict ou rectangle non carré). − Si un enfant signale que le « long » est un rectangle, le féliciter, parler des angles droits, montrer que le carré a aussi 4 angles droits,… « Rectangle » est un nom de famille, « carré » et « long » sont des prénoms ! − Quand les 2 formes ne sont pas côte à côte, rien n’empêche d’introduire le mot « rectangle » ou « rectangulaire ». La fenêtre est rectangulaire, la feuille de papier aussi. • Lorsque vous préparez une leçon de géométrie, il est impératif : − d’avoir les définitions « modernes » en tête, − de surveiller vos réactions, − d’examiner les ouvrages de référence avec esprit critique : même dans le très répandu LEXI-MATH (Roegiers), qui définit pourtant correctement les triangles isocèles, le tableau synthèse présenté est incorrect, car, s’il est pensable d’utiliser des définitions différentes, il est impensable de se contredire ! Dans le même ordre d’idées, écrire d’une part : « On appelle RECTANGLE tout quadrilatère ayant 4 angles droits » et d’autre part : « Le rectangle a des médianes de longueurs différentes » pose problème ! SURF.DEF.5 − Lorsque vous préparez une leçon sur les propriétés d’une surface, ayez les différents types possibles présents à l’esprit, ou, mieux encore, dessinés devant nous. Soyez particulièrement attentif aux synthèses (cartes d’identité) des surfaces (ou des solides). Voici une présentation possible : PROPRIÉTÉS DU RECTANGLE RECTANGLE NON CARRÉ RECTANGLE CARRÉ STRICT 4 angles égaux côtés // 2 à 2 côtés de longueurs égales 2 à 2 médianes et diagonales se coupent en leur milieu diagonales égales grand côté = longueur 4 côtés égaux petit côté = largeur médianes inégales médianes égales etc. SURF.DEF.6 EXERCICES A. VRAI OU FAUX ? Les propositions ci-dessous sont-elles compatibles avec les définitions actuelles ? Si non, donnez un contre-exemple et/ou corrigez. 1. Le trapèze isocèle a au moins 2 angles consécutifs égaux. 2. Si un trapèze a au moins 2 angles consécutifs égaux, il est isocèle. 3. On appelle trapèze isocèle tout trapèze qui a au moins 2 angles consécutifs égaux. 4. Les bases du trapèze isocèle sont les côtés qui ne sont pas de même longueur que les autres. 5. Dans un triangle isocèle rectangle, l’hypoténuse est le côté qui n’est pas de même longueur que les 2 autres. 6. La base d’un triangle isocèle est le côté qui n’est pas de même longueur que les 2 autres. B. CLASSEMENT DES TRIANGLES – SYNTHÈSES Utiliseriez-vous les outils de classement ci-dessous ? Si oui, à quelles conditions ? 1. qcq isocèles équil. SURF.DEF.7 2. S = ensemble des triangles scalènes I = ensemble des triangles isocèles E = ensemble des triangles équilatéraux 3. SURF.DEF.8 Classement des triangles 4. 3 côtés isométriques 2 côtés isométriques 2∡ de même amplitude aucun côté isométrique aucun∡ de même amplitude 60° 60 1 60 3 angles aigus triangle équilatéral triangle isocèle triangle scalène (acutangle) acutangle acutangle 3∡ de même amplitude 45° 1 angle droit impossible et 2 aigus 1 angle obtus 45° triangle rectangle triangle rectangle isocèle scalène triangle obtusangle triangle obtusangle isocèle scalène impossible et 2 aigus SURF.DEF.9 Analyse de matière : Ai-je trois côtés et trois angles ? Triangle Trois côtés Trois angles 3 côtés de 2 côtés 3 côtés 3 1 1 longueurs de même de même angles angle angle différentes longueur longueur aigus droit obtus SU Triangle Triangle Triangle Triangle Triangle Triangle RF scalène isocèle équilatéral acutangle rectangle obtusangle .D EF SURF.DEF.10 C. EXERCICES : Utiliseriez-vous les exercices ci-dessous ? Si oui, faites un corrigé. 1. Nomme chacun des triangles ci-dessous (s’ils existent) 3 côtés de longueurs ≠ tous ∡ aigus TRIANGLE 3 côtés exactement 2 côtés isométriques 1 angle droit 1 angle obtus isométriques de même 2. Complète les cases vides dans ce tableau de synthèse à propos des triangles : Triangles s e l o n l e s c ô t é s selon les angles …………… …………… …………… …………… …………… …………… Impossible Impossible SURF.DEF.11 3. Parmi les triangles ci-dessous, coloriez en vert les triangles isocèles, et en bleu les triangles équilatéraux. fig. 1 D. fig. 2 fig. 3 fig. 4 fig. 5 CLASSEMENT DES QUADRILATÈRES CONVEXES • Les tableaux à double entrée ci-dessous permettent-ils de classer tous les quadrilatères convexes ? Si OUI, dessinez un ou 2 quadrilatères par case ou hachurez les cases vides Si NON, corrigez les intitulés pour que chaque sorte de quadrilatère trouve sa place. • Indiquez – si possible – les ensembles suivants : ensemble des carrés, des rectangles, des parallélogrammes, des losanges, des trapèzes. 2 paires de côtés // 1 paire de côté // (exactement 1 seule) Pas de côtés // Au moins 1 angle droit Pas d’angle droit 4 côtés égaux Côtés égaux 2 à 2 mais Pas de côtés égaux SURF.DEF.12 pas tous Au moins 1 paire de côtés // Pas de côtés // 2 paires de côtés // 4 côtés égaux Côtés égaux 2 à 2 mais pas tous les 4 Autres 1 seule paire de côtés // Pas de côtés // DÉFINITIONS EN GÉOMÉTRIE 2ème partie : SOLIDES SOL.DEF.1 DÉFINITIONS : SOLIDES – POLYÈDRES SOLIDE = Tout objet mathématique indéformable, limité par une surface fermée, telle que toute section de cet objet par un plan donne une surface. Cette définition a le mérite de clarifier la notion de « section plane d’un solide », de faire la distinction entre « volume d’un solide » et « capacité d’un objet creux »1 et d’être en accord avec la notion mathématique de dimension. Elle impose la précaution suivante : Toutes les boîtes utilisées comme représentations de solides seront supposées pleines (même si elles ne le sont pas en réalité). Pour les enfants, on peut énoncer cette définition de la manière suivante : Un solide est un objet plein, limité par une surface fermée et qui enferme une portion d’espace. POLYÈDRE = Solide dont toutes les faces sont planes (ROEGIERS) ou Solide dont toutes les faces sont des polygones (DEMAL) Les deux définitions sont correctes et recouvrent la même réalité… en ce qui concerne les polyèdres. Des différences surgissent néanmoins dès qu’il s’agit de subdiviser les NONPOLYÈDRES en non-polyèdres « purs » et non-polyèdres « hybrides » (voir annexe 2). Il convient donc de se mettre d’accord quant à la définition choisie et d’être vigilant si on choisit des exercices dans différents ouvrages. 1 La capacité d’un objet creux est la grandeur qui mesure la quantité de liquide que l’objet peut contenir. Le volume d’un solide est la grandeur qui mesure la place que le solide occupe dans l’espace. SOL.DEF.2 DÉFINITIONS : PRISMES – PARALLÉLÉPIPÈDES RECTANGLES – PYRAMIDES Les définitions ci-dessous sont-elles correctes, c’est-à-dire caractérisent-elles l’objet énoncé et lui seul ? Exemple : « Le chat est un mammifère à 4 pattes » n’est pas une définition correcte. En effet, chat → mammifère à 4 pattes Vrai Mais chat ← mammifère à 4 pattes Faux Contrexemple : le chien Par contre : « Le chat est un petit félin domestique » est une définition correcte. En effet, chat → petit félin domestique Vrai Mais chat ← petit félin domestique Vrai Donc chat ↔ petit félin domestique Vrai Autrement dit : Tous les chats sont des petits félins domestiques et ce sont les seuls. VRAI OU FAUX ? SI C’EST FAUX, DONNEZ UN CONTREXEMPLE. A. Vrai ou faux ? On appelle PYRAMIDE : 1. Tout solide dont les arêtes se rejoignent en un seul sommet. 2. Tout polyèdre pointu ayant une seule base. 3. Tout polyèdre qui a une seule base et dont les arêtes latérales2 se rejoignent en un seul sommet. 4. Tout polyèdre qui a pour base un polygone quelconque et dont les faces latérales sont des triangles. 2 Dès que l’on parle d’arêtes ou de faces latérales, c’est qu’il y a une ou deux bases. SOL.DEF.3 B. Vrai ou faux ? On appelle PRISME : 1. Tout polyèdre ayant au minimum 2 faces parallèles et identiques. 2. Tout polyèdre ayant 2 bases identiques et au minimum 2 faces latérales parallèles. 3. Tout polyèdre dont les arêtes latérales sont parallèles. 4. Tout polyèdre dont les faces latérales sont des parallélogrammes. 5. Tout polyèdre dont les arêtes latérales sont parallèles et de même longueur. 6. Tout polyèdre qui a 2 bases et dont les faces latérales sont des parallélogrammes. 7. Tout polyèdre qui a 2 bases et dont les arêtes latérales sont parallèles. 8. Tout polyèdre dont toutes les faces, sauf peut-être 2, sont des parallélogrammes. 9. Tout polyèdre convexe dont les arêtes latérales sont parallèles. Remarques : On appelle PRISME DROIT tout polyèdre qui a 2 bases et dont les faces latérales sont des RECTANGLES. On appelle prisme régulier un prisme droit dont les bases sont des polygones réguliers. Le prisme régulier n’est PAS un polyèdre régulier (voir page SOL. DEF 7) : il vaut donc mieux éviter cette dénomination pour des élèves de primaire. SOL.DEF.4 C. VRAI OU FAUX ? On appelle PARALLÉLÉPIPÈDE RECTANGLE (P.R.) : 1. Tout prisme dont les bases sont des rectangles 2. Tout polyèdre dont les faces sont parallèles deux à deux et dont tous les angles sont droits. 3. Tout polyèdre qui a exactement 6 faces parallèles deux à deux et dont les angles sont droits. 4. Tout polyèdre qui a exactement 6 faces, toutes rectangulaires. 5. Tout polyèdre convexe dont les faces sont des rectangles. 6. Tout prisme droit dont les bases sont des rectangles. 7. Tout prisme dont toutes les faces sont des rectangles. SOL.DEF.5 SYNTHÈSE À L’USAGE DES ÉTUDIANTS NORMALIENS !! A = ensemble des Polyèdres B = ensemble des Prismes C = ensemble des Prismes droits D = ensemble des Prismes non droits E = ensemble des Parallélépipèdes F = ensemble des Parallélépipèdes rectangles G = ensemble des Parallélépipèdes rectangles à bases carrées H = ensemble des Cubes Hachurez les éventuelles plages vides du diagramme. Placez une représentation des solides dans les autres. Les exemples fournis peuvent être utilisés, mais il faudra peut-être en imaginer d’autres ! Remarque : Ce type de synthèse doit se construire avec les enfants en manipulant les solides et des cordes et en choisissant comme sous-ensembles des ensembles de solides que les enfants connaissent et que l’enseignant souhaite mettre en évidence. Il est primordial d’adapter la synthèse au vécu mathématique de la classe. Il est donc peu probable que vous puissiez la photocopier telle quelle d’un livre. SOL.DEF.6 EXERCICES A. VRAI OU FAUX ? SI C’EST FAUX, JUSTIFIE. 1. Une pyramide est un solide pointu dont toutes les faces, sauf peut-être une, sont des triangles. 2. Il existe : a. des prismes non convexes b. des pyramides non convexes c. des P.R. non convexes d. des cônes non convexes e. des cylindres non convexes. 3. Il existe : a. des prismes obliques b. des pyramides obliques c. des P.R. obliques d. des cônes obliques e. des cylindres obliques 4. Une boule est un polyèdre qui a une infinité de faces. B. Platon classait le cube avec le tétraèdre. Les mathématiciens modernes le classent avec les P.R. et les prismes. Quelle(s) caractéristique(s) chacun privilégie-t-il ? En d’autres mots, pourquoi ce choix ? SOL.DEF.7 NOTION DE BASE(S) DANS LES SOLIDES POLYÈDRES AVEC 2 BASES AVEC 1 BASE SANS BASES Remarque : quand il y a base(s) : Les arêtes qui n’appartiennent pas à la base s’appellent arêtes latérales (A.L.). Les faces qui n’appartiennent pas à la base s’appellent faces latérales (F.L.). NON POLYÈDRES AVEC 1 BASE AVEC 2 BASES SANS BASES SOL.DEF.8 BASES D’UN POLYÈDRE S’il est possible de trouver : S’il est possible de trouver : - 2 faces* - 1 face* - parallèles entre elles - possédant une frontière commune - possédant chacune une frontière (un segment commun) avec chacune commune (un segment commun) des autres faces avec chacune des autres faces Le polyèdre en question a 2 bases Le polyèdre en question a 1 base (les 2 faces*). (la face*). Les autres faces sont appelées faces latérales. Leur ensemble est la surface latérale du polyèdre. Les arêtes n’appartenant pas à la (aux) base(s) s’appellent les arêtes latérales. S’il n’est pas possible de trouver des faces qui répondent à ces critères, le polyèdre n’a pas de base (et donc pas de surface latérale). Remarque : Il n’existe pas de polyèdre à 3, 4, 5, 6 bases. Le cube, le P.R. ont 3 paires de bases mais ce sont des polyèdres à 2 bases. BASES D’UN NON-POLYÈDRE Cette notion de base peut s’étendre à certains non-polyèdres. S’il est possible de trouver : S’il est possible de trouver : - 2 faces planes - 1 face plane - parallèles entre elles - Possédant une ligne en commun - possédant chacune une ligne en avec le reste de la surface extérieure commun avec le reste de la surface du solide. extérieure du solide. Le non-polyèdre en question a 2 bases. Remarque méthodologique : Le non-polyèdre en question a 1 base. SOL.DEF.9 Il est impossible de définir, et donc de faire une leçon sur « bases d’un solide » puisque le terme « bases » recouvre, dans le cas des solides, plusieurs notions différentes. Par contre, on peut définir, et donc faire une leçon sur : - solides avec 2 bases - solides avec 1 base - solides avec 0 base. SOL.DEF.10 DÉFINITIONS : RÉSUMÉ POLYÈDRE Solide dont toutes les faces sont - planes - polygones POLYÈDRE CONVEXE NON CONVEXE Ni trous, ni renfoncements Trous ou renfoncements Polyèdre régulier ou polyèdre de Platon = polyèdre convexe dont toutes les faces sont des polygones réguliers3 identiques et dont les angles entre deux faces sont isométriques. Il n’y en a que 5. 3 Polygone = surface plane limitée exclusivement par des segments de droite en nombre fini (les côtés). Polygone régulier = polygone convexe dont les côtés et les angles sont isométriques. SOL.DEF.11 PRISME Polyèdre qui a 2 bases identiques. Polyèdre qui a 2 bases et dont les A.L. sont //. Polyèdre qui a 2 bases et dont les F.L. sont des parallélogrammes. PRISME DROIT NON DROIT Prisme dont les arêtes latérales sont perpendiculaires aux bases ou Prisme dont les faces latérales sont des rectangles Prisme dont les arêtes latérales ne sont pas perpendiculaires aux bases ou Prisme dont les faces latérales sont des parallélogrammes non rectangles Avec des élèves qui n’ont pas de notion de bases : Prisme = polyèdre qui a 2 faces // et identiques (parallélogrammes ou non) qui touchent toutes les autres et dont les autres faces sont des parallélogrammes. Prisme = polyèdre qui a 2 faces // et identiques qui touchent toutes les autres et dont les arêtes qui n’appartiennent pas aux 2 faces ci-dessus sont //. Prisme droit = polyèdre qui a 2 faces // et identiques qui touchent toutes les autres et dont les autres faces sont des rectangles. Ensuite, on peut signaler que les faces // identiques qui touchent toutes les autres s’appellent des bases. De plus : Prisme régulier = prisme DROIT dont les bases sont des polygones réguliers (côtés isométriques, angles isométriques). Attention : un prisme régulier n’est pas un polyèdre régulier au sens de Platon. Polyèdre régulier = polyèdre dont toutes les faces sont des polygones réguliers identiques et dont les angles entre 2 faces sont isométriques. Il n’y en a que 5. SOL.DEF.12 PARALLÉLÉPIPÈDE Prisme convexe qui a exactement 6 faces, toutes parallélogrammes. Parallélépipède Rectangle (P.R.) Toutes les faces sont des rectangles. Parallélépipède non rectangle Certaines faces (au moins 2) sont des parallélogrammes non rectangles. Tous les P.R. sont des prismes DROITS. Il y a des parallélépipèdes non rectangles DROITS et NON DROITS. Cas particuliers : - P.R. à bases carrées (et non prismes à bases carrées) - CUBES Avec des élèves de primaire : P.R. = prisme qui a exactement 6 faces toutes rectangles = polyèdre CONVEXE dont toutes les faces sont des rectangles. PYRAMIDE Polyèdre qui a une seule base et dont les arêtes latérales se rejoignent en un seul sommet. Polyèdre qui a pour base n’importe quel polygone et dont les faces latérales sont des triangles. SOL.DEF.13 LE CUBE 4 C’est le plus connu des solides réguliers. Rappelons qu’on désigne par solide régulier un solide dont toutes les faces sont identiques et dont tous les sommets se trouvent sur une même sphère. Toutes les faces du cube sont des carrés. Tous les sommets sont à égale distance du point d’intersection des diagonales. Il a 6 faces, 12 arêtes, 8 sommets. Sa forme lui permet de rouler assez facilement, d’où son utilisation comme dé. On peut former avec des cubes un empilement régulier dont les éléments occupent tout l’espace sans laisser de vide entre eux. C’est le seul solide régulier qui possède cette propriété. Il existe d’autres solides réguliers. Le dodécagone possède 12 faces qui sont des pentagones réguliers. Les faces des trois autres solides réguliers sont des triangles équilatéraux. Ce sont : • le tétraèdre régulier (4 faces) • l’octaèdre régulier (8 faces) • l’icosaèdre régulier (20 faces). LA PYRAMIDE C’est un solide ayant comme base un polygone et comme faces latérales des triangles. Les arêtes latérales se rejoignent toutes en un même point appelé sommet de la pyramide. Les pyramides peuvent donc présenter des aspects différents selon la forme du polygone de base et selon la position du sommet par rapport à cette base. Celles dont la base est un triangle et dont, par conséquent, toutes les faces sont aussi des triangles sont appelées « tétraèdres ». C’est un cas particulier de pyramide. Il existe aussi des pyramides à base rectangulaire, polygonale, etc. Notre collection de solides donne l’exemple d’une pyramide à base carrée. C’est la forme des Pyramides d’Égypte. En coupant une pyramide au niveau des arêtes latérales, on obtient un tronc de pyramide. Si la coupe est parallèle à la base, la section reproduit la forme de la base, en plus petit. Ce n’est pas le cas si la coupe est « en biais ». Les solides de notre collection fournissent l’exemple d’un tronc de pyramide obtenu par une coupe parallèle à la base. La partie supérieure est une petite pyramide qui a même forme que celle obtenue en superposant cette petite pyramide et le tronc de pyramide. Remarque : Il existe des pyramides non convexes. 4 Les pages SOL DEF 13 – SOL DEF 14 – SOL DEF 15 sont largement inspirées de la notice pédagogique fournie avec la boîte de solides NATHAN. Les quelques changements que nous avons apportés à cette notice sont indiqués en italique. SOL.DEF.14 LES PRISMES Ce sont des solides ayant deux faces opposées formées par deux polygones identiques et parallèles, les bases, dont les sommets sont joints par des arêtes parallèles. Ces dernières sont les arêtes latérales et séparent les faces latérales. Si les bases sont perpendiculaires aux arêtes latérales, le prisme est dit droit. Si elles ne sont pas perpendiculaires à ces arêtes (tout en étant parallèles entre elles), le prisme est dit oblique. Remarquons que les faces latérales d’un prisme droit sont toutes des rectangles et que celles d’un prisme oblique sont toutes des parallélogrammes non rectangles. Les prismes se distinguent aussi par la forme de leurs bases. Les prismes à bases parallélogrammes sont appelés parallélépipèdes. Le parallélépipède rectangle est donc un cas particulier de prisme. Le parallélépipède rectangle à bases carrées aussi. Le cube également. Remarque : Il existe des prismes non convexes mais pas de parallélépipèdes non convexes. SOL.DEF.15 LA BOULE C’est le solide dont la régularité est absolue, puisque à partir de son centre, elle est identique dans toutes les directions. On peut la concevoir comme le solide engendré par la rotation d’un disque tournant autour d’un de ses diamètres. A volume égal, c’est le solide qui présente la plus petite surface externe. C’est ce qui explique que ce soit une forme géométrique que l’on rencontre fréquemment dans la nature : les gouttes d’eau, les planètes, certains fruits. C’est également la forme que prennent les matières malléables que l’on roule dans la paume de la main pour en faire des boulettes, comme la pâte à modeler, la mie de pain, etc. La demi-boule montre que la section d’une boule est un disque, ce qui est vrai quelle que soit la coupe. La sphère est la surface extérieure de la boule. LES SOLIDES DE RÉVOLUTION Nous donnons l’exemple du cylindre droit et du cône droit, à base(s) en forme de disque(s). Remarquons qu’un cylindre droit peut être obtenu par la rotation d’un rectangle autour de l’axe constitué par l’un de ses côtés et que le cône droit peut être obtenu par la rotation d’un triangle rectangle autour de l’axe constitué par l’un des côtés de l’angle droit. Le cylindre et le cône de notre collection de solides ont des bases circulaires mais il existe aussi des cylindres et des cônes ayant des bases constituées par d’autres surfaces. On retrouve pour les cylindres et les cônes les mêmes catégories (droit, oblique, tronqué) que pour les prismes et les pyramides. Remarque : Il existe des cônes et des cylindres non convexes. ANN.1.1 ANNEXE 1 : LES OBJETS ET LEUR MESURE OBJETS 1 DIM MESURES lignes segment largeur, longueur (hauteur, rayon,…) contour périmètre cercle circonférence LONGUEURS (cm) carré – bord périmètre triangle – bord autres 2 DIM surfaces disque carré triangle fermés ou AIRES OU SUPERFICIES (CM2) ouverts mais aussi sphère, enveloppe du cube,… 3 DIM solides boule5 (fermée – ouverte) VOLUMES (CM3) cube (plein), etc. 5 Sphère = enveloppe extérieure de la boule = surface représentation sphère : balle ping pong représentation boule : balle golf / pétanque ANN.2.1 ANNEXE 2 : REPRÉSENTATIONS PLANES D’UN OBJET À 3 DIMENSIONS Travailler avec des solides que l’on manipule est à la portée d’un enfant de 1ère primaire. Pourquoi alors la « géométrie dans l’espace » a-t-elle la réputation d’être difficile ? Parce que tout le problème consiste à représenter sur un support à deux dimensions des objets qui en ont trois. Ce problème a préoccupé les humains depuis l’époque des cavernes… et les préoccupe encore aujourd’hui. En effet, les peintres de l’époque des cavernes utilisaient le relief des parois pour donner une impression de volume. Les Égyptiens dessinaient les corps de face, mais la tête et les pieds de profil. Parfois aussi, ils doublaient ou triplaient les traits pour donner à la fois l’impression de nombre et de profondeur. Au moyen-âge, certains plans de la ville représentent les maisons rabattues de part et d’autre des rues. Les primitifs flamands donnent une idée de profondeur à leur tableau en représentant de minuscules paysages visibles par les fenêtres de la pièce où se trouve leur modèle. Il faut attendre le XVIe S. pour que CAVALIERI énonce les principes de la perspective qui porte son nom (perspective cavalière). Les perspectives avec points de fuite apparaissent à peu près à la même époque. Les simulations par ordinateur, et les hologrammes sont les réponses du XXe S. au problème de la représentation plane d’objets de l’espace à 3 dimensions. TOUTES CES TECHNIQUES – ET EN PARTICULIER CELLES DE LA PERSPECTIVE CAVALIÈRE – REPOSENT SUR DES CONVENTIONS. Il est en effet impossible de prendre un cube, et de le positionner de manière à voir : ou pas plus qu’on ne voit des églises et des ponts-levis « filer » à 45°. En regardant un cube, on peut voir, par exemple : ANN.2.2 CONVENTIONS DE LA PERSPECTIVE CAVALIÈRE, APPLIQUÉES À UN CUBE 1) On représente une face du cube, en grandeur réelle, comme si elle se trouvait face à nous, à hauteur des yeux. 2) On « déplie » une face latérale et la face supérieure, et conventionnellement, on les représente, inclinées à 45°, mais pas en longueur réelle (voir 3). 3) Longueur d’un segment oblique = moitié de la longueur réelle du segment. Remarques : 1) Ce procédé suppose que les 3 faces non dessinées sont identiques à leurs jumelles. En effet, si le « cube » avait un trou ou une excroissance sur la face arrière, on ne la verrait pas. 2) Comme toutes les conventions elles ne sont ni universelles, ni innées : − Une étude faite sur des étudiants de Papouasie, terminant leurs études secondaires (sans géométrie dans l’espace et sans dessin en perspective) montre que, pour les habitants de ces régions, ne représente pas un solide, mais bien une surface. − Un petit enfant dessine spontanément Ce sont les adultes (dans nos régions) qui lui montrent les règles de base de la perspective cavalière. Si vous êtes appelés à corriger le dessin d’un enfant ne lui dites pas « mais ton église, elle est toute plate, regarde comme cela elle est mieux » mais plutôt « pour bien montrer que l’église n’est pas plate on la dessine d’habitude comme ceci ». 3) Avant toute utilisation de représentations planes de solides (DI), il convient de s’assurer, par une activité où l’on fait correspondre des solides à leur représentation, que les conventions énoncées ci-dessus sont acquises. ANN.3.1 ANNEXE 3 : DÉFINITIONS : POLYÈDRES – NON POLYÈDRES : COMPLÉMENTS SELON ROEGIERS SELON BUEKENHOUDT & DEMAL POLYÈDRE = SOLIDE DONT TOUTES LES FACES SONT POLYÈDRE = SOLIDE DONT TOUTES LES FACES SONT DES PLANES6. POLYGONES7. Ces 2 définitions recouvrent les mêmes solides. NON POLYÈDRE = SOLIDE AYANT AU MOINS NON POLYÈDRE = SOLIDE AYANT AU MOINS UNE FACE NON PLANE UNE FACE NON POLYGONE NON POLYÈDRE PUR Toutes les faces sont non planes NON POLYÈDRE HYBRIDE NON POLYÈDRE PUR Il y a un mélange de faces planes Toutes les faces sont et de faces non planes non polygones ex : boule ex : - cône - cylindre - « demi-cylindre » ex : - boule - cône - cylindre - demi-boule NON POLYÈDRE HYBRIDE Il y a un mélange de faces polygones et de faces non polygones « demi-cylindre » - demi-boule » AN N. 6 Polygone = surface (plane) limitée exclusivement par des segments de droite en nombre fini (les côtés). Remplacer « planes » par « portions de plans » est incorrect, car la surface extérieure de la boule (ou du cylindre, ou du cône,…) est constituée de points qui sont des portions de plan. 7 3.1 ANN.3.2 Voici un exercice trouvé dans un livre destiné à des élèves d’école primaire. Qu’en pensez-vous ? Écris les lettres désignant les solides dans le diagramme de Venn. ANN.4.1 ANNEXE 4 : Le cube est un cas particulier du parallélépipède rectangle. Comment faire prendre conscience de ce fait aux enfants qui ne savent pas que le carré est un cas particulier du rectangle ? Première méthode : TABLEAU : Nombre de faces – nombre d’arêtes – nombre de sommets pour : - un cube - un parallélépipède rectangle - un prisme à bases quadrilatères - une ou deux pyramide(s) - un prisme (à bases non quadrilatères). Dans ce tableau, on voit que seuls le cube, le P.R. et les autres prismes à bases quadrilatères ont 6 faces, 8 sommets et 12 arêtes. Remarque : Ce tableau permet de faire découvrir la formule d’Euler. Pour un polyèdre convexe : Nombre d’arêtes = nombre de faces + nombre de sommets - 2 Cette formule est fausse pour certains polyèdres non convexes (troués). Deuxième méthode : Par sections planes. ANN.4.2 P.R. On coupe parallèlement à une face P.R. On coupe parallèlement à une autre face P.R. à bases carrées P.R. à bases carrées CUBE P.R. à bases carrées Le cube EST un « moment » du P.R. à bases carrées. P.R. à bases carrées P.R. P.R. à carrées bases Le P.R. à bases carrées est un « moment » du P.R. P.R. P.R. Or les mathématiciens de notre époque détestent de tels changements brusques d’appellation. Ils ont donc choisi de classer le CUBE parmi les P.R. à bases carrées, et ces derniers parmi les P.R. De plus, ces solides, comme tous les prismes, ont comme formule de volume : aire de base x h (Attention à la manière de mesurer la hauteur d’un prisme oblique). Platon, lui, privilégiait la régularité qu’il appelait « Beauté ». Il classe donc le cube avec les polyèdres réguliers (5). Les P.R. non cubes sont exclus de cette catégorie. AN N.4 .2
