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Chapitre 5
Fonction d’un variable r´eelle : limite,
continuit´e
5.1 Notations
f: fonction num´erique R→R
Df: son ensemble de d´efinition
(a, b) : intervalle ouvert, semi-ouvert ou ferm´e (a < b). Sauf cas contraire signal´e, on consid´erera que apeut ˆetre −∞
et que bpeut ˆetre +∞.
5.2 Limite
D´efinition : Soit c∈Rtel que ]a, c[∪]c, b[⊂ Df, ou ]a, c[⊂ Dfou ]c, b[⊂ Df.
On dit que f(x) tend vers l∈Rlorsque xtend vers csi
∀ε > 0,∃η > 0,|x−c|< η et x∈ Df=⇒ |f(x)−l|< ε.
On dit aussi que la fonction fadmet lpour limite en cet on note :
lim
x→cf(x) = l.
Remarques :
1. Cette d´efinition est valable que csoit ou non dans Df.
2. Si fadmet lpour limite en cet que c∈ Df,f(c) est d´efini et doit donc appartenir `a tout voisinage de lce qui
n’est possible que si f(c) = l. On reviendra sur la continuit´e plus tard.
3. Une limite n’existe pas forc´ement.
Voici un exemple qui permet d’illustrer cette d´efinition : cliquer sur le bouton ”commencer” puis modifiez au besoin
le choix de c, de εou de η.
Exemples : A partir simplement de la visualisation graphique ci dessus :
1. Pour c= 0.5 et ǫ= 0.1, η= 0.09 convient ?
2. Pour c= 0.5 et ǫ= 0.1, η= 0.04 convient ?
3. Pour c= 0.8 et ǫ= 0.1, η= 0.09 convient ?
4. Pour c= 0.8 et ǫ= 0.1, η= 0.04 convient ?
5. Pour c= 0.8 et ǫ= 0.05, η= 0.09 convient ?
Exemple : Etudier les ensembles de d´efinition et les limites en 0 de f(x) = √x,g(x) = p|x|et h(x) = x− ⌊x⌋.
5.3 Limite `a gauche ou `a droite
D´efinition : Soit c∈ Dftel qu’il existe α > 0 tel que ]c, c +α[⊂ Df. On dit que fadmet lpour limite `a droite en
cet on note :
lim
x→c,x>c f(x) = lsi ∀ε > 0,∃η > 0, x ∈ Df∩]c, c +η[=⇒ |f(x)−l|< ε
Soit c∈ Dftel qu’il existe α > 0 tel que ]c−α, c[⊂ Df. On dit que fadmet lpour limite `a gauche en cet on
note :
lim
x→c,x<c f(x) = lsi ∀ε > 0,∃η > 0, x ∈ Df∩]c−η, c[=⇒ |f(x)−l|< ε
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30 CHAPITRE 5. FONCTION D’UN VARIABLE R ´ EELLE : LIMITE, CONTINUIT ´ E
Remarque : On trouvera aussi les notations f(c+) et f(c−).
Proposition :
– Si c∈ Df,fadmet lpour limite en csi et seulement si fadmet lpour limite `a droite et `a gauche en cet
f(c) = l.
– Si c /∈ Df,fadmet lpour limite en csi et seulement si fadmet lpour limite `a droite et `a gauche en c.
Exemples :
– Etudier la limite, la limite `a gauche, la limite `a droite en 0 et 1 de f(x) = x− ⌊x⌋.
– Etudier la limite (`a gauche, `a droite) en 0 de f(x) = x/|x|. (Df=R∗,f(x) = 1 si x > 0 et f(x) = −1 si x < 0.)
5.4 Limite infinie ou en l’infini
D´efinition : Dans ce qui suit, cet lsont deux r´eels.
lim
x→c,x<c f(x) = −∞ ssi ∀M∈R,∃η > 0, x ∈ Df∩]− ∞, c[ et |x−c|< η =⇒f(x)< M
lim
x→c,x>c f(x) = −∞ ssi ∀M∈R,∃η > 0, x ∈ Df∩]c, +∞[ et |x−c|< η =⇒f(x)< M
lim
x→c,x<c f(x) = +∞ssi ∀M∈R,∃η > 0, x ∈ Df∩]− ∞, c[ et |x−c|< η =⇒f(x)> M
lim
x→c,x>c f(x) = +∞ssi ∀M∈R,∃η > 0, x ∈ Df∩]c, +∞[ et |x−c|< η =⇒f(x)> M
lim
x→−∞ f(x) = lssi ∀ε > 0,∃P < 0, x ∈ Dfet x < P =⇒ |f(x)−l|< ε
lim
x→+∞f(x) = lssi ∀ε > 0,∃P > 0, x ∈ Dfet x > P =⇒ |f(x)−l|< ε
lim
x→+∞f(x) = +∞ssi ∀M∈R,∃P > 0, x ∈ Dfet x > P =⇒f(x)> M
lim
x→+∞f(x) = −∞ ssi ∀M∈R,∃P > 0, x ∈ Dfet x > P =⇒f(x)< M
5.5 Unicit´e de la limite
Proposition : Il existe au plus un ´el´ement l∈Rtel que f(x) tende vers llorsque xtend vers c.
D´emonstration
5.6 Lien avec les suites
Proposition : Soit c∈R,fadmet lpour limite en csi et seulement si pour toute suite (xn, n ∈N) d’´el´ements de
Dfconvergeant vers c, la suite (f(xn), n ∈N) converge vers l.
Cet ´enonc´e reste vrai lorsque cou lprennent les valeurs +∞ou −∞ pourvu que l’ensemble de d´efinition de f
le permette.
De mˆeme, fadmet lpour limite `a gauche en csi et seulement si pour toute suite (xn, n ∈N) d’´el´ements de Df
telle que pour tout n∈N,xn< c et qui converge vers c, la suite (f(xn), n ∈N) converge vers l.
Et fadmet lpour limite `a droite en csi et seulement si pour toute suite (xn, n ∈N) d’´el´ements de Dftelle que
pour tout n∈N,xn> c et qui converge vers c, la suite (f(xn), n ∈N) converge vers l.
D´emonstration
Exemples :
– Etudier la limite quand xtend vers +∞de f(x) = cos(x).
– Soit f(x) = sin(1/x). Sur quel ensemble peut-on d´efinir f? Etudier l’existence de limites en 0.
5.7 Op´erations sur les limites
Proposition : Soient fet gdeux fonctions num´eriques. Dans les tableaux qui suivent les limites sont prises en c,
qui est un r´eel appartenant `a Df∩Dg, en +∞ou en −∞ si les ensembles Dfet Dgle permettent.
Si fa pour limite l l l +∞ −∞ +∞
et si ga pour limite l′+∞ −∞ +∞ −∞ −∞
alors f+ga pour limite l+l′+∞ −∞ +∞ −∞ ind´et.

5.8. IN ´ EGALIT ´ ES SUR LES LIMITES 31
f l l > 0l > 0l < 0l < 0 +∞+∞ −∞ 0
g l′+∞ −∞ +∞ −∞ +∞ −∞ −∞ −∞ ou +∞
fg ll′+∞ −∞ −∞ +∞+∞ −∞ +∞ind´et.
f l l +∞+∞ −∞ −∞ −∞ ou +∞
g l′6= 0 −∞ ou +∞l′>0l′<0l′>0l′<0−∞ ou +∞
f/g l/l′0 +∞ −∞ −∞ +∞ind´et.
f l > 0 ou +∞l > 0 ou +∞l < 0 ou −∞ l < 0 ou −∞ 0
g0 0 0 0 0
>0<0>0<0
f/g +∞ −∞ −∞ +∞ind´et.
Il y a donc 4 formes ind´etermin´ees.
Proposition : Si f(x) tend vers bquand xtend vers aet si g(y) tend vers cquand ytend vers b, alors g◦f(x)
tend vers cquand xtend vers a.
Cet ´enonc´e reste vrai lorsque a,bou cprennent les valeurs +∞ou −∞.
D´emonstration
Exemples : Etudier l’ensemble de d´efinition puis, en utilisant les th´eor`emes ´enonc´es pr´ec´edemment, les limites des
fonctions suivantes :
1. limite en −∞ et en +∞de f(x) = sin(1/x) : limx→−∞ 1/x = 0 et limy→0sin(y) = 0.
2. limite `a droite en 1/3 de f(x) = 1
√3x−1:
limx→(1/3)+ 3x−1 = 0+, limy→0+ √y= 0+ et limz→0+ 1/z = +∞.
3. limite en +∞de f(x) = √2x2+x
5.8 In´egalit´es sur les limites
Proposition : Soient fet gdeux fonctions num´eriques. On suppose que c∈ Df∩ Dg,f(x) tend vers lquand x
tend vers cet g(x) tend vers l′quand xtend vers c.
1. Si f=gsur un intervalle I⊂ Df∩ Dgde type ]a, b) ou (b, a[, alors l=l′.
2. Si f≤gsur un intervalle I⊂ Df∩ Dgde type ]a, b) ou (b, a[, alors l≤l′.
3. Si f < g sur un intervalle I⊂ Df∩ Dgde type ]a, b) ou (b, a[, alors l≤l′.
D´emonstration
Remarque : Cet ´enonc´e reste valable si aest ´egal `a +∞ou −∞ mais dans ce cas l’intervalle Idoit ˆetre de la forme
(b, +∞[ ou ] − ∞, b) : cf proposition d´etaill´ee suivante.
Remarque : Pour 3., on v´erifie qu’on ne peut pas esp´erer avoir une in´egalit´e stricte `a droite : consid´erer f(x) = x2et
g(x) = x4sur ]0,1[. On a bien f > g sur ]0,1[ mais limx→0f(x) = limx→0g(x) = 0 et limx→1f(x) = limx→1g(x) = 1
Corollaire : Soient a,b,u,vdes r´eels et soit f: [a, b]→(u, v). Si fadmet lpour limite en c∈[a, b] alors l∈[u, v].
Proposition : On suppose que f(x) tend vers lquand xtend vers aet h(x) tend vers lquand xtend vers a. Si
f≤g≤hsur un intervalle ouvert Icontenant a, alors gadmet lpour limite en a.
D´emonstration
Exemple : Etudier la limite de (sin(2x) + cos(3x)).x en 0 : |sin(2x) + cos(3x)| ≤ 2 sur I=R. On en d´eduit que
0≤ |(sin(2x) + cos(3x)).x| ≤ 2|x|
et donc que limx→0|(sin(2x) + cos(3x)).x|= 0.
Proposition : Soient fet gdeux fonctions num´eriques.
Supposons que I=]a, +∞[⊂ Df∩ Dg.
Si f≤gsur Iet lim
x→+∞f(x) = +∞, alors lim x→+∞g(x) = +∞.
Si f≤gsur Iet lim
x→+∞g(x) = −∞, alors lim x→+∞f(x) = −∞.
Supposons que J=] − ∞, b[⊂ Df∩ Dg.
Si f≤gsur Jet lim
x→−∞ f(x) = +∞, alors lim x→−∞ g(x) = +∞.
Si f≤gsur Jet lim
x→−∞ g(x) = −∞, alors lim x→−∞ f(x) = −∞.
Exemples :
– Etudier la limite en 0 de cos(x)/x : cos(x)≥1/2 sur I=]0, π/3] et donc cos(x)/x ≥1
2xsur I.
– Limite en +∞de f(x) = x+ sin x
2x+ 1 : ´ecrire f(x) = 1 + (sin(x)/x) 2 + 1/x .

32 CHAPITRE 5. FONCTION D’UN VARIABLE R ´ EELLE : LIMITE, CONTINUIT ´ E
5.9 Limites de fonctions monotones
Proposition : Soit fune fonction num´erique croissante sur I⊂ Df, un intervalle ouvert R. Alors fadmet une
limite `a gauche et `a droite finie en tout point de I. De plus, si I=]α, +∞[, fadmet une limite `a gauche (finie
ou non) en +∞et si I=] − ∞, α[, fadmet une limite `a droite (finie ou non) en −∞.
D´emonstration
Remarque : Si fest d´ecroissante, alors −fest croissante, et on peut appliquer la proposition pr´ec´edente.
5.10 Continuit´e
D´efinition : Soient fune fonction num´erique et I⊂ Dfun intervalle. Soit c∈I, on dit que fest continue en csi
fadmet f(c) pour limite en c.
fest continue sur Isi elle est continue en tout point de I.
On dira que fest continue `a gauche en csi fadmet f(c) pour limite `a gauche en cet que fest continue `a droite
en csi fadmet f(c) pour limite `a droite en c(quand les limites `a gauche et `a droite sont d´efinies).
Remarque : On ne d´efinit donc la continuit´e qu’en des points en lesquels la fonction fest d´efinie.
Exercice : Soit fune fonction d´efinie sur ]a, b[, continue en x0∈]a, b[ et telle que f(x0)>0. Montrer qu’il existe un
intervalle ]c, d[ inclus dans ]a, b[ et contenant x0tel que fest strictement positive sur ]c, d[.
D´emonstration
5.11 Lien avec les suites
Proposition : Soit c∈R,fest continue en csi et seulement si pour toute suite (xn, n ∈N) d’´el´ements de A
convergeant vers c, la suite (f(xn), n ∈N) converge vers f(c).
fest continue `a gauche (resp. limite `a droite) en csi et seulement si pour toute suite (xn, n ∈N) d’´el´ements de
Atelle que pour tout n∈N,xn≤c(resp. xn≥c), convergeant vers c, la suite (f(xn), n ∈N) converge vers
f(c).
5.12 Prolongement par continuit´e
D´efinition : Supposons que A= (a, c[∪]c, b)⊂ Df,cr´eel. On dit que fest prolongeable par continuit´e en csi f
admet une limite finie len c.
Supposons maintenant que Df=]c, b) (resp. Df= (a, c[), cr´eel. On dit que fest prolongeable par continuit´e en
csi fadmet une limite finie l`a droite (resp. `a gauche) en c.
Dans les deux cas, on dira que l’on prolonge fpar continuit´e si l’on construit une nouvelle fonction ¯ f´egale `a f
sur Aet telle que ¯ f(c) = l.
5.13 Comment d´emontrer la continuit´e d’une fonction
Th´eor`eme : Soient fet gdeux fonctions num´eriques telles que A=Df∩ Dg6=∅. On suppose que fet gsont
continues au point a∈A. Alors les fonctions f+get fg sont continues au point a. Il en est de mˆeme de f/g si
g(a)6= 0.
Corollaire : Toute fonction polynˆome `a variable r´eelle est continue sur R. Toute fonction rationnelle d’une variable
r´eelle est continue sur son ensemble de d´efinition.
Rappel : Une fonction rationnelle est un quotient de deux polynˆomes.
Proposition : Les foncions sin, cos, tan, cotan sont continues sur leur domaine de d´efinition.
Th´eor`eme : Soient Aet Bdeux intervalles de R. Soient f:A→Bet g:B→Rtelles que A⊂ Dfet B⊂ Dg. Si
fest continue en a∈Aet si gest continue en f(a), alors g◦fest continue en a.
Si fest continue sur Aet gcontinue sur B, alors g◦fest continue sur A.
Exemple : Etudier l’ensemble de d´efinition et la continuit´e des fonctions g(x) = cos(sin(x)), h(x) = cos(3x2−x).
1. sin et cos sont d´efinies sur Rdonc Dg=R. sin : R→[−1,1] et cos : R→[−1,1] et ces deux fonctions sont
continues donc gest continue sur R.
2. P(x) = 3x2−xet cos sont d´efinies sur Rdonc Dh=R.
P:R→Ret cos : R→[−1,1] et ces deux fonctions sont continues donc hest continue sur R.
Th´eor`eme : Si fest bijective et continue d’un intervalle Idans un intervalle J, alors f−1est continue sur J.