exercice 2

UNIVERSITE MOHAMMED V RABAT
FACULTE DES SCIENCES JURIDIQUES
ECONOMIQUES ET SOCIALES
AGDAL
‫ﺟﺎﻣﻌﺔ ﻣﺤﻤﺪ اﻟﺨﺎﻣﺲ – اﻟﺮﺑﺎط‬
‫ﻛﻠﯿﺔ اﻟﻌﻠﻮم اﻟﻘﺎﻧﻮﻧﯿﺔ واﻻﻗﺘﺼﺎدﯾﺔ‬
‫واﻻﺟﺘﻤﺎﻋﯿﺔ اﻛﺪال‬
DEPARTEMENT DE SCIENCES ECONOMIQUES
Licence fondamentale en Sciences Economiques et Gestion
EXERCICES DE PROBABILITES
Professeur : Adil EL MARHOUM
ANNEE UNIVERSITAIRE 2014/2015
Exercices de probabilités
EXERCICES : ANALYSE COMBINATOIRE
EXERCICE 1
Sur une étagère d'un meuble, de combien de façons différentes peut-on placer sur une même
rangée six vers de couleurs différentes ?
EXERCICE 2
Dans un jeu de loto on doit choisir une combinaison de 6 nombres différents parmi 24
nombres différents. Combien de combinaisons peut-on former si :
a) l'ordre n'est pas important ?
b) l'ordre est important ?
EXERCICE 3
Combien de nombres de 4 chiffres peut-on former avec les 10 chiffres 0, 1, 2, …, 9 si :
a)
b)
c)
d)
e)
les chiffres peuvent se répéter ;
les chiffres peuvent se répéter et le nombre est divisible par 5 ;
les chiffres ne peuvent se répéter et le nombre est divisible par 2 ;
les chiffres ne peuvent se répéter et le nombre est pair ;
les chiffres ne peuvent se répéter et le nombre ne contient que des chiffres impairs.
EXERCICE 4
Quatre hommes et trois femmes se présentent à un guichet bancaire.
a) il y a combien de façon de servir ces personnes abstraction faite de leur sexe ?
b) il y a combien de façon de servir ces personnes si les femmes doivent être servies en
premier ?
c) il y a combien de façon de servir ces personnes si les hommes et les femmes sont servis
alternativement ?
EXERCICE 5
Avec un alphabet de 26 lettres, combien peut-on écrire de mots différents de 7 lettres, une
lettre ne pouvant figurer qu'une fois dans le même mot ?
EXERCICE 6
Un championnat sportif groupe 20 équipes. Chaque match oppose deux équipes. Chaque
équipe doit, pendant la saison, rencontrer chacune des 19 autres équipes, une fois sur son
propre terrain, une fois sur le terrain de l'adversaire.
Combien de rencontres faut-il organiser au total ?
Adil EL MARHOUM
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Exercices de probabilités
EXERCICE 7
Quatre hommes et trois femmes vont s'asseoir sur un banc de 7 places. De combien de façons
différentes ces personnes peuvent s'asseoir si les femmes occupent que les places paires ?
EXERCICE 8
On désire ranger sur une étagère quatre livres de mathématiques, six livres de statistiques et
trois livres de gestion. Combien d'arrangement y a-t-il si :
a) les livres de chaque spécialité doivent être groupés ensemble ?
b) les livres de gestion seulement doivent être groupés ensemble ?
EXERCICE 9
On désire former un groupe de 3 filles et 4 garçons choisis parmi un groupe de 5 filles et 8
garçons. De combien de façons différentes peut-on former ce groupe sachant que :
a) n'importe quel garçon ou fille peut être choisi ?
b) une fille particulière doit obligatoirement faire partie du groupe à former ?
c) Deux garçons particuliers ne peuvent être choisis ?
EXERCICE 10
Combien de mots de 3 consonnes différentes et 3 voyelles différentes peut-on former avec 7
consonnes et 5 voyelles ? les mots n'ont pas nécessairement un sens.
Adil EL MARHOUM
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EXERCICES : CALCUL DE PROBABILITES
EXERCICE 1
Expliquer pourquoi doit-il y avoir une erreur dans chacune des phrases suivantes :
a) La probabilité qu'il pleuve demain est 0,67 et la probabilité qu'il pleuve ou qu'il neige est
0,55.
b) La probabilité qu'un étudiant réussisse son examen de statistique est 0,82 et la probabilité
qu'il réussisse son examen de statistique et mathématique est 0,86.
c) Les probabilités qu'une secrétaire fasse 0; 1; 2; 3; 4; plus de 4 erreurs lors d'un travail de
dactylographie sont respectivement 0,12; 0,25; 0,36; 0,14; 0,09; et 0,07.
EXERCICE 2
Selon le dernier recensement 55 % de la population sont analphabètes et 51 % de la
population sont de sexe féminin. Parmi les femmes, 68 % sont analphabètes.
Calculer la probabilité d'être :
a)
b)
c)
d)
e)
Une femme analphabète.
Une femme non analphabète.
Un homme analphabète.
Un homme non analphabète.
Une personne est choisie au hasard parmi les analphabètes, quelle est la probabilité qu'elle
soit une femme ?
EXERCICE 3
On forme un comité de 5 membres choisis au hasard parmi 8 personnes dont 3 femmes et 5
hommes.
a) Quelle est la probabilité pour que les trois femmes soient choisies ?
b) Quelle est la probabilité pour que l'une des femmes, au moins, soit choisie ?
c) Quelle est la probabilité pour qu'aucune femme ne soit choisie ?
EXERCICE 4
Un portefeuille comprend 3 actions et 2 obligations.
a) On tire successivement et sans remise 2 titres. Quelle est la probabilité d'avoir une action
et une obligation ?
b) On tire dans le portefeuille un titre et on note sa catégorie. Si c'est une action on la remet
dans le portefeuille sinon on ne la remet pas. On effectue un second tirage. Quelle est la
probabilité d'avoir une action et une obligation ?
Adil EL MARHOUM
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Exercices de probabilités
EXERCICE 5
Une course réunit 15 chevaux est organisé au cours d'une fête. Le public est invité à donner le
tiercé gagnant (numéros des trois premiers chevaux).
Pour une personne qui parierait tout à fait au hasard, quelle est la probabilité de donner le
résultat exact :
a) dans l'ordre (numéros des trois premiers chevaux classés dans l'ordre exact de leurs
arrivées) ?
b) dans le désordre (numéros des trois premiers chevaux classés dans un ordre différent) ?
EXERCICE 6
Trois familles comprennent respectivement 2 garçons et 1 fille; 1 garçon et 1 fille; 1 garçon et
2 filles. Si on choisit au hasard et indépendamment un enfant de chaque famille, quelle est la
probabilité que le groupe des trois enfants ainsi constitué réunisse au moins 1 garçon et 1
fille?
EXERCICE 7
Soit A, l'événement tel qu'une famille a des enfants des deux sexes, et B, l'événement tel
qu'une famille a au plus 1 garçon.
a) Montrer que A et B sont des événements indépendants si une famille a 3 enfants.
b) Montrer que A et B sont des événements dépendants si une famille a 2 enfants.
EXERCICE 8
Dans une population de 10000 personnes, il y a 45 % de fumeurs et 35 % sont atteintes de
bronchite. De plus, 65% des personnes atteintes de bronchite sont des fumeurs.
Calculer la probabilité pour qu'une personne choisie au hasard dans cette population soit :
a) Un fumeur bronchiteux.
b) Un bronchiteux non fumeur.
c) Calculer la probabilité pour qu'une personne choisie au hasard parmi les fumeurs soit
atteinte de bronchite.
EXERCICE 9
Sur 60 postulants à l'entrée dans un établissement 40 sont du Sud.
Si 20 postulants sont sélectionnés au hasard, calculer la probabilité pour que :
a) 10 sélectionnés sont du Sud.
b) Pas plus de 2 sélectionnés du Sud.
Adil EL MARHOUM
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Exercices de probabilités
EXERCICE 10
Pour juger de l'efficacité d'une campagne publicitaire ayant porté sur un produit, on a sondé
1500 personnes, 1000 dans la région du Nord et 500 dans la région du Sud. Les résultats sont :
Régions
Connaissent le
produit et le
consomment
Connaissent le
produit et ne le
consomment pas
Nord
Sud
80
50
150
130
Ne
connaissent
pas le
produit
770
320
EXERCICE 11
Un avion de guerre passe au-dessus de 3 batteries. Chaque batterie a une chance sur trois
d'abattre l'avion. quelle est la probabilité que l'avion soit abattu ?
EXERCICE 12
Une usine s'adresse à deux fournisseurs A et B pour l'approvisionnement d'un composant
électronique. Le contrôle de conformité effectué sur un échantillon aléatoire de composants
électroniques a donné la répartition suivante du nombre de défauts :
Fournisseur
A
B
Répartition du nombre de défauts
0 défaut 1 défaut 2 défauts Total
60 %
35 %
5%
100 %
65 %
25 %
10 %
100 %
Sachant que 70 % des composants sont achetés à A et 30 % à B :
a) Calculer la probabilité pour qu'un composant ne présente aucun défaut.
b) Calculer la probabilité pour qu'un composant tiré aléatoirement et ne présentant aucun
défaut, provienne de B.
EXERCICE 13
Un chercheur en marketing doit évaluer l'efficacité de l'utilisation et de la connaissance du
nom d'un produit. Une étude de marché a montré que le produit occupe 10 % du marché et
que 95 % des personnes ayant déjà achetés ce produit se rappellent le nom du produit, alors
que seulement 20 % des non acheteurs le reconnaissent.
Une personne est choisie d'une manière aléatoire parmi le groupe des consommateurs.
a) Quelle est la probabilité à priori acceptable que la personne choisie soit un acheteur du
produit ?
b) Sachant que la personne reconnaît le nom du produit, quelle est la probabilité à posteriori
qu'elle fasse partie des acheteurs du produit ?
c) Sachant que la personne ne reconnaît pas le nom du produit, quelle est la probabilité à
posteriori qu'elle fasse partie des acheteurs du produit ?
Adil EL MARHOUM
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Exercices de probabilités
EXERCICE 14
Dans une île déserte, un pirate enterre à quelques mètres de distance deux sacs d'un trésor. Le
sac en jute contient 20 pièces d'or et 30 pièces d'argent. Le sac en cuir contient 20 pièces d'or
et 20 pièces d'argent. Malheureusement pour lui il finit sa vie en prison sans avoir pu
récupérer son trésor. Plus tard, un aventurier débarque sur cette île et creuse le sol au hasard.
La fortune lui sourit puisqu'il trouve un des deux sacs. Il y plonge la main et en sort une pièce
d'or. qu'elle est la probabilité qu'il s'agisse du sac en cuir ?
EXERCICE 15
Les étudiants d'une école sont répartis en trois groupes de 30 %; 34 %; et 36 %. Le taux
d'absentéisme est respectivement de 4 %; 2 %; et 7 %. Un étudiant choisi au hasard s'est
révélé de bonne assiduité. Calculer la probabilité que cet étudiant appartienne au groupe 1.
Adil EL MARHOUM
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Exercices de probabilités
EXERCICES : VARIABLES ALEATOIRES
EXERCICE 1
Une usine employant 30 personnes dont 4 ingénieurs, 10 techniciens et 16 ouvriers. On en
choisit de façon successive 3 employés.
a) Calculer la probabilité d'avoir un employé de chaque catégorie professionnelle.
b) Soit la variable aléatoire X qui représente le nombre d'ingénieurs choisis. Donner la loi de
probabilité de X.
EXERCICE 2
Pour vendre un article, un producteur décide de lancer une campagne publicitaire par insertion
de photos dans des journaux spécialisés. Le nombre d'articles vendus après une parution est
une variable aléatoire dont la loi de probabilité est la suivante :
Nombre d'articles
0
100
200
Probabilité
0,525
0,350
0,125
Le producteur fait 50 parutions indépendamment les uns des autres. Soit X le nombre
d'articles vendus grâce à cette publicité. Calculer l'espérance et la variance de X.
EXERCICE 3
4 étudiants dont aucun n'a étudié les sujets du cours passent un examen en deux questions. La
question 1 a 4 réponses indiquées dont une seule est juste. La question 2 en a 5.
Soit la variable aléatoire X qui désigne le nombre d'étudiants qui ont au moins une réponse
correcte.
a) Quelle est l'espérance du nombre d'étudiant qui ont au moins une réponse correcte ?
b) Calculer la probabilité que 2 étudiants au moins aient au moins une réponse correcte.
Adil EL MARHOUM
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Exercices de probabilités
EXERCICE 4
Dans un groupe de 10 ménages, le revenu annuel est distribué ainsi (les unités sont les mêmes
pour mari et femme) :
Ménage
Revenu du
mari
Revenu de
la femme
1
10
2
15
3
15
4
10
5
10
6
15
7
20
8
15
9
20
10
20
5
15
10
10
10
5
10
10
15
10
Un ménage est choisi au hasard, soit X le revenu du mari et Y le revenu de la femme.
a) Donner la loi de probabilité du couple (X, Y), en déduire les lois marginales de X et de Y.
b) Calculer le coefficient de corrélation linéaire entre X et Y.
c) On note S le revenu total du ménage et W le revenu total du ménage après impôt avec :
S=X+Y
et
W = 0,6 X + 0,8 Y
Donner la loi de probabilité du couple (S, W).
EXERCICE 5
On est au réez de chaussée d'un immeuble de 8 étages. Combien de temps penser vous
pouvoir attendre, en moyenne, un ascenseur qui ne se trouve pas au réez de chaussée, qui peut
se trouver à n'importe quel étage avec la même probabilité et qui met 5 secondes pour passer
d'un étage à l'autre, son démarrage et son arrêt sont instantanés. Chiffrer l'écart type de votre
temps d'attente.
EXERCICE 6
Pour une demande aléatoire X de denrées périssables, un grossiste commande y tonnes de
denrées chaque jour. La loi de probabilité de X est la suivante :
Demande en
tonnes : x
probabilités
0
1
2
3
4
5
6
0,02 0,15 0,25 0,30 0,15 0,10 0,03
1)
a) Calculer la probabilité que le grossiste vende moins de 3 tonnes de denrées dans la
journée.
b) Calculer le nombre moyen de tonnes vendues chaque jour.
c) Calculer l'écart type.
2) Le grossiste gagne 5000 dh par tonne vendue et perd 2000 dh par tonne non vendue. Soit
la variable aléatoire G dont les valeurs sont égales au bénéfice pour une commande y.
a) Construire un tableau donnant les valeurs de G pour une commande y = 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6
tonnes ainsi que les probabilités associées.
b) Calculer l'espérance de G pour les mêmes valeurs de Y.
Adil EL MARHOUM
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Exercices de probabilités
EXERCICE 7
2 comprimés sont choisis au hasard dans un flacon contenant 3 aspirines, 2 sédatifs et 4
laxatifs. Si X et Y représentent respectivement le nombre d'aspirines et le nombre de sédatifs
obtenus, déterminer la loi de probabilité du couple (X, Y).
EXERCICE 8
Déterminer la loi de probabilité de la variable aléatoire, nombre de garçons d'une famille de 4
enfants.
EXERCICE 9
Le nombre de gâteaux qu'un pâtissier peut vendre en un jour quelconque est une variable
aléatoire ayant la distribution de probabilité suivante :
x
P(x)
0
1/6
1
1/6
2
1/6
3
1/6
4
1/6
5
1/6
Ce pâtissier sait qu'il y a un profit de 10 dh pour chaque gâteau vendu et une perte de 4 dh
pour chaque gâteau non vendu.
En supposant que chaque gâteau ne peut être vendu que le jour où il a été préparé :
a) Quel est le profit auquel doit s'attendre le pâtissier en un jour où il a préparé 5 gâteaux ?
b) Que serait ce profit attendu si le pâtissier avait préparé 3 gâteaux uniquement ?
EXERCICE 10
On étudie la durée X des communications téléphoniques dont la densité est :
si
0
f ( x)   -k x
si
a e
a) Sachant que k 
b)
c)
d)
e)
x  0
x  0
5
quelle valeur faut-il donner à a pour que f(x) soit une densité de
6
probabilité ?
Donner la fonction de répartition de X.
Quelle est la probabilité pour qu'une communication dure plus de 3 minutes ?
Quelle est la probabilité pour qu'une communication ait une durée entre 3 et 6 minutes ?
Si on ne connaît pas k, quelle valeur faudrait-il lui donner pour que la probabilité d'une
communication supérieure à 3 minutes soit égale à 0,1 ?
Adil EL MARHOUM
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Exercices de probabilités
EXERCICE 11
Soit X une variable aléatoire représentant le nombre d'heures de vie d'une ampoule électrique.
Supposons que X soit distribué avec la fonction de densité de probabilité suivante :
x
1 1000
f ( x) 
e
1000
pour x > 0
Trouver la durée de vie attendue d'une telle ampoule.
EXERCICE 12
Soit la variable aléatoire continue définie par la fonction de répartition suivante :
F(x) = k x²
si 0  x  4
a) Déterminer la valeur de k et la fonction de densité de probabilité de X.
b) Déterminer l'espérance mathématique et l'écart type de X.
c) Calculer la probabilité : p(1  x  3).
EXERCICE 13
Soit la fonction de densité de probabilité suivante :
si
x0
0
 ax

si 0  x  2
2

f ( x )  a
si 2  x  3
a
 (5  x) si 3  x  5
2
0
si x  5
a) Déterminer la constante a, la moyenne et la médiane de cette distribution.
b) Déterminer la valeur de x0 telle que : p(x < x0) = 0,95
Adil EL MARHOUM
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Exercices de probabilités
EXERCICE 14
La quantité réelle x de café (en grammes) qu'une machine peut mettre dans des boites pouvant
contenir 230 grammes, est une variable aléatoire dont la fonction de densité de probabilité est
donnée par :
0
1

f (x )  
5
0
pour
x  227,5
pour 227,5  x  232,5
pour
x  232,5
Trouver les probabilités qu'une boite de 230 grammes remplie par cette machine contienne :
a) Au plus 228,65 grammes de café.
b) 229,34 à 231,66 grammes de café.
c) Au moins 229,85 grammes de café.
EXERCICE 15
Soit la fonction de densité de probabilité suivante :
f ( x)  ax  bx ²
si 0  x  1
a) Déterminer a et b pour que X soit une variable aléatoire dont l'espérance mathématique est
2
égale à .
3
b) Calculer l'écart type de X.
Adil EL MARHOUM
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Exercices de probabilités
EXERCICES : LOIS THEORIQUES DISCRETES
EXERCICE 1
Dans un portefeuille comprend 20 actions et 30 obligations, on prélève 7 titres au hasard.
Quelle est la probabilité d'obtenir 4 actions dans le cas :
a) d'un tirage sans remise ;
b) d'un tirage avec remise.
EXERCICE 2
Dans une urne contenant 20 boules blanches et 30 boules noires, on prélève 7 boules au
hasard et sans remise. Dans une seconde urne contenant 100 boules blanches et 150 boules
noires, on prélève également 7 boules au hasard et sans remise. Quelle est la probabilité qu'il
y ait plus de boules blanches que de boules noires pour l'ensemble des 14 boules prélevées ?
EXERCICE 3
Des chambres à air sont produites en série et 5 % ont des défauts. Un garagiste en achète 10.
a) Quelle est la probabilité que les 10 soient en bon état ?
b) On suppose qu'il annule sa commande si plus de 2 articles ont des défauts. Quelle est
la probabilité qu'il annule sa commande ?
EXERCICE 4
Un lot important de pièces fabriquées contient 1 % de pièces défectueuses. Quelle est la
probabilité d'avoir dans un échantillon de 10 pièces exactement 2 pièces défectueuses en
utilisant :
a) la loi binomiale ;
b) l'approximation par la loi de poisson.
EXERCICE 5
Un contrôle rigoureux des ampoules électriques fournies par un atelier a permis de constater
que sur 14760 ampoules, il y avait 738 ampoules défectueuses.
Soit X le nombre des ampoules défectueuses figurant dans un lot de 60 ampoules.
a) Indiquer la loi de probabilité de X. par quelle autre loi peut-on l'approcher ?
b) Quelle est la probabilité d'avoir plus de 3 ampoules défectueuses dans un lot de 60
ampoules ?
c) Quelle est la probabilité d'avoir 78 ampoules bonnes dans un lot de 80 ampoules ?
Adil EL MARHOUM
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Exercices de probabilités
EXERCICE 6
30 étudiants dont aucun n'a étudié les sujets du cours passent un examen en deux questions.
La question 1 a 4 réponses indiquées dont une seule est juste. La question 2 en a 5.
Soit la variable aléatoire X qui désigne le nombre d'étudiants qui ont au moins une réponse
correcte.
c) Quelle est l'espérance du nombre d'étudiant qui ont au moins une réponse correcte ?
d) Calculer la probabilité que la moitié au moins de la classe aient au moins une réponse
correcte.
EXERCICE 7
Une compagnie d'assurance assure une flotte de 1000 navires de valeur unitaire 1000000 de
dirhams. Seul le risque de perte totale du navire est pris en compte, la probabilité d'un tel
événement est évaluée à 0,01 pour un navire et pour une année. Les frais de gestion
représentent 20 % du montant des primes payées.
a) Quelle doit être la valeur de la prime annuelle pour un navire si la compagnie désire
avoir une probabilité égale à 0,7 de réaliser des bénéfices ?
b) Déterminer l'espérance mathématique et l'écart type du bénéfice.
EXERCICE 8
Un satellite de télédétection effectue 6 passages par mois au-dessus d'une région donnée. Les
photos réalisées lors des différents passages peuvent être inutilisables, du fait notamment de la
présence d'une couverture nuageuse.
Quelle doit être la probabilité d'obtenir une photo valable lors d'un passage donné pour que la
probabilité d'avoir au moins une photo valable par mois soit de 0,9 ?
EXERCICE 9
Un étudiant doit passer un examen, il a dix sujets à apprendre, il n'en apprend que trois.
Sachant qu'on lui posera deux questions :
a) Calculer la probabilité pour que les sujets posés soient parmi les trois sujets appris.
b) Combien aurait-il dû au minimum apprendre de sujets pour que cette probabilité soit
supérieure ou égale à 0,5 ?
EXERCICE 10
Une société achète des lots importants d'un composant électronique. La décision d'accepter ou
de refuser ces lots est basée sur un échantillon de 20 pièces choisies au hasard, s'il y a une ou
plusieurs pièces défectueuses parmi les 20 pièces examinées le lot est refusé, autrement il est
accepté.
On considère un lot important ayant 1 % de pièces défectueuses, calculer la probabilité de
refuser ce lot.
Adil EL MARHOUM
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Exercices de probabilités
EXERCICE 11
Une compagnie d'assurance automobile gère 1000 polices. On admet que chaque
automobiliste a une probabilité de 0,2 d'avoir un accident durant l'année. Soit X la variable
aléatoire qui désigne le nombre d'accidents enregistrés.
a)
b)
c)
d)
Déterminer la loi de X et donner ses paramètres.
Calculer l'espérance mathématique et l'écart type de X.
Par quelle loi peut-on approcher la loi de X ?
Chaque accident coûte à la compagnie 400 dirhams ; soit la variable aléatoire Y qui
désigne le coût annuel total. Déterminer la loi de Y et calculer son espérance
mathématique et son écart type.
e) Quelle prime faut-il faire payer à chaque assuré pour que la compagnie ait 95 % de
chances de réaliser un bénéfice ?
EXERCICE 12
Un appareil électronique utilise 20 transistors identiques dans sa fabrication. On admet que
ces transistors sont les seules sources de panne de l'appareil. La probabilité qu'un transistor
soit défectueux est de 0,1. Dès qu'un appareil contient au moins deux transistors défectueux, il
tombe en panne.
a) Quelle est la probabilité qu'un appareil tombe en panne ?
b) Jugeant l'appareil précédant peu rentable, on en construit un autre dont la probabilité
de tomber en panne est égale à 0,2. Sur un lot de 2000 appareils, quel est le nombre
d'appareils en panne auquel doit-on s'attendre ? et avec quel écart type ?
EXERCICE 13
Il a été constaté que le nombre de bateaux qui mouillent dans un port est de 90 bateaux par
mois. Calculer la probabilité que :
a) Aucun bateau ne mouille pendant 1 jour.
b) Le nombre de bateaux qui mouillent est au moins égal à 3 pendant un jour.
EXERCICE 14
Une usine possède un restaurant d'entreprise qui assure chaque jour 2 services. Chacun des
900 employés de l'usine se présente indifféremment à l'un ou à l'autre des services avec une
probabilité de 0,5. Par ailleurs les choix de 2 employés sont indépendants.
1) Quelle est la probabilité que le nombre de personnes se présentant au premier service
soit supérieur à 500 ?
2) De quel nombre de places faut-il disposer dans le restaurant pour que la probabilité de
pouvoir répondre à la demande aux deux services soit supérieure à 95 %.
3) Le nombre total des repas à servir chaque jour est une variable aléatoire ; chaque
employé a chaque jour une probabilité de 0,1 de prendre son repas à l'usine.
a) Quelle est l'espérance mathématique de cette variable ?
b) Combien de repas convient-il de préparer pour que la probabilité de satisfaire la
demande soit supérieure à 99 % ?
Adil EL MARHOUM
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Exercices de probabilités
EXERCICE 15
Une compagnie d'assurance a organisé la gestion d'un certain type de risque sur la base d'une
distinction géographique qui reflète une différence dans l'intensité de ce risque.
Pour la région du Nord, on peut considérer que le nombre de sinistres enregistrés au cours
d'une semaine suit une loi de Poisson de paramètre égal à 3. Pour la région du sud totalement
indépendante de la région du Nord, le nombre hebdomadaire de sinistres suit une loi de
Poisson de paramètre égal à 2.
a) Quelle est la probabilité que pour une semaine donnée, la compagnie ait à indemniser
4 sinistres ?
b) Le coût moyen de l'indemnisation d'un sinistre est de l'ordre de 25000 dirhams.
Calculer la probabilité que pour une semaine donnée, la compagnie doit débourser
plus de 150000 dirhams.
c) Pour une semaine donnée, calculer la probabilité d'avoir à indemniser le même
nombre de sinistres dans chaque région, ce nombre commun étant inférieur à 3.
EXERCICE 16
Un mensuel lance une campagne publicitaire, pour susciter de nouveaux abonnements, en
envoyant un spécimen gratuit à des personnes susceptibles de s'abonner.
La probabilité pour que l'envoi d'un spécimen entraîne un abonnement est égale à 0,3.
a) Sachant que le coût publicitaire par personne est de 2 dirhams et que le gain brut
escompté pour un abonnement est de 12 dirhams, calculer l'espérance mathématique
du gain pour un envoi de 10000 spécimens.
b) Calculer la probabilité que l'envoi de 10 spécimens donne plus de 5 abonnements.
EXERCICE 17
Les chances d'effectuer la vente d'un certain produit lors d'une sollicitation téléphonique sont
évaluées à 5 %. Au cours de 2 heures, une agence spécialisée dans la vente de ce produit place
180 appels.
a) Combien de ventes peut-elle espérer obtenir au cours de 2 heures ?
b) Quelle est la probabilité qu'elle réussisse plus de 10 ventes ?
Adil EL MARHOUM
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Exercices de probabilités
EXERCICES : LOIS THEORIQUES CONTINUES
EXERCICE 1
Le stock journalier d'un produit destiné à un atelier suit une loi normale de moyenne 120
pièces et d'écart type 50 pièces.
a) Calculer la probabilité que le nombre de pièces en stock est compris entre 80 et 160.
b) Calculer la probabilité que le nombre de pièces en stock est supérieur à 200.
c) Calculer la probabilité qu'il y ait rupture de stock.
EXERCICE 2
La longueur d’une pièce fabriquée par une machine est une variable normale de moyenne 15
cm et d’écart type 0,2 cm.
a) Trouver la probabilité de rejet si les dimensions admissibles de la pièce doivent être
comprises entre 14,7 et 15,3 cm.
b) Quelle précision de longueur de la pièce fabriquée peut-on garantir avec une probabilité
de 0,95 ?
EXERCICE 3
Le poids réel des boîtes où on a mis des dattes dans une petite unité de conditionnement à
Zagora, suit une distribution normale de moyenne 10 Kg et de variance 0,01. Quelle est la
probabilité qu'une boite achetée au marché pèsera au moins 9,875 Kg ?
EXERCICE 4
Dans une branche industrielle composée de 1600 établissements, on a constaté que la
rentabilité (bénéfice ou perte) suit une loi normale. Par ailleurs on a observé que les 400
entreprises les plus rentables réalisent un bénéfice supérieur à 2 millions de dirhams et que
800 entreprises réalisent uniquement des pertes.
Calculer la rentabilité moyenne et l'écart type.
EXERCICE 5
Le lait produit par une usine a une teneur en matières grasses qui suit une loi normale de
moyenne 160 grammes par litre et d'écart type 10 grammes par litre. Les consommateurs
n'acceptent que le lait dont la teneur en matières grasses est comprise entre 135 grammes par
litre et 185 grammes par litre.
Calculer la proportion de la production du lait inacceptable par les consommateurs.
Adil EL MARHOUM
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Exercices de probabilités
EXERCICE 6
Le diamètre intérieur moyen d'un échantillon de 200 rondelles produites par une machine est
égal à 1,275 cm et l'écart type à 0,013 cm. L'usage que l'on fait de ces rondelles nécessite que
le diamètre varie entre 1,260 et 1,290 cm, autrement les rondelles sont considérées comme
défectueuses.
Déterminer la proportion des rondelles défectueuses produites par cette machine en supposant
que le diamètre suit une loi normale.
EXERCICE 7
Une confiture peut être qualifiée de "pure sucre" si elle contient entre 440 et 520 grammes de
sucre par kilogramme de confiture. Un fabricant vérifie 200 pots de confiture de 1
kilogramme chacun. Il trouve que le poids moyen de sucre est de 480 grammes avec un écart
type de 20 grammes. Sachant que le poids en sucre est distribué normalement, calculer le
pourcentage de la production du fabriquant qui ne doit pas porter la mention "pur sucre" en
considérant que l'échantillon des 200 pots est représentatif de la production globale.
EXERCICE 8
Deux entreprises A et B produisent des ampoules électriques dont la durée de vie suit une loi
normale. Les espérances mathématiques et les écarts type sont respectivement de 1150 heures
et 50 heures pour A et de 1200 heures et 80 heures pour B.
En exigeant que la durée de vie des ampoules ne soit pas inférieure à 1050 heures, de quelle
entreprise devrait-on s'approvisionner ?
EXERCICE 9
Pour se rendre à son travail un ouvrier a le choix entre deux chemins A et B. La durée du
parcours exprimée en minutes est une variable aléatoire normale de moyenne et d'écart type
respectivement 27 mn et 5 mn pour le chemin A, et 30 mn et 2 mn pour le chemin B.
À votre avis quel chemin cet ouvrier doit choisir pour ne pas arriver en retard s'il dispose de
30 mn ?
EXERCICE 10
Une machine met du sucre en poudre en sachet. Elle peut être réglée au moyen d’un dispositif
gradué en gramme, tel que lorsque la machine est réglée sur le poids moyen par sachet m, la
probabilité que les sachets pèsent au moins 1 Kg est égale à 98,5 %.
Sachant que le poids par sachet suit une loi normale d’écart type 10 grammes, sur quelle
valeur m faut-il régler le dispositif ?
Adil EL MARHOUM
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Exercices de probabilités
EXERCICE 11
Une machine est réglée pour faire remplir des bouteilles d'un volume moyen de 255 cm3. Si
la distribution des volumes est normale et l'écart type est égal à 4 cm3 :
a) dans quelle proportion des cas le volume sera inférieur à 250 cm3 ?
b) quelle valeur faut-il donner au volume moyen pour que cette proportion soit de 5 % ?
EXERCICE 12
Dans une entreprise, le salaire du personnel suit une loi normale. Sachant que le salaire des
trois quarts du personnel est inférieur à 3000 dh, et que 5 % du personnel perçoivent plus de
8000 dh ; déterminer le salaire moyen et l'écart type.
EXERCICE 13
Dans le cadre de la gestion d’un stock de marchandise, on doit lancer une commande destinée
à couvrir quatre semaines de fourniture d’un produit donné. On admet que la demande
hebdomadaire de ce produit suit une loi normale de moyenne 50 et d’écart type 10.
Combien d’unités doit-on commander pour que la probabilité d’être en rupture de stock soit
inférieure à 1 % si on considère que les demandes des semaines successives sont
indépendantes ?
EXERCICE 14
On suppose que la probabilité de guérir d'une maladie est égale à 0,8.
a) Déterminer la probabilité de voir guérir 75 malades ou plus parmi 100.
b) Déterminer le nombre de malades pour lesquels la probabilité de voir guérir au moins
100 est égale à 0,99.
EXERCICE 15
Trouver la probabilité qu'au moins 70 de 100 moustiques seront tués par un nouvel insecticide
si l'on sait que la probabilité que n'importe quel moustique soit tué est voisine de 0,75.
EXERCICE 16
Si U1 et U2 sont deux variables aléatoires normales centrées, réduites et indépendantes,
calculer :
a) p(U1 > U2)
b) p(U1+2U2 > 5)
c) calculer k tel que p(U1+kU2 > 2) = 0,05
Adil EL MARHOUM
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Exercices de probabilités
EXERCICE 17
Une caisse d’assurance maladie reçoit 121 personnes pour l’obtention de remboursements, on
admet que la caisse doit payer, en moyenne, à chaque personne 100 dh avec un écart type de
60 dh.
La caisse dispose de 13000 dh, calculer la probabilité que cette somme soit suffisante.
EXERCICE 18
Au sein d’une population de personnes 4 % mesurent moins de 1,60 m et 12 % plus de 1,80
m. si on suppose que la taille de ces personnes suit une loi normale, quelle est la taille
moyenne de cette population ainsi que son écart type ?
EXERCICE 19
Quelle est la valeur de la variable aléatoire X si p(X<x) = 0,975 et si la variable aléatoire X
est :
a)
b)
c)
d)
e)
une variable normale réduite ;
une variable normale de moyenne 10 et d'écart type 2 ;
une variable de Student à 15 degrés de liberté ;
une variable Khi deux à 15 degrés de liberté ;
une variable de Fisher à 15 et 1 degrés de liberté.
Adil EL MARHOUM
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