PETITE CLASSE 1 : « Probabilités classiques, probabilités

MAP 311 Aléatoire
A. Dalalyan
Ecole Polytechnique
Année 2007-2008
P ETITE CLASSE 1 : « Probabilités classiques, probabilités
conditionnelles »
Exercice 1. (Les anniversaires)
Si n personnes sont réunies dans une pièce, quelle est la probabilité qu’aucune paire d’individus n’ait un anniversaire commun ? (On suppose que personne n’est né un 29 février).
Déterminer nmin pour que cette probabilité soit inférieure à 0.5. On pourra utiliser la formule
de Stirling
√
1
m! ≈ 2π mm+ 2 e−m .
Exercice 2. (Formule de Poincaré)
Soit A1 , . . . , An des événements.
1. Montrer que P( A1 ∪ A2 ) = P( A1 ) + P( A2 ) − P( A1 ∩ A2 ).
2. Montrer par récurrence
P
n
[
n
Ai
=
i =1
∑ (−1) p+1
p =1
∑
P ( A i1 ∩ . . . ∩ A i p ).
1≤i1 <...<i p ≤n
Exercice 3. (Classement aléatoire)
On considère r objets semblables qui sont rangés dans n (n ≤ r) régions de façon aléatoire
(une région peut contenir plusieurs objets).
1. Montrer que la probabilitéque k régions données parmi n soient vides après le classement aléatoire est égale à 1 −
k
n
r
.
2. En utilisant la formule de Poincaré, montrer que la probabilité que toutes les régions
soient occupées est donnée par
n
k r
k n
∑ (−1) k 1 − n .
k =0
3. Montrer que la probabilité que toutes les régions soient occupées est plus grande que
1 − ne−r/n , en déduire une façon de choisir r de façon à garantir que cette probabilité
soit supérieure à un seuil donné.
D ÉFINITION : On dit que deux événements A et B sont indépendants si P( A ∩ B) = P( A)P( B).
On écrit alors A ⊥⊥ B.
Exercice 4. (sur l’indépendance)
Soit A et B deux événements indépendants.
1. Montrer que Ac ⊥⊥ B, A ⊥⊥ Bc et Ac ⊥⊥ Bc .
2. Montrer que si de plus P( A ∪ B) = 1, alors P( A) = 1 ou P( B) = 1.
3. Supposons que les événements A ∩ B et A ∪ B sont indépendants. Prouver que
P( Ac )P( A)P( Bc )P( B) = 0.
4. Montrer que l’indépendance est une relation symétrique non-transitive.
Exercice 5. (sur le conditionnement)
Soit A et B deux événements tels que P( A)P( B) > 0.
1. Montrer que A ⊥⊥ B ssi P( A | B) = P( A).
2. Soit { B1 , . . . , Bn } une famille d’événements formant une partition de Ω. Montrer que
n
P( A) =
∑ P( A | Bi )P( Bi ).
(formule des probabilités totales)
i =1
3. Soit { B1 , . . . , Bn } une famille d’événements formant une partition de Ω. Montrer que
P( Bk | A) =
P( A | Bk )P( Bk )
.
P( A | Bi )P( Bi )
∑in=1
(formule de Bayes)
Exercice 6. Une urne contient une seule boule. On sait qu’elle est soit noire soit blanche
avec probabilités égales. On met une nouvelle boule blanche dans cet urne et ensuite on tire
une boule au hasard. Il s’avère qu’elle est blanche. Calculer la probabilité que la boule qui
reste dans l’urne est également blanche.
Exercice 7. Eugène et Diogène ont l’habitude ont l’habitude de se retrouver chaque semaine
autour d’un verre et de décider à pile ou face qui règle l’addition. Eugène se lamente d’avoir
payé les quatre dernières additions. Diogène lui propose alors de modifier la règle. Il propose
à Eugène de lancer 5 fois la pièce et de ne payer que si apparaît une suite d’au moins 3 piles
consécutifs ou de 3 faces consécutifs. Eugène se félicite d’avoir un si bon ami. A tort ou à
raison ?
Exercice 8. (Pour réfléchir)
Un fumeur a dans sa poche deux boîtes contenant chacune n allumettes. Chaque fois qu’il a
besoin d’une allumette, il la prend au hasard dans l’une des deux boîtes.
1. Quelle est la probabilité que lorsqu’il prend la dernière allumette
d’une
boîte, l’autre
2n − x − 1
boîte contienne encore x allumettes (1 ≤ x ≤ n) ? (Réponse :
(1/2)2n−x−1 .)
n−1
2. Distrait il se rend compte qu’une boîte est vide seulement lorsque, cherchant une allumette, il la prend et constate sa vacuité. Quelle est alors
que l’autre boîte
la probabilité
2n − x
contienne encore x allumettes (0 ≤ x ≤ n) ? (Réponse :
(1/2)2n−x .)
n
3. On suppose que les allumettes des deux boîtes sont de couleur différentes. Le fumeur
vide alors les boîtes dans sa poche et tire à chaque fois une allumette au hasard parmi
les allumettes restant dans sa poche. Quelle est la probabilité pour que lorsqu’il prend
la dernière allumette de la couleur épuisée en premier, !
il reste encore
! x allumettes
2n − x − 1
2n
(1 ≤ x ≤ n) de l’autre couleur ? (Réponse : 2
/
.)
n−1
n
4. A l’aide des questions précédentes retrouver les formules
!
!
n
n
2n − k
2n − k − 1
k
2n
= 2 , ∑ 2
=
∑2
k
k−1
k =0
k =1
2n
n
!
.