l`oscillateur harmonique - ESPCI

oscillateur harmonique
L’OSCILLATEUR HARMONIQUE
1.Définition et importance de l’oscillateur harmonique
m
On appelle oscillateur harmonique un système constitué par une particule de masse
élastiquement liée à un centre
x0 , par une force de rappel F = − K ( x − x0 )
proportionnelle à sa distance au centre. Le coefficient K est la constante de ressort de
1
2
l’oscillateur et l’énergie potentielle est V ( x ) = V0 + K ( x − x0 ) .
2
Les systèmes se présentant en bonne approximation sous la forme d’oscillateurs
harmoniques sont très nombreux. Classiquement, lorsqu’un système est en équilibre en
dV ( x )
= 0 . Au voisinage du point
x = x0 , son énergie potentielle est minimale, d’où
dx x = x
0
d’équilibre x = x0 on peut développer le potentiel V ( x ) en série de Taylor :
V ( x ) = V0 +
K
2
3
( x − x0 ) + C ( x − x0 ) +"
2
K

−
<<
x
x
0


C  , le terme cubique est négligeable

et le système se ramène à un oscillateur harmonique.
Pour des petites oscillations autour de x0 ,
D. Marchand
oscillateur harmonique
Quelques exemples :
Physique moléculaire.
Les mouvements moléculaires sont souvent décrits par des potentiels harmoniques
(cas des vibrations d’une molécule diatomique dans leur référentiel du centre de masse ,
etc…cf. planches suivantes)
D. Marchand
oscillateur harmonique
Rayonnement du corps noir et les oscillateurs de Planck
En 1877, Boltzmann avait considéré le cas « d ‘école » de la distribution d’équilibre
lorsqu’une quantité d’énergie E donnée se répartit par sous-multiples discrets et égaux
E
ε = , n entier, sur un nombre N de molécules. La formule obtenue était exactement de la
n
forme recherchée par Planck pour la distribution d’énergie de fréquence ν sur les
oscillateurs de cette fréquence. Il postula que ces sous-multiples égaux étaient de la forme
hν
, calcula la valeur de la constante fondamentale h et parvint à sa célèbre formule du
rayonnement du corps noir. Planck avait ainsi deviné la quantification par multiples entiers
de
hν
des changements d’énergie d’un oscillateur
Piégeage de particules chargées
G
B et d’un
Un piège de Penning consiste en la superposition d’un champ magnétique
champ électrique quadrupolaire. En piégeant une particule chargée dans ce dispositif, on
réalise un atome artificiel ou géonium où la particule est confinée par des forces
harmoniques. Cela permet la mesure très précise de constantes comme le moment
mp
magnétique de l’électron, la constante de structure fine ou le rapport m entre les masses
e
du proton et de l’électron.
D. Marchand
oscillateur harmonique
Quantification d’un champ
Un solide cristallin composé de N atomes est équivalent à l’ensemble de 3N
oscillateurs harmoniques. Par ailleurs, on montre que les états stationnaires classiques des
ondes électromagnétiques dans une enceinte aux parois réfléchissantes sont également
équivalents à une assemblée d’oscillateurs harmoniques. Dans les deux cas, on trouve là le
point de départ de la quantification de ces champs, qui donne naissance au concept de
phonon pour les vibrations du solide et de photon dans le cas du champ
électromagnétique. L’oscillateur harmonique est une brique essentielle dans la
construction de la physique quantique relativiste.
D. Marchand
oscillateur harmonique
Description (non quantique)
des mouvements d’une
molécule par des
potentiels harmoniques
D. Marchand
oscillateur harmonique
Potentiel de
Lennard-Jones
D. Marchand
oscillateur harmonique
QUANTIFICATION D’UN OSCILLATEUR HARMONIQUE MATERIEL
Quantification canonique
2
1
p
2 2
H = mω 0 x +
2
2m
avec x , p = i=
2
1
2 2 p
⇔
H = mω 0 x +
2
2m
Etats stationnaires. Niveaux d’énergie
Vecteurs propres et états propres de
H
Méthode de Schrödinger
On passe dans l’espace des fonctions d’onde. Valeurs propres et fonctions propres
d’un opérateur différentiel.
D. Marchand
oscillateur harmonique
QUANTIFICATION D’UN OSCILLATEUR HARMONIQUE MATERIEL: METHODE
Opérateurs aˆ et aˆ +
1 2mω0
ˆa =
=
2

i pˆ 
 xˆ +

ω
m
0


1 2mω0
aˆ =
=
2
+

i pˆ 
 xˆ −

 ω0 m 
DE DIRAC
Opérateurs xˆ et pˆ
=
xˆ =
aˆ + aˆ + )
(
2mω0
=mω0
aˆ − aˆ + )
(
2
pˆ = −i
= : longueur
2 mω 0
Relation de commutation fondamentale :
Hamiltonien
D. Marchand
:
a , a
F
H
+
i
= − x , p = 1
=
2
1
1
p
2 2
+
+ mω 0 x = =ω 0 a a +
H=
2m 2
2
I
K
oscillateur harmonique
QUANTIFICATION D’UN OSCILLATEUR HARMONIQUE MATERIEL: METHODE
F
H
1
+
Equation aux valeurs propres de H = =ω 0 a a +
2
+
On résout d’abord l’équation aux valeurs propres de N = a
a
n = 0,1," entiers ≥ 0
Valeurs propres
N n = n n
+
Vecteurs propres
a n = n + 1 n + 1
a h
c
n =
n!
a 0 = 0
Hamiltonien de l’oscillateur harmonique
D. Marchand
mêmes vecteurs propres
avec
a , a
+ n
a n = n n − 1
 1
En = =ω0  n + 
 2
I
K
DE DIRAC
n
0
+
=1
oscillateur harmonique
QUANTIFICATION D’UN OSCILLATEUR HARMONIQUE MATERIEL
INTERET DE LA METHODE DE DIRAC
. Généralité . Pas de passage par les fonctions d’onde
. La structure de la solution de l’équation aux valeurs propres est totalement
F
H
I
K
1 avec a , a + = 1
+
H = =ω 0 a a +
2
déterminée par
ENSEMBLE D’OSCILLATEURS HARMONIQUES INDEPENDANTS
2
p
1
l
+ mlω 2l xl2
H=∑
2
l 2 ml
1I
F
= ∑ =ω a a +
H 2K
l
l
+
l l
pas de couplage
al , al+' = δ l ,l '
ETATS STATIONNAIRES
n1 1 ⊗ n2 2 ⊗"⊗ nl l "= n1, n2 ,", nl ,"
1
1
En1 ,n2 ,",nl ," = n1 + =ω 1 +"+ nl + =ω l +"
2
2
F
H
D. Marchand
I
K
F
H
I
K
oscillateur harmonique
QUANTIFICATION D’UN OSCILLATEUR HARMONIQUE : METHODE
DE SCHRÖDINGER
m r avec les valeurs propres lnq où n est un entier non
sont par conséquent m ψ r avec les valeurs propres
négatif. Les vecteurs propres de H
Les vecteurs propres de
N sont ψ n
n
RSFG n + 1 IJ =ω UV . L’état fondamental de N ou H est non dégénéré.
TH 2 K W

1
1  mω
i
ˆ
N ψ 0 = 0 , aˆ ψ 0 = 0 ⇔
xˆ +
pˆ  ψ 0 = 0
( x + ip ) ψ 0 = 0 ⇔ 
2
2 =
m= ω 
m r cette égalité s’écrit :
⇒ ( mω xˆ + ipˆ ) ψ 0 = 0 . En représentation x
mω x xˆ ψ 0 + i x pˆ ψ 0 = 0 ⇔ mω x x ψ 0 +
bg
⇒ ψ 0 x = Ce
1 mω 2
−
2 =
solution de cette équation différentielle du premier ordre où C est
une constante de normalisation égale à C =
D. Marchand
 mω x ∂ 
= ∂
x ψ0 = 0 ⇔ 
+
ψ 0 ( x ) = 0
i ∂x
∂x
 =
FG mω IJ
H π= K
1
4
. Par conséquent :
oscillateur harmonique
ψ0
Par induction : ψ n
x ψn =ψn
bg
mω I
F
x
=
b g GH π= JK
c h
1
=
a +
n!
n
n
création). D’où :
ψn
bg
ψn x
b g
e
−
1 mω 2
x
2 =
(retenir la forme gaussienne)
ψ 0 soit en représentation :
c h
1
x =
x a +
n!
1
4
bg
1 1
x =
n ! 2n
ψ0
aˆ + =
avec
mxr:

i
1  mω
ˆ
ˆ
x
p
−


m=ω 
2  =
FG IJ FG IJ FG mω x − ∂ IJ
H K H K H = ∂x K
=
mω
n
2
est le produit d’une exponentielle e
−
mω
π=
1 mω 2
x
2 =
1
4
n
e
−
(opérateur
1 mω 2
x
2 =
par un polynôme H, de degré n , de parité
n
−1 , appelé polynôme d’Hermite (cf. poly).
bg
ψn y =
D. Marchand
1 1
n ! 2n
FG y IJ H b y g e
H πK
1
2
n
de
y2
−
2
Fy =
où GH
mω
x
=
I
JK
oscillateur harmonique
QUANTIFICATION D’UN OSCILLATEUR HARMONIQUE : METHODE
Potentiel harmonique
et fonctions d’onde
D. Marchand
DE SCHRÖDINGER
oscillateur harmonique
QUANTIFICATION D’UN OSCILLATEUR HARMONIQUE : METHODE
DE SCHRÖDINGER
Comparaison des probabilités de
présence entre oscillateurs classique et
quantique, de mêmes caractéristiques.
On vérifie ici une loi générale :
« tout système quantique, à la limite des
grands nombres quantiques, obéit aux
lois de la mécanique classique »
D. Marchand
oscillateur harmonique
QUANTIFICATION D’UN OSCILLATEUR HARMONIQUE : METHODE
Quatre premières fonctions d’onde
normalisées d’un oscillateur quantique
et quelques polynômes d’Hermite
D. Marchand
DE SCHRÖDINGER