Feuille d`exercices 1

TD - Fondement de Sécurité
Dr. Lorenzo Maggi
Feuille d’exercices 1
Complexité
Exercice 1 Démontrer que
a) n2/26=O(n)
b) 5n+ 3 = O(n)
c) 30n+ 5 = O(n2)
d) 4n3+ 5n2+ 10 = O(n3).
Exercice 2 Donnez la complexité (en fonction de n) de l’algorithme suivant. Vous donnerez une borne
supérieure avec un O() dans un premier temps, puis vous affinerez votre calcul en utilisant la notation
Θ().for i= 1 : n
for j= 1 : n
x=x+ 2;
end
end
Exercice 3 Donnez la complexité (en fonction de n) de l’algorithme suivant.
for i= 1 : n
for j= 1 : i
x=x−6;
end
end
Exercice 4 Donnez la complexité (en fonction de n) de l’algorithme suivant.
for i= 5 : n−5
for j=i−5 : i+ 5
x= 2x;
end
end
Exercice 5 Donnez la complexité (en fonction de n) de l’algorithme suivant.
for i= 1 : n
for j= 1 : i
for k= 1 : j
x= 5x−1;
end
end
end
Rappel: Pn
i=1 i2=(2n+1)(n+1)n
6.
Exercice 6 •Écrire un algorithme qui prend en entrée un tableau de nentiers compris entre 0 et
n−1et qui vérifie que tous les éléments sont distincts.
•Exprimer le temps d’exécution de votre algorithme en fonction de n.
Exercice 7 •Écrire un algorithme qui prend en entrée un tableau de nentiers et qui vérifie que tous
les éléments sont distincts.
•Exprimer le temps d’exécution de votre algorithme en fonction de n.
1

TD - Fondement de Sécurité
Dr. Lorenzo Maggi
Feuille d’exercices 1
Exercice 8 Considère un tableau Ade n= 2knombres a1,...,andisposés en ordre croissant. Compute
la complexité de l’algorithme suivant, qui calcule l’index ide l’entier b, tel que ai=b.
0. Pose n′=n,i= 0,A′=A, et ses éléments a′.
1. Si n′= 1 donc on a trouvé i=i+ 1. Terminé.
2. Sinon, si b=an′/2, alors on a trouvé i=i+n′/2. Terminé.
3. Sinon,
3a. Si b > an′/2alors considère la deuxième moitié de A′(A′={an′/2+1, an′/2+1,...,an′}) et
pose i=i+n′/2.
3b. Si b < an′/2alors considère la première moitié de A′(A′={a′
1, a′ 2,...,a′
n′/2}).
Pose n′=n′/2.
Reviens à l’étape 1.
Pourquoi pas parcourir tous les éléments du tableau, du début jusqu’à la fin?
Division euclidienne
Exercice 9 Effectuer la division euclidienne entre
a) 7 et 3
b) -7 et 3
c) 1458239 et 5
d) -1458239 et 5
e) -492098419 et 100
f) -21 et 20.
Arithmétique
Exercice 10 Montrer que √6est irrationnel.
Exercice 11 Montrer que un nombre est divisible par 3 si et seulement si la somme de ses chiffres est
divisible par 3.
Exercice 12 (Nombres de Marsenne) Rappel que
xn−1 = (x−1)(xn−1+xn−2+···+x+ 1)
•Montrer que si an−1est premier alors a= 2.
•Montrer que 2pq −1est divisible par 2p−1. En déduire que 2n−1ne peut être premier que si p
est premier.
Exercice 13 Montrer que la somme de deux nombre impairs consécutifs est divisible par 4.
Exercice 14 Montrer que si pest premier, avec p > 5, alors 24 divise p2−1.
Exercice 15 Est-il possible que x2−y2soit premier?
Exercice 16 Démontrer que
P GCD(a, b) = P GCD(a, b +na).
Exercice 17 Démontrer que, si cet asont premiers entre eux, alors P GCD(a, b) = P GCD(a, bc).
2

TD - Fondement de Sécurité
Dr. Lorenzo Maggi
Feuille d’exercices 1
Arithmétique (difficiles)
Exercice 18 Soit Aun ensemble de n+ 1 ≥2entiers distincts tous inférieurs ou égaux à 2n. Montrer
qu’il existe deux éléments de Atels que l’un divise l’autre.
Exercice 19 On suppose que nest un entier ≥2tel que 2n−1est premier.
Montrer que nest un nombre premier.
Exercice 20 Montrer qu’il existe une infinité de nombres premiers de la forme 4n+ 3.
Relation d’équivalence
Exercice 21 Est-ce que “<” est une relation d’équivalence? Montrer que elle ne génère pas une partition
de [1; 5].
Exercice 22 Soit Rune relation binaire sur un ensemble Eà la fois réflexive et transitive.
On définit les nouvelles relations Set Tpar
xSy⇔(xRyet yRx) et xTy⇔(xRyou yRx)
Les relations Set Tsont-elles des relations d’équivalence?
Exercice 23 Soit Eun ensemble et Aune partie de E. On définit une relation Rsur ρ(E)(ensemble
de toutes les parties de E) par
XRY⇔X∪A=Y∪A
a) Montrer que Rest une relation d’équivalence.
b) Décrire la classe d’équivalence de X∈ρ(E).
Classe de congruence
Exercice 24 Démontrer que dans Z/3Z
x3−x= 0.
Exercice 25 Résoudre dans Z/9Zles équations
a) 5x+ 7 = 0
b) 3x+ 2 = 0
Exercice 26 Même question que la précédente, mais dans Z/31Z.
Exercice 27 Démontrer que 9k= 2kmod 7. Généraliser en disant que ak= (amod n)kmod n.
Exercice 28 Caractérise les éléments inversibles de Z/nZ
Exercice 29 Résoudre les équations suivantes:
a) 3x+ 5 = 0 dans Z/10Z
b) x2= 1 dans Z/8Z
c) x2+ 2x+ 2 = 0 dans Z/5Z
3

TD - Fondement de Sécurité
Dr. Lorenzo Maggi
Feuille d’exercices 1
Exercice 30 Résoudre les systèmes suivants:
a)x= 1 mod 6
x= 2 mod 7
b)3x= 2 mod 5
5x= 1 mod 6
c)x+y= 4 mod 11
xy = 10 mod 11
Exercice 31 Si pest un nombre premier, quel est le nombre de carrés dans Z/pZ?
Exercice 32 Soit pun nombre premier. Calculer
a) Pp
k=1 kmod p
b) Pp
k=1 k2mod p
Exercice 33 Déterminer le reste de la division de 247349 par 7.
Exercice 34 Déterminer
•21137 mod 17
•21137 mod 13
Classe de congruence (difficiles)
Exercice 35 Soit pun nombre premier et kun entier premier avec p−1.
Montrer que l’application φ:Z/pZ→Z/pZdéfinie par φ(x) = xkest bijective.
Exercice 36 Soit pun entier premier. Montrer que Px∈Z/pZxkest égal à 0 ou −1.
Exercice 37 (Théorème de Wilson) Soit pun nombre premier supérieur à 2.
a) Quels sont les éléments de Z/pZqui sont égaux à leurs inverses?
b) En déduire que pdivise (p−1)! + 1.
c) Montrer que si n≥2divise (n−1)! + 1 alors nest premier.
Petit Théorème de Fermat
Exercice 38 Soit n≥2un entier. On suppose que
∀a∈ {1,...,n−1}, an−1= 1 mod n.
Montrer que nest un nombre premier.
Indicatrice d’Euler
Exercice 39 Combien y a-t-il d’éléments inversibles dans Z/78Z.
4

TD - Fondement de Sécurité
Dr. Lorenzo Maggi
Feuille d’exercices 1
Factorisation de polynômes
Exercice 40 Factorise dans la forme (x−a)(x−b)(x−c)(x−d)le polynôme suivant:
x4+ 4x3−81x2−16x+ 308.
Astuce: commence par rechercher les racines évidentes comme (-2,-1,1,2,3,...) qui soient diviseur de 308.
Exercice 41 Factorise dans la forme (x−a)(x−b)(x−c)(x−d)le polynôme suivant:
x4+ 2x3−16x2−2x+ 15.
Exercice 42 Calculer le quotient et le reste des divisions euclidiennes suivantes à l’aide du schéma de
Horner:
a) (2x3−3x+ 2) : (x+ 2)
b) (2x3−3x+ 2) : (x−2)
c) (3y3+ 2y2−3y−2) : (y−1)
d) (3y3+ 2y2−3y−2) : (y+ 1)
e) (x3+ 5x2+ 5x−2)(x+ 2)
Remarque: A(x) : B(x) = Q(x)B(x) + R(x).
Exercice 43
Effectuer la division euclidienne de P(x) = 2x2+x+ 5 par x−3/2.
En déduire la division euclidienne de P(x)par 3/2−x, par 2x−3, par 3−2x, par 4x−6.
En déduire aussi la division euclidienne de S(x) = 6x2+ 3x+ 15 par x−3/2, par 3/2−x, par 2x−3,
par 3−2x, par 4x−6.
Exercice 44 Nous sommes des polynômes à coefficients réels de dégrée 2, nous sommes divisibles par
(x−1) et nos coefficient de puissance 2 est 4. Qui suis-je?
Exercice 45 Je suis un polynôme à coefficients réels de dégrée 3et
•je suis divisible par x2+ 1,
•mon reste dans la division euclidienne par x−1est 2,
•mon reste dans la division euclidienne par x+ 1 est −10,
Qui suis-je ?
5