Mécanique

Polycopié de cours
PARIS
Formation d’Ingénieurs en Partenariat
V
Section GE
Mécanique
P06-1MECA0
Cours Magistraux
TD
ED
1ère Année
Enseignant : Mr DETREZ
2011-2012
i
Table des matières
II Cinématique
I.1
Trajectoire, vecteur position . . . . . . . . . . . . . . .
I.1.1
L’espace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
I.1.2
Référentiel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
I.1.3
Trajectoire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
I.1.4
Vecteur position . . . . . . . . . . . . . . . . .
I.2
Vecteur vitesse et accélération . . . . . . . . . . . . . .
I.2.1
Vecteur vitesse . . . . . . . . . . . . . . . . . .
I.2.2
Vecteur accélération . . . . . . . . . . . . . . .
I.2.3
Dérivation vectorielle dans un repère . . . . . .
I.3
Composition des vitesses et des accélérations . . . . . .
I.3.1
Composition des vitesses . . . . . . . . . . . .
I.3.2
Composition des accélérations . . . . . . . . .
I.4
Champ de vitesse d’un solide . . . . . . . . . . . . . . .
I.4.1
Paramétrage de la position d’un solide . . . . .
I.4.2
Angles d’Euler . . . . . . . . . . . . . . . . . .
I.4.3
Champ de vitesses d’un solide . . . . . . . . .
I.5
Cinématique des systèmes de solides . . . . . . . . . . .
I.5.1
Définitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
I.5.2
Inventaires des liaisons mécaniques normalisées
I.5.3
Cinématique du contact entre deux solides
roulement et pivotement . . . . . . . . . . . .
I.5.4
Modélisation de la cinématique . . . . . . . . .
I.6
Cinématique graphique . . . . . . . . . . . . . . . . . .
I.6.1
Mouvements plans . . . . . . . . . . . . . . . .
I.6.2
Equiprojectivité . . . . . . . . . . . . . . . . .
I.6.3
Centre instantané de rotation . . . . . . . . . .
I.6.4
Théorème des 3 plans mobiles . . . . . . . . .
I.7
Ce qu’il faut retenir . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
II
II Statique
II.1
Actions mécaniques . . . . . . . . . . .
II.1.1
Définition . . . . . . . . . . . .
II.1.2
Représentation . . . . . . . . .
II.1.3
Actions volumiques . . . . . .
II.1.4
Actions de contact . . . . . . .
II.1.5
Moment d’action mécanique et
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couple
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: Glissement,
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37
iv
II.2
II.3
II.4
II.5
II.6
TABLE DES MATIÈRES
II.1.6
Actions de liaison . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Principe fondamentale de la statique . . . . . . . . . . . . . .
II.2.1
Efforts extérieurs à un système matériel . . . . . . .
II.2.2
Enoncé . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
II.2.3
Théorème des actions réciproque . . . . . . . . . . .
II.2.4
Cas particuliers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Loi du frottement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
II.3.1
Analyse du contact ponctuel entre deux solides . . .
II.3.2
Loi de Coulomb . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Utilisation du principe fondamentale de la statique . . . . . .
II.4.1
Degré d’hyperstatisme . . . . . . . . . . . . . . . . .
II.4.2
Systèmes isostatiques et hyperstatiques . . . . . . .
II.4.3
Démarche de résolution des problèmes . . . . . . . .
Statique graphique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
II.5.1
Exemple 1 : Solide soumis à trois forces . . . . . . .
II.5.2
Exemple 2 : Solide soumis à quatre forces . . . . . .
II.5.3
Exemple 3 : Encore un solide soumis à quatre forces
Ce qu’il faut retenir . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
III
III Dynamique
III.1
Dynamique du point matériel . . . . . . . . . . . .
III.1.1 Equation de la dynamique . . . . . . . .
III.1.2 Exemples de force . . . . . . . . . . . . .
III.1.3 Quantité de mouvement . . . . . . . . . .
III.1.4 Moment cinétique et moment dynamique
III.1.5 Théorème du moment cinétique . . . . .
III.2
Dynamique du solide . . . . . . . . . . . . . . . .
III.2.1 Principe Fondamental de la Dynamique .
III.2.2 Torseur cinétique et torseur dynamique .
III.2.3 Centre d’inertie et opérateur d’inertie . .
III.2.4 Démarche de résolution d’un problème . .
III.3
Energétique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
III.3.1 Puissance et Travail . . . . . . . . . . . .
III.3.2 Energie cinétique . . . . . . . . . . . . .
III.3.3 Théorème de l’énergie cinétique . . . . .
III.4
Ce qu’il faut retenir . . . . . . . . . . . . . . . . .
A
A Quelques éléments de géométrie vectorielle
A.1
Les vecteurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
A.2
Produit scalaire . . . . . . . . . . . . . . . . .
A.3
Produit vectoriel . . . . . . . . . . . . . . . . .
A.4
Produit mixte . . . . . . . . . . . . . . . . . .
A.5
Division vectorielle . . . . . . . . . . . . . . . .
A.6
Dérivée d’un vecteur . . . . . . . . . . . . . . .
A.7
Changement de base de dérivation . . . . . . .
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92
TABLE DES MATIÈRES
B
B Les Torseurs
B.1
Torseurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
B.2
Opérations sur les torseurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Annexes
v
95
95
97
85
Chapitre -ICinématique
Table des Matières
I.1
I.2
I.3
I.4
I.5
Trajectoire, vecteur position . . . . . . . . . . . . . . . . . .
I.1.1
L’espace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
I.1.2
Référentiel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
I.1.3
Trajectoire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
I.1.4
Vecteur position . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Vecteur vitesse et accélération . . . . . . . . . . . . . . . . .
I.2.1
Vecteur vitesse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
I.2.2
Vecteur accélération . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
I.2.3
Dérivation vectorielle dans un repère . . . . . . . . . . . .
Composition des vitesses et des accélérations . . . . . . . .
I.3.1
Composition des vitesses . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
I.3.2
Composition des accélérations . . . . . . . . . . . . . . . .
Champ de vitesse d’un solide . . . . . . . . . . . . . . . . . .
I.4.1
Paramétrage de la position d’un solide . . . . . . . . . . .
I.4.2
Angles d’Euler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
I.4.3
Champ de vitesses d’un solide . . . . . . . . . . . . . . . .
Cinématique des systèmes de solides . . . . . . . . . . . . .
I.5.1
Définitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
I.5.2
Inventaires des liaisons mécaniques normalisées . . . . . .
I.5.2.1 Liaisons élémentaires . . . . . . . . . . . . . . . .
I.5.2.2 Liaisons composées . . . . . . . . . . . . . . . . .
I.5.2.3 En deux dimensions . . . . . . . . . . . . . . . . .
I.5.3
Cinématique du contact entre deux solides : Glissement,
roulement et pivotement . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
I.5.3.1 Vitesse de glissement . . . . . . . . . . . . . . . .
I.5.3.2 Vecteurs roulement et pivotement . . . . . . . . .
I.5.4
Modélisation de la cinématique . . . . . . . . . . . . . . .
I.5.4.1 Graphe cinématique . . . . . . . . . . . . . . . . .
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2
CHAPITRE I. CINÉMATIQUE
I.5.4.2
I.5.4.3
I.6
I.7
Graphe de structure ou graphe des liaisons
Mobilité d’un système . . . . . . . . . . . .
a)
Fermeture géométrique . . . . . .
b)
Fermeture géométrique . . . . . .
I.5.4.4 Calcul de la mobilité . . . . . . . . . . . . .
I.5.4.5 Mobilité utile et mobilité interne . . . . . .
I.5.4.6 Résolution d’un problème de cinématique .
Cinématique graphique . . . . . . . . . . . . . . . . .
I.6.1
Mouvements plans . . . . . . . . . . . . . . . . . .
I.6.2
Equiprojectivité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
I.6.2.1 Définition . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
I.6.2.2 Démonstration . . . . . . . . . . . . . . . .
I.6.2.3 Utilisation de l’équiprojectivité . . . . . . .
I.6.3
Centre instantané de rotation . . . . . . . . . . . .
I.6.3.1 Définition . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
I.6.3.2 Propriétés . . . . . . . . . . . . . . . . . .
I.6.4
Théorème des 3 plans mobiles . . . . . . . . . . . .
Ce qu’il faut retenir . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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27
I.1. TRAJECTOIRE, VECTEUR POSITION
3
La cinématique est l’étude du mouvement indépendamment des causes qui les
produisent. C’est-à-dire de la position des objets au cours du temps, mais également de
leurs vitesses et accélérations. Les notions de vitesse et d’accélération ne sont définies
que pour un point et par rapport à un repère.
I.1
I.1.1
Trajectoire, vecteur position
L’espace
La représentation du monde extérieur exige de notre part la construction de certains
cadres, qui ont leur origine dans une mise en ordre de nos sensations. Le premier de
ces cadres est l’espace. Bien que notre corps soit en perpétuel changement, nous avons
la conscience d’un minimum dans ce changement qui nous fait dire que nous sommes
immobiles. Lorsque ce minimum n’est pas atteint, nous disons qu’il y a changement
d’attitude et de position. Quant, après une série de changements d’attitude et de
position, tout se passe comme si nous étions restés immobiles, nous disons que nous
sommes revenus au même lieu. L’accord entre tous les hommes sur l’identification des
lieux constitue l’espace physique.
I.1.2
Référentiel
L’expérience nous apprend que trois renseignements sont nécessaires et suffisants
pour repérer un lieu dans l’espace. Pour indiquer à quelqu’un où se trouve le nid d’un
oiseau, nous disons par exemple :marchez devant vous pendant cent pas, ensuite tournez
à droite et marchez pendant soixante pas, vous serez au pied de l’arbre sur la plus haute
branche duquel se trouve le nid. Il en découle que la position du nid n’est définie que
par rapport à une origine, ici le point de départ et également par trois directions.
La position d’un point n’est définie que relativement à un repère à savoir une origine
O et trois axes. Par exemple, imaginons une bille roulant dans un train. On peut définir
la position de la bille par rapport au train, par rapport à la Terre, éventuellement
par rapport au Soleil, etc. Les mouvements de la bille sont différent par rapport à
ces différents repères. Notre premier souci, en cinématique, sera de mettre en place
un repère de référence où toutes les quantités telles que les positions, les vitesses et
accélérations seront calculées par rapport à ce repère.
Le repère utilisé en mécanique doit pouvoir modéliser l’espace donc il doit être de
−
−
−
dimension de trois. Nous choisirons une base (→
e1 , →
e2 , →
e3 ) orthonormée et directe pour
pouvoir définir le produit vectoriel. Nous prendrons également un point de référence
−
−
−
O pour construire le repère de référence (O, →
e1 , →
e2 , →
e3 ). Le paramétrage d’un point M
peut se faire de plusieurs façons (Figure I.1) :
– coordonnées cartésiennes M (x, y, z)
– coordonnées cylindriques M (r, θ, z)
– coordonnées sphériques M (ρ, θ, φ)
La position du point M variant d’un instant à l’autre, il convient de définir
une mesure scalaire appelée temps, caractérisant la simultanéité des événements des
événements dans différents repères. L’unité du système internationale de la mesure de
temps est la “seconde”.
4
CHAPITRE I. CINÉMATIQUE
Figure I.1 – Les différents systèmes de coordonnées (Pommier and Berthaud, 2010)
La position de M est une fonction de trois variables d’espace (x, y, z) ou (r, θ, z)
ou (ρ, θ, φ). Chacune de ces variables est une fonction du temps t. L’espace à quatre
dimensions (x, y, z, t) est appelé référentiel R. Par abus de langage nous noterons de
la même façon le repère associé à ce référentiel.
Un point M est dit au repos par rapport à un référentiel R si ces coordonnées
dans le repère associé à R sont indépendantes du temps
x (t) = x0
y (t) = y0
z (t) = z0
∀t
∀t
∀t
→
−
− →
− →
Remarque I.1 L’origine d’un repère R 0, i , j , k est par définition au repos dans
R et ses coordonnées sont nulles O (x = 0, y = 0, z = 0).
I.1.3
Trajectoire
On appelle trajectoire de M le lieu des positions successives occupées par un point
M dans le repère R lorsque le temps varie.
Remarque I.2 On remarque alors que les variables d’espaces sont elles-mêmes des
fonctions du temps si on suit un point M dans son mouvement x = f (t) ; y = g (t) ; z =
h (t), ce sont les équations paramétriques du mouvement.
I.1.4
Vecteur position
On appelle vecteur position de M , le vecteur qui lie le point M à l’origine O du
repère R. En fonction du type de coordonnées utilisées, le vecteur position peut s’écrire :
I.2. VECTEUR VITESSE ET ACCÉLÉRATION
5
Figure I.2 – Trajectoire du point M dans le référentiel R (Chevalier, 2004)
Coordonnées cartésiennes
−−→
−
−
−
OM = x→
x + y→
y + z→
z
Coordonnées cylindrique
−−→
−
−
OM = r→
er + z →
z
Coordonnées sphériques
−−→
−
OM = ρ→
er
−−→
Remarque I.3 Si on choisit un autre point fixe A dans le repère R le vecteur AM
est également un vecteur position caractéristique du mouvement du point M dans R et
−−→
−−→
pourtant le vecteur AM et différent du vecteur OM .
Le vecteur position n’étant pas directement caractéristique du mouvement de M , nous
considérons plutôt la vitesse, c’est-à-dire variation de position du point M au cours du
temps, qui est unique pour un repère donné.
I.2
I.2.1
Vecteur vitesse et accélération
Vecteur vitesse
La variation de position de M dans R entre deux instants infinitésimalement proches
→
−
est caractérisée par la vitesse. On note celle-ci V (M/R) et son expression est
−−→ →
−
dOM V (M/R) =
dt R
6
CHAPITRE I. CINÉMATIQUE
l’expression de ces coordonnées cartésiennes sont


ẋ (t)
→
−


V (M/R) =  ẏ (t) 
ż (t)
→
−
Le vecteur V (M/R) est appelé vecteur vitesse du point M par rapport au repère
R. Notons que la dimension physique d’une vitesse est une longueur L sur un temps
T . Dans le système internalitonal d’unités, la vitesse s’exprime en mètres par seconde
[m.s−1 ].
→
−
Propriété I.1 Le vecteur vitesse V (M/R) est tangent à la trajectoire de M dans R.
Remarque I.4 Calculer une vitesse par rapport à un repère R ne signifie pas qu’il
faille exprimer cette vitesse dans la base liée à ce repère.
I.2.2
Vecteur accélération
La variation de la vitesse d’un point M , au cours du temps, est caractérisée par
un vecteur :
−→ →
−
2−
d OM d V (M/R) →
−
a (M/R) =
=
dt
dt2 R
R
Ce vecteur est appelé vecteur accélération du point M dans le repère R. La dimension
physique d’une accélération est une longueur L sur le carré d’un temps T 2 . Dans le
système international d’unités, l’accélération s’exprime en mètres par seconde au carré
[m.s−2 ].
I.2.3
Dérivation vectorielle dans un repère
La formule de la base mobile est à la base de toutes relations cinématiques.
Elle permet de déterminer la dérivée d’un vecteur par rapport à un référentiel R2
connaissant la dérivée du même vecteur par rapport à un autre référentiel R1 .
→
−
d U dt R2
→
−
d U =
dt →
−
→
−
+ Ω (R1 /R2 ) ∧ U
R1
→
−
Ω (R1 /R2 ) est le vecteur taux de rotation de R1 par rapport à R2 . Pour utiliser la
formule de la base mobile, il faut auparavant déterminer le taux de rotation. Pour
→
−
chaque rotation d’angle αi (en radian) autour de ki le vecteur taux de rotation est
donnée par
X →
−
→
−
Ω (R1 /R2 ) =
α̇i ki
i
I.3. COMPOSITION DES VITESSES ET DES ACCÉLÉRATIONS
7
La dimension physique du vecteur taux de rotation est un angle [rad] sur temps T [s].
Dans le système international d’unités, le taux de rotation s’exprime en seconde moins
1 [rad.s−1 ] = [s−1 ]
→
−
−
Remarque I.5 Lorsque U (t) est un vecteur →
u fixe dans R1 la formule de la base
mobile devient :
−
→
−
d→
u −
= Ω (R1 /R2 ) ∧ →
u
dt R2
Ce cas particulier est très important dans la pratique car nous le retrouverons très
souvent. En effet, cette formule s’utilise pour passer de la dérivée dans R2 à la dérivée
−
dans R1 où →
u est fixe.
I.3
Composition des vitesses et des accélérations
Les vecteurs vitesse et accélération ont été calculés en dérivant le vecteur position
−−→
OM . Ce vecteur ayant été défini dans un repère R, la vitesse et l’accélérations ainsi
obtenues sont des grandeurs qui dépendent de ce repère R. On les note :
→
−
V (M/R)
→
−
a (M/R)
Ce qui veut dire qu’un même point M , dans plusieurs référentiels mobiles les uns par
rapport aux autres, possède une vitesse par rapport à chacun des référentiels (Figure
I.3). Les relations de mouvement permettent de calculer les grandeurs caractéristiques
−
−
−
du mouvement d’un point par rapport à un repère R1 (01 , →
x1 , →
y1 , →
z1 ), connaissant
→
−
→
−
→
−
ces grandeurs par rapport au repère R2 (02 , x2 , y2 , z2 ). Il faut bien sûr connaı̂tre le
mouvement de R2 par rapport à R1 .
Figure I.3 – Composition des vitesses (Chevalier, 2004)
Pour déterminer les relations de composition de mouvement, il suffit d’exprimer le
vecteur position sous la forme :
−−−→ −−−→ −−−→
O0 M = O0 O1 + O1 M
8
CHAPITRE I. CINÉMATIQUE
O1 et O2 sont les origines respectives de R1 et R2 .
Il faut ensuite dériver par rapport au repère R1 . On utilise la formule de la base mobile
pour faire apparaı̂tre des dérivées par rapport à R2 .
I.3.1
Composition des vitesses
Soient R1 et R2 deux repères en mouvement l’un par rapport à l’autre. La vitesse
du point M par rapport à R1 est par définition :
−−−→ →
−
dO1 M V (M/R1 ) =
dt R1
−−−→ −−−→ dO1 O2 + O2 M =
dt
R1
−−−→ −−−→ dO1 O2 dO2 M =
+
dt dt R1
R1
−−−→ →
−
dO2 M = V (02 /R1 ) +
dt R1
Le second terme se transforme à l’aide de la formule de la base mobile
−−−→ −−−→ →
−
−−−→
dO2 M dO2 M =
+ Ω (R2 /R1 ) ∧ O2 M
dt dt R1
R2
→
−
→
−
−−−→
= V (M/R2 ) + Ω (R2 /R1 ) ∧ O2 M
donc
→
−
→
−
→
−
→
−
−−−→
V (M/R1 ) = V (02 /R1 ) + V (M/R2 ) + Ω (R2 /R1 ) ∧ O2 M
Posons
→
−
→
−
→
−
V (M, R2 /R1 ) = V (M/R1 ) − V (M/R2 )
donc
→
−
→
−
→
−
−−−→
V (M, R2 /R1 ) = V (02 /R1 ) + Ω (R2 /R1 ) ∧ O2 M
Dans le mouvement de R2 par rapport R1 , on définit
→
−
La vitesse absolue V (M/R1 )
→
−
La vitesse relative V (M/R2 )
→
−
→
−
La vitesse d’entraı̂nement V (M, R2 /R1 ) = V (M ∈ R2 /R1 )
La vitesse d’entraı̂nement dans le mouvement R2 par rapport R1 correspond à la vitesse
du point M , considéré comme fixe dans le repère R2 , dans son mouvement par rapport
à R1 . Elle a pour expression
→
−
→
−
→
−
−−−→
V (M, R2 /R1 ) = V (02 /R1 ) + Ω (R2 /R1 ) ∧ O2 M
I.4. CHAMP DE VITESSE D’UN SOLIDE
9
avec O2 l’origine de R2 . Dans la pratique, une telle relation permet de déterminer
la vitesse d’un point dont le mouvement est complexe en considérant une suite de
référentiels Ri successifs, chacun en mouvement “simple” les uns par rapport aux autres.
Si les Ri sont (n + 1) référentiels successifs permettant de passer de R0 à Rn on
peut écrire une relation de “Chasles” :
→
−
→
−
→
−
Ω (Rn /R0 ) = Ω (Rn /Rn−1 ) + · · · + Ω (R1 /R0 )
→
−
→
−
→
−
V (M, Rn /R0 ) = V (M, Rn /Rn−1 ) + · · · + V (M, R1 /R0 )
I.3.2
Composition des accélérations
Soient R1 et R2 deux repères en mouvement l’un par rapport à l’autre. Il est aisé
de montrer comme précédemment que les accélérations d’un point M par rapport à R1
ou par rapport à R2 sont liées par la relation
→
−
−
−
−
a (M/R ) = →
a (M/R ) + →
a
(M, R /R ) + →
a (M, R /R )
1
2
Coriolis
2
1
2
1
Par définition, nous avons
−
L’accélération absolue →
a (M/R1 )
→
−
L’accélération relative a (M/R2 )
−
L’accélération d’entraı̂nement →
a (M, R2 /R1 )
→
→
−
−
−−−→
→
−
→
−
a (M, R2 /R1 ) = a (O2 /R2 ) + Ω (R2 /R1 ) ∧ Ω (R2 /R1 ) ∧ O2 M +
→
−
−−−→
d Ω (R2 /R1 ) ∧ O2 M
dt
R1
−
L’accélération de Coriolis →
a Coriolis (M, R2 /R1 )
→
−
→
−
→
−
a Coriolis (M, R2 /R1 ) = 2 Ω (R2 /R1 ) ∧ V (M/R2 )
Remarque I.6 Nous verrons que l’utilisation de cette relation n’est pas très courante.
En effet, en “dynamique”, seules certaines projections de l’accélération suffisent.
Nous pouvons tout de même retenir, que la vitesse d’entraı̂nement correspondent à
la vitesse du point M considéré comme fixe dans le repère d’entraı̂nement. Cette
remarque permet souvent de se ramener à une succession de cas simple pour les calculs
cinématiques d’un mouvement plus complexe.
I.4
I.4.1
Champ de vitesse d’un solide
Paramétrage de la position d’un solide
Un solide indéformable est un ensemble de points dont les distances restent
invariantes au cours du temps. On peut privilégier un point OS et définir une base
orthonormée liée au solide. On fabrique ainsi un repère RS lié au solide S. La position
de ce repère par rapport à un autre repère R est définie par 6 paramètres ou degrés de
liberté (ddl ) au plus :
10
CHAPITRE I. CINÉMATIQUE
– 3 translations pour la position du point 0S ;
– 3 rotations pour l’orientation de la base RS ).
Si ce solide est en liaison avec R le nombre de ddl est inférieur à 6.
I.4.2
Angles d’Euler
Lorsque le solide est astreint à un certain mouvement par des liaisons, la cinématique
du système fixe généralement sans ambiguı̈té le choix du paramétrage. Dans les cas
moins nets, on utilise souvent les angles d’Euler (ψ, θ, ϕ) qui minimisent les calculs et
les projections.
→
−
− →
− →
−
−
−
On souhaite passer d’une base orthonormée B (→
x ,→
y ,→
z ) à une base B 0 i , j , k
liée à un solide, par exemple (Figure I.4). Il faut donc choisir 3 rotations (Figure I.5).
Figure I.4 – Angles d’Euler (Chevalier, 2004)
→
− →
−
→
−
→
−
→
−
L’intersection du plan ( x , y ) qui est orthogonal à z et du plan i , j qui
→
−
est orthogonal à k s’appelle la ligne des nœuds, le vecteur directeur de cette droite
→
−
−
−
s’appelle le vecteur nodal →
u . On passe de →
z à k par une rotation θ autour du
−
vecteur nodal →
u . C’est la nutation. Le passage d’une base à l’autre peut alors se faire
−
−
par 3 rotations planes : la précession ψ autour de →
z , la nutation θ autour de →
u et la
→
−
rotation propre φ autour de k .
Le vecteur rotation instantanée a comme expression :
→
−
→
− 0
−
−
Ω (B /B) = ψ̇ →
z + θ̇→
u + φ̇ k
Remarque I.7 Vous avez sûrement constaté que les figures de calculs traduisant les
rotations planes sont systématiquement faites dans le cas où l’angle de rotation est
compris entre 0 et π2 . Ce n’est pas un hasard, mais une indispensable précaution à
prendre pour obtenir les résultats des produits scalaires et vectoriels sans erreur de
signe. Il est fortement conseillé, dans un problème, de commencer par dessiner
les “figures de calculs”, qui vous feront gagner beaucoup de temps lors de la mise en
équation du problème.
I.5. CINÉMATIQUE DES SYSTÈMES DE SOLIDES
#»
y
#»
v
#»
z
#»
k
#»
z
#»
x
#»
w
#»
j
#»
u
ψ
11
#»
i
#»
w
θ
#»
u
#»
v
φ
#»
k
#»
u
Figure I.5 – Figures de calculs
I.4.3
Champ de vitesses d’un solide
La base de la cinématique du solide est la notion de conservation des distances entre
deux points. La formule de la base mobile appliquée entre un repère S lié au solide et
le repère R de référence permet de montrer que la vitesse d’un point P du solide et la
vitesse d’un point M appartenant au même solide sont reliées par la relation
→
−
→
−
→
−
−−→
V (P, S/R) = V (M, S/R)+ Ω (S/R)∧ M P
→
−
avec Ω (S/R) le vecteur taux de rotation de S par rapport à R.
Le couple formé par l’union du vecteur taux de rotation et du champ de vecteurs
vitesses, constitue ce que l’on nomme un “torseur cinématique”
(
)
( →
)
−
Ω (S/R)
VS/R =
→
−
V (M, S/R)
M
→
−
→
−
Les vecteurs Ω (S/R) et V (M, S/R) sont les éléments de réduction du torseur
→
−
cinématique du solide au point M . Le premier terme, Ω (S/R), est la résultante du
→
−
torseur et le second, V (M, S/R), est le moment du torseur.
I.5
I.5.1
Cinématique des systèmes de solides
Définitions
Lorsque la mécanique du solide est appliquée à des mécanismes, les mouvements
relatifs entre solides sont limités par l’existence de liaisons entre les différentes pièces
du mécanisme. Ainsi, un système de solides est constitué de deux sous-ensembles :
– l’ensemble des solides indéformables ;
– l’ensemble des liaisons entre solides.
Le système de solides pourra donc être représenté par des graphes, dont l’analyse
permet de définir le nombre d’inconnues cinématiques du système. Il existe deux types
de graphe :
Graphe cinématique : les liaisons constituent les sommets, les solides constituent
les arcs.
12
CHAPITRE I. CINÉMATIQUE
Graphe de structure : les solides constituent les sommets, les liaisons constituent
les arcs.
Par ailleurs, cette représentation permet d’aider au choix des sous-systèmes à isoler,
des théorèmes généraux à appliquer et des projections pertinentes à effectuer.
Degrés de liberté d’une liaison (ddl )
Dans le repère local associé à la liaison entre deux solides, les mouvements relatifs
des deux solides sont limités à trois translations et trois rotations au maximum. Parmi
ces 6 mouvements élémentaires, le nombre de mouvements élémentaires indépendants
autorisés par la liaison définit les degrés de liberté (ddl ) de cette liaison.
I.5.2
Inventaires des liaisons mécaniques normalisées
On appelle liaisons élémentaires les liaisons obtenues à partir des surfaces
géométriques élémentaires : plan, sphère, cylindre. Ces surfaces seront supposées
géométriquement parfaites. De plus, les liaisons seront supposées sans jeux. Le choix
d’une liaison est principalement gouverné par le nombre de degrés de liberté à
supprimer. Les liaisons élémentaires offrent un premier choix mais ne couvrent que 6
possibilités. L’imagination peut conduire vers d’autres solutions obtenues en combinant
les liaisons élémentaires. L’association de liaisons élémentaires conduit aux liaisons
composées.
I.5.2.1
Liaisons élémentaires
L’association deux à deux des surfaces élémentaires permet d’introduire les liaisons
parfaites :
Plan
Cylindre
Sphère
Cylindre
Sphère
Sphère
−
−
−
−
−
−
Plan
Cylindre
Sphère
Plan
Plan
Cylindre
⇒
⇒
⇒
⇒
⇒
⇒
Liaison
Liaison
Liaison
Liaison
Liaison
Liaison
appui-plan
pivot-glissant
rotule
linéaire rectiligne
appui-ponctuel
linéaire-annulaire
Liason pivot-glissant (2 ddl ) L’assemblage de 2 cylindres concentriques donne la
liaison pivot-glissant. Celle-ci est schématisée de la façon suivante
→
−
z
→
−
z
→
−
y
A
→
−
x
A
La liaison pivot glissant est une liaison à deux degrés de liberté : un degré de
I.5. CINÉMATIQUE DES SYSTÈMES DE SOLIDES
13
rotation et un degré de translation. Pour définir cette liaison il est nécessaire
−
de préciser la direction (ici →
x ) de la liaison ainsi que la position d’un point
quelconque de l’axe de rotation (ici le point A). Le torseur cinématique qui
caractérise la liaison pivot-glissant est de la forme suivante :
(
)
(
)
(ωx , 0, 0)
V2/1 =
(Vx , 0, 0)
→
A
x ,−,−)
(−
Liaison rotule (3 ddl ) L’assemblage de 2 sphères concentriques donne la liaison
rotule. Celle-ci est schématisée de la façon suivante
→
−
z
→
−
y
A
La liaison rotule a trois degrés de liberté en rotation, aucun en translation. Seule
la position du centre de la rotule est nécessaire à sa définition géométrique. Le
torseur cinématique associé est de la forme suivante :
(
)
(
)
(ωx , ωy , ωz )
V2/1 =
(0, 0, 0)
(−,−,−)
A
Liaison appui-plan (3 ddl ) L’assemblage de 2 plans donne la liaison appui-plan.
Celle-ci est schématisée de la façon suivante
→
−
z
→
−
y
A
La liaison appui-plan à trois degrés de libertés, elle permet les translations dans
−
−
le plan de contact suivant →
x et →
y , ainsi qu’une rotation autour de la normale au
→
−
plan k . La caractérisation géométrique de cette liaison, est faite par un point du
−
plan de contact (ici A) et la normale à ce plan (ici →
z ). Le torseur cinématique
associé est de la forme :
(
)
(
)
(0, 0, ωz )
V2/1 =
(Vx , Vy , 0)
→
A
z)
(−,−,−
14
CHAPITRE I. CINÉMATIQUE
→
−
z
→
−
z
→
−
y
→
−
x
A
A
Liaison linéaire annulaire (4 ddl ) L’assemblage d’un sphère dans un cylindres
donne la liaison linéaire annulaire. Celle-ci est schématisée de la façon suivante
La liaison linéaire annulaire est une liaison à 4 degrés de liberté : trois degrés de
rotation et un degré de translation. Pour définir cette liaison il est nécessaire de
−
préciser la direction de translation (ici →
x ) de la liaison ainsi que la position d’un
point quelconque de l’axe du cylindre (ici le point A). Le torseur cinématique qui
caractérise la liaison linéaire annulaire est de la forme suivante :
(
)
(
)
(ωx , ωy , ωz )
V2/1 =
(Vx , 0, 0)
→
A
x ,−,−)
(−
Liaison linéaire rectiligne (4 ddl ) L’assemblage d’un cylindres sur un plan donne
la liaison linéaire rectiligne. Celle-ci est schématisée de la façon suivante
→
−
z
→
−
z
→
−
y
A
→
−
x
A
La liaison linéaire rectiligne est une liaison à 4 degrés de liberté : deux degrés
de rotation et deux degré de translation. C’est la liaison qui nécessite le plus
d’informations géométrique pour être définie. Il est nécessaire de préciser le plan
−
−
par sa normale (ici →
z ) ainsi que la ligne de contact (ici →
x ) et un point de cette
ligne (ici A). Le torseur cinématique qui caractérise la linéaire rectiligne est de la
forme suivante :
(
)
(
)
(ωx , 0, ωz )
V2/1 =
(Vx , Vy , 0)
→
→
→
P
x ,−
y ,−
z)
(−
→
−
→
−
→
−
La base ( x , y , z ) est liée au solide contenant la ligne de contact, ici le solide
supérieur.
I.5. CINÉMATIQUE DES SYSTÈMES DE SOLIDES
15
Liaison appui-ponctuel (5 ddl ) L’assemblage d’une sphère sur un plan donne la
liaison appui-ponctuel. Celle-ci est schématisée de la façon suivante
→
−
z
→
−
y
A
La liaison appui-ponctuel est une liaison à 5 degrés de liberté : trois rotations et
−
deux translations. Elle nécessite de préciser le plan par sa normale (ici →
z ) et le
point de contact (ici A). Le torseur cinématique qui caractérise l’appui-ponctuel
est de la forme suivante :
(
)
(
)
(ωx , ωy , ωz )
V2/1 =
(Vx , Vy , 0)
→
z)
A
(−,−,−
I.5.2.2
Liaisons composées
Liaison rotule à doigt (2 ddl ) La liaison rotule à doigt est une liaison rotule à
laquelle un degrés de liberté a été retiré. Elle est schématisée de de la façon
suivante
→
−
z
→
−
y
A
La liaison rotule à doigts a deux degrés de liberté en rotation, aucun en
translation. La position du centre de la rotule (ici A) et la direction bloqué
−
en rotation (ici →
y ) sont nécessaires à sa définition géométrique. Le torseur
cinématique associé est de la forme suivante :
(
)
(
)
(ωx , 0, ωz )
V2/1 =
(0, 0, 0)
→
A
y ,−)
(−,−
16
CHAPITRE I. CINÉMATIQUE
Liaison glissière (1 ddl ) Elle est schématisée de la façon suivante :
→
−
z
→
−
z
→
−
y
→
−
x
La liaison glissière est une liaison à un degré de liberté en translation. Pour
−
définir cette liaison il est nécessaire de préciser la direction (ici →
x ) de la liaison.
Le torseur cinématique qui caractérise la liaison glissière est de la forme suivante :
)
(
)
(
(0, 0, 0)
V2/1 =
(Vx , 0, 0)
→
−
x ,−,−)
(−
(
Remarque I.8 Il n’est pas nécessaire de préciser le point car le torseur
)
V2/1
est invariant, il a la même expression quelque soit le point où il est exprimé.
Liaison pivot (1 ddl ) Elle est schématisée de la façon suivante :
→
−
z
→
−
z
→
−
y
A
→
−
x
A
La liaison pivot est une liaison à un degrés de liberté en rotation. Pour définir
−
cette liaison il est nécessaire de préciser la direction (ici →
x ) de la liaison ainsi que
la position d’un point quelconque de l’axe de rotation (ici le point A). Le torseur
cinématique qui caractérise la liaison pivot est de la forme suivante :
(
)
(
)
(ωx , 0, 0)
V2/1 =
(0, 0, 0)
→
A
x ,−,−)
(−
I.5. CINÉMATIQUE DES SYSTÈMES DE SOLIDES
17
Liaison hélicoı̈dale (1 ddl ) Elle est schématisée de la façon suivante :
→
−
z
→
−
z
→
−
y
→
−
x
A
A
La liaison hélicoı̈dale est une liaison qui permet une translation ainsi qu’une
rotation. Toutefois elle n’est qu’à un seul degrés de liberté car la rotation et la
translation sont liées par le pas p de l’hélice. Si la vitesse de rotation est ωx ,
alors la vitesse de translation sera égale à pω/2π. Pour définir cette liaison il est
−
nécessaire de préciser la direction (ici →
x ) de la liaison, la position d’un point
quelconque de l’axe de rotation (ici le point A) ainsi que la valeur du pas de
l’hélice, noté classiquement p. Le torseur cinématique qui caractérise la liaison
hélicoı̈dale est de la forme suivante :
(
)
(
)
(ωx , 0, 0)
V2/1 =
pωx
,
0,
0
→
2π
A
x ,−,−)
(−
Liaison encastrement (0 ddl ) La liaison encastrement est une liaison qui ne permet
aucun degrés de liberté. Elle est également appelée liaison complète. Tout
mouvement est interdit. Toutes les fixations de carter ou de bâti sur un socle
sont des liaisons encastrement. Il n’y a pas de schématisation normalisée pour
cette liaison puisque les pièces en liaison complète sont représentées, sous forme
filaire, comme un solide solide. Le torseur cinématique qui caractérise la liaison
encastrement est nul
(
)
(
)
(0, 0, 0)
V2/1 =
(0, 0, 0)
−
I.5.2.3
(−,−,−)
En deux dimensions
Dans le cas d’un problème bidimensionnelle, il suffit de trois degrés de liberté pour
repère deux solides l’un par rapport à l’autre :
– les deux translations du plan
– une rotation d’axe orthogonal au plan
Ces degrés de liberté sont les mêmes que ceux de la liaison appui-plan.
Il existe quatre liaisons normalisés dans le plan :
−
−
Liaison appui-ponctuel (2 ddl ) d’axe (A, →
x ) avec →
x dans le plan
(
V2/1
)
(
=
A
−
ω→
z
(0, Vy )
)
→
→
→
x ,−
y ,−
z)
(−
18
CHAPITRE I. CINÉMATIQUE
−
−
Liaison pivot (1 ddl ) de direction (A, →
z ) avec →
z la normale au plan
(
)
(
)
−
ω→
z
V2/1 =
(0, 0)
→
A
z)
(−,−,−
−
Liaison glissière (1 ddl ) d’axe →
x dans le plan
(
)
( →
)
−
0
V2/1 =
(Vx , 0)
→
→
→
−
x ,−
y ,−
z)
(−
Liaison encastrement (0 ddl )
(
V2/1
)
)
( →
−
0
=
(0, 0)
→
→
→
x ,−
y ,−
z)
−
(−
I.5.3
Cinématique du contact entre deux solides : Glissement,
roulement et pivotement
I.5.3.1
Vitesse de glissement
Figure I.6 – Géométrie d’un contact ponctuel (Chevalier, 2004)
Lors d’un contact ponctuel en I de deux surfaces régulières appartenant
respectivement aux solides S1 et S2 , la vitesse de glissement est définie par la différence
entre la vitesse du point géométrique par rapport à S2 et la vitesse du point géométrique
de contact par rapport au solide S1 :
→
−
→
−
→
−
G (I, S1 /S2 ) = V (I/S2 ) − V (I/S1 )
I.5. CINÉMATIQUE DES SYSTÈMES DE SOLIDES
19
Cette vitesse est dans le plan tangent commun (π), à S1 et S2 (Figure I.6). Elle est par
définition égale à la vitesse du point coı̈ncident I dans le mouvement de S1 par rapport
à S2
→
−
→
−
G (I, S1 /S2 ) = V (I, S1 /S2 )
I.5.3.2
Vecteurs roulement et pivotement
Le mouvement relatif de S1 par rapport à S2 est défini par le torseur des vitesses
relatives :
(
)
( →
)
−
Ω (S1 /S2 )
VS1 /S2 =
→
−
V (I, S1 /S2 )
I
Le vecteur taux de rotation se décompose en deux parties :
−
– la projection du taux de rotation sur la normale →
n 12 au plan tangent commun,
(π), qui se nomme le pivotement
h→
i
→
−
−
−
−
Ω p (S1 /S2 ) = Ω (S1 /S2 ) .→
n 12 →
n 12
– la composante dans le plan tangent qui se nomme le roulement
→
−
→
−
→
−
Ω r (S1 /S2 ) = Ω (S1 /S2 ) − Ω p (S1 /S2 )
Remarque I.9 Les engrenages sont généralement modélisés par des liaisons appuiponctuel dans les problèmes plans et par des liaisons linéaires rectilignes en trois
dimensions. Pour parfaire cette modélisation, il est nécessaire d’adjoindre une condition
de roulement sans glissement, c’est-dire que la vitesse de glissement entre les roues
dentées est nulle
→
−
→
−
V (I, Roue1 /Roue2 ) = 0
où I est le point de contact des deux roues dentées.
Autrement, la condition de roulement sans glissement entre S1 et S2 impose que la
vitesse de glissement soit nulle
→
−
→
−
V (I, S1 /S2 ) = 0
I.5.4
Modélisation de la cinématique
Un système de solides indéformables est composé de deux sous-ensembles : les solides
et les liaisons entre les solides. Une représentation peut donc en être faite au moyen
d’un graphe cinématique ou d’un graphe de liaison.
I.5.4.1
Graphe cinématique
Lorsqu’on représente un système de solides par un graphe cinématique, les solides se
représentent par des lignes et les liaisons par des symboles. Les symboles représentatifs
des liaisons sont dessinés en respectant la normalisation et les positions spatiales
relatives des entités géométriques caractéristiques. Un graphe cinématique est donc
en général un graphe tridimensionnel et se dessine en perspective sauf dans le cas
particulier des mécanismes plans.
La fonction principale du graphe cinématique est d’aider à la compréhension du
fonctionnement du système, à la visualisation du paramétrage.
20
CHAPITRE I. CINÉMATIQUE
I.5.4.2
Graphe de structure ou graphe des liaisons
A l’inverse, lorsqu’on représente un système de solides par un graphe de structure,
les solides sont représentés par des “bulles” et les liaisons par des lignes. Ce graphe
pourra être complété par la suite par des vecteurs figurant les actions mécaniques.
Sur chaque ligne, il y a le nom de la liaison qu’il représente ainsi que
ses caractéristiques géométriques. Dans les bulles sont placées les symboles
alphanumériques désignant les solides.
Le graphe de structure a deux fonctions principales :
– aider à la détermination de la mobilité du système c’est à dire du nombre minimal
de paramètres permettant de décrire complètement la cinématique du système,
– aider au choix des sous-systèmes à isoler, des théorèmes généraux de la dynamique
à utiliser, des projections à effectuer pour répondre à un problème posé.
I.5.4.3
Mobilité d’un système
La mobilité d’un système correspond au nombre minimal de paramètres
indépendants nécessaires pour décrire totalement la cinématique du système. Dans
un mécanisme, chaque liaison présente un certains nombre de degrés de liberté. Mais la
mobilité du système complet n’est pas égale à la somme des degrés de liberté de chacune
des liaisons. Le graphe de structure sera généralement employé pour déterminer la
mobilité du système. En effet, lorsque le graphe présente des fermetures, des équations
supplémentaires entre les paramètres apparaissent, ce qui diminue d’autant la mobilité
du système.
a)
Fermeture géométrique
Lorsque dans le graphe de liaison apparaı̂t un chemin fermé, (S1 , S2 , . . . , Sn−1 , Sn , S1 )
alors, la fermeture géométrique de ce chemin s’écrit :
−−−→
−−−−−→ −−→ →
−
O1 O2 + · · · + On−1 On + On O = 0
et
et P (B1 /B2 ) .P (B2 /B3 ) . . . P (Bn−1 /Bn ) .P (Bn /B1 ) = Id
où (Oi , Bi ) est le repère, d’origine Oi et de base Bi , attaché au solide Si . P (Bi /Bi+1 )
est la matrice de passage de la base Bi à la base Bi+1 et Id la matrice identité.
Pour chaque chemin fermé, on obtient six équations scalaires. Dans la pratique, on
utilise que la première relation qu’on a l’habitude de noter :
−→ →
−
OO = 0
Cette relation donne au maximum dans le cas tridimensionnelle trois équations scalaires
indépendantes.
b)
Fermeture géométrique
Si le chemin fermé possède des liaisons cinématiques, il est possible alors écrire
une équation de fermeture cinématique portant sur le torseur cinématique du chemin
fermé :
I.5. CINÉMATIQUE DES SYSTÈMES DE SOLIDES
(
)
(
VS1 /S2 +
M
)
(
VS2 /S3 +· · ·+
M
21
)
(
VSn /Sn−1 +
M
)
VSn /S1
( )
=
0
M
Dans cette expression, tous les torseurs doivent impérativement être écris au
même point M . Cette expression conduit également à six équations scalaires qui sont
les dérivées de celle obtenue par la fermeture géométrique associée au même chemin
fermé.
Remarque I.10 Le choix d’utiliser une fermeture géométrique ou une fermeture
cinématique sera guidé par des conditions de simplicité de mise en œuvre et conduira
souvent à une procédure mixte. Dans la pratique on préféra la fermeture cinématique
pour le vecteur taux de rotation bien plus simple que l’utilisation des matrices de
−→ →
−
passages. D’un autre côté la fermeture géométrique OO = 0 est souvent plus simple
que la fermeture cinématique qui nécessite le calcul des vitesses en un même point M .
I.5.4.4
Calcul de la mobilité
La mobilité est le nombre minimal de paramètres indépendants nécessaires pour
décrire totalement la cinématique du système. Pour l’obtenir, il faut suivre la procédure
suivante :
1. Déterminer le nombre maximal de chemins fermés indépendants, γ. Ce nombre
s’appelle le nombre cyclomatique et vaut :
γ = Nl − Ns + 1
ou Nl est le nombre de liaisons et Ns est le nombre de solides.
2. Calculer la mobilité du système m qui est déterminée par
m = Ic − Ec
avec Ec est le nombre d’équation cinématique et Ic est le nombre
d’inconnues cinématiques. Le nombre d’équations cinématiques est lié au nombre
cyclomatique
(
6γ en 3D
Ec =
3γ en 2D
Ic est la somme des degrés de libertés associés à chaque liaison.
La mobilité peut être déterminé en imaginant le blocage d’un degré de liberté d’une
liaison. On regarde si le système reste mobile ou non. S’il reste mobile, on ajoute un
deuxième blocage d’un nouveau degré de liberté et ainsi de suite jusqu’a l’immobilité
complète du système. La mobilité est alors le nombre de blocages effectues.
I.5.4.5
Mobilité utile et mobilité interne
On peut classer les paramètres de position en deux catégories suivant qu’ils sont
associés a des liaisons avec l’extérieur du système ou à des liaisons internes au système.
Par commodité, on parlera de paramètres utiles et de paramètres internes.
22
CHAPITRE I. CINÉMATIQUE
La mobilité d’un système se décompose en une mobilité interne et mobilité utile
m = mu + mi
La mobilité utile correspond au nombre d’actionneurs (moteurs ou pistons) nécessaire
au fonctionnement du système. Elle peut être trouvée en utilisant la “procédure” du
blocage des liaisons avec l’extérieur (c’est-dire là où on peut mettre un actionneur).
On observe le système sous la forme d’une boı̂te noire dont les seuls degrés de liberté
observables et accessibles (donc blocables) sont ceux des liaisons avec l’extérieur. Cette
procédure donne la mobilité utile mu . La mobilité interne mi = m − mu n’a aucun rôle
fonctionnel, elle correspond à un mouvement d’un solide ou d’un ensemble de solides à
l’intérieur du système.
I.5.4.6
Résolution d’un problème de cinématique
1. Identifier les solides, identifier les liaisons.
2. Identifier le nombbre de degrés de liberté et le paramétrage qui y est associé.
3. Tracer les figures de calcul associées au paramétrage.
4. Tracer le graphe de structure.
5. Calculer le nombre de chemins fermés indépendants.
6. Expliciter les équations de fermeture soit par fermeture cinématique ou soit par
fermeture géométrique.
I.6
I.6.1
Cinématique graphique
Mouvements plans
La cinématique se restreint aux systèmes dont les solides sont en mouvement plans
(cas 2D). On appelle mouvement plan de solides tout mouvement dont un plan P du
solide S reste constamment dans un plan fixe d’un repère R. Ce plan P s’appelle le
plan de glissement et la connaissance de la cinématique des deux solides dans le plan
de glissement permet de connaı̂tre les vitesses dans tous les plans parallèle à P.
L’étude de ces mouvement se fait dans le plan glissement. Le vecteur rotation est
−
orthogonal au plan P, il n’a donc qu’une composante sur l’axe →
z.
→
−
−
Ω S/R = ω →
z
I.6.2
Equiprojectivité
I.6.2.1
Définition
Le champ des vitesses d’un solide S par rapport à référentiel R est équiprojectif,
c’est-à-dire : quels que soient les points A et B on a
→
−
−→ →
−
−→
V (A, S/R) .AB = V (B, S/R) .AB
I.6. CINÉMATIQUE GRAPHIQUE
I.6.2.2
23
Démonstration
Les vitesses du point A et du point B dans le mouvement de S par rapport à R
sont reliées par la relation
→
−
→
−
→
−
−→
V (A, S/R) = V (B, S/R) + Ω (S/R) ∧ AB
−→
En prenant le produit scalaire des deux membres de l’équation avec le vecteur AB on
obtient directement le résultat recherché. En effet, le produit mixte de trois vecteurs
coplanaires est nul :
→
−→ −→
−
−→ −→ →
−
Ω (S/R) ∧ AB .AB = Ω (S/R) . AB ∧ AB = 0
donc
→
−
−→ →
−
−→ →
−
−→ −→
V (A, S/R) .AB = V (B, S/R) .AB + Ω (S/R) ∧ AB .AB
→
−
−→ →
−
−→
V (A, S/R) .AB = V (B, S/R) .AB
I.6.2.3
Utilisation de l’équiprojectivité
Premier cas
Figure I.7 – Equiprojectivité entre deux points A et B (Chevalier, 2004)
L’équiprojectivité permet de déterminer la norme de la vitesse de B connaissant la
vitesse de A et la direction de la vitesse de B (Figure I.7). La longueur de la projection
→
−
du vecteur vitesse V (A, S/R) sur la droite (AB) est notée Aa. Pour construire le
→
−
vecteur vitesse V (B, S/R), il suffit de porter au point B la longueur Aa sur la droite
(AB) et de mener la perpendiculaire à (AB) au point “b”. L’intersection de cette
→
−
→
−
perpendiculaire avec la direction de V (B, S/R) permet de construire V (B, S/R).
Second cas
Si on applique ensuite l’équiprojectivité entre les points A et C d’une part et B et
→
−
C d’autre part, on obtient l’intégralité du vecteur vitesse V (C, S/R). L’extrémité du
→
−
vecteur V (C, S/R) se trouve à l’intersection de la perpendiculaire à (AC) en c0 et de
la perpendiculaire à (BC) en c00 .
24
CHAPITRE I. CINÉMATIQUE
Figure I.8 – Equiprojectivité entre trois points A, B et C (Chevalier, 2004)
I.6.3
Centre instantané de rotation
I.6.3.1
Définition
→
−
Soit I un point particulier se trouvant sur la perpendiculaire en A de V (A, S/R) et
→
−
sur la perpendiculaire en B de V (B, S/R) (Figure II.8). Compte tenu de la propriété
d’équiprojectivité, il est clair que la vitesse du point I considéré comme un point de S,
est nulle par rapport à R. On appelle ce point le Centre Instantané de Rotation
(C.I.R.) du mouvement de S par rapport au plan de référence. On a
→
−
→
−
V (I, S/R) = 0
Figure I.9 – Construction du Centre Instantané de Rotation de S par rapport à R.
I est l’intersection des perpendiculaires au vitesses (Chevalier, 2004)
I.6. CINÉMATIQUE GRAPHIQUE
25
Remarque I.11 Tout se passe comme si le solide S tournait autour du point ISR
à l’instant de la figure. Le C.I.R. n’occupe pas une position fixe dans le temps, ni
par rapport au plan de référence ni par rapport au solide lui-même. Sa définition est
instantanée et son utilisation n’a d’intérêt que pour une configuration donnée.
Remarque I.12 Notons que le C.I.R. est caractéristique d’un repère par rapport à un
autre. Dans un système plan constitué de N solides Si en mouvement par rapport R0 ,
il existe évidemment N C.I.R. que nous pourrons noter Ii0 . Il existe également, tous
les C.I.R. des référentiels liés au solide Si par rapport au repère lié au solide Sj que
l’on peut noter Iij . Bien sûr, le C.I.R. Ikj est confondu avec le C.I.R. Ijk .
I.6.3.2
Propriétés
→
−
Propriété I.2 Si l’on connaı̂t deux supports de vecteurs vitesses V (A, S/R) et
→
−
V (B, S/R) respectivement aux points A et B dans le mouvement de S par rapport
à R. Alors le C.I.R., noté ISR , du mouvement de S par rapport à R est l’intersection
→
−
→
−
de la perpendiculaire à V (A, S/R) en A et de la perpendiculaire à V (B, S/R) en B.
Propriété I.3 La vitesse d’un point P dans le mouvement
du solide S par rapport à
−→ R est proportionnelle la distance à la distance P I SR et à la vitesse de rotation ωS/R
dans le mouvement de S par rapport R.
→
−→ −
V (P, S/R) = ωS/R P I SR Exemple : l’hélice d’avion
Figure I.10 – Hélice d’avion
La vitesse des points B et C dans le mouvement de l’hélice par rapport à l’avion ne
→
−
peuvent pas s’obtenir à partir de la vitesse V (A, helice/avion) par équiprojectivité car
26
CHAPITRE I. CINÉMATIQUE
→
−
la projection de V (A, helice/avion) sur la droite (AB) est nulle. Mais elle s’obtient très
facilement à l’aide du “triangle” caractérisant le champ de vitesse. Ce triangle s’obtient
à partir de la droite (AI) et de la droite (IA0 ) où I est le C.I.R. dans le mouvement de
→
−
l’hélice par rapport à l’avion et A0 l’extrémité du vecteur vitesse V (A, helice/avion) =
−−→0
AA . La vitesse de rotation de l’hélice par rapport à l’avion se calcul aisément
−
→
AI [m]
= rad.s−1
ω=
−1
−−→0 [m.s ]
AA −
Propriété I.4 Si les solides S1 et S2 sont en liaison pivot d’axe (O, →
z ) alors O = IS1 S2
est le centre instantané de rotation dans le mouvement S1 par rapport à S2 .
−
Propriété I.5 Si les solides S1 et S2 sont en liaison appui-ponctuel de normale (A, →
x)
→
−
→
−
et qu’il y a roulement sans glissement alors V (A, S/R) = 0 donc A = IS1 S2 est
le centre instantané de rotation dans le mouvement S1 par rapport à S2 .
Propriété I.6 Si le solide S2 est en translation par rapport à S1 alors le C.I.R., I12 ,
est porté à l’infini. Le vecteur vitesse est le même en tout point du solide de S2 .
I.6.4
Théorème des 3 plans mobiles
Notons que les C.I.R. n’occupent pas des positions quelconques les uns par rapport
aux autres. En effet, si l’on considère 3 solides S0 , S1 et S2 , on peut définir trois C.I.R.
notés I10 , I20 et I21 . Alors on a
I10 , I20 et I21 sont alignés
De plus, les vitesses de rotations sont inversement proportionnelles aux distances entre
les différents C.I.R.
ω2/0
I21 I10
=
ω1/0
I21 I20
Références
Chevalier, L. (2004). Mécanique des systèmes et des milieux déformables. Ellipses.
Pommier, S. and Berthaud, Y. (2010). Mécanique générale. Dunod.
I.7. CE QU’IL FAUT RETENIR
I.7
27
Ce qu’il faut retenir
Trajectoire, vecteur position
– La trajectoire du point M dans le repère R est le lieu des positions successives
occupées par M dans R lorsque le temps varie
−−→
– La trajectoire est définie par un vecteur position OM (t), où O est fixe dans R.
Vecteur vitesse et accélération
– La vitesse du point M par rapport au référentiel R
−−→ →
−
dOM V (M/R) =
m.s−1
dt R
avec O fixe dans le repère R.
– L’accélération du point M par rapport au référentiel R
→
−
−→ 2−
d
V
(M/R)
d
OM
→
−
a (M/R) =
=
2
dt
dt R
m.s−2
R
avec O fixe dans le repère R.
– Changement de repère pour la dérivée
→
−
→
−
→
−
→
−
d U d U =
+ Ω (R0 /R) ∧ U
dt dt R
R0
→
−
– Le vecteur taux de rotation Ω (R0 /R) de R0 par rapport à R
X →
−
→
−
Ω (R0 /R) =
α̇i k i
rad.s−1
i
→
− où αi , k i définissent toutes les rotations permettant de passer de R à R0
→
−
Remarque I.13 Bien que la dérivée vectorielle U s’effectue par rapport à un repère
→
−
R donné, il est néanmoins déconseillé de projeter U dans R avant ou après avoir
effectué la dérivation.
→
−
Remarque I.14 Généralement pour calculer la dérivée d’un vecteur U , on utilise
la formule de changement de repère, en choisissant un repère R0 tel que
→
−
d U →
−
= 0
dt R0
28
CHAPITRE I. CINÉMATIQUE
Composition des vitesses
– Vitesse d’entraı̂nement du point M dans le mouvement du solide S2 par rapport
au solide S1
→
−
→
−
→
−
V (M, S2 /S1 ) = V (M/S1 ) − V (M/S2 )
– Compositions des vitesses relatives et des vecteurs taux de rotations
→
−
→
−
→
−
Ω (Rn /R0 ) = Ω (Rn /Rn−1 ) + · · · + Ω (R1 /R0 )
→
−
→
−
→
−
V (M, Rn /R0 ) = V (M, Rn /Rn−1 ) + · · · + V (M, R1 /R0 )
Champ de vitesse d’un solide
– Torseur cinématique
(
)
VS2 /S1
( →
)
−
Ω (S2 /S1 )
=
→
−
V (A, S2 /S1 )
A
– Relation de changement de point
→
−
→
−
→
−
−→
V (B, S2 /S1 ) = V (A, S2 /S1 ) + Ω (S2 /S1 ) ∧ AB
Cinématique d’un système de solide
– Condition de roulement sans glissement, soit I le point de contact de deux solide
S1 et S2
→
−
→
−
V (I, S2 /S1 ) = 0
– Fermeture géométrique
– Fermeture cinématique
(
) (
VN/0
=
VN/N −1
−→ →
−
OO = 0
)
(
+
VN −1/N −2
)
(
+ ··· +
V2/1
)
(
+
)
V1/0
Attention cette relation est vraie si tous les torseurs sont exprimés en même
point M . Le choix du point du point M est fait afin de minimiser les calculs.
– Nombre de fermetures de chaı̂ne cinématique indépendantes
γ = Nliaison − Nsolide + 1
γ est appelé le nombre cyclomatique
I.7. CE QU’IL FAUT RETENIR
29
Cinématique d’un système de solide
– Mobilité du système m
m = Ic − Ec
où Ic est le nombre d’inconnues cinématiques, il se calcul en sommant les nombres
de ddl associés à chacune des liaisons. Ec est le nombre d’équation cinématique,
qui vaut Ec = 6γ (cas 3D) et Ec = 3γ (cas 2D)
– Résolution d’un problème de cinématique
1. Identifier les solides, identifier les liaisons.
2. Identifier le nombbre de degrés de liberté et le paramétrage qui est associé.
3. Tracer les figures de calcul associées au paramétrage.
4. Tracer le graphe de structure.
5. Calculer le nombre de chemins fermés indépendants.
6. Expliciter les équations de fermeture soit par fermeture cinématique ou soit
par fermeture géométrique.
Cinématique graphique (Cas 2D)
– Equiprojectivité (Figures I.7 et I.8)
→
−
−→ →
−
−→
V (A, S/R) .AB = V (B, S/R) .AB
– Centre Instantané de Rotation (CIR) du mouvement de 1 par rapport 0, I10
(Figure II.8)
→
−
→
−
V (I10 , 1/0) = 0
– La vitesse en du point P dans le mouvement de 1 par rapport à 0 est
perpendiculaire à la droite (P I10 ) et sa norme vaut
→
−→ −
V (P, 1/0) = ω10 . P I 10 – Les centres des liaisons pivots et les points de contact des liaisons appui-ponctuel,
où il y a roulement sans glissement, sont des CIR
– Soient trois solides 1, 2 et 3 alors les trois CIR I10 , I20 et I21 sont alignés
Chapitre -IIStatique
Table des Matières
II.1
II.2
II.3
II.4
II.5
Actions mécaniques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
II.1.1
Définition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
II.1.2
Représentation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
II.1.3
Actions volumiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
II.1.4
Actions de contact . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
II.1.4.1 Répartition surfacique de force . . . . . . . . .
II.1.4.2 Répartition linéique de force . . . . . . . . . .
II.1.5
Moment d’action mécanique et couple . . . . . . . . .
II.1.5.1 Définition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
II.1.5.2 Torseur des actions mécaniques . . . . . . . . .
II.1.5.3 Torseur couple . . . . . . . . . . . . . . . . . .
II.1.5.4 Moment d’une répartition de force de contact .
II.1.6
Actions de liaison . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
II.1.6.1 Expressions des torseurs d’inter-efforts . . . . .
Principe fondamentale de la statique . . . . . . . . . . .
II.2.1
Efforts extérieurs à un système matériel . . . . . . . .
II.2.2
Enoncé . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
II.2.3
Théorème des actions réciproque . . . . . . . . . . . .
II.2.4
Cas particuliers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Loi du frottement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
II.3.1
Analyse du contact ponctuel entre deux solides . . . .
II.3.2
Loi de Coulomb . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Utilisation du principe fondamentale de la statique . .
II.4.1
Degré d’hyperstatisme . . . . . . . . . . . . . . . . . .
II.4.2
Systèmes isostatiques et hyperstatiques . . . . . . . . .
II.4.3
Démarche de résolution des problèmes . . . . . . . . .
Statique graphique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
.
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33
33
33
34
35
35
36
37
37
38
38
39
39
41
43
43
43
44
45
46
47
48
50
51
51
52
52
32
CHAPITRE II. STATIQUE
II.6
II.5.1
Exemple 1 : Solide soumis à trois forces . . . . . . . .
II.5.2
Exemple 2 : Solide soumis à quatre forces . . . . . .
II.5.3
Exemple 3 : Encore un solide soumis à quatre forces
Ce qu’il faut retenir . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
.
.
.
.
.
.
.
.
. . 52
. . 54
. . 55
. 56
II.1. ACTIONS MÉCANIQUES
II.1
II.1.1
33
Actions mécaniques
Définition
On appelle action mécanique, toute cause physique susceptible de maintenir ou de
modifier les mouvements d’un corps ou de déformer un corps. Il existe deux grandes
catégories d’actions mécaniques :
– les actions à distance liées à des champs de force (ex : champ d’accélération de
la pesanteur ou champ électromagnétique) ;
– les actions de contact (ex : action de la main sur la poignée d’une porte, pression
de l’eau sur un plongeur).
Ces actions s’exercent soit sur un volume (ex : la pesanteur), soit sur une surface (ex :
contact entre deux solides) ou encore sur une ligne (ex : dans les problèmes en deux
dimensions).
Remarque II.1 Deux solides S1 et S2 sont dits en interaction si une modification
de position de l’un entraı̂ne une modification de position de l’autre. Quatre actions
élémentaires sont responsables de tous les phénomènes physiques observés dans
l’univers, chacune se manifestant par une force dite force fondamentale. Ce sont :
– l’interaction nucléaire forte
– l’interaction nucléaire faible
– l’interaction électromagnétique
– la gravitation.
Les deux premières ont un rayon d’action comparable aux dimensions atomiques
(≈ = 10−10 m). Les deux dernières ont un rayon d’action beaucoup plus grand et
se manifestent sous la forme d’actions à distance. Aux échelles microscopiques, la
gravitation est la plus faible des quatre interactions fondamentales de la physique ; elle
devient dominante au fur et à mesure que les échelles de distance augmentent.
II.1.2
Représentation
La modélisation d’une action mécanique requiert généralement la précision :
– de la cause de l’action ;
– de la nature de l’action ;
– du point d’application P de l’action mécanique ;
– de l’élément de matière qui subit l’action.
En mécanique des solides, toutes les actions mécaniques peuvent être modélisées
→
−
→
−
par un vecteur lié F . Un vecteur lié F se caractérise par quatre éléments :
– une direction
– un sens
– une norme
– un point d’application
34
II.1.3
CHAPITRE II. STATIQUE
Actions volumiques
Interaction gravitationnelle
La gravitation est le phénomène d’interaction physique à l’origine de l’attraction
réciproque des masses. La force gravitationnelle (ou loi de Newton) exercée par le point
matériel P1 de masse m1 sur le point matériel P2 de masse m2 a pour :
Direction
la droite (P1 P2 )
Sens
vers le point P1
Norme
G0 m1 m2
Point d’application P2
La force gravitationnelle peut s’écrire
−−→
−
→
P 1 P2
Fg (P1 → P2 ) = −G0 m1 m2 −−→3
P1 P2 ou G0 est la constante de gravitation universelle qui vaut 6, 6742 1011 m3 kg −1 s−2 .
Force de pesanteur, le poids
La loi de Galilée (accélération de la pesanteur g) se retrouve à partir de la loi de
−−→
Newton. En prenant, en première approximation P1 P2 = RT , avec RT égal au rayon
terrestre et m1 égale à la masse de la Terre, on en déduit :
m1
g = G0 2 = 9.81 ms−2
−
−
→
P1 P2 On en déduit que l’action mécanique gravitationnelle agissant sur tout système Σ de
masse m est de
−
Direction
la normal unitaire à la surface de la terre (la verticale), →
z
→
−
Sens
vers le sens de la terre, − z
Norme
mg
Point d’application le centre de gravité du système Σ, G
→
−
d’où l’expression du poids P agissant sur le système Σ de masse m, au point G
→
−
−
P (T erre → Σ) = −mg →
z
Action à distance
En règle générale, les actions mécaniques à distance comme la pesanteur ou les
forces électromagnétiques peuvent être modélisée par une densité volumique de force
→
−
f v (P ) en tout point P . Elle s’exprime en Newton par mètre cube [N.m−3 ]. A l’aide
−
→
de cette définition l’action à distance Fv s’appliquant sur le système Σ
ZZZ
→
−
−
→
Fv =
f v (P ) dV
Σ
Bien entendu, la dimension physique de la résultante des actions mécaniques volumique,
−
→
Fv , est le Newton [N ].
II.1. ACTIONS MÉCANIQUES
II.1.4
35
Actions de contact
L’action de contact sur une partie δc S d’un solide S est modélisée par une densité
−
vectorielle →
p (M ) normale à la surface δc S au point M et dirigée vers l’intérieur de la
−
matière. La norme de →
p (M ) dépends généralement du point M . La densité vectorielle
→
−
p (M ) est appelée répartition de charge ou pression de contact.
II.1.4.1
Répartition surfacique de force
Répartition uniforme
→
−
−
F = −L1 L2 p0 →
z
→
−
z
→
−
z
p0
=
→
−
y
G
→
−
y
L1
→
−
x
→
−
x
L2
Figure II.1 – Répartition uniforme de pression
−
−
Une répartition sufacique uniforme de pression contact →
p (M ) = −p0 →
z est constant
pour tout point M de la surface semblable (Figure II.1). La dimension physique de p0 est
des Newton par mètres carré [N.mm−2 ], c’est-à-dire des Pascal [P a]. Il est intéressant
de noter que p0 est homogène à une pression, elle peut donc être exprimée en bar
[bar = 105 P a].
L’action mécanique d’une répartition uniforme de pression de contact d’intensité p0
agissant sur une surface plane δS est de
−
Direction
normal à la surface de contact, →
z
−
Sens
dirigée vers l’intérieur de la matière, −→
z
Norme
volume de la répartition de charge, p0 × δS = L1 L2 p0
Point d’application le centre de gravité la surface δS, G
Répartition quelconque
Pour une répartition de charge quelconque sur une surface gauche δS, la direction,
→
−
le sens et la norme de la force résultante Fc sont donnés par l’intégrale :
ZZ
→
−
→
−
Fc =
p (M ) dS
M ∈δS
→
−
−
Le point d’application G de Fc est le point qui équilibre la répartition →
p (M ), c’est-à→
−
dire tel que le moment de Fc en G est nul. G est le centre de gtravité du volume défini
36
CHAPITRE II. STATIQUE
par la répartition de charge.
En définitive l’action de contact sur une surface quelconque est définie par
→
−
Direction
celle de Fc
→
−
Sens
ce-lui
de Fc
→
− Norme
Fc Point d’application
II.1.4.2
G, centre de gravité du volume de défini par la répartition
de charge
Répartition linéique de force
−
Dans le cas d’une répartition linéique de force →
p (M ) a pour dimension physique
des Newton par mètres [N.mm−1 ]
Répartition uniforme
→
−
−
F = −Lp0 →
y
→
−
y
→
−
y
p0
→
−
x
A
B
→
−
x
=
A
C
B
L
Figure II.2 – Répartition linéique de charge uniforme
−
−
Dans le cas d’une répartition linéique uniforme de force de contact →
p (M ) = −p0 →
y
pour tout M ∈ [A, B] (Figure II.2).
L’action mécanique d’une répartition linéique de force uniforme d’intensite p0 agissant
sur le segment [A, B] est de
−
Direction
normal à la surface de contact, →
z
−
Sens
dirigée vers l’intérieur de la matière, −→
z
Norme
Aire de la répartition de charge, p0 L
Point d’application C (le milieu de [A, B])
Répartition triangulaire
Dans le cas d’une
linéique triangulaire de force de contact (Figure II.3),
répartition
→
−
→
−
A
p (M ) = −pmax xx−x
y pour tout M (x, y, z) ∈ [A, B].
B −xA
L’action mécanique d’une répartition linéique triangulaire agissant sur le segment [A, B]
est de
II.1. ACTIONS MÉCANIQUES
37
→
−
→
−
F = − Lpmax
y
2
→
−
y
→
−
y
pmax
→
−
x
A
=
B
A
L
2L
3
C
L
3
→
−
x
B
Figure II.3 – Répartition linéique de charge triangulaire
Direction
Sens
Norme
Point d’application
−
normal à la surface de contact, →
z
−
dirigée vers l’intérieur de la matière, −→
z
Aire de la répartition de charge, 21 pmax L
−→
−→
C, tel que AC = 13 AB
Répartition quelconque
Pour une répartition quelconque sur une courbe de l’espace L (s) paramétrée par
→
−
l’abscisse curviligne s, la direction, le sens et la norme de la force résultante Fc sont
donnés par l’intégrale :
Z
→
−
→
−
Fc =
p (M ) ds
M ∈L
→
−
−
Le point d’application G de Fc est le point qui équilibre la répartition →
p (M ), c’est-à→
−
dire tel que le moment de Fc en G est nul. G est également le centre de gravité de la
surface définit par la répartition de charge.
En définitive l’action de contact sur une surface quelconque est définie par
→
−
Direction
celle de Fc
→
−
Sens
ce-lui
de Fc
→
− Norme
Fc Point d’application
G, centre de gravité de la répartition de charge
II.1.5
Moment d’action mécanique et couple
II.1.5.1
Définition
Une action mécanique est un vecteur lié qui est un vecteur attaché à un point P de
l’espace. Ce point étant le point d’application de la force. On appelle moment
d’une
−
→ →
−
force appliquée en P par rapport à un point A, la grandeur vectorielle M A, F
définie par
−
→ →
− →
− −→
M A, F = F ∧ P A
Remarque II.2 Du point de vue de la modélisation des actions mécaniques
38
CHAPITRE II. STATIQUE
– une force est généralement associée à une action susceptible de créer un
mouvement de translation ;
– un moment est généralement associé à une action susceptible de créer un
mouvement de rotation.
Remarque II.3 Dans le cas d’un problème plan, le moment en A dû à une force lié
au point P s’exerçant sur un solide S est égale à
−→ →
−
→ →
−
− →
z
M A, F = ± AP F −
→
−
Si la force F tends à faire tourner le solide S dans le sens trigonométrique alors le
moment est positif. A l’inverse, si la force tends à faire tourner le solide dans le sens
horaire alors le moment est négatif.
II.1.5.2
Torseur des actions mécaniques
Comme en cinématique, les actions mécaniques peuvent être caractérisées par un
torseur statique. Par exemple, l’action d’un solide S1 sur un solide S2 s’écrit au point
A
(
)
( →
)
−
R S1 →S2
S1 → S2 =
−
→
M (A, S1 → S2 )
A
→
−
−
→
Le vecteur R S1 →S2 est la résultante du torseur et le vecteur M (A, S1 → S2 ) est le
moment au point A dû à l’action de S1 sur S2 . Pour trouver l’effet de l’action de S1
sur S2 en point B, il suffit de transporter le torseur en B
(
)
( →
)
−
R S1 →S2
S1 → S2 =
−
→
M (B, S1 → S2 )
B
à l’aide de la formule suivante
−
→
−
→
→
−
−→
M (B, S1 → S2 ) = M (A, S1 → S2 ) + R S1 →S2 ∧ AB
II.1.5.3
Torseur couple
Le torseur couple est un torseur d’un inter-efforts qui a une résultante nulle :
(
)
( →
− )
0
TCouple =
→
−
C
−
Le torseur couple est invariant par changement de point.
Dans la pratique, il sert à modéliser l’action :
– d’un moteur ;
– d’un engrenage sur son arbre ;
– de serrage pour une vis ou un boulon.
II.1. ACTIONS MÉCANIQUES
II.1.5.4
39
Moment d’une répartition de force de contact
Répartition surfacique
−
Le moment au O produit par une répartition surfacique de force de contact →
p (M )
est défini par une intégrale qui correspond à la somme des moments au point O produit
−
par les forces élémentaires →
p (M ) liée au point M
ZZ
−
→
−−→ →
→
−
M (O, p ) =
OM ∧ −
p (M ) dS
M ∈δS
Le processus d’intégration est le même que celui utiliser pour obtenir la résultante des
efforts de pression. Le torseur des efforts de pression au point O sur un solide S1 est
donc
(
)
( RR
)
→
−
p
(M
)
dS
RRM ∈δS −−→ →
P ression → S1 =
OM ∧ −
p (M ) dS
M ∈δS
O
On montre également que se torseur peut s’écrit
(
)
( →
)
−
Fc
P ression → S1 =
→
− −→
Fc ∧ GO
O
→
−
avec Fc la résultante des efforts de contact et G le point équilibrant la répartition de
pression de contact.
Répartition linéique
De la même manière le torseur dû aux actions de contacts linéique au point O sur
un solide S1 est donc
(
)
)
( R
→
−
p
(M
)
ds
RM ∈L −−→ →
Plineique → S1 =
OM ∧ −
p (M ) ds
M ∈L
O
On montre également que se torseur peut s’écrit
(
)
( →
)
−
Fc
Plineique → S1 =
→
− −→
Fc ∧ GO
O
→
−
→
−
avec Fc la résultante des efforts de contact et G le point d’application de Fc .
II.1.6
Actions de liaison
Torseur des inter-efforts
Le torseur des inter-efforts du solide S2 sur le solide S1 est le torseur complémentaire
(ou dual) du torseur cinématique des vitesses relatives de S1 par rapport à S2 . On le
note
)
(
(
)
( →
)
−
R S2 →S1
(X21 , Y21 , Z21 )
S2 → S1 =
=
−
→
(L21 , M21 , N21 )
M (P, S2 → S1 )
→
→
→
P
P
x ,−
y ,−
z)
(−
40
CHAPITRE II. STATIQUE
→
−
Le vecteur R S2 →S1 correspond à la force transmissible par la liaison du solide S2 sur le
−
→
solide S1 . Le vecteur M (P, S2 → S1 ) correspond au couple transmissible du solide S2
sur le solide S1 par la liaison au point P , il dépend évidemment du point P choisi.
Liaisons parfaites
Une liaison parfaites est une liaison idéale qui n’a ni jeux ni frottement. Dans ces
conditions, il existe une composante d’effort dans le torseur d’inter-efforts que si le
degré de liberté correspondant dans le torseur cinématique est bloqué.
Exemple
Figure II.4 – Pression de contact dans une liaison pivot sans frottement et sans jeux
(Pommier and Berthaud, 2010)
S’il n’y a pas de frottement, en chaque point, l’action de contact surfacique est
normale au plan tangent au contact. Dans un guidage en rotation, toutes les actions
sont dirigées vers le centre O de la liaison. Le moment des action de contact par rapport
au point O est nul (Figure II.4). C’est pourquoi on ne considère que deux composantes
de force et pas de moment en O dans ce type d’articulation pour un problème plan :
(
S2 → S1
)
(
=
O
−
−
X21 →
x + Y21 →
y
→
−
0
)
De façon générale, une liaison parfaite est une liaison qui ne dissipe pas de puissance.
La puissance Pint se définit comme le comoment d’un torseur des efforts et d’un torseur
II.1. ACTIONS MÉCANIQUES
41
cinématique :
(
)
VS1 /S2
Pint =
P
(
⊗
)
S2 → S1
=0
P
→
−
−
→
→
−
→
−
= Ω (S1 /S2 ) .M (P, S2 → S1 ) + V (P, S1 /S2 ) . R (S2 → S1 )
La puissance dissipé Pint est indépendante du point choisi pour exprimer le torseurs
des inter-efforts et le torseur cinématique. Néanmoins, il est impératif d’exprimer
ces torseurs au même point P .
Dans ces conditions les composantes des deux torseurs sont complémentaires. Ceci
est un résultat général qui donne, pour des liaisons plus complexes, des information sur
les efforts transmissibles en fonction des mouvements autorisés.
II.1.6.1
Expressions des torseurs d’inter-efforts
Liaison encastrement (0 ddl )
→
−
z
(
)
1→2
(
=
−
(X12 , Y12 , Z12 )
(L12 , M12 , N12 )
)
→
−
y
(−,−,−)
A
Liaison pivot (1 ddl )
→
−
z
(
)
1→2
(
=
A
(X12 , Y12 , Z12 )
(0, M12 , N12 )
→
−
z
)
→
x ,−,−)
(−
→
−
y
→
−
x
A
A
Liaison glissière (1 ddl )
→
−
z
(
)
1→2
(
=
−
(0, Y12 , Z12 )
(L12 , M12 , N12 )
→
−
z
)
→
x ,−,−)
(−
→
−
y
→
−
x
42
CHAPITRE II. STATIQUE
Liaison hélicoı̈dale (1 ddl )
→
−
z
(
)
(
1→2
=
A
→
−
z
)
(X12 , Y12 , Z12 )
12
− pX
, M12 , N12
2π
→
−
y
→
x ,−,−)
(−
→
−
x
A
avec p le pas
A
Liaison rotule à doigt (2 ddl )
→
−
z
(
)
1→2
(
=
A
)
(X12 , Y12 , Z12 )
(L12 , 0, 0)
→
−
y
→
x ,−,−)
(−
A
Liaison pivot glissante (2 ddl )
→
−
z
(
)
1→2
(
=
A
(0, Y12 , Z12 )
(0, M12 , N12 )
→
−
z
)
→
x ,−,−)
(−
→
−
y
A
A
Liaison rotule (3 ddl )
→
−
z
(
)
1→2
(
=
A
(X12 , Y12 , Z12 )
(0, 0, 0)
)
→
−
y
(−,−,−)
A
Liaison appui-plan (3 ddl )
→
−
z
(
)
1→2
(
=
A
(0, 0, Z12 )
(L12 , M12 , 0)
)
→
−
y
→
z)
(−,−,−
A
→
−
x
II.2. PRINCIPE FONDAMENTALE DE LA STATIQUE
43
Liaison linéaire annulaire (4 ddl )
→
−
z
(
)
1→2
(
=
A
(0, Y12 , Z12 )
(0, 0, 0)
→
−
z
)
→
−
y
→
x ,−,−)
(−
→
−
x
A
A
Liaison linéaire rectiligne (4 ddl )
→
−
z
(
)
1→2
(
=
A
(0, 0, Z12 )
(0, M12 , 0)
→
−
z
)
→
→
→
x ,−
y ,−
z)
(−
→
−
y
→
−
x
A
A
Liaison appui-ponctuel (5 ddl )
→
−
z
(
)
1→2
(
=
A
(0, 0, Z12 )
(0, 0, 0)
)
→
−
y
→
z)
(−,−,−
A
II.2
II.2.1
Principe fondamentale de la statique
Efforts extérieurs à un système matériel
Soit un système matériel Σ, constitué de N solides indéformables. On appelle torseur
des forces extérieures à Σ, le torseur résultant de toutes les actions mécaniques qui
s’exercent de l’extérieur de Σ (noté Σ) sur Σ. Les efforts qui agissent entre deux solides
de Σ sont des efforts intérieurs au système. Le torseur des efforts extérieurs à Σ se
note :
(
)
( →
)
−
F Σ→Σ
Σ→Σ =
−
→
M
0,
Σ
→
Σ
0
II.2.2
Enoncé
Nous ne nous étendrons pas sur la notion de référentiel Galiléen. Il faut savoir que,
compte tenu de l’expansion de l’Univers, un tel référentiel n’existe pas. On appelle
donc abusivement référentiel Galiléen tout référentiel “immobile” à l’échelle du système
étudié. Dans le cas des sciences de l’ingénieur le référentiel terrestre ou géocentrique
sera considéré Galiléen.
44
CHAPITRE II. STATIQUE
Principe Fondamental de la Statique (P.F.S.)
Pour qu’un système de solide indéformable Σ initialement au repos dans un
référentiel Galiléen, soumis à des actions mécaniques, reste en équilibre, il faut que
le torseur des efforts extérieurs à Σ soit nul :
(
) ( )
Σ→Σ
=
0
Ce principe est en fait un cas particulier du Principe Fondamentale de la Dynamique.
On en déduit deux théorèmes :
Théorème de la résultante
→
→
−
−
F Σ→Σ = 0
Théorème du moment résultant
→
−
→
−
M O, Σ → Σ = 0
II.2.3
Théorème des actions réciproque
Enoncé
Soient deux solides S1 et S2 qui sont liaisons alors
)
(
S1 → S2
)
(
= − S2 → S1
Démonstration
On isole l’ensemble de solide Σ = {S1 ∪ S2 }.
Le Principe Fondamental de la Statique appliqué à Σ conduit à :
(
) ( )
Σ→Σ
=
0
or les actions extérieures à Σ sont la somme de deux contributions :
– Les actions extérieures à Σ s’appliquant sur S1
(
)
Σ → S1
– Les actions extérieures à Σ s’appliquant sur S2
(
)
Σ → S2
II.2. PRINCIPE FONDAMENTALE DE LA STATIQUE
donc on a
(
)
Σ → S1
(
+
)
Σ → S2
45
( )
=
0
On isole le solide S1 .
Le bilan des actions mécaniques extérieurs à S1 , nous amène à considérer :
– Les actions de S2 sur S1
(
)
S2 → S1
– Les actions extérieures à Σ = {S1 ∪ S2 }
(
)
Σ → S1
Le P.F.S. implique que
(
)
Σ → S1
On isole le solide S2
On obtient de façon analogue que
(
(
)
= − S2 → S1
)
Σ → S2
(
)
= − S1 → S2
En combinant les trois expressions obtenues par l’application du P.F.S. sur chacun
des systèmes isolés, on obtient la relation recherchée
(
) (
) ( )
S2 → S1
soit
+
S1 → S2
)
(
(
S2 → S1
II.2.4
=
0
)
= − S1 → S2
Cas particuliers
Solides soumis à deux forces
Si un système Σ est soumis à deux forces en A et B, le P.F.S. au point O, nous dit :
( −
→ −
→ →
−
FA + FB = 0
−→ −
→ −−→ −
→ →
−
OA ∧ FA + OB ∧ FB = 0
Si on se place en A pour exprimer l’équation de moment, on en tire :
−→ −
→ →
−
AB ∧ FB = 0
−→ −
→
AB et FB sont colinéaires.
Règle II.1 Un solide ou un ensemble de solides est en équilibre sous l’action de
deux forces si ces deux forces sont directement opposées et de même module.
46
CHAPITRE II. STATIQUE
Figure II.5 – Solides soumis à deux forces (Chevalier, 2004)
Solides soumis à trois forces
Si un système de solides Σ est soumis à trois forces, le P.F.S. nous dit :
( −
→ −
→ −
→ →
−
FA + FB + FC = 0
−→ −
→ −−→ −
→ −→ −
→ →
−
OA ∧ FA + OB ∧ FB + OC ∧ FC = 0
La relation de moment est vraie quel que soit le point O. Si on l’écrit au point A pour,
on en tire :
−→ −
→
−→ −
→ →
−
AB ∧ FB = −AC ∧ FC = 0
−→ −
→
Le vecteur de gauche est orthogonal au plan formé par AB et FB , le vecteur de droite
−→ −
→
−
→ −
→
est orthogonal au plan formé par AC et FC donc FB et FC sont dans le plan (ABC).
−
→
Par suite l’équation de résultante nous dit que FA est également dans le plan (ABC).
−
→ −
→
Si on appelle I le point où les directions de FB et FC se coupent, on a :
−
→ −
→ →
−
IA ∧ FA = 0
−
→ −
→
IA et FA sont donc colinéaires.
−
→
−
→
Dans le cas où les directions de FB et FC sont parallèles l’équations de résultante
−
→ −
→
−
projeter sur vecteur →
n orthogonal à FB et FC donnent :
−
→−
FA .→
n =0
−
→ −
→ −
→
donc FA , FB et FC sont colinéaires.
Règle II.2 Un solide est en équilibre sous l’action de trois forces extérieures si
ces trois forces sont coplanaires, concourantes ou parallèles et que leur somme
géométrique est nulle.
II.3
Loi du frottement
Les lois de frottement (ou loi de Coulomb) sont utiles en mécanique lorsqu’on ne
peut plus raisonnablement faire l’hypothèse de frottement négligeable. On introduit
II.3. LOI DU FROTTEMENT
47
Figure II.6 – Solides soumis à trois forces (Chevalier, 2004)
alors (en plus de des actions de liaison vérifiant que la puissance dissipée Pint est nulle
dans la liaison) de nouvelles actions mécaniques qui s’opposent aux mouvements des
pièces en contact.
Si on fait un bilan des équations et des inconnues, on constate alors un déséquilibre
qui nous empêche de résoudre le problème. Il faut alors écrire des équations
supplémentaires, ce sont les lois de Coulomb. Il s’agit d’un modèle de frottement simple
pour un contact sec ou onctueux.
II.3.1
Analyse du contact ponctuel entre deux solides
Lors du contact en un point I, entre deux solides S1 et S2 , on peut caractériser le
déplacement relatif par trois mouvements de base : le glissement, le roulement et le
pivotement. Nous ferons l’hypothèse que S1 et S2 sont deux solides, et que l’un d’entre
eux au moins est limité par une surface régulière.
Le contact a lieu en un point I, il existe donc un plan tangent commun (Π) aux deux
−
solides. Ce plan est caractérisé par un vecteur unitaire →
n 12 normal au plan tangent
commun et dirigé de S2 vers S1 (car c’est S1 que l’on isolera dans cette étude). La
rotation de S1 par rapport à S2 se décompose autour de la normale : c’est le pivotement ;
et dans le plan (Π) : c’est le roulement. Au niveau du point I, un déplacement de S1
par rapport à S2 est possible : c’est le glissement, il a lieu dans le plan tangent.
Nous avons vu dans la première partie du cours (description du mouvement) que
le glissement est caractérisé par un vecteur de glissement de S1 par rapport S2 en I.
Chacun de ces mouvements de base de S1 par rapport à S2 est freiné par des efforts de
S2 sur S1 , si on abandonne l’hypothèse de contact parfait.
Dans la pratique lorsqu’on isole le solide S1 , les frottements résistants au roulement
et au pivotement sont faibles devant le frottement résistant au glissement. On les
→
−
néglige donc en première approximation. L’action de S2 sur S1 , notée F (S2 → S1 )
se décompose en :
→
−
– une force T 21 dans le plan tangent commun (Π) qui s’oppose au glissement de
S1 par rapport à S2 ;
→
−
– une force N 21 normale au plan tangent commun dirigée vers l’intérieur de la
48
CHAPITRE II. STATIQUE
Figure II.7 – Contact en deux solides (Chevalier, 2004)
−
matière, soit suivant le vecteur →
n 12
II.3.2
Loi de Coulomb
Si le contact est ponctuel et si on néglige le frottement de roulement et de
pivotement, le torseur des efforts de S2 sur S1 est
(
S2 → S1
)
( →
−
→
− )
N 21 + T 21
=
→
−
0
I
→
−
−
N 21 = N21 →
n 21 est l’effort normal : il est forcément dirigé vers l’intérieur de la matière.
→
−
→
−
T 21 = T21 t est la composante tangentielle de l’effort. S’il existe un mouvement de
glissement de S1 par rapport à S2 alors l’action tangentielle de contact sera opposée au
sens de la vitesse de glissement de S1 par rapport à S2 .
De plus, on observe expérimentalement que dans le cas d’un frottement sec ou
→
−
légèrement lubrifié T21 est proportionnel au module de N 21 , le rapport est noté fd :
c’est le coefficient de frottement dynamique. Il dépend du couple de matériaux
de S1 et S2 , de l’état de surface, d’une éventuelle lubrification mais ne dépend ni de la
force normale, ni de la vitesse de glissement. Il est bien sûr toujours positif. On traduit
cette observation par les équations vectorielles suivantes ; ce sont les lois de Coulomb :
II.3. LOI DU FROTTEMENT
49
→
−
→
−
Si il y a glissement au contact V (I, 1/2) 6= 0 alors


= fd .N21
 T21
→
−
→
−
→
−
V (I, 1/2) ∧ T 21 = 0

−
→
−
 →
V (I, 1/2) . T 21
<0
La première équation nous donne le module de l’effort tangentielle, la seconde
équation nous donne sa direction (coliniaire à la vitesse de glissement) et la
troisième équation son sens (opposée à la vitesse de glissement).
→
−
→
−
Si il n’y a pas glissement au contact V (I, 1/2) = 0 alors
T21 ≤ f.N21
Les deux dernières équations ont disparues et ne nous donnent plus de
renseignements sur la direction et le sens de l’effort tangentiel. De plus la
première équation devient une inégalité et on dit que l’effort est compris dans
le cône de frottement de sommet I et de demi-angle au somment ϕ qui est
relié au coefficient d’adhérence f (Figure ??) :
tan ϕ = f
Figure II.8 – Cône de frottement (Chevalier, 2004)
Remarque II.4 Le coefficient de frottement f est différent du coefficient de frottement
dynamique fd , on a
f > fd
Le coefficient f correspond en fait à la valeur de fd au démarrage du mouvement. Ceci
traduit le fait que la force tangentielle T21 nécessaire pour créer le glissement de 1 par
50
CHAPITRE II. STATIQUE
rapport à 2 est supérieure à celle nécessaire pour l’entretenir. Le tableau II.1 donne
différentes valeurs pour des couples de matériaux usuels.
Matériau 1
Acier
Acier
Acier
Acier
Acier
Fonte
Bois
Métal
Métal
Pneu voiture
Matériau 2
Acier
Fonte
Bronze
Téflon
Nylon
Bronze
Bois
Bois
Glace
Route
f
0.18
0.19
0.11
0.04
0.65
0.6 à 0.5
0.8
fd
0.15
0.16
0.1
0.04
0.35
0.2
0.4 à 0.2
0.5 à 0.2
0.02
0.6
Table II.1 – Valeurs indicatives des coefficients d’adhérence f et de frottement fd
Remarque II.5 La statique est l’étude des systèmes au repos, en équilibre, nous
sommes donc toujours dans le mauvais cas d’application de lois de Coulomb. Pour
pouvoir résoudre les problèmes, nous ferons les hypothèses ci-dessous. Grâce à ces deux
hypothèses, qu’il ne faut jamais perdre de vue, on peut expliciter les loi de Coulomb.
Hypothèse 1 En statique, dès qu’il existe du frottement, on étudie le cas limite du
glissement commençant, donc
T21 = f N21
Hypothèse 2 L’action tangentielle au glissement commençant possède la même
direction que l’action tangentielle lors du mouvement. Pour résoudre un problème,
→
−
on doit définir une vitesse supposée de glissement V ? (I, 1/2) permettant de
définir la direction et le sens de l’effort tangentiel
→
−?
→
−
V (I, 1/2) . T 21 < 0
Remarque II.6 Le cas d’un contact parfait correspond à un coefficient de frottement
nul.
II.4
Utilisation du principe fondamentale de la
statique
Lors de l’étude statique d’un ensemble matériel Σ, la première des choses à faire est
de modéliser. Ce travail est généralement fait pour vous lors d’exercices ou de devoirs,
mais il est important de ne pas perdre de vue ce point. L’ingénieur confronté à un
problème réel n’aura plus la possibilité de se raccrocher à un énoncé précis pour faire
ses calculs, et la justesse de ses résultats dépendra de la pertinence de sa modélisation.
II.4. UTILISATION DU PRINCIPE FONDAMENTALE DE LA STATIQUE
51
Le système matériel est modélisé par un ensemble fini de N solides indéformables.
La géométrie et les données de masses sont mesurables donc, connues. Les actions
mécaniques vont être modélisées par des forces et des couples. Il convient à ce niveau,
de distinguer les forces connues (ex : la pesanteur, la poussée de tel ou tel actionneur,
l’effort de serrage imposé par l’utilisateur) et les forces inconnues (ex : réaction d’un
support, efforts dans une liaison entre deux pièces, . . .). On fait donc un bilan, c’està-dire, on compare le nombre d’inconnues statiques Is du système avec le nombres
d’équations statique Es disponibles par application du P.F.S. aux différents solides du
système.
II.4.1
Degré d’hyperstatisme
Le résultat de ce bilan s’exprime à l’aide du degrés d’hyperstatisme h
h = Is − Es
Le nombre d’inconnues statiques Is s’obtient en dénombrant les inconnues de liaisons.
Le nombre d’équations statiques dépend du nombre de solides que l’on peut isoler et du
degrés de mobilité du système m. Le nombre de solides que l’on peut isoler est (N − 1),
car on ne peut pas isoler le bâti, d’où l’expression
(
6 (N − 1) − m en 3D
Es =
3 (N − 1) − m en 2D
Il est possible de déterminer le degrés d’hyperstatisme à l’aide d’une analyse
cinématique du système qui conduit à l’expression suivante
(
6γ + m − Ic en 3D
h=
3γ + m − Ic en 2D
avec γ le nombre cyclomatique et Ic le nombre d’inconnues cinématiques.
II.4.2
Systèmes isostatiques et hyperstatiques
Une fois que l’on a calculé le degrés d’hyperstatisme trois cas se présentent à nous :
h < 0 Le problème est mal posé, les conditions ou les contraintes imposées sont trop
fortes. Le problème n’est pas soluble. Il faut revenir sur les hypothèses faites lors
de la modélisation, si le problème est concret. S’il s’agit d’un devoir, revoyez votre
dénombrement des inconnues et de la mobilité, vous vous êtes sûrement trompé
quelque part car h est par définition positif.
h > 0 Le système est hyperstatique (trop d’inconnues par rapport au nombre
d’équations). Il faut introduire des lois de comportement supplémentaires, soit
lois de frottement (loi de Coulomb), soit des lois de déformation élastique (lois de
Hook) qui seront abordées dans le cours de Résistance des Matériaux en deuxième
année.
h = 0 tout va bien, nous avons autant d’équations que d’inconnues. Le problème est
soluble. Cela n’ira peut-être pas tout seul, mais vous partez dans de bonnes
conditions. La résolution proprement dite dépend ensuite essentiellement des
questions posées.
52
II.4.3
CHAPITRE II. STATIQUE
Démarche de résolution des problèmes
Soit un système Σ de N solides soumis à des actions extérieures dont on veut
déterminer une inconnue statique ou toutes les inconnues statiques. La démarche à
suivre est la suivante
1. Faire le schéma de structure (schéma de liaison) de Σ
2. Rajouter les actions extérieures à Σ (ex : pesanteur, action d’un vérin ou d’un
moteur)
3. Dénombrer les inconnues statiques Is
4. Déterminer la mobilité du système m
5. Calculer le degrés d’hyperstatisme h = IS − ES + m
6. Si le système est isostatique, on continue la résolution, si il est hyperstatique il
ne sert à rien de continuer l’étude.
7. Chercher les systèmes à isoler :
(a) Repérer les solides ou ensembles de solides soumis à deux forces, ceci permet
de déterminer la direction des deux efforts ;
(b) Repérer les sous-systèmes de solides Si les plus grands possibles ayant
moins de 6 inconnues statiques à déterminer (3 inconnues statiques en 2
dimensions). L’intérêt de prendre des sous-systèmes les plus grands possibles
est d’éviter des calcul inutiles d’inconnues de liaison.
8. Appliquer le Principe Fondamental de la Statique aux systèmes ainsi repérés.
Penser à utiliser les zéros des liaisons pour projeter vos équations et pour choisir
le point d’application du théorème du moment.
9. Réitérer les deux dernières opérations 7 et 8 jusqu’à la résolution du problème.
II.5
Statique graphique
Les règles déterminées pour l’études de systèmes soumis à deux ou trois forces sont
à la base des méthodes graphiques. On utilise la règle des solides soumis à deux forces
pour déterminer les directions.
II.5.1
Exemple 1 : Solide soumis à trois forces
−
→ −
→
Prenons maintenant l’exemple d’un solide isolé soumis à trois forces : FA , FB et
−
→
−
→
FC appliquées respectivement aux points A, B et C, dont nous ne connaissons que FA
−
→
(direction et intensité) et la direction de FB . Nous proposons ci-dessous les étapes de
résolution d’un tel problème :
1. Une représentation graphique du problème peut être effectuée. Il faut à ce stade
faire le bilan des données sur le solide isolé. Nous ne pouvons résoudre un problème
graphiquement que si nous avons au plus trois inconnues (ici c’est le cas, nos
inconnues sont une direction et deux intensités).
2. Grâce aux deux directions connues, on détermine le point de concours I des trois
−
→
forces. On en déduit donc la direction de la force inconnue FC (représentée par
la ligne (IC)).
II.5. STATIQUE GRAPHIQUE
53
3. Puisque nous savons que la somme géométrique des trois forces est nulle, nous
pouvons représenter un triangle regroupant les trois forces, souvent nommé
−
→
triangle des forces. Pour cela on trace la force connue FA à une échelle choisie.
−
→
Ensuite, à l’extrémité de cette force, on vient représenter les directions de FB
−
→
et FC par des lignes parallèles à (IB) et (IC) respectivement. Enfin, on trace
−
→
−
→
les vecteurs FB et FC en faisant attention à ce que l’extrémité de chaque force
rencontre l’origine de la suivante.
4. La dernière étape consiste à mesurer les intensités des forces jusque là inconnues
−
→ −
→
(FB et FC ) à l’échelle choisie précédemment. On reporte les résultats obtenus sur
le solide isolé.
Figure II.9
– Résolution graphique d’un solide soumis à trois forces
(Pommier and Berthaud, 2010)
54
II.5.2
CHAPITRE II. STATIQUE
Exemple 2 : Solide soumis à quatre forces
Si les forces ne sont pas parallèles, le nombre maximal d’inconnues déterminables,
pour chaque équilibre étudié, est de trois. Au-delà, la résolution n’est pas possible ou
ne peut être que partielle. Deux cas principaux se présentent, chacun amenant des
résolutions graphiques différentes : une direction et deux modules inconnus ou trois
modules inconnus.
Sur les quatre forces, deux présentent des éléments inconnus et les deux autres (ou
plus) sont complètement connues. Méthode de résolution : déterminer la résultante de
toutes les forces connues afin de se ramener à trois forces concourantes et au cas de
résolution du paragraphe précédent.
Figure II.10
(Fanchon, 1998)
– Résolution graphique d’un solide soumis à quatre forces
II.5. STATIQUE GRAPHIQUE
II.5.3
55
Exemple 3 : Encore un solide soumis à quatre forces
Toutes les directions des forces sont connues, une seule force sur les quatre est
complètement connue.
Méthode de résolution ou méthode de Culman : mettre les quatre forces en deux
groupes de deux forces concourantes (points de concours I et J) afin de se ramener à
→
−
→
−
deux résultantes R 1 et R 2 égales et opposées, ayant même ligne d’action (IJ).
Figure II.11 – Résolution graphique d’un solide soumis à quatre forces par la méthode
du Culman (Fanchon, 1998)
Références
Chevalier, L. (2004). Mécanique des systèmes et des milieux déformables. Ellipses.
Fanchon, J.-L. (1998). Guide de Mécanique : Sciences et technologies industrielles.
Dunod.
Pommier, S. and Berthaud, Y. (2010). Mécanique générale. Dunod.
56
CHAPITRE II. STATIQUE
II.6
Ce qu’il faut retenir
Actions mécaniques
Action du poids
Direction
Sens
Norme
Point d’application
−
la normal unitaire à la surface de la terre (la verticale), →
z
→
−
vers le sens de la terre, − z
mg
le centre de gravité du système Σ, G
Actions de contact
→
−
−
F = −L1 L2 p0 →
z
→
−
z
→
−
z
p0
=
→
−
y
→
−
y
G
L1
→
−
x
→
−
x
L2
→
−
−
F = −Lp0 →
y
→
−
y
→
−
y
p0
→
−
x
A
→
−
x
=
B
C
A
B
L
→
−
→
−
F = − Lpmax
y
2
→
−
y
→
−
y
pmax
→
−
x
A
B
L
=
A
2L
3
C
L
3
→
−
x
B
II.6. CE QU’IL FAUT RETENIR
57
Principe fondamentale de la statique
Enoncé
Pour qu’un système de solide indéformable Σ initialement au repos dans un
référentiel Galiléen, soumis à des actions mécaniques, reste en équilibre, il faut que
le torseur des efforts extérieurs à Σ soit nul :
(
) ( )
Σ→Σ
=
0
Théorème des actions réciproque
Soient deux solides S1 et S2 qui sont liaisons alors
(
)
(
S1 → S2
)
= − S2 → S1
Solides soumis à deux forces
Un solide soumis ou un ensemble de solides est en équilibre sous l’action de deux
forces si ces deux forces sont directement opposées et de même module.
Solides soumis à trois forces
Un solide est en équilibre sous l’action de trois forces extérieures si ces trois forces
sont coplanaires, concourantes ou parallèles et que leur somme géométrique est nulle.
58
CHAPITRE II. STATIQUE
Loi du frottement
→
−
→
−
Si il y a glissement au contact G (I, 1/2) 6= 0 alors


= fd .N21
 T21
→
−
→
−
→
−
G (I, 1/2) ∧ T 21 = 0

−
→
−
 →
G (I, 1/2) . T 21
<0
La première équation nous donne le module de l’effort tangentielle, la seconde
équation nous donne sa direction (coliniaire à la vitesse de glissement) et la
troisième équation son sens (opposée à la vitesse de glissement).
→
−
→
−
Si il n’y a pas glissement au contact G (I, 1/2) = 0 alors
T21 ≤ f.N21
Les deux dernières équations ont disparues et ne nous donnent plus de
renseignements sur la direction et le sens de l’effort tangentiel. De plus la
première équation devient une inégalité et on dit que l’effort est compris dans
le cône de frottement de sommet I et de demi-angle au somment ϕ qui est
relié au coefficient d’adhérence f :
tan ϕ = f
Problème de statique avec frottement
La statique est l’étude des systèmes au repos, en équilibre, nous sommes donc
toujours dans le mauvais cas d’application de lois de Coulomb. Pour pouvoir résoudre
les problèmes, nous ferons les hypothèses ci-dessous. Grâce à ces deux hypothèses,
qu’il ne faut jamais perdre de vue, on peut expliciter les loi de Coulomb.
Hypothèse 1 En statique, dès qu’il existe du frottement, on étudie le cas limite du
glissement commençant, donc
T21 = f N21
Hypothèse 2 L’action tangentielle au glissement commençant possède la même
direction que l’action tangentielle lors du mouvement. Pour résoudre un
→
−
problème, on doit définir une vitesse supposée de glissement V ? (I, 1/2)
permettant de définir la direction et le sens de l’effort tangentiel
→
−?
→
−
V (I, 1/2) . T 21 < 0
II.6. CE QU’IL FAUT RETENIR
59
Utilisation du principe fondamentale de la statique
Soit un système Σ de N solides soumis des actions mécaniques extérieures dont
on veut déterminer une inconnue statique ou toutes les inconnues statiques. La
démarche à suivre pour atteindre se but est la suivante
1. Faire le schéma de structure (schéma de liaison) de Σ
2. Rajouter les actions mécaniques extérieures à Σ (ex : pesanteur, action d’un
vérin ou d’un moteur)
3. Dénombrer les inconnues statiques Is
4. Déterminer la mobilité du système m
m = Ic − Ec
avec Ec = 6γ (en 3D) ou Ec = 3γ (en 2D).
5. Calculer le degrés d’hyperstatisme h = IS −ES où ES est le nombre d’équations
de la statique
ES = 6 (N − 1) − m
ES = 3 (N − 1) − m
en 3D
en 2D
h peut être obtenue par
h = 6γ + m − Ic
h = 3γ + m − Ic
en 3D
en 2D
6. Si le système est isostatique, on continue la résolution, si il est hyperstatique
il ne sert à rien de continuer l’étude.
7. Chercher les systèmes à isoler :
(a) Repérer les solides ou ensembles de solides soumis à deux forces, ceci
permet de déterminer la direction des efforts ;
(b) Repérer les sous-systèmes de solides Si les plus grands possibles ayant
moins de 6 inconnues statiques à déterminer (3 inconnues statiques en
2 dimensions). L’intérêt de prendre des sous-systèmes les plus grands
possibles est d’éviter les calculs inutiles d’inconnues de liaison.
8. Appliquer le Principe Fondamental de la Statique aux systèmes ainsi repérés.
Penser à utiliser les zéros des liaisons pour projeter vos équations et pour
choisir le point d’application du théorème du moment.
9. Réitérer les deux dernières opérations 7 et 8 jusqu’à la résolution du problème.
Chapitre -IIIDynamique
Table des Matières
III.1
III.2
III.3
Dynamique du point matériel . . . . . . . . . . . . . . . . .
III.1.1 Equation de la dynamique . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
III.1.2 Exemples de force . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
III.1.3 Quantité de mouvement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
III.1.4 Moment cinétique et moment dynamique . . . . . . . . . . .
III.1.5 Théorème du moment cinétique . . . . . . . . . . . . . . . .
Dynamique du solide . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
III.2.1 Principe Fondamental de la Dynamique . . . . . . . . . . .
III.2.2 Torseur cinétique et torseur dynamique . . . . . . . . . . . .
III.2.2.1 Définitons . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
III.2.2.2 Expressions des résultantes cinétique et dynamique
III.2.2.3 Expressions des moments cinétique et dynamique .
III.2.2.4 Cas d’un ensemble de solides matériels indéformables
III.2.3 Centre d’inertie et opérateur d’inertie . . . . . . . . . . . . .
III.2.3.1 Centre d’inertie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
III.2.3.2 Opérateur d’inertie . . . . . . . . . . . . . . . . . .
III.2.3.3 Exemples classiques d’opérateur d’inertie . . . . . .
III.2.4 Démarche de résolution d’un problème . . . . . . . . . . . .
III.2.4.1 Utilisation des théorème généraux . . . . . . . . . .
III.2.4.2 Calculs des projections du moment dynamique . . .
Energétique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
III.3.1 Puissance et Travail . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
III.3.1.1 Puissance d’une force . . . . . . . . . . . . . . . . .
III.3.1.2 Puissance d’une action mécanique sur un solide . .
III.3.1.3 Puissances des inter-efforts . . . . . . . . . . . . . .
III.3.1.4 Travail d’une force . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
III.3.2 Energie cinétique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
63
63
63
64
65
65
65
66
66
66
67
68
68
69
69
69
72
73
73
73
73
74
74
74
75
75
75
62
CHAPITRE III. DYNAMIQUE
III.4
III.3.3 Théorème de l’énergie cinétique . . . . . . . . . . . . . . . . 76
Ce qu’il faut retenir . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
III.1. DYNAMIQUE DU POINT MATÉRIEL
63
Les deux premiers chapitres de ce cours ont introduit les notions de mouvement
et d’action mécanique. En effet, la cinématique est la science décrivant le mouvement
des solides sans s’occuper de ces causes. La statique nous a permis de déterminer les
actions mécanique assurant l’équilibre des solides au repos. La dynamique englobe ces
deux théories car elle relie la description du mouvement aux actions mécaniques qui en
sont la cause.
La dynamique repose sur les équations du mouvement due à Sir Isaac Newton
(1643-1727) qui ont fait leurs preuves depuis des siècles sous le nom de Principe
Fondamentale de la Dynamique. Ces équations que nous allons décrire dans le cas
du point matériel puis dans le cas du solide matériel indéformable forment l’un des
postulats de la mécanique classique.
III.1
Dynamique du point matériel
Un point matériel P est un point de l’espace auquel est associé une masse m.
III.1.1
Equation de la dynamique
Pour étudier les phénomènes mécaniques, il faut choisir un système de référence.
Dans des systèmes de références différents les lois du mouvement n’ont pas
nécessairement la même forme. Naturellement, il faut choisir un système de référence
tel que les lois de la mécanique soient les plus simples.
Par rapport à système de référence quelconque, l’espace n’est ni homogène ni
isotrope et le temps n’est pas uniforme. Cependant, on peut toujours trouver un système
de référence par rapport auquel l’espace sera homogène et isotrope et le temps uniforme.
Un tel système est appelé référentiel Galiléen. Dans le cas des sciences de l’ingénieur,
le référentiel terrestre peut être considère comme Galiléen.
→
−
La dynamique du point matériel P de masse m soumis aux forces F i est gouvernée
par une équation de la forme
2 −→ X→
−
d
OP
−
=
Fi
m→
a (P/Rg ) = m
2
dt Rg
où O est un point fixe dans un référentiel Galiléen Rg .
III.1.2
Exemples de force
Il existe un grand nombre de forces pouvant s’exercer sur une particule matériel,
dans cette section nous en donnons une liste non-exhaustive
Force de gravité La force de gravité exercée par un point matériel P2 de masse m2
sur le point matériel P1 de masse m1 est proportionnelle aux masses m1 et m2 et
inversement proportionnel au carré de la distance r entre P1 et P2
−−→
→
−
P 1 P2
m1 m2
F (P2 → P1 ) = Gm1 m2 3 ∝
−
−
→
r2
P1 P2 64
CHAPITRE III. DYNAMIQUE
G est une constante, appelée constante gravitationnelle qui est environ égale à
0.000000000067N.m2 .kg −2
Force due à un ressort La force exercée par un ressort sur une particule P est
proportionnel au déplacement du point P par rapport à sa position d’équilibre
−−→
OP0
→
−
−−→
F (ressort → P ) = −k P0 P
k est appelée la raideur du ressort.
Force due à un frottement visqueux La force exercée par un frottement visqueux
est proportionnel à la vitesse du point matériel par rapport au référentiel Galiléen
−→ →
−
→
−
dOP F (fv → P ) = −η
= −η V (P/Rg )
dt Rg
η est appelée la viscosité.
Force due à un frottement sec Le force due à un frottement sec est constant est
s’oppose au mouvement
→
−
1
−
V (P/Rg )
avec →
e =
−
→
V (P/Rg )
→
−
−
F (fs → P ) = −f →
e,
f est le coefficient de frottement.
III.1.3
Quantité de mouvement
Les équations de mouvement sont des équations différentielles du second ordre. Afin
de les transformer en équations différentielles du premier ordre, on introduit la quantité
−
de mouvement →
p (P/Rg ) défini par
−→ d
OP →
−
p (P/Rg ) = m
dt Rg
L’équation du mouvement du point matériel P de masse m peut se mettre sous le
forme
−
X→
−
d→
p (P/Rg ) =
Fi
dt
Rg
−→ dOP 1−
p (P/Rg )
= →
dt m
Rg
On peut définir également la quantité d’accélération qui est la dérivé temporelle de
la quantité de mouvement dans le référentiel Galiléen
−
→
−
d→
p (P/Rg ) →
−
Γ (P/Rg ) =
= m a (P/Rg )
dt
Rg
III.2. DYNAMIQUE DU SOLIDE
III.1.4
65
Moment cinétique et moment dynamique
−
Pour un point matériel P , le moment cinétique →
σ (O, P/Rg ) par rapport à O est
défini par
−→ −
→
−
σ (O, P/Rg ) = OP ∧ →
p (P/Rg )
Le moment cinétique est donc le moment de la quantité de mouvement par rapport à
O.
Par analogie avec la quantité de mouvement, le moment cinétique permet de définir
l’analogue de la masse : le moment d’inertie
I. En effet, pour une particule dont la
→
−
vitesse angulaire est θ̇ autour de l’axe O, k , on a
→
−
→
−
σ (O, P/Rg ) = I θ̇ k
ou I = mr2 avec r la distance de O à P .
Le moment dynamique au point O est le moment de la quantité d’accélération par
rapport au point O
→
−
−→ →
−
δ (O, P/Rg ) = OP ∧ Γ (P/Rg )
III.1.5
Théorème du moment cinétique
La dynamique du point matérielle P de masse m vérifie également l’équation du
moment cinétique
−
X−
→ →
−
d→
σ (O, P/Rg ) M O, F i → P
=
dt
Rg
III.2
Dynamique du solide
Dans la pratique technologique propre à l’ingénieur, rare sont les particules
matérielles livrées à elle-même. On a affaire à des solides matériels indéformables. Un
solide matériel indéformable est un assemblage continu de points matériels de masse
élémentaire par une unité de volume ρ (M ), appelée densité. La densité est homogène
à une masse sur un volume [g.m−3 ]. La masse totale mS d’un solide S s’obtient par
intégration de la masse volumique sur le volume VS du solide S
ZZZ
mS =
ρ (M ) dV
VS
Cette formule se simplifie dans le cas où la masse volumique ρ est constante
mS = ρVS
Après avoir énoncé le Principe Fondamental de la Dynamique (P.F.D.) pour un
solide matériel indéformable, nous montrerons comment les notions de quantité
de mouvement, de moment cinématique, de quantité d’accélération et de moment
dynamique sont transposées au cas du solide. Avant de donner un mode d’emploi
pour la résolution des problèmes de dynamique, nous introduirons l’opérateur d’inertie
I [O, S] du solide S au point O qui permet de calculer le moment cinétique puis le
moment dynamique.
66
III.2.1
CHAPITRE III. DYNAMIQUE
Principe Fondamental de la Dynamique
Il existe au moins un référentiel Galiléen Rg dans lequel le torseur des efforts
extérieurs au système matériel Σ est égale au torseur dynamique de Σ par rapport
à Rg
(
) (
)
Σ→Σ
=
DΣ/Rg
On tire de ce principe fondamentale les deux théorème généraux de la mécanique qui
sont la version pour un solide indéformable de des équations de conservation
Théorème de la résultante dynamique
−
→
−
→
F Σ → Σ = Rd (Σ/Rg )
Théorème du moment dynamique
→
−
−
→
M O, Σ → Σ = δ (O, Σ/Rg )
Ces deux théorèmes, comme dans le cas de la statique donnent 6 équations scalaires
en 3 dimensions et seulement 3 équations en 2 dimensions.
III.2.2
Torseur cinétique et torseur dynamique
III.2.2.1
Définitons
A chaque point matériel M du solide S, on associe des densités (volumiques) de
quantité de mouvement
→
−
ρ (M ) V (M/Rg )
quantité d’accélération
−
ρ (M ) →
a (M/Rg )
moment cinétique au point O
−−→ →
−
ρ (M ) OM ∧ V (M/Rg )
moment dynamique au point O
−−→ −
ρ (M ) OM ∧ →
a (M/Rg )
En intégrant ces grandeurs sur le volume VS du solide S, on obtient
La résultante cinétique ou la quantité de mouvement du solide S , [g.m.s−1 ]
ZZZ
→
−
→
−
p (S/Rg ) =
ρ (M ) V (M/Rg ) dV
VS
La résutante dynamique du solide S , [g.m.s−2 ]
ZZZ
−
→
−
Rd (S/Rg ) =
ρ (M ) →
a (M/Rg ) dV
VS
III.2. DYNAMIQUE DU SOLIDE
67
Moment cinétique du solide S au point O , [g.m2 .s−1 = N ]
ZZZ
−−→ →
−
→
−
σ (O, S/Rg ) =
ρ (M ) OM ∧ V (M/Rg ) dV
VS
Moment dynamique du solide S au point O , [g.m2 .s−2 = N.m]
ZZZ
→
−
−−→ −
δ (O, S/Rg ) =
ρ (M ) OM ∧ →
a (M/Rg ) dV
VS
Ces quatre quantités servent à définir
Torseur cinétique
(
)
CS/Rg
(
=
O
→
−
p (S/Rg )
→
−
σ (O, S/Rg )
)
Torseur dynamique
(
)
DS/Rg
( −
)
→
Rd (S/Rg )
=
→
−
δ (O, S/Rg )
O
Ceci signifie que les moments cinétique et dynamique du solide S en point A peuvent
être obtenus à l’aide de la relation fondamentale des torseurs
−→
→
−
−
−
σ (A, S/Rg ) = →
σ (O, S/Rg ) + →
p (S/Rg ) ∧ OA
→
−
→
−
−
→
−→
δ (A, S/Rg ) = δ (O, S/Rg ) + Rd (S/Rg ) ∧ OA
III.2.2.2
Expressions des résultantes cinétique et dynamique
Dans la pratique les composantes de ces torseurs ne sont pas obtenues à partir des
relations intégrales qui ne sont que des définitions. En effet, les résultantes cinétique
et dynamique s’obtient respectivement à partir de la vitesse et l’accélération du centre
d’inertie GS du solide S de masse mS par rapport au référentiel Galiléen. On montre
aisément que
→
−
→
−
p (S/Rg ) = mS V (GS /Rg )
−
→
−
Rd (S/Rg ) = mS →
a (GS /Rg )
On rappelle que
−→ →
−
dOG V (G/Rg ) =
dt avec O fixe dans Rg .
,
Rg
2 −→ d
OG
→
−
a (G/Rg ) =
2
dt Rg
68
CHAPITRE III. DYNAMIQUE
III.2.2.3
Expressions des moments cinétique et dynamique
Pour le calcul des moments cinétique et dynamique s’est légèrement plus compliqué.
Premièrement, ces deux quantités sont reliés par l’expression suivante dont la
démonstration est laissée à titre d’exercice au lecteur
−
→
−
→
−
→
−
d→
σ
δ (A, S/Rg ) =
(A, S/Rg ) + mS V (A/Rg ) ∧ V (G/Rg )
dt
Rg
En exprimant la vitesse du point M par rapport à Rg en fonction de la vitesse du point
A dans la définition du moment cinétique au point A, on obtient
ZZZ
−−→ →
−
→
−
σ (A, S/Rg ) =
ρ (M ) AM ∧ V (M, S/Rg ) dV
Z Z Z VS
−−→ →
−
=
ρ (M ) AM ∧ V (A, S/Rg ) dV
VS
Z
ZZ
−
−−→i
−−→ h→
ρ (M ) AM ∧ Ω (S/Rg ) ∧ AM dV
+
VS
−→ →
−
→
−
= mS AG ∧ V (A, S/Rg ) + I [A, S] . Ω (S/Rg )
où I [A, S] est une matrice 3 × 3, appelé opérateur d’inertie. Cet opérateur dépend de
la répartition de masse dans le solide S autour du point A, c’est la généralisation de la
notion de moment d’inertie au cas du solide matériel. Il dépend à la fois de la géométrie
du solide S et du point A où il est exprimé. Ces composantes ont pour unité le gramme
mètre carré [g.m2 ]. Le calcul de cet opérateur fera l’objet de la prochaine section.
Remarque III.1 On remarquera que les expressions des moments cinétique et
dynamique se simplifient lorsque le point A est confondu avec
le centre d’inertie GS du solide S
−
→
−
d→
σ
(GS , S/Rg ) ,
δ (GS , S/Rg ) =
dt
Rg
→
−
→
−
σ (GS , S/Rg ) = I [GS , S] . Ω (S/Rg )
un point O fixe dans Rg
−
→
−
d→
σ
δ (O, S/Rg ) =
(O, S/Rg ) ,
dt
Rg
→
−
→
−
σ (O, S/Rg ) = I [O, S] . Ω (S/Rg )
Dans la pratique, nous utiliserons ces formules plus simples pour ensuite transporter
les moments dynamique et cinétique au point voulu à l’aide de la relation de torseur.
III.2.2.4
Cas d’un ensemble de solides matériels indéformables
Les torseurs cinétique et dynamique d’un ensemble de N solides matériels Σ =
{S1 , . . . , SN } s’obtient en additionnant les torseurs associés à chaque solide matériel Si
(
)
(
)
(
)
(
)
N
N
X
X
CΣ/Rg =
CSi /Rg ,
DΣ/Rg =
DSi /Rg
A
i=1 A
A
i=1 A
III.2. DYNAMIQUE DU SOLIDE
69
III.2.3
Centre d’inertie et opérateur d’inertie
III.2.3.1
Centre d’inertie
Le centre d’inertie d’un solide matériel S, de masse mS , est le barycentre GS des
masses
ZZZ
−−→
−−→
1
OGS =
ρ (M ) OM dV
mS
VS
−
−
−
Ce qui donne en projetant dans une base orthonormée (→
x ,→
y ,→
z)
ZZZ
1
xG =
ρ (x, y, z) x dxdydz
mS
VS
ZZZ
1
yG =
ρ (x, y, z) y dxdydz
mS
VS
ZZZ
1
ρ (x, y, z) z dxdydz
zG =
mS
VS
Dans le cas d’un ensemble de solide matériel Σ = {S1 , . . . , SN } on peut utiliser la
même définition en remplaçant VS par VΣ le volume de l’ensemble de solide matériel,
mais on peut également utilisé les propriétés des barycentres
N
−−−→
−−→
1 X
mSi AGSi
AGΣ =
mΣ i=1
∀A
Propriété III.1 Pour un solide S dont la répartition de masse admet un (ou
plusieurs) axe(s) de symétrie(s) le centre d’inertie GS appartient à cet (ou ces) axe(s)
de symétrie(s).
Remarque III.2 Il ne faut pas confondre les notions de centre d’inertie et de centre de
gravité. La première représente le barycentre des masses alors que la seconde est le point
d’application de la force de gravité. Dans le cas où le champs de gravité est uniforme en
tout point du solide considéré, ce qui est très souvent le cas pour l’ingénieur, le centre
d’inertie et le centre de gravité sont les mêmes.
III.2.3.2
Opérateur d’inertie
L’opérateur d’inertie I [A, S] du solide S en A est un opérateur linéaire de R3 défini
−
par son application à un vecteur →
u de l’espace
ZZZ
−−→ →
−−→
→
−
−
I [A, S] . u =
AM ∧ u ∧ AM ρ (M ) dV
VS
La linéarité de l’intégrale induit la linéarité de l’opérateur d’inertie donc si nous
considérons le système de solides matériels Σ = {S1 , . . . , SN } alors nous avons
I [A, Σ] =
N
X
I [A, Si ]
∀A
i=1
Cette propriété est vraie quelque soit le point A choisi à condition que tous
les opérateurs soient exprimés au même point A. Notons que cette propriétés
70
CHAPITRE III. DYNAMIQUE
est essentiellement utilisée pour décomposer un solide en solide élémentaire dont
l’opérateur d’inertie est connu. Nous déconseillons fortement son utilisation dans le
cas de système de solides en mouvement les uns par rapport aux autres. En effet, vu
que l’opérateur d’inertie caractérise la répartition des masses dans le systèmes si les
solides constitutifs de Σ se déplacent au cours du temps cela induit une modification de
cette répartition des masses et donc l’opérateur d’inertie I [A, Σ] dépendra du temps.
Comme nous le savons tout opérateur linéaire de R3 peut s’écrire sous forme d’une
matrice 3 × 3 donc l’opérateur d’inertie peut se mettre sous la forme


 
A −F −E
x
−−→  


I [A, S] =  −F B −D 
AM =  y 
−E −D C
z −
−
→
→
→
→
→
→
x ,−
y ,−
z
x ,−
y ,−
z
S
S
S
S
s
S
Les expressions des coefficients de l’opérateur s’obtient à partir des coordonnées (x, y, z)
−
−
−
du point M dans le repère (A, →
x S, →
y S, →
z S)
ZZZ
ZZZ
ZZZ
2
2
2
2
ρ y + z dV, B =
ρ x + z dV, C =
ρ x2 + y 2 dV
A=
VS
VS
VS
ZZZ
ZZZ
ZZZ
ρyz dV,
D=
ρxz dV,
E=
ρxy dV
F =
VS
VS
VS
Notons que dans ces expressions la masse volumique peut dépendre des coordonnées
−
(x, y, z) du point M . A, B et C sont les moments d’inertie par rapport aux axes (A, →
x S ),
→
−
→
−
(A, y S ) et (A, z S ). D, E et F sont les produits d’inertie.
Propriété III.2 (Cas où le solide S admet un plan de symétrie matériel) Si P
−
est le plan de symétrie matériel de normale →
z S pour le solide S. Pour tout point
A ∈ P, l’opérateur d’inertie s’écrit


A −F 0


D=E=0
I [A, S] =  −F B 0 
0
0 C −
→
→
→
x ,−
y ,−
z
S
S
S
Propriété III.3 (Cas où le solide S admet deux plans de symétrie matériels)
−
Si P1 est le plan de symétrie matériel de normale →
z S pour le solide S et P2 celui de
−
normale →
y S . Pour tout point A ∈ (∆) où la droite ∆ est l’intersection de P1 et P2 ,
l’opérateur d’inertie s’écrit


A 0 0


I [A, S] =  0 B 0 
D=E=F =0
0 0 C −
→
→
→
x ,−
y ,−
z
S
S
S
Propriété III.4 (Cas où le solide S admet un axe de révolution matériel (∆))
−
Si (∆) est un axe de révolution matériel de direction →
z S alors pour tout point
A ∈ (∆), l’opérateur d’inertie s’écrit


A 0 0


I [A, S] =  0 A 0 
E = D = 0 et A = B
0 0 C −,−,−
→
z
S
III.2. DYNAMIQUE DU SOLIDE
71
Propriété III.5 (Cas où le solide S est d’épaisseur négligeable (plaques)) Si
−
la dimension du solide S est négligeable suivant l’axe →
z S alors pour tout point A
→
−
dans le plan de la plaque de normale z S , l’opérateur d’inertie s’écrit


A −F
0


I [A, S] =  −F B
D = E = 0 et C = A + B
0

0
0 A+B −
→
→
→
x ,−
y ,−
z
S
S
S
Il ne faut pas retenir par cœur la forme de cet opérateur car si la plaque est normale à
→
−
y S , on a


A
0
−E


I [A, S] =  0 A + C 0 
D = E = 0 et B = A + C
−E
0
C
−
→
→
→
x ,−
y ,−
z
S
S
S
Dans le cas d’un point matériel P , l’opérateur d’inertie est nul en P . Or, nous
savons que le moment d’inertie d’un point matériel P de masse m n’est pas nulle pour
tous autres points. Ceci signifie que l’opérateur d’inertie du point matérielle P n’est
pas nul en un point A 6= P . Cela nous amène à la question : “Comment passe-t-on de
l’expression de l’opérateur d’inertie du solide S au point P à celle au point A ?”
Propriété III.6 (Thèorème de Huygens “généralisé”) Soit S un solide matériel de masse mS et I [GS , S] son opérateur d’inertie au centre d’inertie GS alors
l’opérateur du solide S au point A, de coordonnées (XA , YA , ZA ) dans la repère
−
−
−
(GS , →
x S, →
y S, →
z S ) d’origine GS le centre d’inertie, s’obtient


(YA + ZA )2
−XA YA
−XA ZA


I [A, S] = I [GS , S] + mS  −XA YA
(XA + ZA )2
−YA ZA 
−XA ZA
−YA ZA
(XA + YA )2 −
→
→
→
x ,−
y ,−
z
S
S
S
Remarque III.3 Une des conséquences du théorème de Huygens est que l’opérateur
d’inertie du solide S est “minimum” lorsqu’il est exprimé en son centre d’inertie GS .
Donc plus l’axe de rotation du mouvement (∆) de S par rapport à Rg s’éloigne du
centre d’inertie GS de S plus il sera difficile de faire tourner le solide S autour (∆).
Remarque III.4 (Equilibrage statique) L’équilibrage statique d’un solide S en
rotation consiste à répartir les masses du solide de tel sorte que le centre de gravité se
place sur l’axe de rotation du solide S. L’équilibrage statique est pratiqué pour que toutes
positions angulaires du solide soit une position d’équilibre potentiel. En effet, lorsque
le centre de gravité appartient à l’axe de rotation du solide les forces de pesanteurs
n’engendrent pas de moment autour de cet axe et ça quelque soit la position angulaire
du solide S.
Remarque III.5 (Equilibrage dynamique) L’équilibrage dynamique d’un solide
−
matériel S en rotation au tour de l’axe (A, →
z S ) par rapport au bâti s’effectue en
mettant à zéro les produits d’inertie de I [A, S] correspondant à cette rotation (c’està-dire ici D = E = 0). L’équilibrage dynamique permet d’optimiser la durée de vie
72
CHAPITRE III. DYNAMIQUE
de la liaison pivot entre le solide S et la bâti en évitant les effets de “balourd” qui
engendrent des efforts variables (donc des vibrations) dans les paliers de la liaison
pivot. L’équilibrage dynamique comme l’équilibrage statique se pratique généralement
par ajout ou enlèvement de matière, dans le cas de l’équilibrage d’une roue de voiture
des masselottes sont ajoutées.
III.2.3.3
Exemples classiques d’opérateur d’inertie
Cylindre Pour un cylindre matériel homogène de masse M de hauteur h et de rayon
−
R. Le centre d’inertie G est sur l’axe de révolution orienté suivant →
z S et il est
au milieu du cylindre. Son opérateur d’inertie au centre d’inertie G s’écrit
2


2
0
0
M R4 + h12
2



R
h2
I [G, Cylindre] = 
0
M
+
0


4
12
M R2
0
0
→
2
−,−,−
z
S
Disque En remarquant qu’un disque est un cylindre de hauteur négligeable (h → 0),
on obtient l’expression de l’opérateur d’inertie en son centre d’inertie


I [G, Disque] = 
M R2
4
0
0
0
M R2
4
0
0
0
M R2
2



→
−,−,−
zS
Barre rectiligne Le cas de la barre rectiligne est également un cas limite du cylindre
mais cette fois pour un rayon négligeable (R → 0) d’où l’expression de l’opérateur
d’inertie au centre d’inertie


M h2
0
0
12


M h2
I [G, Barre] =  0
0 
12
0
0 0 −,−,−
→
z
S
Sphère Pour une sphère matérielle homogène de masse M et de rayon R, l’opérateur
d’inertie s’écrit au centre d’inertie


2M R2
0
0
5


2M R2
I [G, Sphere] =  0
0 
5
2M R2
0
0
5
−,−,−
Cube Pour un cube matériel homogène de masse M et d’arrête a, l’opérateur d’inertie
est


M a2
0
0
6


M a2
I [G, Sphere] =  0
0 
6
M a2
0
0
6
−,−,−
III.3. ENERGÉTIQUE
III.2.4
Démarche de résolution d’un problème
III.2.4.1
Utilisation des théorème généraux
73
Le lecteur pourra revenir à la section “utilisation du principe fondamentale de la
statique”. Les remarques faites sont d’autant plus valables en dynamique car nous
aurons à calculer les termes dynamiques. Notre principal souci étant de faire un
minimum de calculs, nous passerons donc du temps à faire une analyse de notre système.
Notre démarche sera la suivante : à l’issue d’une schématisation du système à
étudier, nous ferons le choix des paramètres cinématiques juste nécessaires pur traduire
le mouvement (p paramètres cinématiques). Nous ferons ensuite l’inventaire des actions
mécaniques qui agissent dans notre système. On distingue les actions mécaniques
connues, telles que la pesanteur, les couples résistants en sortie de mécanisme ou l’action
des ressorts et les actions mécaniques inconnues telles que les actions de liaisons (q
efforts inconnues). Si le nombre d’inconnues (p + q) est égal au nombre d’équations
6N (où N est le nombre de solide à isoler), alors le problème admet une solution. Il
faut exactement savoir ce qu’on cherche et choisir astucieusement, parmi les (p + q)
inconnues celles qui vont répondre aux questions posées, sans introduire d’inconnues
supplémentaires. Alors, seulement, on développera les calculs nécessaires pour arriver
aux résultats.
Règle III.1 Il est conseillé d’utiliser les zéros des liaisons pour écrire les équations de
la dynamique pour éviter d’introduire des inconnues de liaisons inutiles. Par exemple
écrire le théorème du moment dynamique au centre des liaisons pivot et en le projetant
suivant l’axe de la liaison ou en écrivant la projection du théorème de la résultante
dynamique sur l’axe des glissières.
III.2.4.2
Calculs des projections du moment dynamique
Comme nous venons de le voir, il est souvent plus judicieux de calculer les
projections des quantités dynamiques au lieu de calculer entièrement le torseur
dynamique. En utilisant la formule de dérivation du produit scalaire, on obtient
→
→
−
→
−
d−
u
d−
σ (A, S/Rg ) .→
u
→
−
→
−
δ (A, S/Rg ) . u =
− σ (A, S/Rg ) .
dt
dt Rg
Rg
→
−
→
−
−
+ mS →
u V (A/Rg ) ∧ V (G/Rg )
Le dernier terme de cette expression peut être calculé à l’aide des propriétés du produit
mixte
→
→
−
→
−
→
−
−
→
−
→
−
u V (A/Rg ) ∧ V (G/Rg ) = u ∧ V (A/Rg ) . V (G/Rg )
→
→
−
−
−
= V (A/Rg ) . V (G/Rg ) ∧ →
u
III.3
Energétique
Souvent lors de l’étude dynamique des systèmes constitués de plusieurs solides, la
recherche des équations du mouvement conduit à développer de nombreuses projections
74
CHAPITRE III. DYNAMIQUE
issues du P.F.D. Lorsque la détermination des projections n’est pas immédiates on peut
avoir recours à une autre approche : la méthode énergétique. Lorsque les liaisons sont
supposées parfaites l’approche énergétique permet de ne pas s’encombrer des actions
de liaisons.
III.3.1
Puissance et Travail
III.3.1.1
Puissance d’une force
→
−
La puissance d’une force F s’exerçant sur le point matériel P est la quantité
d’énergie par unité de temps fournie par cette force au point matériel, elle est définie
par le produit scalaire de la force avec la vitesse de P par rapport au référentiel Galiléen
→
→
−
− →
−
P F → P/Rg = F . V (P/Rg )
Cette quantité s’exprime en Watt [W = N.m.s−1 ], c’est une grandeur instantanée qui
vérifie les
propriétés suivantes
→
−
→
−
– P F → P/Rg est nulle si la force F est nulle
→
−
– P F → P/Rg = 0 si la vitesse de P dans son mouvement par rapport à Rg
estnulle
→
−
– P F → P/Rg = 0 si la vitesse de P dans son mouvement par rapport à Rg
→
−
est perpendiculaire la force F
III.3.1.2
Puissance d’une action mécanique sur un solide
Soit un solide S soumis à une action mécanique dont le torseur des inter-efforts est
(
)
( →
)
−
F (A → S)
A→S =
−
→
M (A, A → S)
A
La notion de puissance s’étend à une action mécanique s’exerçant sur un solide S
(
P (A → S/Rg ) =
A→S
A
)
(
⊗
)
VS/Rg
A
→
−
→
−
−
→
→
−
= F (A → S) . V (A, S/Rg ) + M (A, A → S) . Ω (S/Rg )
Cette expression est indépendante du point A choisi pour exprimer les torseurs d’interefforts et cinématique, mais il faut impérativement que ces deux torseurs soient
exprimés au même point.
La puissance est une grandeur extensive, c’est-à-dire additive, la puissance produite
par une action mécanique sur un système de solides matériels Σ = {S1 , . . . , Sn }
P (A → Σ/Rg ) =
n
X
i=1
P (A → Si /Rg )
III.3. ENERGÉTIQUE
III.3.1.3
75
Puissances des inter-efforts
La puissance est une grandeur définie par rapport à un référentiel Galiléen. Si on
considère deux solide S1 et S2 ont peut définir la puissance des inter-efforts entre S1 et
S2 par
P (S1 ↔ S2 ) = P (S1 → S2 /Rg ) + P (S2 → S1 /Rg )
(
)
(
)
(
S1 → S2
=
⊗
−
VS2 /S1
−
S2 → S1
=
−
)
(
⊗
)
VS1 /S2
−
Le référentiel Galiléen n’apparaı̂t plus dans cette expression. La puissance des interefforts que nous avions introduit lors de la présentations des liaisons permet de
quantifier l’énergie dissipée par unité de temps par les actions mécaniques entre les
solides S1 et S2 . Lorsque la liaison entre les solides S1 et S2 est parfaite (sans
jeu et sans frottement) la dissipation est nulle donc la puissance des interefforts est nulle.
III.3.1.4
Travail d’une force
On appelle travail d’une action mécanique entre l’instant t1 et l’instant t2 , la somme
des puissances de cette action entre les instants t1 et t2
→
Z t2 →
−
−
W F → S/Rg =
P F → S/Rg (t) dt
t1
Le travail d’une force est homogène à une énergie en s’exprime en Joule [J = N.m]. La
notion de travail vérifie les propriétés suivantes :
1. Deux actions mécaniques mécaniques sur le solide S ayant le même torseur
d’intereffort produisent le même travail.
2. Le travail d’un ensemble d’actions mécaniques dont la somme des torseurs est
nulle est également nul.
III.3.2
Energie cinétique
On définit l’énergie cinétique d’un solide matériel S comme le comoment du tenseur
cinématique de S dans son mouvement par rapport au référentiel Galiléen et de son
torseur cinétique
1
T (S) =
2
(
VS/Rg
A
)
(
⊗
)
CS/Rg
A
−
−
→
−
1→
1→
−
= Ω (S/Rg ) .→
σ (A, S/Rg ) + V (A, S/Rg ) . V (G/Rg )
2
2
Encore une fois, cette expression est indépendante du point A choisi pour exprimer
les torseurs cinétique et cinématique, mais il faut impérativement que ces deux
76
CHAPITRE III. DYNAMIQUE
torseurs soient exprimés au même point. L’énergie cinétique du solide S
correspond à l’énergie produite par son mouvement dans le référentiel Galiléen. Elle
correspond donc à l’énergie nécessaire pour stopper le mouvement du solide S dans le
référentiel Galiléen. Elle s’exprime évidemment en Joule [J = N.m]
L’énergie cinétique est également une grandeur extensive donc l’énergie cinétique
emmagasinée par un système de solides matériels Σ = {S1 , . . . , Sn } est
T (Σ) =
n
X
T (Si )
i=1
III.3.3
Théorème de l’énergie cinétique
Il existe un référentiel Galiléen dans lequel, pour tout système de solides matériels
indéformables Σ = {S1 , . . . , Sn }, la dérivée de l’énergie cinétique est égale à la somme
des puissances développées par les efforts extérieurs Pext et la puissance développées
par les efforts intérieurs entre les solides Pint
dT (Σ)
= Pext + Pint
dt
X
=P Σ→Σ +
P (Si ↔ Sj )
i6=j
En toute état de cause, le théorème de l’énergie cinétique ne donne qu’une seule
équation scalaire, mais si les liaisons sont parfaites et que la cinématique est bien connu,
l’application de ce théorème donne directement l’équation de mouvement du système.
Références
Chevalier, L. (2004). Mécanique des systèmes et des milieux déformables. Ellipses.
Pommier, S. and Berthaud, Y. (2010). Mécanique générale. Dunod.
III.4. CE QU’IL FAUT RETENIR
III.4
77
Ce qu’il faut retenir
Dynamique du point matériel
Equation de la dynamique
→
−
La dynamique du point matériel P de masse m soumis aux forces F i est gouvernée
par l’équation
2 −→ X→
−
d
OP
−
m→
a (P/Rg ) = m
=
Fi
2
dt Rg
où O est un point fixe dans un référentiel Galiléen Rg .
Quantité de mouvement d’une particule P de masse m
−→ →
−
dOP P (P/Rg ) = m
dt Rg
Moment cinétique d’une particule P de masse m au point O
−→ →
−
→
−
σ (O, P/Rg ) = mOP ∧ P (P/Rg )
Théorème de l’énergie cinétique
−
X−
→ →
−
d→
σ (O, P/Rg ) M
O,
F
→
P
=
i
dt
Rg
Dynamique du solide matériel
P.F.D.
Il existe au moins un référentiel Galiléen Rg dans lequel le torseur des efforts
extérieurs au système matériel Σ est égale au torseur dynamique de Σ par rapport
à Rg
(
) (
)
Σ→Σ
=
DΣ/Rg
Théorème de la résultante dynamique
−
→
→
−
F Σ → Σ = Rd (Σ/Rg )
Théorème du moment dynamique
→
−
−
→
M O, Σ → Σ = δ (O, Σ/Rg )
78
CHAPITRE III. DYNAMIQUE
Torseur dynamique
Torseur dynamique d’un solide matériel S de masse m
(
)
( −
)
→
Rd (S/Rg )
DS/Rg =
→
−
δ (O, S/Rg )
O
Torseur dynamique d’un ensemble de N solides matériels Σ = {S1 , . . . , SN }
(
)
(
)
N
X
DΣ/Rg =
DSi /Rg
i=1 A
A
Relation de torseur correspondante
→
−
→
−
−
→
−→
δ (A, S/Rg ) = δ (O, S/Rg ) + Rd (S/Rg ) ∧ OA
Expression de la résultante dynamique
−
→
−
Rd (S Rg ) = m→
a (GS /Rg )
Expression du moment dynamique au point O
−
→
−
→
−
→
−
d→
σ
(O, S/Rg ) + mS V (O/Rg ) ∧ V (G/Rg )
δ (O, S/Rg ) =
dt
Rg
L’expression du moment du dynamique se simplifie
pour O fixe par rapport Rg
−
→
−
d→
σ
(O, S/Rg )
δ (O, S/Rg ) =
dt
Rg
au centre d’inertie O = GS
−
→
−
d→
σ
δ (GS , S/Rg ) =
(GS , S/Rg )
dt
Rg
Calcul des projections du moment dynamique
→
→
−
→
−
d−
u
d−
σ (A, S/Rg ) .→
u
→
−
→
−
− σ (A, S/Rg ) .
δ (A, S/Rg ) . u =
dt
dt Rg
Rg
→
−
→
−
−
+ mS →
u V (A/Rg ) ∧ V (G/Rg )
III.4. CE QU’IL FAUT RETENIR
79
Torseur cinétique
Torseur cinétique d’un solide matériel S de masse m
(
)
(
)
→
−
p (S Rg )
CS/Rg =
→
−
σ (O, S/Rg )
O
Torseur cinétique d’un ensemble de N solides matériels Σ = {S1 , . . . , SN }
(
)
(
)
N
X
CΣ/Rg =
CSi /Rg
i=1 A
A
Relation de torseur correspondante
−→
→
−
−
−
σ (A, S/Rg ) = →
σ (O, S/Rg ) + →
p (S Rg ) ∧ OA
Expression de la quantité de mouvement
→
−
→
−
p (S/Rg ) = V (GS /Rg )
GS est le centre d’inertie du solide S
Expression du moment cinétique au point O
−−→ →
−
→
−
→
−
σ (O, S/Rg ) = mS OGS ∧ V (O, S/Rg ) + I [O, S] . Ω (S/Rg )
Cette expression se simplifie
pour O fixe par rapport Rg
→
−
→
−
σ (O, S/Rg ) = I [O, S] . Ω (S/Rg )
au centre d’inertie O = GS
→
−
→
−
σ (GS , S/Rg ) = I [GS , S] . Ω (S/Rg )
80
CHAPITRE III. DYNAMIQUE
Centre d’inertie
Le centre d’inertie d’un solide matériel S, de masse mS , est le barycentre GS des
masses
ZZZ
−−→
−−→
1
OGS =
ρ (M ) OM dV
mS
VS
Opérateur d’inertie
L’opérateur d’inertie d’un solide S s’exprime sous la forme d’une matrice 3 × 3


 
A −F −E
x
−−→  


I [A, S] =  −F B −D 
AM =  y 
−E −D C
z −
−
→
→
→
→
→
→
x ,−
y ,−
z
x ,−
y ,−
z
S
S
S
S
s
S
Les expressions des coefficients de l’opérateur s’obtient à partir des coordonnées
−
−
−
(x, y, z) du point M dans le repère (A, →
x S, →
y S, →
z S)
ZZZ
ZZZ
ZZZ
2
2
2
2
ρ x2 + y 2 dV
ρ x + z dV, C =
ρ y + z dV, B =
A=
VS
VS
VS
ZZZ
ZZZ
D=
ρyz dV,
ZZZ
E=
VS
ρxz dV,
VS
F =
ρxy dV
VS
Notons que dans ces expressions la masse volumique peut dépendre des coordonnées
(x, y, z) du point M . A, B et C sont les moments d’inertie par rapport aux axes
−
−
−
(A, →
x S ), (A, →
y S ) et (A, →
z S ). D, E et F sont les produits d’inertie.
Thèorème de Huygens “généralisé”
Soit S un solide matériel de masse mS et I [GS , S] son opérateur d’inertie au centre
d’inertie GS alors l’opérateur du solide S au point A, de coordonnées (XA , YA , ZA )
−
−
−
dans la repère (GS , →
x S, →
y S, →
z S ) d’origine GS le centre d’inertie, s’obtient


(YA + ZA )2
−XA YA
−XA ZA


I [A, S] = I [GS , S] + mS  −XA YA
(XA + ZA )2
−YA ZA 
−XA ZA
−YA ZA
(XA + YA )2 −
→
→
→
x ,−
y ,−
z
S
S
S
III.4. CE QU’IL FAUT RETENIR
81
Energétique
Puissances
La puissance d’une action mécanique est
(
)
(
P (A → S/Rg ) =
A→S
⊗
A
)
VS/Rg
A
→
−
→
−
−
→
→
−
= R (A → S) . V (A, S/Rg ) + M (A, A → S) . Ω (S/Rg )
La puissance des inter-efforts entre les solides S1 et S2 est définie par
P (S1 ↔ S2 ) = P (S1 → S2 /Rg ) + P (S2 → S1 /Rg )
(
)
(
)
(
S1 → S2
=
⊗
A
VS2 /S1
S2 → S1
=
A
A
)
(
⊗
)
VS1 /S2
A
Ces expressions sont indépendantes du point A choisi pour exprimer les
torseurs cinétique et cinématique, mais il faut impérativement que ces
deux torseurs soient exprimés au même point.
Energie cinétique
L’énergie cinétique d’un solide S est
(
)
(
)
1
T (S) =
VS/Rg ⊗
CS/Rg
2
A
A
−
−
→
−
1→
1→
−
σ (A, S/Rg ) + V (A, S/Rg ) . V (G/Rg )
= Ω (S/Rg ) .→
2
2
Cette expression est indépendante du point A choisi pour exprimer les
torseurs cinétique et cinématique, mais il faut impérativement que ces
deux torseurs soient exprimés au même point.
Théorème de l’énergie cinétique
Il existe un référentiel Galiléen dans lequel, pour tout système de solides matériels
indéformables Σ = {S1 , . . . , Sn }, la dérivée de l’énergie cinétique est égale à la somme
des puissances développées par les efforts extérieurs Pext et la puissance développées
par les efforts intérieurs entre les solides Pint
dT (Σ)
= Pext + Pint
dt
X
P (Si ↔ Sj )
=P Σ→Σ +
i6=j
Annexes
Annexe -AQuelques éléments de géométrie
vectorielle
A.1
Les vecteurs
Définition
Un vecteur est représenté par un segment orienté (une flèche) ayant pour extrémités
un point de départ A et un point d’arrivée B. On définit un vecteur lié, par quatre
caractéristiques
– une direction, la droite (AB)
– un sens, de A vers B
– une norme, la distance d (A, B)
– un point d’application, A
Coordonnés d’un vecteur
→
−
→
− →
−
Dans l’espace vectoriel à trois dimensions, trois vecteurs i , j et k indépendant
forme une base. L’association d’un point O à cette base constitue un repère. Soit A
et
ayant pour
coordonnées respectives (xA , yA , zA ) et (xB , yB , zB ) dans le repère
B
−
−→
→
− →
− →
0, i , j , k alors le vecteur AB a pour coordonnées
→
−
−→
→
−
→
−
AB = X i + Y j + Z k
avec
X = xB − xA
Y = yB − yA
Z = zB − zA
Les vecteurs peuvent également être écrits en colonne




X
xB − xA
−→ 



AB =  Y 
=  yB − yA 
Z
zB − zA
→
→
−
→−
→−
−
→−
→−
(0, i , j , k )
(0, i , j , k )
86
ANNEXE A. QUELQUES ÉLÉMENTS DE GÉOMÉTRIE VECTORIELLE
Norme d’un vecteur
La norme (ou le module) d’un vecteur est la distance en entre l’origine et l’extrémité
de ce vecteur. On note
−→
√
AB = d (A, B) = X 2 + Y 2 + Z 2
A.2
Produit scalaire
Définition
−
−
−
−
Le produit scalaire des deux vecteurs →
u et →
v est le nombre réel suivant noté →
u .→
v :
→
−
−
−
−
−
−
u .→
v = k→
u k k→
v k cos (→
u ,→
v)
Propriétés
On a les propriétés suivantes :
−
−
−
−
1. Symétrie : →
u .→
v =→
v .→
u
−
−
−
−
−
−
−
2. Linéarité : →
u . (α→
v +→
w ) = α→
u .→
v +→
u .→
w
Expression analytique
→
−
− →
− →
Dans une repère orthonormée 0, i , j , k le produit scalaire des deux vecteurs
→
−
−
v1 de coordonnés (x1 , y1 , z1 ) et →
v2 de coordonnées (x2 , y2 , z2 ) s’écrit :
→
−
−
v1 .→
v2 = x1 x2 + y1 y2 + z1 z2
Exemple
−
−
−
−
−
−
Soient deux bases orthonormées directes B1 (→
x1 , →
y1 , →
z1 ) et B2 (→
x2 , →
y2 , →
z2 ). La base
→
−
−
B2 s’obtient de la base B1 par rotation d’angle#»θ12 autour du vecteur z1 = →
z2 = −
z→
12 .
y
1
y#»2
x#»2
θ12
»
z#12
x#»1
Figure A.1 – Figure de calcul
Pour effectuer les calculs vectoriels proprement, nous traçons des figures de calculs
associées à chaque rotation entre les bases. Dans notre exemple nous avons une seule
rotation entre B1 et B2 donc il ne faut qu’une seule figure de calcul (Figure A.1). Dans
A.3. PRODUIT VECTORIEL
87
cette figure, le vecteur représentant l’axe −
z→
12 est normal au plan de la figure et il est
→
−
→
−
→
−
→
−
sortant. Les vecteurs x1 , y1 et x2 , y2 sont placés de sorte que les bases B1 et B2 soient
directes. A partir de cette figure, il facile de montrer les résultats suivants, en projetant
−
−
−
−
−
−
les vecteurs de B2 (→
x2 , →
y2 , →
z2 ) sur les vecteurs de B1 (→
x1 , →
y1 , →
z1 )
→
−
−
x1 .→
x2 = cos θ12
→
−
→
−
y1 .x2 = sin θ12
−
−
z→.→
x =0
12
2
→
−
−
x1 .→
y2 = − sin θ12
→
−
→
−
y1 . y2 = cos θ12
−
−
z→.→
y =0
12
2
→
−
x1 . −
z→
12 = 0
→
−
−
→
y1 .z12 = 0
−
z→.−
z→ = 1
12
12
Remarque A.1 Pour éviter les erreurs de signes lors des projections (ou des calculs
produits scalaires), il est nécessaire de toujours représenter les figures de
calculs dans la configuration de la figure A.2. C’est-à-dire
π de placer ici le
→
−
→
−
→
−
vecteur x2 dans le premier cadrant entre x1 et y1 , pour θ12 ∈ 0, 2 .
A.3
Produit vectoriel
Définition
−
−
−
−
Le produit vectoriel des deux vecteurs →
u et →
v est le vecteur note →
u ∧→
v tel que,
→
−
−
−
−
−
−
−
−
u ∧→
v soit perpendiculaire au plan (→
u ,→
v ), le trièdre (→
u ,→
v ,→
u ∧→
v ) soit direct et
−
−
la norme de →
u ∧→
v soit égale a :
−
−
−
−
−
−
k→
u ∧→
v k = k→
u k |→
v k sin (→
u ,→
v)
Interprétation géométrique
−
−
La norme du produit vectoriel →
u ∧→
v , représente la surface du parallélogramme
→
−
→
−
défini par les deux vecteurs u et v .
Figure A.2 – Produit vectoriel (Pommier and Berthaud, 2010)
88
ANNEXE A. QUELQUES ÉLÉMENTS DE GÉOMÉTRIE VECTORIELLE
Propriétés
On a les propriétés suivantes :
−
−
−
−
1. Antisymétrie : →
u ∧→
v = −→
v ∧→
u
−
−
−
−
−
−
−
2. Linéarité : →
u ∧ (α→
v +→
w ) = α→
u ∧→
v +→
u ∧→
w
→
−
− →
− →
3. Application à une base orthonormée directe i , j , k
→
− →
−
→
−
i ∧ i = 0
→
−
→
− →
−
i ∧ j = k
−
→
− →
→
−
i ∧ k =−j
→
−
→
− →
−
j ∧ i =−k
→
− →
−
→
−
j ∧ j = 0
−
→
− →
→
−
j ∧ k = i
→
− →
−
→
−
k ∧ i = j
→
− →
−
→
−
k ∧ j =−i
→
− →
−
→
−
k ∧ k = 0
4. Double produit vectoriel (formule de Gibbs)
→
−
−
−
−
−
−
−
−
−
u ∧ (→
v ∧→
w ) = (→
u ∧→
w ) .→
v + (→
u ∧→
v ) .→
w
Expression analytique
→
−
− →
− →
Dans une repère orthonormée 0, i , j , k le produit vectoriel de deux vecteurs
→
−
−
v1 de coordonnées (x1 , y1 , z1 ) et →
v2 de coordonnées (x2 , y2 , z2 ) s’écrit :
→
−
→
−
→
−
→
−
−
v1 ∧ →
v2 = (y1 z2 − z1 y2 ) i + (z1 x2 − x1 z2 ) j + (x1 y2 − y1 x2 ) k
en notation colonne
x1
x2
y1 z2 − z1 y2
→
−
−
v1 ∧ →
v2 = y1 ∧ y2 = z1 x2 − x1 z2
z1
z2
x1 y 2 − y 1 x2
Exemple
On reprendre l’exemple de la section A.2, c’est-à-dire de deux bases orthonormées
−
−
−
−
−
−
directes B1 (→
x1 , →
y1 , →
z1 ) et B2 (→
x2 , →
y2 , →
z2 ) en rotation l’une par rapport à l’autre d’un
−
→
angle θ12 autour du vecteur z12 .
y#»1
y#»
2
x#»2
θ12
»
z#12
Figure A.3 – Figure de calcul
On a les résultats suivant
x#»1
A.4. PRODUIT MIXTE
89
→
−
−
x1 ∧ →
x2 = sin θ12 −
z→
12
→
−
→
−
y1 ∧ x2 = − cos θ12 −
z→
12
−
→
→
−
→
−
z ∧x = y
12
A.4
2
2
→
−
−
x1 ∧ →
y2 = cos θ12 −
z→
12
→
−
→
−
−
→
y1 ∧ y2 = sin θ12 z12
−
−
−
z→ ∧ →
y = −→
x
12
2
2
→
−
→
−
x1 ∧ −
z→
12 = − y1
→
−
→
−
y1 ∧ −
z→
12 = x1
→
−
−
z→ ∧ −
z→ = 0
12
12
Produit mixte
Définition
−
−
−
Le produit mixte des trois vecteurs →
u, →
v et →
w est le nombre réel suivant est note
→
−
→
−
→
−
( u , v , w) :
−
−
−
−
−
−
(→
u ,→
v ,→
w) = →
u . (→
v ∧→
w)
Interprétation géométrique
−
−
−
La valeur absolue du produit mixte (→
u ,→
v ,→
w ) représente le volume du
→
−
→
−
→
−
parallélépipède défini par les trois vecteurs u , v et w .
Figure A.4 – Produit mixte (Pommier and Berthaud, 2010)
Propriétés
−
−
−
−
−
−
−
−
−
1. Permutation des opérateurs : (→
u ,→
v ,→
w) = →
u . (→
v ∧→
w ) = (→
u ∧→
v ) .→
w
→
−
→
−
→
−
→
−
→
−
−
−
2. Distributivité par rapport à l’addition : ( u + x , v , w ) = ( u , →
v ,→
w) +
→
−
→
−
→
−
( x , v , w)
−
−
−
−
−
−
3. Multiplication par un réel : (α→
u , β→
v , γ→
w ) = αβγ (→
u ,→
v ,→
w)
→
−
→
−
→
−
→
−
→
−
→
−
4. Permutation des vecteurs : ( u , v , w ) = − ( v , u , w )
−
−
−
−
−
−
−
−
−
5. Permutation circulaire : (→
u ,→
v ,→
w ) = (→
w,→
u ,→
v ) = (→
v ,→
w,→
u)
90
ANNEXE A. QUELQUES ÉLÉMENTS DE GÉOMÉTRIE VECTORIELLE
−
−
−
6. Nullité dans le cas de vecteurs coplanaires : si →
u, →
v et →
w sont coplanaires alors
−
−
−
(→
v ,→
w,→
u)=0
Expression analytique
−
−
−
−
Dans une base orthonormée (→
x ,→
y ,→
z ) le produit mixte des trois vecteurs →
v1 de
→
−
→
−
composantes (x1 , y1 , z1 ), v2 (x2 , y2 , z2 ) et v3 (x3 , y3 , z3 ) se calcule comme le déterminant
suivant :
x1 x2 x3 −
−
−
(→
v1 , →
v2 , →
v3 ) = y1 y2 y3 = −x3 y2 z1 + x2 y3 z1 + x3 y1 z2 − x1 y3 z2 − x2 y1 z3 + x1 y2 z3
z1 z2 z3 Exemple
Dans le cas de l’exemple de la section A.2, les propriétés du produit mixte peuvent
être utiles, par exemple
−
→
− →
−
−
→ →
− →
−
−
→ →
− →
−
→
− →
−
z→
12 . ( y2 ∧ x1 ) = (z12 , y2 , x1 ) = (z12 ∧ y2 ) . x1 = x2 . x1 = cos θ12
De plus, on a
→
−
−
−
x2 . (→
y2 ∧ →
x1 ) = 0
−
−
−
car les vecteurs →
x2 , →
y2 et →
x1 sont coplanaires.
A.5
Division vectorielle
Définition
→
−
→
−
Soient deux vecteurs A et B non nuls et orthogonaux, le résultat de la division
−
vectorielle est l’ensemble des vecteurs →
x tels que :
→
− →
→
−
A ∧−
x =B
Solution générale
−
L’ensemble →
x est défini de la manière suivante, α étant un réel :
→
− →
−
→
−
B∧A
→
−
x = →
− →
− + αA
A.A
A.6. DÉRIVÉE D’UN VECTEUR
A.6
91
Dérivée d’un vecteur
Définition
−
Par définition la dériver d’un vecteur →
v (t) par rapport a la variable t, dans une
→
−
→
−
→
−
base B ( x , y , z ) est le vecteur suivant :
−
→
−
−
d→
v v (t + h) − →
v (t)
=
lim
dt B h→0
h
−
Par conséquent, la dérivée d’un vecteur →
v dépend du choix de la base de référence B
dans lequel est exprimé le vecteur. En pratique, il est donc nécessaire de toujours
préciser par rapport à quelle base est effectuée la dérivée.
Propriétés
1. Lnéarité :
−
−
−
−
d (→
v1 ) d (→
v2 ) d (α→
v1 + →
v2 ) = α dt + dt dt
B
B
B
2. Dérivée du produit scalaire :
−
−
−
−
d (→
v1 ) →
d (→
v2 ) d (→
v1 .→
v2 ) −
→
−
= dt . v2 + v1 . dt dt
B
B
B
3. Dérivée d’un produit vectoriel :
−
−
−
−
d (→
v1 ∧ →
v2 ) d (→
v1 ) d (→
v2 ) →
−
→
−
= dt ∧ v2 + v1 ∧ dt dt
B
B
B
4. Dérivée d’un produit mixte :
→
−
−
−
−
−
d−
v1 →
d→
v2 →
d→
v3 d (→
v1 , →
v2 , →
v3 ) −
→
−
→
−
−
→
−
→
−
, v2 , v3 + v2 ,
, v3 + v1 , v2 ,
=
dt
dt B
dt B
dt B
B
5. Dérivée d’un vecteur dépendant d’une fonction :
−
−
d→
v (θ (t)) d→
v (θ) dθ (t)
= dθ dt
dt
B
B
Exemples
−
−
−
On se place toujours dans le cas de deux bases orthonormées directes B1 (→
x1 , →
y1 , →
z1 )
→
−
→
−
→
−
et B2 (x2 , y2 , z2 ) en rotation l’une par rapport à l’autre d’un angle θ12 autour du vecteur
−
→
− →
− →
−
z→
12 . Les dérivée des vecteurs de la B1 ( x1 , y1 , z1 ) rapport à la base B1 sont nulles
−
−
−
d→
x1 d→
y1 d→
z1 →
−
=
=
= 0
dt B1
dt B1
dt B1
92
ANNEXE A. QUELQUES ÉLÉMENTS DE GÉOMÉTRIE VECTORIELLE
La projection des vecteurs
→
−
−
−
x2 = cos θ12 →
x1 + sin θ12 →
y1
→
−
→
−
−
y2 = − sin θ12 x1 + cos θ12 →
y1
→
−
→
−
z =z
2
1
En dérivant les expressions de droite, on obtient
−
d→
x2 −
−
= −θ̇12 sin θ12 →
x1 + θ̇12 cos θ12 →
y1
dt B1
−
d→
y2 −
−
= −θ̇12 cos θ12 →
x1 − θ̇12 sin θ12 →
y1
dt B1
−
d→
z2 →
−
= 0
dt
B1
A.7
Changement de base de dérivation
Vocabulaire
La base dans laquelle on exprime les composantes des vecteurs sera indifféremment
appelée, base de calcul ou base de projection. La base dans laquelle est effectuée la
dérivation, sera indifféremment appelée base de dérivation ou référentiel du mouvement.
Dérivée d’un vecteur exprimé dans la base de dérivation
Dans ce cas particulier, la base de projection est confondue avec le référentiel du
−
−
−
−
mouvement choisi. Alors, si un vecteur →
v s’exprime dans un repère R (0, →
x ,→
y ,→
z)
associé à cette base B à l’aide de trois composantes (a, b, c), comme les trois vecteurs
unitaires de cette base sont constants :
−
da →
db →
dc →
d→
v (t) −
−
−
=
x
+
y
+
z
dt B
dt
dt
dt
Dérivée d’un vecteur exprimé dans une base distincte de la
base de dérivation
−
−
−
−
Supposons une base de projection B1 (→
x1 , →
x2 , →
x3 ) dans laquelle le vecteur →
v
est exprimé à l’aide de trois composantes (a1 , a2 , a3 ). Supposons aussi une base
−
−
−
B (→
e1 , →
e2 , →
e3 ) attachée au référentiel du mouvement et distincte de la première. Lors de
−
la dérivation du vecteur →
v par rapport au référentiel du mouvement B, il faut tenir
compte du fait que les vecteurs unitaires de la base B1 dans laquelle est exprimé le
A.7. CHANGEMENT DE BASE DE DÉRIVATION
93
−
vecteur →
v ne sont pas constants dans la base de dérivation B1 . Ainsi :
−
−
d→
v da1 →
d→
x1 −
=
x 1 + a1
dt B dt
dt B
−
da2 →
d→
x2 −
+
x 2 + a2
dt
dt B
−
d→
x3 da3 →
−
x 3 + a3
+
dt
dt B
Soit en rassemblant les termes :
−
−
−
−
−
d→
v d→
v d→
x1 d→
x2 d→
x3 =
+ a1
+ a2
+ a3
dt B
dt B1
dt B
dt B
dt B
A ce stade nous avons besoin de l’expression des dérivées des vecteurs unitaires de la
base B1 par rapport au référentiel du mouvement B :
−
→
−
d→
x1 −
= Ω (B1 /B) ∧ →
x1
dt B
−
→
−
d→
x2 −
= Ω (B1 /B) ∧ →
x2
dt B
−
→
−
d→
x3 −
= Ω (B1 /B) ∧ →
x3
dt
B
donc
−
−
−
→
−
→
−
d→
x2 d→
x3 d→
x1 −
−
−
−
+ a2
+ a3
= Ω (B1 /B) ∧ (a1 →
x 1 + a2 →
x 2 + a3 →
x3 ) = Ω (B/B1 ) ∧ →
v
a1
dt B
dt B
dt B
→
−
Le vecteur Ω (B1 /B) est homogène à l’inverse d’un temps, c’est le taux de rotation de
la base B1 par rapport à la base B. Ces composantes dans la base B1 sont
→
−
−
−
−
Ω (B1 /B) = α̇→
x1 + β̇ →
x2 + γ̇ →
x3
où α̇, β̇, γ̇ sont les dérivées temporelles des trois angles de rotation de la base B1
par rapport à B, (α, β, γ). Finalement, on obtient la formule de dérivation dans la base
mobile :
−
−
→
−
d→
v d→
v −
=
+ Ω (B1 /B) ∧ →
v
dt
dt
B
B1
Quelques propriétés du vecteur vitesse de rotation
1. Composition des vecteurs vitesses de rotations
→
−
→
−
→
−
Ω (B3 /B1 ) = Ω (B3 /B2 ) + Ω (B2 /B1 )
2. Inversion des bases de dérivations
→
−
→
−
Ω (B2 /B1 ) = − Ω (B1 /B2 )
94
ANNEXE A. QUELQUES ÉLÉMENTS DE GÉOMÉTRIE VECTORIELLE
Exemple
Dans le cas de l’exemple de la section A.2, le vecteur vitesses de rotations de B2
par rapport à B1 est
→
−
Ω (B2 /B1 ) = θ̇21 −
z→
12
Donc la formule de changement de base de dérivation conduit à
−
−
→
−
d→
x2 d→
x2 −
=
+ Ω (B2 /B1 ) ∧ →
x2
dt B1
dt B2
−
= θ̇ −
z→ ∧ →
x
21 12
2
−
= θ̇21 →
y2
De même on obtient
et
−
d→
y2 −
= −θ̇21 →
x2
dt B1
−
d→
z2 →
−
= 0
dt B1
La projection de ces expressions conduit aux mêmes résultats que dans la section A.6.
L’avantage de ces expressions, c’est quelles sont plus concises.
→
→
d−
y2 d−
x
2
Remarque A.2 Les expressions de dt et dt dans la base B2 sont plus simples.
B1
B1
Bien qu’on dérive par rapport à la base B1 , l’utilisation de la formule de changement
de base de dérivation conduit à des expressions simples dans la base B2 .
Annexe -BLes Torseurs
B.1
Torseurs
Le torseur est l’outil privilégié de la mécanique du solide. Il est utilise pour
représenter le mouvement d’un solide, caractériser une action mécanique, formuler le
principe fondamental de la dynamique de manière générale.
Definitions
Un torseur est un ensemble défini par :
→
−
1. Un vecteur noté R appelé la résultante du torseur.
−
→
2. Un champ de vecteur M A vérifiant la relation
−
→
−
→
→
− −→
M B = M A + R ∧ AB
−
→
3. M A est appelé le moment au point A du torseur.
( )
4. Le torseur
T
se note de la façon suivante au point A
( )
T
A
( →
− )
R
=
−
→
MA
A
Propriété B.1 Le champ de moment d’un torseur est équiprojectif
−
→ −→ −
→ −→
M A .AB = M B .AB
et réciproquement si un champ de vecteur est équiprojectif alors s’est un champ de
moment d’un torseur
96
ANNEXE B. LES TORSEURS
Invariants d’un torseur
Entre deux points quelconques A et B de l’espace, l’expression d’un torseur change,
mais il existe deux quantités qui se restent inchangées se sont les deux invariants :
→
−
Premier invariant la résultante R
Second invariant la projection du moment du torseur sur sa résultante
−
→ →
−
−
→ →
−
M A. R = M B . R
Point central, axe central et moment central
Un point central est un point où le moment du torseur à la même direction que
la résultante.
L’ensemble des points centraux est l’axe
Si l’on connaı̂t un point centrale
centrale.
→
−
H, l’axe centrale est défini par la droite H, R engendrée par la résultante passant
par H.
Le moment central est le moment du torseur en un point quelconque de son axe
central. La norme du moment d’un torseur est minimale pour les points centraux. Par
conséquent si le moment d’un torseur est nul en un point, ce point appartient à l’axe
central.
Glisseur
( )
On appelle glisseur, un torseur
G , s’il existe au moins un point A tel que
( )
G
=
A
( →
− )
R
→
−
0
→
−
L’expression d’un glisseur reste inchangée tout le long de l’axe A, R , c’est-à-dire
→
−
si l’on fait glisser la résultante suivant A, R le torseur est le même.
Le second invariant d’un glisseur est nul
→
− −
→
R .M M = 0
et réciproquement si le second invariant d’un torseur est nul alors c’est un glisseur.
Torseur couple
( )
On appelle couple, un torseur
→
−
C , si la résultante R est nulle.
( )
C
=
−
( →
− )
0
→
−
C
Un torseur couple est indépendant du point où on l’exprime.
B.2. OPÉRATIONS SUR LES TORSEURS
B.2
97
Opérations sur les torseurs
Soient deux torseurs
( )
T1
A
( −
→ )
R1
,
=
−→
M
1A
A
( )
T2
A
( −
→ )
R2
=
,
−→
M
2A
A
Comme nous le verrons pour effectuer des opérations sur les torseurs, il faut
impérativement qu’ils soient exprimés en un même point.
Egalité
On dit que deux torseurs sont égaux si
−
→ −
→
R1 = R2
−→
−→
M1A = M2A
−→
−→
avec ces deux égalité, il est aisé de montrer que M1A = M2A quelque soit le point B.
On le note cette égalité
( )
( )
T1
T1
=
A
∀A
A
Pour égaler deux torseurs il faut impérativement les exprimer au même
point.
Addition
La somme de deux torseurs se définit par
( )
( )
( )
T
T1
=
A
T2
+
A
A
)
( −
→ −
→
R1 + R2
=
−→
−→
M1A + M2A
A
Multiplication par un scalaire
La multiplication d’un torseur par scalaire est définie par
( )
( →
− )
λR
λ T =
−
→
λ
M
A
A
A
Comoment
Le comoment de deux torseurs est un scalaire défini par
( )
( )
−
→ −→
−→ −
→
T1 ⊗
T2 = R1 .M2A + M1A .R2
A
A
Cette grandeur scalaire ne dépend pas du point A utilisé pour le calcul.
98
ANNEXE B. LES TORSEURS
Théorème de décomposition d’un torseur
Tout torseur se décompose de façon unique en la somme d’un glisseur et d’un couple.
( )
( )
( )
T1
avec
G1
=
A
A
C1
A
A
( →
−
0
( )
=
A
C1
+
)
→→
−→ −
M1A .R1 −
R1
2
R1
−
→−
→
avec R12 = R1 .R1
Références
Pommier, S. and Berthaud, Y. (2010). Mécanique générale. Dunod.