La suite logistique : un système dynamique

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Lambert Victor TIPE – Rapport ENS
La suite logistique : un système dynamique chaotique.
Objectifs :
Etudier la théorie du chaos à travers l’exemple de la suite logistique.
Utiliser le logiciel Maple pour mettre en évidence certaines propriétés de cette suite.
Modéliser ce système dynamique par un circuit électronique.
I) ETUDE DE LA SUITE LOGISTIQUE EN FONCTION DES VALEURS
PRISES PAR A. ............................................................................................................ 2
A - L E DIAGRAMME DE BIFURCATION . .......................................................................... 2
B - A NALYSES ET EXPLICATIONS DU DIAGRAMME . ....................................................... 2
II) LA ROUTE VERS LE CHAOS. ............................................................................ 3
A - A ∈ [3,4[ : AUGMENTATION DES POINTS PERIODIQUES . ........................................... 3
B - A =4 : L E CHAOS . ...................................................................................................... 4
III) ILLUSTRATIONS DE LA SENSIBILITE AUX CONDITIONS INITIALES.
......................................................................................................................................... 5
A - L’ EFFET PAPILLON . .................................................................................................. 5
B - A PPROXIMATIONS : SOURCES D ’ ERREURS . .............................................................. 5
IV) MODELISATION DE LA SUITE LOGISTIQUE PAR UN CIRCUIT
ELECTRONIQUE. ....................................................................................................... 6
V) COMPLEMENTS SUR L’ETUDE DU DIAGRAMME DE FEIGENBAUM. . 8
A - L E THEOREME DE S ARKOVSKII . ............................................................................... 8
B - O RBITES ATTRACTIVES . ........................................................................................... 8

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Introduction
On appelle fonction logistique la fonction définie sur [0,1] par f(x)=ax(1-x), où a est
un paramètre réel. Ici, on impose à a d'être compris entre 0 et 4 afin que [0,1] soit stable par f.
La suite logistique est une suite récurrente définie par u
0
appartenant à [0,1], et u
n+1
=f(u
n
), où f
est la fonction logistique. Bien que la suite logistique semble simple au premier abord, elle
peut, suivant les valeurs de a, avoir un comportement très étrange, et même mener au chaos!
I) Etude de la suite logistique en fonction des valeurs prises par a.
a- Le diagramme de bifurcation.
Dans le diagramme de bifurcation, dit de
Feigenbaum, on représente en abscisses la valeur de a et en
ordonnées les valeurs prises par la suite logistique entre
deux rangs M et N suffisamment élevés, pour un u
0
fixé.
Cela permet d’observer le comportement de la suite en
l’infini, selon la valeur donnée à a.
Par exemple :
Pour u
0
=0, 4
N=100
M=150, on obtient le diagramme ci-contre :
b- Analyses et explications du diagramme.
Le comportement de la suite logistique pour des valeurs de a dans l’intervalle [0,3[ est
assez simple, étant donné la présence d’un unique point fixe attractif. Si a ∈ [0,1[ : le seul
point fixe de f sur [0,1] est 0, et il est attractif. En effet, on a f’(0) = a<1 pour a ∈ [0,1[. Si
a=1 : 0, seul point fixe de f est neutre dans ce cas, mais on démontre aisément que u converge
vers 0. Si a ∈ ]1,3[, on a deux points fixes : 0 qui est répulsif car f’(0)=a>1 et λ(a)=1-1/a qui
est attractif puisque f’(λ(a))=2-a ∈ ]-1,1[. Ensuite, la complexité du comportement de la suite
provient du fait que les deux points fixes de f, 0 et 1-1/a sont désormais répulsifs lorsque a>3.
La représentation en toile d’araignée de la fonction logistique permet d’observer ces
différents comportements. A chaque itération, on reporte la valeur de u
n
sur la droite puis on
cherche l’image de ce point par f pour obtenir u
n+1
.Voici ci-dessous trois de ces
représentations pour différentes valeurs données à a, établie pour la condition initiale u
0
=0.3,
en considérant les 40 premiers termes de la suite. En rouge est représentée la première
bissectrice, en bleu la fonction f et en vert la « toile d’araignée ».
a=1.9 a=2.8 a=3.4

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II) La route vers le chaos.
a- a ∈ [3,4[ : augmentation des points périodiques.
Définition : un point x est dit périodique pour f s’il existe k>0 tel que f
k
(x)=x et on définit la
période comme étant le plus petit des entiers k strictement positifs vérifiant f
k
(x)=x.
Le comportement en l’infini de la suite logistique lorsque a>3 s’explique par
l’augmentation des points périodiques de f. On peut le constater graphiquement, ou bien à
l’aide du diagramme de bifurcation, ou bien en étudiant les courbes des puissances de f, puis à
l’aide d’une « renormalisation », constater que plus a sera grand, plus il existera des points de
différentes périodes.
On va montrer en étudiant les courbes des puissances de f que la période des points
périodiques de f va doubler régulièrement lorsque a augmente.
On s’intéresse maintenant à f².Pour a>2, on représente f² et on considère plus
particulièrement la partie de la courbe contenue dans le carré de coté p-q. L’allure de f² dans ce
carré est semblable a celle -f sur [0,1].Lorsque a augmente, f² admet un point fixe dans cette
boite, c'est-à-dire un point de période 2 pour f.
a=2.7 a=3.2 a=3.5
Pour préciser cette idée on va procéder à une « renormalisation » :
Pour a>2, on pose p=1-1/a et q=1/a.
On a : q<p et f(p)=f(q)=p.
On définit r
1
:[q,p] [0,1] telle que r
1
(x)=(x-p)/(q-p) bijective avec r
1-1
(x)=(q-p)x+p
On définit alors : Rf par Rf(x)=r
1
of²or
1-1
(x).
Un point fixe de Rf est alors point fixe de f².
L’intérêt de cette méthode réside dans le fait que ce qui a été préalablement étudié dans
le cas de f ─ c’est-à-dire la présence d’un unique point fixe qui, de plus, est attractif lorsque
a ∈ [0,1], puis dès que celui-ci devient répulsif l’apparition d’un nouveau point fixe attractif, et
enfin la perte d’attractivité des deux seuls points fixes de f ─ se retrouve alors dans la
« renormalisée » de f. Ainsi, lorsque les deux seuls points fixes de Rf deviennent répulsifs, on
se situe à la deuxième bifurcation visible sur le diagramme de Feigenbaum, et on peut alors
étudier R(Rf) qui permet de mettre en évidence des points de période 2 pour Rf, donc de
période 4 pour f. En itérant ce processus, on constate alors un doublement des périodes.

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Ci-dessous sont représentées les fonctions Rf pour les mêmes valeurs de a utilisées dans
les représentations de f² établies précédemment. Géométriquement, la renormalisation consiste
à retourner le carré de côté p-q représenté sur le graphique de f² et à le redimensionner, par un
changement d’échelle.
a=2.7 a=3.2 a=3.5
On aperçoit d’autant plus le
doublement des périodes lorsqu’on regarde
précisément le diagramme ; on voit par
exemple sur la partie du diagramme ci-contre
que le « mécanisme » expliquée
précédemment dans le cas de la première
bifurcation, semble se répéter.
b- a=4 : Le chaos.
Une fonction f : K→ K est dite chaotique si et seulement si : elle est topologiquement
transitive, elle présente une dépendance sensible aux conditions initiales et ses points
périodiques sont denses dans K.
Les définitions de ces trois notions sont les suivantes :
~ Elle est dite topologiquement transitive si pour tous ouverts I,J C K, il existe k>0 tel que
f
k
(I)∩J≠Ø.
~ Elle présente une dépendance sensible aux conditions initiales s’il existe δ>0 tel que, pour
tout x ∈ J et pour tout voisinage N de x, il existe y ∈ N et n≥0 tels que |f
n
(x)-f
n
(y)|>δ.
~ Ses points périodiques sont denses dans K si pour tout (x,y) ∈ K², il existe z ∈ ]x,y[ tel que z
soit un point périodique de f.
Pour a=4, la fonction logistique est chaotique. Pour le démontrer, on peut procéder
comme il est fait en page annexe 4.

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III) Illustrations de la sensibilité aux conditions initiales.
Des trois caractéristiques d’un système chaotique la sensibilité aux conditions initiales
est sans doute la plus visible. On l’appelle souvent « Effet Papillon », d’après une métaphore
utilisée par le météorologue Edward Lorenz lors d’une conférence.
En 1963, il a mis en évidence le caractère vraisemblablement chaotique de la
météorologie, qui explique pourquoi les prévisions ne peuvent être fondées qu’à court terme.
Il a eu l'idée de chercher un modèle simplifié pour étudier une situation physique
particulière et a abouti à un système dynamique différentiel, beaucoup plus simple à intégrer
numériquement que les équations de départ. Il observa alors, par pur hasard, qu'une
modification minime des données initiales entraînait des résultats très différents.
a- L’effet papillon.
Pour ce qui est de la suite logistique, afin
de mettre en évidence la sensibilité aux
conditions initiales, en utilisant Maple, j’ai
considéré deux suites logistiques ne différant
que par leurs conditions initiales u
0
=0.4 et
v
0
=0.4+10
-50
. Lorsqu’on trace (u
n
,v
n
), on obtient
après 400 itérations le graphique ci-contre, qui
montre que les deux suites obtenues sont
totalement différentes :
b- Approximations : sources d’erreurs.
Un ordinateur a de grandes difficultés à étudier un système dynamique sensible aux
conditions initiales comme la suite logistique, étant donné que selon la manière dont il va
calculer, selon les arrondis qu’il va faire, il obtiendra des résultats quelquefois bien différents.
Afin d’illustrer ce phénomène, j’ai réalisé les deux simulations suivantes avec Maple,
dont les programmes sont donnés en page annexe 2:
Tout d’abord, considérons deux suites
logistiques u
n
et v
n
définies par la même condition
initiale u
o
=v
o
=0.3, calculées avec une même précision
de 80 décimales. On les définit respectivement par
u
n+1
=4u
n
(1-u
n
) et v
n+1
=4v
n
-4v
n
². Il s’agit de la même
définition mathématique pour les deux suites.
Seulement, on observe sur le graphique ci-contre
représentant (u
n
,v
n
), pour les 400 premières valeurs de
la suite, que les méthodes de calcul de Maple
conduisent à des suites différentes.
Si l’on définit cette fois les deux suites d’une
manière strictement identique, mais qu’on effectue les
calculs avec des précisions différentes : 89 décimales
pour u
n
et 90 pour v
n
, on obtient là aussi des suites
relativement différentes :