Logique et démonstration automatique : Une introduction

Logique et démonstration automatique :
Une introduction à la logique propositionnelle et à la logique du
premier ordre
Stéphane Devismes Pascal Lafourcade Michel Lévy
2011/2012

Table des matières
I Logique propositionnelle 9
1 Logique propositionnelle 11
1.1 Syntaxe .................................................... 12
1.1.1 Formulesstrictes ........................................... 12
1.1.2 Formulesàpriorité.......................................... 15
1.2 Sensdesformules............................................... 15
1.2.1 Sensdesconnecteurs......................................... 16
1.2.2 Valeurd’uneformule......................................... 16
1.2.3 Définitions et notions élémentaires de logique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
1.2.4 Compacité .............................................. 20
1.2.5 Équivalencesremarquables...................................... 21
1.3 Substitutionetremplacement......................................... 21
1.3.1 Substitution.............................................. 22
1.3.2 Remplacement ............................................ 23
1.4 FormesNormales............................................... 24
1.4.1 Transformation en forme normale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
1.4.2 Transformation en forme normale disjonctive (somme de monômes) . . . . . . . . . . . . . . . . 25
1.4.3 Transformation en forme normale conjonctive (produit de clauses) . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
1.5 AlgèbredeBoole ............................................... 27
1.5.1 Définitionetnotations ........................................ 27
1.5.2 Propriétés............................................... 28
1.5.3 Dualité ................................................ 31
1.6 Fonctionsbooléennes............................................. 32
1.6.1 Fonctions booléennes et somme de monômes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
1.6.2 Fonctions booléennes et produit de clauses . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
1.7 L’outilBDDC................................................. 34
1.8 Exercices ................................................... 35
2 Résolution propositionnelle 41
2.1 Résolution................................................... 42
2.1.1 Définitions .............................................. 42
2.1.2 Cohérence .............................................. 44
2.1.3 Complétude pour la réfutation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
2.1.4 Réduction d’un ensemble de clauses . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
2.1.5 Clauses minimales pour la déduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
2.1.6 Clauses minimales pour la conséquence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
2.2 Stratégiecomplète .............................................. 50
2.2.1 Algorithme de la stratégie complète . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
2.2.2 Arrêtdel’algorithme......................................... 52
2.2.3 Le résultat de l’algorithme est équivalent à l’ensemble initial de clauses . . . . . . . . . . . . . . 52
2.2.4 Le résultat de l’algorithme est l’ensemble des clauses minimales pour la déduction de l’ensemble
initialdeclauses ........................................... 53
2.3 Algorithme de Davis-Putnam-Logemann-Loveland . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
2.3.1 Suppression des clauses contenant des littéraux isolés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55

4/144 Table des matières
2.3.2 Résolutionunitaire.......................................... 55
2.3.3 Suppression des clauses valides . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
2.3.4 L’algorithme ............................................. 56
2.3.5 SolveursSAT............................................. 59
2.3.5.1 Heuristique de branchement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
2.3.5.2 Ajoutdeclauses...................................... 59
2.3.5.3 Analyse des conflits et retour-arrière non chronologique . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
2.3.5.4 Apprentissage ....................................... 60
2.3.5.5 Redémarrage........................................ 60
2.3.5.6 Structures de données paresseuses . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
2.4 Exercices ................................................... 61
3 Déduction Naturelle 65
3.1 Système formel de la déduction naturelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
3.1.1 Règlesdeconjonction ........................................ 66
3.1.2 Règlesdedisjonction......................................... 66
3.1.3 Règlesdel’implication........................................ 67
3.1.4 Deuxrèglesspéciales......................................... 67
3.1.5 Preuve en déduction naturelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
3.1.5.1 Brouillondepreuve .................................... 68
3.1.5.2 Contexte des lignes d’un brouillon de preuve . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
3.1.5.3 Preuves .......................................... 69
3.2 Tactiquesdepreuve.............................................. 71
3.3 Cohérence de la déduction naturelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
3.4 Complétude de la déduction naturelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74
3.5 Outils ..................................................... 76
3.5.1 Logiciel de construction automatique de preuves . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76
3.5.2 Dessiner des arbres de preuves . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76
3.6 Exercices ................................................... 77
II Logique du premier ordre 79
4 Logique du premier ordre 81
4.1 Syntaxe .................................................... 82
4.1.1 Formulesstrictes ........................................... 82
4.1.2 Formulesàpriorité.......................................... 83
4.2 Êtrelibreoulié ................................................ 85
4.2.1 Occurrenceslibresetliées ...................................... 85
4.2.2 Variableslibresetliées........................................ 85
4.3 Sensdesformules............................................... 85
4.3.1 Déclarationdesymbole........................................ 86
4.3.2 Signature ............................................... 86
4.3.3 Interprétation............................................. 87
4.3.4 Sensdesformules .......................................... 88
4.3.4.1 Sens des termes sur une signature . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88
4.3.4.2 Sens des formules atomiques sur une signature . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89
4.3.4.3 Sens des formules sur une signature . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89
4.3.5 Modèle, validité, conséquence, équivalence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90
4.3.6 Instanciation ............................................. 90
4.3.7 Interprétationfinie .......................................... 91
4.3.7.1 Les entiers et leurs représentations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92
4.3.7.2 Expansion d’une formule . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92
4.3.7.3 Interprétation et assignation propositionnelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92
4.3.7.4 Recherche d’un modèle fini d’une formule fermée . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93
4.3.8 Substitution et remplacement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94

Table des matières 5/144
4.4 Équivalencesremarquables.......................................... 94
4.4.1 Relation entre ∀et ∃......................................... 95
4.4.2 Déplacement des quantificateurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95
4.4.3 Changement de variables liées . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96
4.5 Exercices ................................................... 98
5 Base de la démonstration automatique 103
5.1 MéthodesdeHerbrand ............................................104
5.1.1 DomaineetbasedeHerbrand .................................... 104
5.1.2 InterprétationdeHerbrand......................................105
5.1.3 ThéorèmedeHerbrand........................................107
5.2 Skolémisation.................................................108
5.2.1 Algorithme de skolémisation d’une formule . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109
5.2.1.1 Transformation en formule normale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110
5.2.1.2 Transformation en formule propre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110
5.2.1.3 Élimination des quantificateurs existentiels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110
5.2.1.4 Transformation en fermeture universelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111
5.2.2 Propriétés de la forme de Skolem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112
5.2.3 Formeclausale ............................................113
5.3 Unification ..................................................115
5.3.1 Unificateur ..............................................115
5.3.2 Algorithmed’unification.......................................116
5.3.2.1 Les règles de l’algorithme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116
5.3.2.2 Correction de l’algorithme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117
5.3.2.3 Terminaison de l’algorithme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118
5.4 Résolutionaupremierordre .........................................118
5.4.1 Trois règles pour la résolution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118
5.4.1.1 Factorisation........................................118
5.4.1.2 Copied’uneclause ....................................119
5.4.1.3 Résolutionbinaire.....................................119
5.4.1.4 Preuve par factorisation, copie et résolution binaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120
5.4.2 Cohérencedelarésolution...................................... 120
5.4.3 Complétudedelarésolution .....................................121
5.5 Exercices ...................................................125
6 Déduction naturelle au premier ordre : quantificateurs, copie et égalité 129
6.1 Règles pour la logique du premier ordre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129
6.1.1 Règlesdesquantificateurs ......................................130
6.1.1.1 Règles pour le quantificateur universel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130
6.1.1.2 Règles pour le quantificateur existentiel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131
6.1.2 Copie.................................................133
6.1.3 Lesrèglesdel’égalité ........................................133
6.2 Tactiquesdepreuves .............................................133
6.2.1 Raisonner en avant avec une hypothèse d’existence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134
6.2.2 Raisonner en arrière pour généraliser . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134
6.2.3 Un exemple d’application des tactiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134
6.3 Cohérencedusystème ............................................136
6.4 Exercices ...................................................138
Bibliographie 141
Index 142