pdf2 - Université de Valenciennes

SUR LE PROBL` EME ADDITIF DE COUSIN
BASIQUE
AZIZ EL KACIMI
Universit`e de Valenciennes, Francia
and
TOUSSAINT SOHOU
Universit´edeCocody,UFRdeMath´ematiques, Francia
Proyecciones
Vol. 22, No3, pp. 243-271, December 2003.
Universidad Cat´olica del Norte
Antofagasta - Chile
Abstract
L’objetdecetravailestl’´etude du probl`eme additif de Cousin
basique pour un feuilletage transversalement holomorphe. Plusieurs
exemples ont ´et´eexamin´es et plus particuli`erement les feuilletages
obtenus par suspension d’un groupe de biholomorphismes d’une vari´et´e
analytique complexe.
Pendant l’´elaboration de ce travail, le second auteur a effectu´eune
s´erie de s´ejours `al’Universit´e de Valenciennes au sein du LAMATH.
Il remercie cette institution pour son hospitalit´eainsiqueleCIESqui
aorganis´ecess´ejours et le Minist`ere Fran¸cais des Affaires Etrang`eres
pour les avoir financ´es.

244 Aziz El Kacimi and Toussaint Sohou
Introduction
Soient Mune vari´et´eanalytiquecomplexeetU={Ui}un recouvrement
ouvert localement fini de M; sur chaque intersection non vide Uij =Ui∩Uj
on se donne une fonction holomorphe fij et on suppose que fji =−fij et
que, sur toute triple intersection Uijk =Ui∩Uj∩Uk, la famille {fij }v´erifie
la condition (dite de cocycle)fjk −fik +fij =0. Pour chaque i∈I,existe-
t-il une fonction fid´efinie et holomorphe sur Uiet telle que fj−fi=fij
sur Uij ? C’est le probl`eme additif de Cousin pour le recouvrement {Ui}
et la donn´ee {fij }.Ila´et´epos´eetr´esolu par P. Cousin lui-mˆeme dans
[Co] pour un polydisque de Cn. Sur un ouvert Ωde C,ceprobl`eme admet
toujours une solution [H¨o].
On voit, de fa¸con ´evidente, que toute donn´ee de Cousin pour un recou-
vrement U={Ui}de la vari´et´ecomplexeMd´efinit un 1-cocycle `avaleurs
dans le faisceau Odes germes de fonctions holomorphes sur M;cecocycle
est un cobord si, et seulement si, le probl`eme de Cousin pour cette donn´ee
admet une solution. L’espace H1(U,O) contient donc exactement les ob-
structions `alar´esolution d’un tel probl`eme. Il n’est pas difficile de voir
que cette th´eorie se g´en´eralise `atouteorbifold complexe (i.e. un espace
complexe localement model´e sur le quotient d’un ouvert de Cnpar une
action d’un groupe fini de biholomorphismes). On peut alors se deman-
der comment peut-on approcher cette question pour une classe plus large
d’espaces complexes, en l’occurrence l’espace des feuilles M/Fd’un feuil-
letage Ftransversalement holomorphe sur une vari´et´ediff´erentiable M.
Alavari´et´e feuillet´ee (M, F)estassoci´e un faisceau naturel : le faisceau
OFdesgermesdefonctions basiques holomorphes ; il est pour l’espace des
feuilles ce qu’est le faisceau Opour une vari´et´ecomplexe. L’objetdecepa-
pier est d’enclencher le pas dans l’´etude de ce qu’on appellera d´esormais le
probl`eme additif de Cousin basique. Le cas des feuilletages tangentiellement
holomorphes a ´et´eexamin´e dans [Ek3] et [GT].
Dans la section 1 on rappelle les d´efinitions de base sur les feuilletages
transversalement holomorphes et les divers objets basiques qui leur sont rat-
tach´es. Dans la section 2 on d´efinit le faisceau Op
Fdes germes de p-formes
basiques holomorphes et on en donne une r´esolution fine et elliptique en
termes de formes diff´erentielles ; cette r´esolution se trouve dans [DK] mais
elle a d´ej`a´et´edonn´ee par I. Vaisman dans [Va]. Dans la section 3 on ´enonce
le probl`eme additif de Cousin basique et on donne quelques m´ethodes
g´en´erales de calcul, qu’on applique : dans la section 4 aux revˆetements
feuillet´es et dans les sections 5, 6, 7 et 8 `a divers exemples de feuilletages
obtenus par suspension d’un groupe Γde biholomorphismes d’une vari´et´e

Sur le probl´eme additif additif de cousin basique 245
complexe F. On montre que le calcul de H∗(M,Op
F)seram`ene souvent
`a celui de la cohomologie du groupe discret Γ`a valeurs dans le Γ-module
O(F) des fonctions holomorphes sur F. Des calculs explicites sont faits et
en particulier lorsque Γ=Z.
Dans toute la suite, Msera une vari´et´ediff´erentiable (de classe C∞)
de dimension m+2n. On la supposera connexe et orientable. Tout re-
couvrement ouvert de Mque l’on consid´erera sera localement fini i.e. tout
compact de Mne rencontre qu’un nombre fini d’ouverts de ce recouvre-
ment.
1. El´ements basiques d’un feuilletage
1.1. D´efinition. Un feuilletage transversalement holomorphe Fde codi-
mension (complexe) nsur Mest donn´e par un recouvrement ouvert {Ui}i∈I
et des diff´eomorphismes Ωi×Rmϕi −→ Ui(o`uΩiest un ouvert de Cn)tels
que, sur Ui∩Uj6=∅, le changement de coordonn´ees ϕ−1
j◦ϕi(z,x)=(z0,x
0)
soit de la forme z0=γij (z)et x0=ϕij (z,x)avec γij holomorphe. On
dira que Ui'Ωi×Rmest un ouvert distingu´epour F;ilserad´esormais
identifi´e`aΩi×Rm.
Une telle structure peut ˆetre vue comme une partition de la vari´et´eM
en sous-vari´et´es diff´erentiables immerg´ees, appel´ees feuilles de F; cette
partition ´etant index´ee localement par un ouvert de Cnet le passage d’une
feuille `a une autre se faisant `a l’aide d’une transformation biholomorphe.
Elle peut aussi s’interpr´eter comme la famille des vari´et´es int´egrales d’un
syst`eme diff´erentiel dont les solutions d´ependent holomorphiquement d’un
param`etre complexe.
Soient Met M0deux vari´et´es munies respectivement de feuilletages
transversalement holomorphes Fet F0.Unmorphisme de (M, F)vers
(M0,F0) est une application diff´erentiable ϕ:M−→ M0telle que, pour
tout ouvert Ude Mdistingu´epourFet tout ouvert U0de M0distingu´e
pour F0et tel que V=ϕ(U)∩U0soit non vide, l’application ϕ:U−→ V
soit de la forme ϕ(z,x)=(γ(z),ψ(z,x)) avec γholomorphe. Si en plus
ϕest un diff´eomorphisme, on dira que ϕest un isomorphisme de (M, F)
sur (M0,F0). Dans ce cas les feuilletages Fet F0ont mˆeme dimension et
mˆeme codimension. Si M=M0et F=F0un isomorphisme ϕ:(M, F)−→
(M0,F0) sera appel´eautomorphisme de F. On dira que deux feuilletages
Fet F0transversalement holomorphes sur Msont conjugu´es s’il existe un
isomorphisme ϕ:(M, F)−→ (M,F0).

246 Aziz El Kacimi and Toussaint Sohou
1.2. Exemples
(1) Une vari´et´eanalytiquecomplexeMde dimension ndonne lieu, de
fa¸con naturelle, `a un feuilletage transversalement holomorphe de codimen-
sion n: les feuilles sont les points de M.
(2) Tout feuilletage holomorphe au sens usuel sur une vari´et´eanalytique
complexe est un feuilletage transversalement holomorphe sur la vari´et´e
r´eelle sous-jacente.
(3) Soient Fune vari´et´ecomplexededimensionnet Bune vari´et´e
diff´erentiable de dimension m.OnnoteΓ=π1(B)legroupefondamental
de Bet on suppose qu’il existe une repr´esentation ρde Γdans le groupe
Aut(F) des biholomorphismes de F. Le feuilletage e
Fsur f M=F×e B(e B
´etant le revˆetement universel de B)dontlesfeuillessont{z}× e
Bavec z∈F,
est transversalement holomorphe et invariant par toutes les transformations
Φ:F×e
B−→ F×e B,Φ(z,x)=(ρ(γ)(z),γx)o`uγ∈Γet γx est l’action de
γsur x(γest un automorphisme du revˆetement e
B−→ B); e Finduit donc
un feuilletage transversalement holomorphe Fsur la vari´et´e quotient M=
F×e
B/(z, x)'(ρ(γ)(z),γx);ilesttransverse`alafibration F−→ Mπ −→ B
o`uπest induite par la deuxi`eme projection (z, x)∈F×e
B7−→ x∈e B.On
dira que Fest le feuilletage obtenu par suspension de la repr´esentation ρ.
(4) Soit f
Mune vari´et´ededimensionm+2nmunie d’un feuilletage
transversalement holomorphe e
Fde codimension n.Soit Γun groupe
(d´enombrable) discret agissant sur f
Mde fa¸con libre et propre par auto-
morphismes de e
F. Alors le feuilletage F, induit sur la vari´et´e quotient
M=f
M/Γ, est transversalement holomorphe de codimension n. Un tel
exemple de feuilletage sera appel´erevˆetement feuillet´e. On retrouve une
suspension si on prend pour e
Fle feuilletage dont les feuilles sont les fi-
bres de la premi`ere projection f
M=F×e B−→ F(o`ue Best une vari´et´e
diff´erentiable de dimension msimplement connexe et Fune vari´et´ecom-
plexededimensionn)etΓagissant librement proprement sur e
Bet par
biholomorphismes sur F.
(5) On pose f
M=Cn×Rm\{(0,0)}et on note e Fle feuilletage d´efini
par l’´equation dz =0o`u(z, x)sontlescoordonn´ees d’un point de f
M.Ce
feuilletage est invariant par la transformation
(z,x)∈f
M7−→ (λz, λx)∈f M
(o`uλ∈]0,1[) ; il induit donc un feuilletage Fsur la vari´et´edeHopf

Sur le probl´eme additif additif de cousin basique 247
M=f
M/(z, x)'(λz, λx)
qui est diff´eomorphe `aS1×SNavec N=m+2n−1 ; les feuilles sont des
plans Rmsauf celle correspondant `az=0quiestdiff´eomorphe `aS1×Sm−1.
Ceci est un exemple concret de la situation (4).
1.3. El´ements basiques
Soit Fun feuilletage transversalement holomorphe de dimension (r´eelle)
met de codimension (complexe) nsur M. On notera TFle fibr´e tangent
`a Fqui est un sous-fibr´edufibr´e tangent TM `a Met νF=TM/TFle
fibr´e normal. L’espace χ(F) des sections globales de TF(champs tangents
`a F) est un module sur l’alg`ebre A(M)desfonctionsdeclasseC∞sur M.
Une forme diff´erentielle αsur Mest dite basique,siellev´erifieiXα=0
et LXα= 0 pour tout X∈χ(F)(iXet LXd´esignent respectivement le
produit int´erieur et la d´eriv´ee de Lie associ´es au champ X). Une telle forme
est localement l’image r´eciproque d’une forme sur Cn. Une fonction basique
est une fonction constante sur les feuilles de F.Ilestimm´ediatdevoirque
si la forme αest basique, il en est de mˆeme pour dα ; ainsi les formes
basiques constituent un sous-complexe (A∗(M/F),d)ducomplexedede
Rham de M. Son homologie H∗(M/F) s’appelle la cohomologie basique de
F. Ellejouelerˆole de la cohomologie de de Rham pour l’espace des feuilles
B=M/F(cf. [Ek2] pour les d´etails).
En usant de la structure complexe transverse `aFon peut, pour tout
entier r∈{0,...,2n},d´ecomposer l’espace vectoriel Ar(M/F) sous forme
d’une somme directe
Ar(M/F)= M
p+q=r
Apq(M/F).
Un ´el´ement de Apq(M/F)estappel´eforme basique de type (p, q). Locale-
ment, une telle forme s’´ecrit
α=X
i1···ipj1···jq
αi1···ipj1···jqdzi1∧···dzip∧dzj1∧···∧dzjq
o`ulesαi1···ipj1···jqsont des fonctions C∞qui ne d´ependent que de z.La
restriction de d`a Ar(M/F)sed´ecompose, comme dans le cas classique, en
une somme d=∂+∂o`u∂et ∂sont deux op´erateurs respectivement de
types (1,0) et (0,1). Si on fixe p, on obtient un complexe diff´erentiel
0−→ Ap0(M/F)∂
−→ Ap1(M/F)∂ −→ ··· ∂ −→ Apn(M/F)−→ 0