Feuille d`exercices 1

TD - Fondement de Sécurité
Dr. Lorenzo Maggi
Feuille d’exercices 1
Complexité
Exercice 1 Démontrer que
a) n2 /2 6= O(n)
b) 5n + 3 = O(n)
c) 30n + 5 = O(n2 )
d) 4n3 + 5n2 + 10 = O(n3 ).
Exercice 2 Donnez la complexité (en fonction de n) de l’algorithme suivant. Vous donnerez une borne
supérieure avec un O() dans un premier temps, puis vous affinerez votre calcul en utilisant la notation
Θ(). for i = 1 : n
for j = 1 : n
x = x + 2;
end
end
Exercice 3 Donnez la complexité (en fonction de n) de l’algorithme suivant.
for i = 1 : n
for j = 1 : i
x = x − 6;
end
end
Exercice 4 Donnez la complexité (en fonction de n) de l’algorithme suivant.
for i = 5 : n − 5
for j = i − 5 : i + 5
x = 2x;
end
end
Exercice 5 Donnez la complexité (en fonction de n) de l’algorithme suivant.
for i = 1 : n
for j = 1 : i
for k = 1 : j
x = 5x − 1;
end
end
end
Pn 2
(2n+1)(n+1)n
.
Rappel:
i=1 i =
6
Exercice 6
• Écrire un algorithme qui prend en entrée un tableau de n entiers compris entre 0 et
n − 1 et qui vérifie que tous les éléments sont distincts.
• Exprimer le temps d’exécution de votre algorithme en fonction de n.
Exercice 7
• Écrire un algorithme qui prend en entrée un tableau de n entiers et qui vérifie que tous
les éléments sont distincts.
• Exprimer le temps d’exécution de votre algorithme en fonction de n.
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Feuille d’exercices 1
Exercice 8 Considère un tableau A de n = 2k nombres a1 , . . . , an disposés en ordre croissant. Compute
la complexité de l’algorithme suivant, qui calcule l’index i de l’entier b, tel que ai = b.
0. Pose n′ = n, i = 0, A′ = A, et ses éléments a′ .
1. Si n′ = 1 donc on a trouvé i = i + 1. Terminé.
2. Sinon, si b = an′ /2 , alors on a trouvé i = i + n′ /2. Terminé.
3. Sinon,
3a. Si b > an′ /2 alors considère la deuxième moitié de A′ (A′ = {an′ /2+1 , an′ /2+1 , . . . , an′ }) et
pose i = i + n′ /2.
3b. Si b < an′ /2 alors considère la première moitié de A′ (A′ = {a′1 , a′2 , . . . , a′n′ /2 }).
Pose n′ = n′ /2.
Reviens à l’étape 1.
Pourquoi pas parcourir tous les éléments du tableau, du début jusqu’à la fin?
Division euclidienne
Exercice 9 Effectuer la division euclidienne entre
a) 7 et 3
b) -7 et 3
c) 1458239 et 5
d) -1458239 et 5
e) -492098419 et 100
f ) -21 et 20.
Arithmétique
Exercice 10 Montrer que
√
6 est irrationnel.
Exercice 11 Montrer que un nombre est divisible par 3 si et seulement si la somme de ses chiffres est
divisible par 3.
Exercice 12 (Nombres de Marsenne) Rappel que
xn − 1 = (x − 1)(xn−1 + xn−2 + · · · + x + 1)
• Montrer que si an − 1 est premier alors a = 2.
• Montrer que 2pq − 1 est divisible par 2p − 1. En déduire que 2n − 1 ne peut être premier que si p
est premier.
Exercice 13 Montrer que la somme de deux nombre impairs consécutifs est divisible par 4.
Exercice 14 Montrer que si p est premier, avec p > 5, alors 24 divise p2 − 1.
Exercice 15 Est-il possible que x2 − y 2 soit premier?
Exercice 16 Démontrer que
P GCD(a, b) = P GCD(a, b + na).
Exercice 17 Démontrer que, si c et a sont premiers entre eux, alors P GCD(a, b) = P GCD(a, bc).
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Arithmétique (difficiles)
Exercice 18 Soit A un ensemble de n + 1 ≥ 2 entiers distincts tous inférieurs ou égaux à 2n. Montrer
qu’il existe deux éléments de A tels que l’un divise l’autre.
Exercice 19 On suppose que n est un entier ≥ 2 tel que 2n − 1 est premier.
Montrer que n est un nombre premier.
Exercice 20 Montrer qu’il existe une infinité de nombres premiers de la forme 4n + 3.
Relation d’équivalence
Exercice 21 Est-ce que “<” est une relation d’équivalence? Montrer que elle ne génère pas une partition
de [1; 5].
Exercice 22 Soit R une relation binaire sur un ensemble E à la fois réflexive et transitive.
On définit les nouvelles relations S et T par
xSy ⇔ (xRy et yRx) et xT y ⇔ (xRy ou yRx)
Les relations S et T sont-elles des relations d’équivalence?
Exercice 23 Soit E un ensemble et A une partie de E. On définit une relation R sur ρ(E) (ensemble
de toutes les parties de E) par
XRY ⇔ X ∪ A = Y ∪ A
a) Montrer que R est une relation d’équivalence.
b) Décrire la classe d’équivalence de X ∈ ρ(E).
Classe de congruence
Exercice 24 Démontrer que dans Z/3Z
x3 − x = 0.
Exercice 25 Résoudre dans Z/9Z les équations
a) 5x + 7 = 0
b) 3x + 2 = 0
Exercice 26 Même question que la précédente, mais dans Z/31Z.
Exercice 27 Démontrer que 9k = 2k mod 7. Généraliser en disant que ak = (a mod n)k mod n.
Exercice 28 Caractérise les éléments inversibles de Z/nZ
Exercice 29 Résoudre les équations suivantes:
a) 3x + 5 = 0 dans Z/10Z
b) x2 = 1 dans Z/8Z
c) x2 + 2x + 2 = 0 dans Z/5Z
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Feuille d’exercices 1
Exercice 30 Résoudre les systèmes suivants:
a)
x = 1 mod 6
x = 2 mod 7
3x = 2 mod 5
b)
5x = 1 mod 6
x + y = 4 mod 11
c)
xy = 10 mod 11
Exercice 31 Si p est un nombre premier, quel est le nombre de carrés dans Z/pZ?
Exercice 32 Soit p un nombre premier. Calculer
Pp
a)
k=1 k mod p
Pp
2
b)
mod p
k=1 k
Exercice 33 Déterminer le reste de la division de 247349 par 7.
Exercice 34 Déterminer
• 21137 mod 17
• 21137 mod 13
Classe de congruence (difficiles)
Exercice 35 Soit p un nombre premier et k un entier premier avec p − 1.
Montrer que l’application φ : Z/pZ → Z/pZ définie par φ(x) = xk est bijective.
P
Exercice 36 Soit p un entier premier. Montrer que x∈Z/pZ xk est égal à 0 ou −1.
Exercice 37 (Théorème de Wilson) Soit p un nombre premier supérieur à 2.
a) Quels sont les éléments de Z/pZ qui sont égaux à leurs inverses?
b) En déduire que p divise (p − 1)! + 1.
c) Montrer que si n ≥ 2 divise (n − 1)! + 1 alors n est premier.
Petit Théorème de Fermat
Exercice 38 Soit n ≥ 2 un entier. On suppose que
∀ a ∈ {1, . . . , n − 1}, an−1 = 1
mod n.
Montrer que n est un nombre premier.
Indicatrice d’Euler
Exercice 39 Combien y a-t-il d’éléments inversibles dans Z/78Z.
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Factorisation de polynômes
Exercice 40 Factorise dans la forme (x − a)(x − b)(x − c)(x − d) le polynôme suivant:
x4 + 4x3 − 81x2 − 16x + 308.
Astuce: commence par rechercher les racines évidentes comme (-2,-1,1,2,3,...) qui soient diviseur de 308.
Exercice 41 Factorise dans la forme (x − a)(x − b)(x − c)(x − d) le polynôme suivant:
x4 + 2x3 − 16x2 − 2x + 15.
Exercice 42 Calculer le quotient et le reste des divisions euclidiennes suivantes à l’aide du schéma de
Horner:
a) (2x3 − 3x + 2) : (x + 2)
b) (2x3 − 3x + 2) : (x − 2)
c) (3y 3 + 2y 2 − 3y − 2) : (y − 1)
d) (3y 3 + 2y 2 − 3y − 2) : (y + 1)
e) (x3 + 5x2 + 5x − 2)(x + 2)
Remarque: A(x) : B(x) = Q(x)B(x) + R(x).
Exercice 43
Effectuer la division euclidienne de P (x) = 2x2 + x + 5 par x − 3/2 .
En déduire la division euclidienne de P (x) par 3/2 − x , par 2x − 3, par 3 − 2x , par 4x − 6.
En déduire aussi la division euclidienne de S(x) = 6x2 + 3x + 15 par x − 3/2, par 3/2 − x, par 2x − 3,
par 3 − 2x , par 4x − 6 .
Exercice 44 Nous sommes des polynômes à coefficients réels de dégrée 2, nous sommes divisibles par
(x − 1) et nos coefficient de puissance 2 est 4. Qui suis-je?
Exercice 45 Je suis un polynôme à coefficients réels de dégrée 3 et
• je suis divisible par x2 + 1,
• mon reste dans la division euclidienne par x − 1 est 2,
• mon reste dans la division euclidienne par x + 1 est −10,
Qui suis-je ?
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