Mécanique

PARIS
Formation d’Ingénieurs en Partenariat
Polycopié de cours
V
Section GE
Mécanique
P06-1MECA0
 Cours Magistraux   TD   ED
1ère Année
Enseignant : Mr DETREZ 2011-2012

i

Table des mati`eres
II Cin´ematique 1
I.1 Trajectoire, vecteur position . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
I.1.1 L’espace .............................. 3
I.1.2 R´ef´erentiel ............................. 3
I.1.3 Trajectoire............................. 4
I.1.4 Vecteurposition.......................... 4
I.2 Vecteur vitesse et acc´el´eration . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
I.2.1 Vecteurvitesse........................... 5
I.2.2 Vecteur acc´el´eration . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
I.2.3 D´erivation vectorielle dans un rep`ere . . . . . . . . . . . . . . . 6
I.3 Composition des vitesses et des acc´el´erations . . . . . . . . . . . . . . . 7
I.3.1 Composition des vitesses . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
I.3.2 Composition des acc´el´erations . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
I.4 Champ de vitesse d’un solide . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
I.4.1 Param´etrage de la position d’un solide . . . . . . . . . . . . . . 9
I.4.2 Anglesd’Euler........................... 10
I.4.3 Champ de vitesses d’un solide . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
I.5 Cin´ematique des syst`emes de solides . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
I.5.1 D´efinitions ............................. 11
I.5.2 Inventaires des liaisons m´ecaniques normalis´ees . . . . . . . . . 12
I.5.3 Cin´ematique du contact entre deux solides : Glissement,
roulement et pivotement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
I.5.4 Mod´elisation de la cin´ematique . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
I.6 Cin´ematique graphique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
I.6.1 Mouvementsplans......................... 22
I.6.2 Equiprojectivit´e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
I.6.3 Centre instantan´e de rotation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
I.6.4 Th´eor`eme des 3 plans mobiles . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
I.7 Cequ’ilfautretenir ............................. 27
IIII Statique 31
II.1 Actionsm´ecaniques ............................. 33
II.1.1 D´efinition.............................. 33
II.1.2 Repr´esentation........................... 33
II.1.3 Actions volumiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
II.1.4 Actions de contact . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
II.1.5 Moment d’action m´ecanique et couple . . . . . . . . . . . . . . 37

iv TABLE DES MATI ` ERES
II.1.6 Actions de liaison . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
II.2 Principe fondamentale de la statique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
II.2.1 Efforts ext´erieurs `a un syst`eme mat´eriel . . . . . . . . . . . . . 43
II.2.2 Enonc´e............................... 43
II.2.3 Th´eor`eme des actions r´eciproque . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
II.2.4 Casparticuliers .......................... 45
II.3 Loidufrottement .............................. 46
II.3.1 Analyse du contact ponctuel entre deux solides . . . . . . . . . 47
II.3.2 LoideCoulomb .......................... 48
II.4 Utilisation du principe fondamentale de la statique . . . . . . . . . . . . 50
II.4.1 Degr´e d’hyperstatisme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
II.4.2 Syst`emes isostatiques et hyperstatiques . . . . . . . . . . . . . 51
II.4.3 D´emarche de r´esolution des probl`emes . . . . . . . . . . . . . . 52
II.5 Statiquegraphique.............................. 52
II.5.1 Exemple 1 : Solide soumis `a trois forces . . . . . . . . . . . . . 52
II.5.2 Exemple 2 : Solide soumis `a quatre forces . . . . . . . . . . . . 54
II.5.3 Exemple 3 : Encore un solide soumis `a quatre forces . . . . . . 55
II.6 Cequ’ilfautretenir ............................. 56
IIIIII Dynamique 61
III.1 Dynamique du point mat´eriel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
III.1.1 Equation de la dynamique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
III.1.2 Exemples de force . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
III.1.3 Quantit´e de mouvement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
III.1.4 Moment cin´etique et moment dynamique . . . . . . . . . . . . 65
III.1.5 Th´eor`eme du moment cin´etique . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
III.2 Dynamiquedusolide ............................ 65
III.2.1 Principe Fondamental de la Dynamique . . . . . . . . . . . . . 66
III.2.2 Torseur cin´etique et torseur dynamique . . . . . . . . . . . . . 66
III.2.3 Centre d’inertie et op´erateur d’inertie . . . . . . . . . . . . . . 69
III.2.4 D´emarche de r´esolution d’un probl`eme . . . . . . . . . . . . . . 73
III.3 Energ´etique ................................. 73
III.3.1 Puissance et Travail . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74
III.3.2 Energie cin´etique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
III.3.3 Th´eor`eme de l’´energie cin´etique . . . . . . . . . . . . . . . . . 76
III.4 Cequ’ilfautretenir ............................. 77
AA Quelques ´el´ements de g´eom´etrie vectorielle 85
A.1 Lesvecteurs ................................. 85
A.2 Produitscalaire ............................... 86
A.3 Produitvectoriel............................... 87
A.4 Produitmixte ................................ 89
A.5 Divisionvectorielle.............................. 90
A.6 D´eriv´eed’unvecteur............................. 91
A.7 Changement de base de d´erivation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92